第23章 解直角三角形
一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝
2
2
，则sin B 等于( ) A. 12
B.
22 C. 3
2
D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35°
C. m sin35°
D. m cos35°
图23－Z －1
3．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．
的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2
C ．sin β＝cos β
D ．tan α＝1
图23－Z －2
4．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )
A. 34
B. 43
C. 35
D. 45
5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30° B ．sin30°×cos60°＝12
sin 2
45°
C ．cos45°－sin45°＝0
D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°
6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A
图23－Z －3
7．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35
，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )
A. 2512
B. 75
C. 43
D. 83
8．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45
，则点
B 的坐标为( )
A ．(4，0)
B ．(－4，0)
C ．(4，0)或(－4，0)
D ．(5，0)或(－5，0)
9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )
A ．60 m
B ．80 m
C ．100 m
D ．120 m
图23－Z －4
10．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15
，则AD 的长为( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
图23－Z －5
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158
，则AB ＝________.
图23－Z －6
12.如图23－Z－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则 tan∠BCD的值是________．
图23－Z－7
13．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝5
13
，则这个
菱形的面积是________．
图23－Z－8
14．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．
图23－Z－9
三、解答题(共40分)
15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．
图23－Z－10
16．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°
≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
图23－Z－11
17．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与?号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD.
图23－Z－12
18．(12分)如图23－Z－13，台风中心位于点O处，并沿北偏东45°方向﹙OC方向﹚以
40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A.
(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B，则B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．
图23－Z－13
1. B
2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝AC
m
，∴AC ＝m·cos 35°.
3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝2
2
，
tan ∠ACD ＝21
＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .
4．A 5.D
6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．
7．A [解析] 如图，由sin A ＝3
5，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝25
12
.
8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝4
5
，
∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，
∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2
，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；
②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C
10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝1
5，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝
90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .
11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15
AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC2＋BC2＝
82＋152＝17.
12.3
4 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为3
4
.
13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝5
13，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝39
16
. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．
15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，
∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD.
∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.
由勾股定理得AD ＝AC2－CD2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.
16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.
在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．
答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .
17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CD
BD ，
∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CE
AE ，
∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝3
3
BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －
3
3
BD ＝42， ∴BD ＝21 3.
∴CD ＝3BD ＝63(米)．
答：?号楼的高度CD 为63米．
18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AE
OA ，
∴AE ＝60 2×
2
2
＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，
∴A 市不会受到此台风的影响．
(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.
在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，
sin 30°＝BF OB
，
∴BF ＝80×1
2
＝40(千米)．
∵40千米＜50千米，
∴B 市会受到台风的影响．
如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)． 同理，FH ＝30千米．
∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，
∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．
沪科版九年级上册数学相似形：位似1（含答案） 课堂练习 1.如图,在四边ABD 中,∥ACB ⊥AB1B=AD,CD=2AB,点E,F 分别为AB,AD 的中点,则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ） A.1:7 B.1:6 C.1:5 D.1:4 2. 五边形ABCDE 五边形ABCDE,若对应边AB 与AB 的长分别为50厘米和40厘米,则五边形ABCDE 与五边形ARCDE 的相似比是( ) A.5:4 B.4:5 C.5:25 D.25:5 3.梯形ABCD 中,AD ∥BC,EF 为中位线,且BCD ABD s s :=2:3,则 BCFE AEFD S S 四边形四边形: A.2:3 B.4:9 C.9:11 D5:9 4.正方形ACEF 的边AC 是正方形ABCD 的对角线,则正方形ACEF 面积与正方形ABCD 的面积之比为( ) A.1:2 B. 2:1 C.21:2 D. 4:1 5.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 甲:将边长为3,4,5的三角形接图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似. 乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似. 对于两人的观点,下列说法正确的是( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 6.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm,如果它们的面积之和为130cm 2 ,那么较
小的多边形的面积是_________cm2. 7.如图,某工人在一块矩形的铁板ABCD上切割下一块矩形BEFA,使矩形BEFA∽矩形ABCD,已知AB=6分米,AD=9分米,则BE的长度应是_______分米. 8.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个多边形和这个多边形相似,其最短边长为6,则最长边长为__________. 9.两个相似多边形对应对角线的比为3:2,若较小多边形的面积为32平方厘米,那么较大多边形面积为____________平方厘米. 10.如图①所示的是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②所示5个相似的三角形,再分别连接图1②中间的小三角形三边的中点,得到图③中一些相似的三角形,按此方法继续连接,请你根据每个图中相似三角形的个数的规律完成下列问题. (1)将下表填写完整. (2)在第n个图形中有_________个相似的三角形.(用含n的式子表示) 11.两个相似多边形最长边分别为35cm和14cm,它们的周长的差为60cm,求这两个多边形的周长 12.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P1,P4是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题.
