6-1-2.还原问题（二）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．
1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2.了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3.培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、单个变量的还原问题
【例1】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的13，第三口则喝了剩下的14，第四口再喝剩下的15，第五口喝了剩下的16
．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法【解析】最开始瓶子里有矿泉水：111110.511111323456????????????÷-?-?-?-?-=?? ? ? ? ? ??
???????????（升）．
【例2】李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（
）斗酒。
【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】设李白壶中原有x 斗酒，则三次经过店和花之后变为0
2[2(21)1]10
x ??---=870x -=78x =即壶中原有78斗酒.【答案】78斗【例3】有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放
开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了__个小
【解析】组．
【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题
方法一：男生和女生放手分成18个组，说明有男生被计算18次，男生与男生放开手后分成的组数和
男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，
原来有男生30人，被计算302=60?（次），所以()60182=21-÷（次）分成了21组。
方法二：60名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有60对牵着的手，其中男生与女生牵手
的有18对，假设男生与男生牵手的有x 人，那么，参与围圈的男生一共有()21829+÷=+x x 人，所
以930+=x ，21=x ．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了21个小组．
【答案】21个小组
模块二、多个变量的还原问题
【例4】甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，
于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书
一样多。这说明甲组原来有书______本。
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原
来有70-4=66本书
【答案】66本书
【例5】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙
组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为
140只，所以这时
两组各有沙袋70只．解答时可以从70开始倒推．列表倒推如下：
解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所
以应从两组各有沙袋70只开始倒推．
【答案】甲67，乙73
【巩固】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28214
+=（棵），如
÷=（棵），乙班有281442
+=果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221
÷=（棵），甲班原有树142135（棵）．列表倒推如下:
【答案】甲班原有树35棵，乙班原有树21棵
【例6】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32216
÷=(个)棋子，而甲堆的棋子数是+=(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所321648
以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．
采用列表法非常清楚．
【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个
【巩固】有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮
【解析】调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法
还原法
结果：上层112本；下层112本
上层56本；下层168本
上层140本；下层84本
上层70本；下层154本
上层147本；下层77本
【答案】上层147本，下层77本
【例7】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三
人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲：2404020260+-=（元）；乙：240403070160-+-=（元）；丙：240302070300-++=．
【答案】甲260元，乙160元，丙300元
【巩固】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的
玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是
90330÷=（个），所以小巧原来有30228-=（个），小亚原来有30129-=（个），小红原来有30333
+=（个）．
【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个．
【例8】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三
棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各
有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36312÷=（只），第一棵树上的鸟，
先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就
能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原
来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后
又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一
样多的：36312÷=（只），第一棵树上的小鸟只数：121046-+=（只）或12(104)6--=（只），第二棵树上的小鸟只数：128416+-=（只）或12(84)16+-=（只），第三棵树上的小鸟只数：
1210814+-=（只）或12(108)14+-=（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟
【巩固】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一
棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：2739÷=（只），第一棵数上鸟的只数：9427-+=（只），第二棵数
上鸟的只数：92310-+=（只），第三棵数上鸟的只数：93410-+=（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．
【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟
【巩固】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出
现在每个笼里的是78326÷=（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道
第1个笼子里原来养了26834+=（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得
出第2个笼子里有：266824+-=（只），第3个笼子里原有26620-=（只）．
【答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。
【巩固】3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出
现在每个笼里的兔子是36312÷=（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以
知道第1个笼子里原来养了12820+=（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：1266-=（只），第2个笼子里原有：3620610--=(只)．
【答案】第1个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。
【例9】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李
给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总
数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是200450÷=(本)．
用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本
数减去，就得到各人原有课外读物的本数．
⑴张原有读物的本数：5013261+-=(本)
⑵王原有读物的本数：50181355+-=(本)
⑶李原有读物的本数：50161848+-=(本)
⑷赵原有读物的本数：5021636+-=(本)
【答案】张原有读物61本，王原有读物55本，李原有读物48本，赵原有读物36本。
【例10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下
的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有30822-=(人)．由“又抽调剩
下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有22244?=(人)；由“抽
调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有443579+=(人)；由“从第一队抽调一半人支援第二队”
后还有79人，可知第一队原有792158?=(人)．
列式为：[(308)235]2792158-?+?=?=(人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
【答案】158人
【例11】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，
水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是
3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先求土星直径：[(3000500)22000]24120000+?-?=(千米)
再求地球直径：(1200004800)912800-÷=(千米)，即：地球的直径是12800千米.
