届高三理科数学六大专题训练题含详解
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高三数学（理科）专题训练
一
《三角函数、三角恒等变换与解三角
形》
一、选择题
1．α为三角形的一个内角，
,12
5
tan -=α则=αcos ()
A ．1312-
B ．135-
C ．13
5D ．1312
2．函数x y sin =和函数x y cos =都是增函数的区间是()
A ．)](22,232[Z k k k ∈++πππ
πB
．)](2
32,2[Z k k k ∈++π
πππ
C ．)](2
2,2[Z k k k ∈+
π
ππD ．
)](2,2
2[Z k k k ∈++
πππ
π
3．已知,5
1
)25sin(
=+απ那么=αcos ()
A ．52
-B ．51-C ．51D ．5
2
4．在图中，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A
点的坐标为),5
4
,53(
且AOB ?是正三角形．则COB ∠cos 的值为()
A ．
10334+B ．103
34- C ．10343+D ．10
343-
5．将函数)
(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个长度
单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是() A ．12πB ．6πC ．3
π
D ．65π
6．下列关系式中正确的是() A ．?
C ．?
D ．?
7．在锐角ABC ?中，角A ，B 所对的边长分别为b a ,.若,3sin 2b B a =则角A 等于()
A ．3π
B ．4π
C ．6
π
D ．12π
8．已知函数
),
,0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=?ω?ω则“)(x f 是奇函数”是“=?2
π
”的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 二、填空题
9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是____．
10．设,sin 2sin αα-=),,2
(ππ
α∈则
α2tan 的值是________. 11．在锐角ABC ?中，
,1=BC ,2A B ∠=∠则
A
AC
cos 的值等于___，AC 的取值范围为___． 12．函数
)cos(sin 2)2sin()(???+-+=x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13．已知函数
)
2
2
,0)(sin(3)(π
?π
ω?ω<
≤-
>+=x x f 的图象关于直线3
π=
x 对称，且
图象上相邻两个最高点的距离为.π
(1)求ω和?的值；
(2)若),3
26(43)2(π
απα<<=f 求)2
3cos(π
α+的值．
14．已知向量
),2
1
,(cos -=x a ),
2cos ,sin 3(x x b =,R x ∈设函数.)(b a x f ?=
(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2
,0[π
上的最大值和
最小值．
15．已知函数
,),4
sin()(R x x A x f ∈+
=π
且
.2
3)125(=πf (1)求A 的值；
(2)若),
2
,0(,23)()(π
θθθ∈=-+f f 求).4
3
(θπ-f
16．已知函数
,
2cos 2
1
cos sin 3)(x x x x f ωωω-=,0>ω,R x ∈且函数)(x f 的最小正周期为.π
(1)求ω的值和函数)(x f 的单调增区间；
(2)在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 又,5
4
)32(=+πA f ,2=b ABC ?的面积等于3，求边长a 的值． 17．已知函数
?+=2
cos 34cos 4sin 2)(x
x x x f
(1)求函数)(x f 的最小正周期及最值；
(2)令),3
()(π
+=x f x g 判断函数
)(x g 的奇偶性，并说明理由． 18．在ABC ?中，内角C B A 、、所对的边分别为.c b a 、、已知
,3,==/c b a
(1)求角C 的大小；
(2)若,5
4
sin =A 求ABC ?的面积.
高三数学（理科）专题训练
二
数列
一、选择题
1．数列,,11,22,5,2 的一个通项公式是()
A ．33-=n a n
B ．1
3-=n a n C ．13+=n a n D ．33+=n a n 2．已知等差数列}{n a 中，
,1,16497==+a a a 则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64 3．等比数列}{n a 中，
,20,647391=+=a a a a 则11a 的值是()
A ．1
B ．64
C ．1或64
D ．1或32
4．ABC ?的三边c b a ,,既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 5．已知数列}{n a 满足
),2(11≥-=-+n a a a n n n ,3,121==a a 记,321n n a a a a S ++++= 则下列结论正确的是()
A ．2,120142014=-=S a
B ．5,320142014=-=S a
C ．2,320142014=-=S a
D ．5,120142014=-=S a
6．如果在等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721a a a ()
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
7．数列}{n a 中，
,
,10987,654,32,14321 +++=++=+==a a a a 那么=10a ()
A ．495
B ．505
C ．550
D ．595
8．各项均为实数的等比数列}{n a 的
前n 项和为,n S 若,1010=S ,7030=S 则
=40S ()
A ．150
B ．200-
C ．150或200-
D ．400或50- 二、填空题
9．在等差数列}{n a 中，
,8,12543531=-=++a a a a a a 则通项=n a ________.