C B 相似三角形判定经典题型 1．如下左图已知∠B ＝∠C ，则△ABF ∽________，△BDE ∽________． 2. 如上右图3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________． 3．在△ABC 中，AB ＝1.5，AC ＝2，BC ＝3.在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝3，B ′C ′＝4.5，A ′C ′＝________时，△ABC 与△A ′B ′C ′相似． 4.如下左图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______． 5.如下中图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使 △ACD 与△ABC 相似．你添加___________ 6.如上右图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图中的相似三角形有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 8.如下左图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于
点G ，则下列结论中错误的是（ ） A. △ABE ∽△DGE B. △CGB ∽△DGE C. △BCF ∽△EAF D. △ACD ∽△GCF 9.如上右图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1 B.23 C.2 D.2 5 10.下列三角形相似的判断中，正确的是（ ） A.各有一个角是67°的两个等腰三角形 B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形 C.各有一个角是45°的两个等腰三角形 D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形 11.如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .如果△ABC ∽△CAD ，那么CD 的长为( ) A. b 2c B. b 2a C. ab c D. a 2c 12.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边为 15.求△ A ′B ′C ′最短边的长.
相似三角形的判定 一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义 （1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。 如图所示，ABC ?与DEF ?相似,记作“ABC ?∽DEF ?”，读作ABC ?相似于DEF ? 。 （2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。 （3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。 ③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.平行线截三角形相似的定理 （1）平行线截三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE //Θ ABC ?∴∽DEF ? 3.相似三角形的判定定理 （1）判定定理1：AA 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两角分别相等的两个三 角形相似。） //,B B A A ∠=∠∠=∠Θ ABC ?∴∽///C B A ? （2）判定定理2：SAS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。） / ////,A A C A AC B A AB ∠=∠=且Θ ABC ?∴∽/ //C B A ? （3）判定定理3：SSS 文字语言 数学语言 图形 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB = =Θ ABC ?∴∽///C B A ? （4）判定定理4：HL 文字语言 数学语言 图形 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 （简记为：三边成比例的两个三角 形相似。） / /////C B BC C A AC B A AB ==Θ ABC ?∴∽///C B A ?