【答案】12800千米
【例12】有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太多，
就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，
从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问最初弟弟
准备搬多少块?
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟3块，那么3个人搬的砖数就一
样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了1836÷=(块)，弟弟搬了633-=(块)，爸爸搬了
639+=(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是32210（）+?=(块)，哥哥的砖数是18108-=(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下
的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8216?=(块)，那时，弟弟的砖数
是18162-=(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块．所以，哥
哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是224?=(块)，那时，哥哥的砖数是18414-=(块)．所以，最初，弟弟准备搬4块砖．即：
⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：1836÷=(块)，爸爸：639+=(块)，弟弟：
633-=(块)
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：
6228（）-?=(块)，弟弟：32210（）+?=(块)
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：8216?=(块)，弟弟：18162-=(块)
⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：224?=(块)，哥哥：18414-=(块)
【答案】4块
【巩固】有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，
就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟
弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是262214（）+÷=（块），弟弟是261412-=（块），然后来
还原：⑴哥哥还给弟弟5块：哥哥是1459-=（块），弟弟是12517+=（块）；⑵弟弟把抢走的一
半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9918+=（块），弟弟是1798
-=（块）；⑶哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8816+=（块）．
【答案】16块
【例13】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老和
尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、
小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让
了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水．请问：最初
大和尚的水罐里有多少升水？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升．列表分析如下：
回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初老和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有10升水．【答案】10升
【例14】兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有2438
÷=(个)桔子.由此列表逆推如下表：
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁.
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁
【例15】甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：192364
÷=（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64232
+=（张），依此类推，就可以推出答案了．最÷=（张），丙有邮票：643296
后相等时各有192364
÷=（张），列表倒推如下：
【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88，56，48张
【巩固】有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有个苹果，乙堆有个苹果，丙对有个苹果．
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法
【解析】如下表：
【答案】甲44，乙28，丙24
【例16】、、、、、、A B C D E F G 七个人都各有一些珠子。从A 开始依序进行以下操作，每次都分给其他六
个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当G 操作后，每个人手中都恰好各有256颗珠
子，请问D 原先有多少颗珠子？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛
【解析】本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、
于是D 之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化
一下求解过程，因为最终结果D 有256颗珠子，所以在G 操作之前，D 的珠子个数应该减半为128颗，在F 操作前应该再减半为64颗，在E 操作前应该再减半到32颗，在D 操作前，其余所有人的珠子
应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是(256732)2880?-÷=，这些都是D 分给他们的，所以在D 操作前，D 应该有88032912+=颗珠子，于是在C 操作前，D 的
珠子应该减半到9122456÷=，于是在B 操作前，D 的珠子数应该减半到4562228÷=，于是在A 操
作前，D 的珠子数目应该减半到2282114÷=颗。也就是说D 之前的珠子数目是114颗。
【答案】114颗
【例17】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这
两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增
加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三
个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一
个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三
个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加
一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余
各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：
【答案】三个班原来各有图书78本，42本，24本
【巩固】3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，
使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第
三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而
输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100
元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．
从开始到最后甲的份数少了138（）-份，说明每份是10013820（）÷