10．设等比数列}{n a 的前n 项和为
,n S 若,33
6=S S 则=69S S
________.
11．设平面内有n 条直线),2(≥n 其
中任意两条直线都相交且交点不同；若用)(n f 表示这n 条直线把平面分成的区域个数，则=)2(f ______，=)3(f ______，=)4(f ______.
当4>n 时，=)(n f ________. 12．已知数列}{n a 的通项公式为
*).(2
1
log 2N n n n a n ∈++=设其前n 项
和为,n S 则使5- 13．等差数列}{n a 的前n 项和为 ,23,1=a S n 公差d 为整数，且第6项为正，从第7项起变为负． (1)求d 的值； (2)求n S 的最大值； (3)当n S 是正数时，求n 的最大值． 14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足.01565=+S S (1)若,55=S 求6S 及;1a (2)求d 的取值范围. 15．已知数列}{n a 的首项n S a a ,1=是 数列}{n a 的前n 项和，且满足 ,0,32122=/+=-n n n n a S a n S (1)若数列}{n a 是等差数列，求a 的值； (2)确定a 的取值集合M ，使M a 时，数列}{n a 是递增数列. 16．已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---?a a a (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)是否存在等差数列},{n b 使得 2 21123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由. 17．等差数列}{n a 各项均为正整数， ,31=a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，,11=b 且,6422=S b } {n a b 是公比为64的等比数列． (1)求n a 与；n b (2)证明：?<+ ++4 3 11121n S S S 18．已知数列},{n a n S 为其前n 项的和，,9+-=n n a n S .*N n ∈ (1)证明数列}{n a 不是等比数列； (2)令,1-=n n a b 求数列}{n b 的通项公式n b ； (3)已知用数列}{n b 可以构造新数列．例如： },3{n b },12{+n b },{2 n b },1{n b },2{n b },{sin n b …，请写出用数列}{n b 构造出的新数列}{n p 的通项公式，使数列}{n p 满足以下两个条件，并说明理由． ①数列}{n p 为等差数列；②数列}{n p 的前n 项和有最大值． 高三数学（理科）专题训练 三 <概率> 一、选择题 1．对满足B A ?的非空集合B A 、有下列四个命题：其中正确命题的个数为() ①若任取,A x ∈则B x ∈是必然事件②若,A x ?则B x ∈是不可能事件 ③若任取,B x ∈则A x ∈是随机事件④若,B x ?则A x ?是必然事件 A ．4B ．3C ．2D ．1 2．从1，2，…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是() ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数 A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4的正方形区域， E 是D 内函数 2 x y =图象下 方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为() A ． 21B ．31C ．41D ．5 1 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是() A ． 125B ．21C ．127D ．4 3 5．如图所示，圆C 内切于扇形 ,3 ,π = ∠AOB AOB 若在扇形AOB 内任取 一点，则该点在圆C 内的概率为() A ． 21B ．31C ．32D ．4 3 6．已知随机变量ξ服从正态分布 ),,0(2σN 若,023.0)2(=>ξP 则 )22(≤≤-ξP 的值为() A ．．．． 7．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为() A ． 14 -π B ． π 2C ．214-πD ．21 8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布)10,80(~2N ξ，则下列命题中不正确的是() A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题 9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________． 10．在集合 }10,,3,2,1,6 |{ == n n x x π 中任取1个元素，所取元素恰好满足方 程2 1 cos =x 的概率是__________． 11．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≤--+x x 成立的概率为______. 12．在一次教师联欢会上，到会的女 教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为 ,20 9 则参加联欢会的教师共有____人. 13．已知 ,4|),{(},0,0,6|),{(≤=≥≥≤+=Ωx y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则 P 落入区域A 的概率是________. 三、解答题 14．袋中有12个小球，分别为红 球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 ,31得到黑球或黄球的概率是,12 5得到黄球或绿球的概率也是 ,12 5 试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？ 15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是 3 2 和53.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品A 研发成功，预计企 业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为 0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； （2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D 上记1分，其它情况记0分，落点 在C 上的概率为1 5 ，在D 上的概率为 3 5 .假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望. 高三数学（理科）专题训练 四 《立体几何初步》 一、选择题 1．已知ABC ?的三个顶点为 、、)7,3,4()2,3,3(-B A ),1,5,0(C 则BC 边上的中线长为() A ．5B ．4C ．3D ．2 2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为() A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是() A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 4．已知n m 、表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是() A ．若αα//,//n m ，则n m // B ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥n C ．若,,n m m ⊥⊥α，则α//n D ．若,,αα?⊥n m ，则n m ⊥ 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积为() A ．310cm πB ．320cm π C ．3310cm π D ．33 20cm π 6．已知过球面上C B A ,,三点的截面和球心的距离等于 球半径的一半，且,2===CA BC AB 则球的半径是() A ．32 B ．3 4 C ．36 D ．1 7．用c b a ,,表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是() ①若,//,//c b b a 则;//c a ②若,,c b b a ⊥⊥则;c a ⊥ ③若,//,//ααb a 则;//b a ④若,,αα⊥⊥b a 则.