，当它们全等时，才有 （双
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△例2、如图，E、F分别是△ABC的边
2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 中，P是BC上的点，且BP＝3 、如图,AB⊥BD,CD 当P点在BD上由 ，则图中相似三角形的对数有 对。
特殊情况： 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角． （3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。 2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如： （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； A B C D E A B C D D A B C A B C D E D A B C E
相似三角形的判定（三） 一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握三角形相似的判定条件（AA）。 3．会运用“两个角对应相等的三角形相似”判断常见图形中的三角形相似，并应用判定三解决简单的问题． 二、教学重点 1．相似三角形的判定三的应用。与三角形相似的预备定理及平行线平分线段成比例定理和推论． 2．认识直角三角形斜边上的高所分的两个三角形与原三角形相似 三、教学难点 1．相似三角形的判定三的证明。 2．相似三角形的判定三的应用． 3．难点的突破方法 （1）对于判定三的证明，参考判定一和判定二的证明思路，
把较小的三角形移到另一个三角形的内的思路，即利用已有条件构造全等三角形。 （2）利用圆中的相似三角形和直角三角形斜边上的高构成的相似三角形的展示，让学生形成应用判定三的意识，即：如果两个三角形具有公共角或对顶角，或两个三角形是直角三角形，那么只要再有一个角对应相等就会相似。 四、教学过程 （一）、引入 我们学习了哪几种判定三角形相似的方法？ 1、定义 2、预备定理（由平行得到相似） 3、相似三角形的判定一 4、相似三角形的判定二 探究：如图：△ABC和△A′B′C′，当它们具备什么样的条件时，能够判定它们相似？ （通过探究，进一步巩固判定一、二） 判定三的引入：对比思考 A B C A ' B ' C '
观察下表中全等三角形和相似三角形的判定方法，对比之后 进行思考：全等 三角形中的Ａ ＳＡ和ＡＡＳ 应该对应相似 中的什么方法 呢？ 在学生猜想出ＡＡ后提出问题： 在刚才的探究问题中，如果△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.问△ABC与△A′B′C′是否相似? （二）、新课讲解 １、判定三的证明 猜想：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 如图，已知：在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=B′。求证:△ABC∽△A′B′C′ 分析：把小的三角形移动到 大的三角形上。如何移动呢？ 证明：在ΔABC的边AB、 AC上，分别截取AD= A′
沪教版九年级数学上册《相似三角形的判 定定理》教案 沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案 一、教材内容分析： 《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、教学目标设置： 1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。 2、经历“类比—猜想—探索—总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。 3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。
重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。 难点：三角形相似判定定理的探索和证明。 三、学生学情分析 学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。 四、教学过程： 活动一：创设情境，类比猜想 同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？ 我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似
第22章相似形单元测试题 （满分120分；时间：120分钟） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 题号一二三总分 得分 一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，） 1. 已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列说法中错误的是（） A.△ABC∽△BDC B.点D是线段AC的黄金分割点 C.AD AC =√5?1 2 D.AD AC =1 2 2. 已知线段x，y满足(x+y)：(x?y)=3:1，那么x:y等于（） A.3:1 B.2:3 C.2:1 D.3:2 3 如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD 的长是（） A.1 6cm B.1 3 cm C.1 2 cm D.1?cm 4 若a b =c d =1 2 (b≠d)，则下列式子不正确的是（） A.a+b b =3 2 B.a+2c b+2d =2 C.a?c b?d =1 2 D.b=2a 5 已知：如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：
①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AB?CP=AP?CB；④AC?AC=AP?AB， 能使△APC和△ACB相似的条件有（） A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 6. 如图，点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，则下列结论中正确的是（） A.AC2=AB2+BC2 B.BC2=AC?AB C.AB AC =√5?1 2 D.BC AC =√5?1 2 7 如图，AB?//?CD，AE?//?FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（） A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 8 如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（） A.15 B.10 C.7.5 D.5 9. 如图，在△ABC中，BD:DC=3:1，G是AD的中点，BG延长线交AC于E，那么BG:GE=(
第24章 相似形(24.3—24.5)测试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ） A ．19 B ．17 C ．24 D ．21 2．如图，五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 是位似图形，且123 PA PA =，则1:AB AB 等于（ ） Ａ．23 Ｂ．32 Ｃ．35 Ｄ．53 3．如图，四边形木框ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A /B /C /D /，若AB ∶A /B /＝1∶2，则四边形ABCD 的面积∶四边形A /B /C /D /的面积为（ ） A ．4∶1 B ．2∶1 C ．1∶2 D ．1∶4 (第2题) (第3题) 4．若如图所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（ ） A ．87° B ．60° C．75° D ．120° 5．如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AC=2 A D A B C D / B / C / A / 灯泡