-=元．所以刚开始时，甲有1320260?=(元)，乙有42080?=(元)，丙有720140÷=(元)．
【答案】刚开始时甲有260元，乙有80元，丙有140元．
【巩固】A 、B 、C 三个油桶各盛油若干千克．第一次把A 桶的一部分油倒入B 、C 两桶，使B 、C 两桶内的
油分别增加到原来的2倍；第二次从B 桶把油倒入C 、A 两桶，使C 、A 两桶内的油分别增加到第
二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C 桶把油倒入A 、B 两桶，使A 、B 两桶内的油分别增加到第
三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A 、B 、C 三个油桶原来各有油多少千
克？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报
【解析】用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来A 桶有油26千克，B 桶有油14千克，C 桶有油8千
克．
【答案】原来A 桶有油26千克，B 桶有油14千克，C 桶有油8千克．
【巩固】乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，
使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆
一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51
粒，51317÷=，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17585?=（粒）．
【答案】85粒
【巩固】甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各
增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的
铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人
各有几枚？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲13枚，乙7枚，丙4枚．
【答案】甲13枚，乙7枚，丙4枚
【例18】三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原
来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到
3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，
这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面
的解答。
先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是96248÷=，第3个数是963482192?-?=，第三行的第1个数是48316÷=，第3个数是196296÷=，第2个数是()()48481619296176+-+-=，第四行第2个数是176288÷=，第3个数是96332÷=，
第1个数是()()16176889632168+-+-=，三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。
【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升
【例19】某工厂有A 、B 、C 、D 、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B 车间工人的12调入A 车间，C 车间工人的13调入B 车间，D 车间工人的14调入C 车间，E 车间工人的16
调入D 车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法，列表如下
所以原来A 、B 、C 、D 、E 车间分别有11、38、33、32、36个工人．解这种还原问题的关键是
从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减
为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数
学中常用的思维方法．
【答案】原来A 、B 、C 、D 、E 车间分别有11、38、33、32、36个工人
【例20】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均
数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，
且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159，所以
写到黑板上的最后一个数是159(21)53÷+=．
假设剩下的两个数中靠前的一个是A ，靠后的一个是106-A ，那么可以依次推出：
第7个被擦掉的数是2(106)2123--=-A A A ，
第6个被擦掉的数是2(2123)5212--=-A A A ，
类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为63611-A 、211060-A 、233243-A 、
854452-A ，最先被擦掉的数是2008(233243)(854452)412842----=-A A A ，
由题意，以上这些数均为正整数．
由2332430->A 及A 为整数可以推出54≤A ，
由8544520->A 及A 为整数可以推出53≥A ，
另一方面，如果53=A ，有23324385445253-=-=A A ，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾，所以应该有54=A ．
此时最开始写在黑板上的第一个数为4128421860-=A ．
【答案】1860
【例21】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，
再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知
解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子?再根据提问“原来至少有多
少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子．
采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．
【答案】40枚
【巩固】有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个；然后再取
其中两份，将这两份三等分后还剩2个．问：这筐苹果至少有几个？
【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】方法一：如果增加4个苹果，那么第一次恰好三等分(每份多出2个)；第二次取出其中2份(总共多出
4个)，也恰好三等分(每份又多出2个)；最后取2份(共多出4个)，也恰好三等分．而且最后一次分
总数一定是偶数，因为是取2份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多2个，所以现在每份
至少是4个．从而上一次每份为4326?÷=(个)，再上次每份为6329?÷=(个)，那么开始时共有
9327?=(个)苹果，但是我们假设增加了4个，所以这筐苹果至少有27423-=(个)．列表法是还原
问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
方法二：从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为x 个，那么最后一次三等
分之前的苹果个数是32+x 个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是322+x 个，这个数应该是一个整数；第二次三等分前，苹果的个数是()32322
+?+x 个，同样的这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为()33244
++x 个，这个数也应该是一个整数；所以这筐苹果的总数为()3324324
++?+x 个．显然x 越小，这筐苹果的个数最少，但是有322+x 和()33244
++x 是整数的约束条件．满足这两个约束条件的x 必须被4除余2，所以满足该条件的x 的
【答案】23个
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 第三十一周还原问题 专题简析： 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数， 这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题 通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问 题。