//b a A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的 轴截面顶角的余弦值是() A ．43B ．54C ．53D ．53- 二、填空题 9．已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若,4,3==AC AB ,AC AB ⊥,121=AA 则球O 的半径为_______. 10．在三棱锥ABC P -中， ,1====BC PC PB PA 且 ,2 π = ∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______. 11．在长方体1111D C B A ABCD -中， ,2,31cm AA cm AD AB ===则四棱锥D D BB A 11-的体积为____cm 3． 三、解答题 12．如图所示，网格纸上 正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到， 求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值. ABCD P -与ABCD Q -的高都是2，.4=AB (1)求证：⊥PQ 平面;ABCD (2)求四面体QAD P -的体积． 14．如图所示，在直三棱柱 111C B A ABC -中， ,,901CC BC AC ACB o ===∠点M 为AB 的中点，点D 在11B A 上，且.311DB D A = (1)求证：平面⊥CMD 平面;11A ABB (2)求二面角M BD C --的余弦值. 中，底面ABCD 为矩形， ,ABCD PA 平面⊥E 为PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面//； (2)设二面角C AE D --为60°， ,3,1==AD AP 求三棱锥ACD E -的体积. 16．如图所示，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,EB AE =点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面.ACE (1)求证：⊥AE 平面;BCE (2)求二面角E AC B --的余弦值； (3)求点D 到平面ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． (1)求证：平面PAC ⊥平面PBC . (2)若,1,1,2===PA AC AB 求二面角A PB C --的余弦值. 18．如图所示，平行四边形ABCD 中，.4,2,60===∠AD AB DAB 将CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面⊥EDB 平面ABD. (1)求证：⊥AB 平面;EBD (2)求三棱锥ABD E -的侧面积． 高三数学（理科）专题训练 五 《圆锥曲线方程》 一、选择题 1．已知双曲线 )0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C 的离心率为,25 则C 的渐近线方程为() A ．x y 41±= B ．x y 31 ±=C ． x y 21 ±=D ．x y ±= 2．已知,4 0π θ< <则双曲线 1cos sin :22 221=-θθy x C 与 1sin cos :22 222=-θ θx y C () A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．椭圆 14 22 =+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则 =||2PF () A ． 23B ．3C ．2 7 D ．4 4．已知双曲线142 2 2=-b y x 的右焦点 与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A ．5B ．24C ．3D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A ．23B ．2C ．2 5 D ．3 6．已知双曲线12 2 2 =-y x 的焦点为 ,,21F F 点M 在双曲线上，且 ,021=?则点M 到x 轴的距离为() A ．34B ．35C ．33 2D ．3 7．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为() A ．2 B ．3 C ． 213+D ．2 1 5+ 8．已知F 是抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上，且位于x 轴 的两侧，2=?（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是() A ．2B ．3C ． 8 2 17D ．10 二、填空题 9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲 线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10．已知21,F F 是椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且 .21PF ⊥若21F PF ?的面积为9，则=b _________. 11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为 F ，其准线与双曲线1 3 32 2=-y x 相交于A ，B 两点，若ABF ?为等边三角形，则=p _________. 12．椭圆122 22=+b y a x 的四个顶点为 ,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切 圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题 13．如图所示，动圆 )31(:2221<<=+t t y x C 与椭圆 19 :22 2=+y x C 相交于D C B A ,,,四点，点21,A A 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABC D 的面积取得最大值？并求出其最大面积． 14．已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,3 3 x y ±=若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程. 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆 )0(12 2 22>>=+b a b y a x 的左右焦点，顶点B 的坐标是),,0(b 连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.1C F (1)若点C 的坐标为),3 1 ,34(且 ,2||2=BF 求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值. 16．椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的两 个焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆C 上，且,211F F PF ⊥ (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程． 17．若点O 和点F 分别为椭圆 13 42 2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求 FP OP ?的最大值． 18．已知抛物线C 的顶点为原点， 其焦点)0)(,0(>c c F 到直线 02:=--y x l 的距离为 .2 2 3设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程； (2)当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ?的最小值． 高三数学（理科）专题训练 六 《导数及其应用》 一、选择题 1．若,)(3x x f =,6)('0=x f 则=0x () A ．2B ．2-C ．2±D ．1± 2．函数133+-=x x y 的单调递减区间是() A ．)2,1( B ．)1,1(- C ．)1,(--∞ D ．),1(+∞ 3．与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是() A ．032=+-y x B ． 