米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ） Ａ．6.4米 Ｂ．7米 Ｃ．8米 Ｄ．9米 (第4题) (第5题) 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似 的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ．11.5米 B ．11.75米 C ．11.8米 D ．12.25米 (第6题) (第7题) 8．如图所示，在ABC △中，64AB AC P ==，，是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（ ） A E D B O 60 75 α 60 138
地提升自我A ．两张孪生兄弟的照片 B ．三角板的内、外三角形 C ．行书的“中”与楷书的“中” D ．同一棵树上摘下的两片树叶 2．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则四边形BDEC 与 △ABC 的面积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．3：4 D ．1：4 3．如图，AD 是直角三角形ABC 斜边上的中线，AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则图中一定相似的三角形是( ) A ．△AED 与△ACB B ．△AEB 与△ACD C ．△BAE 与△ACE D ．△AEC 与△DAC 4．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为1 3，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为 ( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1) 5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165 cm ，下半身长x (cm)与身高l (cm)的比值是0.60.为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
在同一条直线上．若测得BE＝20 m ，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB 等于() A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是() A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于() A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25
沪科版九上数学《相似三角形》知识点总结 姓名： _______ 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所截成的三角形与原三角形相似。 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或 5.相似三角形的判定定理： 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 6.直角三角形相似： (1)(2)应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 (3) B B
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2 9.相似三角形的几种基本图形： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所截成的三角形与原三角形相似。 这个定理确定了相似三角形的 两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。 若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC ②如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”） ③满足1、AC2=AD·AB， 2、∠ACD=∠B， 3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB． ④当 AD AE AC AB 或AD·AB=AC·AE时， 都可判定△ADE∽△ ACB． ⑤ ）”“三垂直型”） ⑥如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 称为“旋转型”的相似三角形。 ⑦对于复杂的几何图形， 采用将部分需要的图形 （或基本图形）“抽”出来的办法处理。 10.证明题常用方法归纳： ①总体思路: “等积”变“比例”，“比例”找“相似” ②找中间比：若找不到两个三角形相似的,则需要进行“替换”，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. ③添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线) B E A C D 1 2 A C D 1 2 A B B C D E E 1 2 4 B (D) (3) B B
23．2 相似三角形的判定（一） 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并 具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定 定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面， 不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理 的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本 节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、 类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位． 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． 相似三角形判定定理的预备定理的探索 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 探究法 多媒体课件直尺、三角板 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
相似三角形综合练习题1 一．选择题（共22小题） 1．下列各组图形一定相似的是（） A．所有等腰三角形都相似B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似D．所有矩形都相似 2．观察下列每组图形，相似图形是（） A．B． C．D． 3．下列说法正确的是（） A．菱形都相似 B．正六边形都相似 C．矩形都相似 D．一个内角为80°的等腰三角形都相似 4．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形5．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（） A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍 6．已知，则的值为（） A．B．C．D． 7．若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（） A．B．C．D． 8．若，则的值是（） A．1B．2C．3D．4 9．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）
A．=B．=C．=D．= 10．若==2（b+d≠0），则的值为（） A．1B．2C．D．4 11．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（） A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm 12．数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±4 13．下列线段成比例的是（） A．1，2，3，4B．5，6，7，8C．1，2，2，4D．3，5，6，9 14．已知==，且b+d≠0，则=（） A．B．C．D． 15．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d的长为（） A．3cm B．4 cm C．5cm D．6 cm 16．在比例尺是1：46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为（） A．368×103cm B．36.8×104cm C．3.68×105cm D．3.68×106cm 17．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（） A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm 18．如果△ABC中，AB=AC，BC=AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60° 19．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣ 20．如图，点B在线段AC上，且，设AC=2，则AB的长为（）