例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 练习一 1，在□里填上适当的数。 20×□÷8＋16=26 2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？ 3，小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？ 分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。 练习二 1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？ 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？ 3，某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？
第31讲还原问题 一、专题简析： 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 二、精讲精练： 例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 练习一 1、在□里填上适当的数。 20×□÷8＋16=26 2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？ 例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？
练习二 1、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？ 2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？ 例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 练习三 1、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？
2、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？ 例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？ 练习四 1、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？ 2、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁？
例： 有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4.你知道这个数是多少吗 举一反三： 1.一个数加上6，乘6，减去6，其结果等于36.求这个数. 2.一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果得60.求这个数。 3.有一个数加上11，减去12，乘13，除以14，结果是26。这个数是多少 例： 某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台 举一反三： 1.粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨 2.爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下了1个，问爸爸买了多少个橘子 3.某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下1个菠萝。三次共卖得46元，求每个菠萝多少元 例： 小明、小强和小勇三人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三人拥有故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本 举一反三：
1.甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张 2.小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么她们每人各有40张。原来三个人各有年历卡多少张 3.甲乙丙丁四个小朋友有彩色玻璃弹子100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗 例： 甲、乙两桶油各有油若干千克。如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克 举一反三： 1.王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张 2.甲乙丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲和乙，这时他们三个人都有32个玻璃球，问原来每个人各有多少个玻璃球 3.书架分上、中、下三层，共放192本书。现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的树本数相等，这个书架上、中、下三层原来各放多少本书 例： 袋子里有一些球，小华每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。袋中原来有多少个球 举一反三： 1.有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后再放回1个，这样连续拿了5次，筐里的橘子还剩下4个。原来筐里有多少个橘子
还原问题 【知识梳理】 还原问题是逆解应用题，一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序进行四 则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。 【例题精讲】 【例1】某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，求某数。( 1 ) 【例2】有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？( 76 ) 【例3】马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111，问正确答案是多少？( 57 ) 【例4】某数加上5，再增加7，结果等于61，这个数是？( 49 )
1、某数减去4，再减少6，结果为2，这个数是？( 12 ) 2、小明把某数减去5，再增加6，结果是12，这个数是多少？( 11 ) 【例5】某数扩大3倍，再缩小4倍，正好是6，这个数是？( 8 ) 【试一试】 1、一捆电线，第一次用了一半，第二次又用了剩下的一半，还有6米，这捆电线长多少米？ ( 24 ) 2、小红对小明说：“你的年龄是11岁，你的年龄是我的2倍少9岁，你知道我的年龄吗？” ( 10 ) 【例6】小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？( 79 )
1、在□里填上适当的数。 20×□÷8+16=26 ( 4 ) 2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果得60，求这个数。( 11 ) 【例7】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？( 480 ) 【试一试】 1、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？( 42 ) 2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个，问爸爸买了多少个橘子？( 22 ) 【例8】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 小明：23 小强15：小勇：22