032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x 4．已知曲线x x y ln 342 -=的一条切 线的斜率为,2 1 则切点的横坐标为() A ．3 B ．2 C ．1 D ．2 1 5．曲线x y cos =与x 轴在区间 ]23, 2[π π- 上所围成的图形的面积 是() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．设)(),(x g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且 ,0)(')()()('<-x g x f x g x f 则当x a A ．)()()()(b g b f x g x f > B ． )()()()(x g a f a g x f > C ．)()()()(x g b f b g x f > D ． )()()()(a g a f x g x f > 7．若)2ln(2 1 )(2++-=x b x x f 在区间 ),1(+∞-内是减函数，则实数b 的取值范围是() A ．),1[+∞- B ．),1(+∞- C ．]1,(--∞ D ．)1,(--∞ 8．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分， 则函数的解析式为() A ．x x y 5 3 12513-=B ． x x y 5 412523-= C ．x x y -=3 1253D ． x x y 5112533+-= 二、填空题 9．若曲线)1ln(+-=x ax y 在点) 0,0(处的切线方程为,2x y =则=a ______. 10．若曲线x b ax y + =2（a 、b 为常数）过点),5,2(-P 且该曲线在点P 处的切线与直线++y x 2703=平行，则=+b a ______. 11．若,)(2)(1 2 dx x f x x f ?+=则 =?dx x f )(1 ______. 12．设,R a ∈若函数 )(3R x x e y ax ∈+=有大于零的极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题 13．设函数)0()(=/=k xe x f kx . (1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)求函数)(x f 的单调区间． 14．已知函数 x =x x x f - + ln .1 ( )1 ) (+ (1)若,1 x xf求实数a x ) ('2+ + ≤ax 的取值范围； (2)证明：.0 f -x x ) ( )1 (≥ 15．设,12 3 21ln )(+++ =x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数)(x f 的极值． 16．如图所示，已知曲线2 1:x y C =与曲线)1(2:22>+-=a ax x y C 交于点O 、A ，直线 )10(≤<=t t x 与曲线21C C 、分别相交于点D 、B ，联结.AB DA OD 、、 (1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式);(t f S = (2)求函数)(t f S =在区间]1,0(上的最大值． 17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄 水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）． (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 18．已知函数 .)2(ln )(2x a ax x x f -+-= (1)讨论)(x f 的单调性； (2)设,0>a 证明：当a x 1 0< <时，);1 ()1(x a x a f ->+ (3)若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x 证明：.0)('0 高三数学（理科）专题 训练一 《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案 9．2cm 210．311．2, )3,2(12．1 三、解答题 13．(1)因)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,π 所以)(x f 的最小正周期,π=T 从而.22==T π ω 又因)(x f 的图象关于直线 3 π =x 对称，所以 ,,2,1,0,2 3 2 ±±=+ =+? k k π π?π 因≤- 2 π 2 π ?≤ 得,0=k 所以 ?-=-=6322π ππ ? (2)由(1)得 =-?=)6 22sin(3)2(π ααf ,43 所以?=-41 )6sin(πα 由326παπ<<得,260π πα<- < 所以 = - -=- )6 (sin 1)6 cos(2π απ α? =-415 )4 1(12 因此+ -==+)6 sin[(sin )23cos(πααπα6sin )6cos(6cos )6sin(]6ππαππαπ-+-= 14．(1)π=T (2) 2 1 )(,1)(min max -==x f x f 15．(1)==+=3 2sin )4125sin()125(ππππA A f ,2 3 233sin )3sin(===-A A A πππ 所以=A ,3所以).4 sin(3)(π +=x x f (2))()(θθ-+f f )4 sin(3)4 sin(3π θπ θ+ -++ = ,2 3 cos 6==θ所以 ,4 6 cos =θ 因为,0sin ),2 ,0(>∈θπ θ则 = θsin ,4 10)46( 1cos 122=-=-θ 故 =+-=-]4 )43sin[(3)43(π θπθπf ?=?==-4 30 4103sin 3)sin(3θθπ 16．(1)1=ω)](3 ,6[Z k k k ∈+-π ππ π(2)13=a 17．(1)因 ),3 2sin(22cos 32sin )(π +=+=x x x x f 故)(x f 的最小正周期.4212ππ ==T 高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝ －9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)． 当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减． 高三数学小题训练（10） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分；共50分. 1．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π =x 处取 得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ） （A ）23 （B ）3 2 （C ）2 （D ）3 3．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 5．已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则 m n 等于 （ ） （A ） 1 3 （B ）3 （C ）33 （D 3 6．与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7．如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ）1213,PP PP （B ）1214,PP PP （C ）1215,PP PP （D ） 1216,PP PP 8．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 9．已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ） （Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）2 10．若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12．已知βα,??? ??∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___. 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D）2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案
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