= = 相关资料 练习 一．填空题 1. 已知线段 2,8,3，x 是成比例线段，则 x= 2.已知（a-b ）:(a+b)=3:19,则 a:b= 3．若 a ∶3 = b ∶4 = c ∶5 , 且 a + b - c = 6 , 则 a = ?, b = ?, c = ?； 4．已知 x ∶ y ∶ z = 3∶4∶5 , 且 x + y + z = 12 , 那么 x = ?, y = ?, z = ?； a c e 5. 若 b d f = 3 , 则 4 a + c + e b + d + f = ?； 6．已知 x ∶4 = y ∶5 = z ∶6 , 则 ① x ∶ y ∶z = , ② (x + y ) ∶ ( y + z ) = ?； 6. 若 x - 2 y y = 2 , 则 x 3 y = ?； 7. 已知线段 AB=24cm,点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则线段 AC= 8. 点 C,D 是 AB 的两个黄金分割点，若 CD=5，则 AB= 9. 一个矩形剪去一个以宽为长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是 10. 。将一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 与 BC 的中点连线 EF 对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相似，则原矩形 的长与宽的比应为 a + b b + c a + c 11．若 ＝ ＝ ＝－m 2，则 m ＝ ． c a b 12．在 ABC 中，D 为 AB 的中点，AB = 4 ，AC = 7 ，若 AC 上有一点 E ，且 ΔADE 与原三角形相似，则 AE = ； 13.△ABC 和△DEF 相似，∠A=60°，∠B=40°，∠D=80°，那么∠E 的度数为 14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在 AC 上，且 BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交 AB 于 E ，则 DE ＝ ． 15. 如图，在△ABC 与△ACD 中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=5cm,AB=4cm.如果图中的两个直角三角形能 够相似，则 AD= A A E D D B C B （14 题） （15 题） （16 题） 16. 如图，在△ABC 的边 AB,AC,BC 上分别取点 E,D,F 使四边形 BEDF 是一个菱形，若 AB=15，BC=12， 那么菱形的边长是 17. 已知两个相似三角形的相似比是 3:4，其中一个三角形的最短边长是 4cm,那么另一个三角形的最短边长为 C
沪科版九年级上册数学相似形 图形的相似 要点提示 1、比例线段的概念：在四条线α、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即)::(d c b a d c b a ==或，那么这四条线段α、b 、c 、 d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2、线段的比例中项：在比例式c b b a =（或 c b b a ::=）中，b 叫做α和c 的 . 3、比例的性质 ①基本性质：。b d bc ad d c b a 内项之积等于外项之积:)0(≠=?= ②合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=. ③等比性质：)0(≠+++=++++++?===n d b b a n d b m c a n m d c b a . 4. 黄金分割 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果 AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比,1:618.0215:≈-= AB AC . 典例分析 1.已知正数a 、b 、c ，且 k b a c a c b c b a =+=+=+ ，则下列四个点中在正比例函数y=kx 图象上的点的坐标是（ ） A.(1，21) B. (1，2) C. (1，- 2 1) D.(1，-1) 2.① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km. ② 若 b a =32 则 b b a +=__________ ③ 若 b a b a -+22=5 9 则 a ：b=__________ ④ 已知: 2a =3b =5c 且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____ _ 图1 _A
沪科版九年级上册数学相似形综合复习 课堂练习 1. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，位似比是1：2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C 的坐标为（ ） A. (1,2) B.(1,1） C.(2,2） D.( 2.1) 2.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,动点P 从A 点出发,按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动,记PA=x,点D 到直线PA 的距离为y,则y 关于x 的函数图象大致是( ) 3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F 为线段AB 上两动点,且ECF=45°,过点E,F 分别作BC,AC 的垂线相交于点M,垂足分别为H,G,现有以下结论:①AB= 2,②当点E 与点B 重合时,MH=21,③AF+BE=EF,④MG ·MH=2 1 ,其中正确结论为 ( ) A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 第1题 第2题 第3题 4.小组的同学要测量树的高度在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高（ ） A.11.5米 B.11.75米 C.11.8米 D.12.25米 5.如图,在矩形ABCD 中,BC=10,CD=5.若点M,N 分别是线段BD,BC 上的两个动点,则CM+MN 的最小值为（ ） A.10 B.8 C.53 D.6
第4题第5题 6.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则 OD OB =_____________. 7.如图,矩形ABCO中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC 对折得到△AB 1C,AB交y轴于D点,则点B 1 的坐标为___________. 8.如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为 (1,1),(-1,1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A 1B 1 C 1 D 1 ,则正 方形ABCD与正方形A 1B 1 C 1 D 1 重叠部分形成的正八边形的边长为_________. 第6题第7题第8题第9题 9.如图,已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC:OA=1:2,量得CD=10m,则零件的厚度x=_______mm. 10.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度为________.