还原问题（一） 还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果，要求最初状态的一类问题。解答这类问题逆向思维很重要，通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，逐步倒着往前推算，逐步靠拢已知条件，直到问题解决。 例1．某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，求某数。 例2．有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？ 例3．在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案是多少？ 例4．工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下了一半还少1千米，还剩20千米没有修完。公路的全长是多少千米？ 练习与思考 1．某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10。这个数是多少？ 2．《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55。这个俱乐部成立于哪一年？ 3．有一个说：“把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。”这个人多少岁？ 4．小明在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是306。正确的答案应该是多少？ 5．王大爷去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心，错把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算了3千克，合计卖给王大爷60千克米。王大爷实际购买了多少千克米？ 6．一捆电线，第一次用去全长了一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，还剩下7米。这捆电线原来长多少米？ 7．有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出8个，篮里还剩2个鸡蛋。篮里原来有多少个鸡蛋？ 8．小刚买毛巾用去所带钱的一半，买手帕用去2元钱，买香皂用去剩余钱的一半，这时还剩4元钱。小刚买毛巾用去多少钱？一共带了多少钱？ 9．某仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二次运出余下的一半，第三次运出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂，甲厂得6吨，是乙厂的2倍。仓库原有原料多少吨？ 10．把若干个面包分给甲、乙、丙三个人吃，甲吃了全部的一半多1个，乙吃了剩余的一半多1个，丙吃了最后剩余的一半多1个，这样面包刚好全部吃完。原来有几个面包？
奥数专题之还原问题7 例1：一篮李子，第一天从中拿出一半又两个，第二天拿出余下的一半又四个后，篮子就空了，篮子里原有多少个李子？(2个) 例2? 一个农妇卖鸡蛋，第一次卖了一篮鸡蛋的一半又3个，第二次卖了剩下鸡蛋的一半又2个，第三次卖了剩下的一半又1个，最后还剩1个鸡蛋。问篮里原有鸡蛋多少个？(30个) 例3? 在做一道加法题时，小马虎把个位上的5看作3，把十位上的6看作9，结果得出的和为210，你能纠正小马虎的错误，找出正确的答案应该是多少？(185) 例4 一个数加上7，乘以7，减去7，除以7，结果还是7，你猜猜这个数是多少？(1) 例5 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？(54米) 例6 巧克力糖72粒，分给甲、乙、丙三个小朋友。分配完毕时，甲觉得自己分得太多，就给了乙、丙若粒糖，使他们每人所有的糖的粒数加倍；这时乙又觉得自己分得太多，也拿出些糖给甲与丙，使他们各自所有的糖的粒数加倍；最后，丙又觉得自己分得糖太多，照样给甲、乙一些糖，使他们所有的糖的粒数加倍，这样一来，三人所得
到的糖的粒数就相等了，问：原来三人各分得多少粒巧克力糖？(甲有39粒，乙有21粒，丙有12粒) 例7? 袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半丙放回一个球，一共做了五次，袋中还有3个球，问：原来袋中有多少个球？(3 4个) 例8 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。”财迷算了算挺合算，就同意了。他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下。问：财迷身上原有多少个铜板？(财数身上原来有31个铜板) 练习 1．妈妈从市场买回若干营养火腿肠，第一天吃了全部的一半又1根，第二天吃了余下的一半又1根，第三天又吃了余下的一半又1根，恰好吃完，妈妈从市场买回多少根营养火腿肠？ 2．有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看到弟北挑得太多，就抢过一半，弟弟不服，又从哥哥抢走一半，哥哥不肯，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，问最初弟弟准备挑多少块？
简单的还原问题 阅读与思考 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。遇到比较复杂的还原问题，还可借助画图和列表来解决。 典型例题 例1 一个数加上25，再减去38后是20。这个数是多少？ 分析我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。 要求的这个数最后是20，如果不减去38，就是20＋38＝58；如果不加上25，就是58－25＝33。算完后注意这样检验：33＋25－38＝20。 训练快餐1 （1）一个数加上48，再减去29后是50。这个数是多少？ （2）一个数减去19，再加上36后是60。这个数是多少？
例2 一个数乘4，再除以3后是8。这个数是多少？ 分析我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。 要求的这个数最后是8，如果不除以3，就是8×3＝24；如果不乘4，就是24÷4＝6。算完后注意这样检验：6×4÷3＝8。 训练快餐2 （1）一个数乘6，再除以4后是9。这个数是多少？ （2）一个数除以2，再乘4后是20。这个数是多少？ 例3 小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小9倍，再加1岁后才10岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 分析我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小9倍之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁。
训练快餐3 （1）一个数的3倍加上6，再减去9，结果得21。这个数是多少？ （2）一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？ 例 4 小马虎在做一道加法题目时，把一个加数个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的和是43。正确的结果应是多少？ 分析把一个加数个位上的5看成了9，就多加了4；把一个加数个位上的8看成了3，就少加了50。把错误的和43加上50，再减去4，就是正确的和了。 训练快餐4 （1）小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的6看成了9，把十位上的0看成了8，结果得到的和是100。正确的结果应是多少？
小学奥数三年级还原问 题练习题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
第十三章还原问题 练习题 1.黄老师说：“把我的年龄减去2，除以5，加上8，乘上6，正好是7 2.”同 学们，你能推算出黄老师今年多大吗？ 2.一个数加上6，除以2，再减去9，最后得8，求这个数。 3.一根电线，电工第一次用去了全长的一半，第二次用去了剩下的一半，这时 还剩下16米，这根电线原来长多少米？ 4.修路队计划4天修完一段公路。第一天修了全长的一半，第二天修了余下的 一半，第三天又修了余下的一半，第四天修了62米正好完成任务。这条公路全长多少米？ 5.仓库里有一批粮食，第一天运出全部粮食的一半多18吨，第二天运出余下 的一半少5吨，这时仓库里还剩下30吨粮食没有运。求仓库里原有粮食多少吨？ 6.修路队修一条路，第一天修了全长的一半多30米，第二天修了余下的一半 少20米，第三天将剩下的180米全部修完。求这条路全长多少米？ 7.小明去买笔记本，用掉了所带钱的一半。后来遇到了妹妹，给了妹妹50 元。小明用剩下的钱的一半买了圆珠笔，最后还剩5元，那么小明出门时，带了多少钱？ 8.姐姐去新华书店买书，买学习用书用掉了所带钱的一半。妈妈怕姐姐带的钱 不够，又给了她两百元。姐姐用剩下的钱又买了世界名着也用掉了一半。那么姐姐自己原来带了多少钱去买书？ 9.甲乙丙三人各有连环画若干本。如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙给甲15 本，那么三人所有的连环画都是35本，他们原来有多少本连环画？ 10.甲乙丙三个组共有图书90本。如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5 本。结果三个组所有图书刚好相等，问甲乙丙三个组原有图书多少本？
还原问题 还原问题，指的是给出一个数的运算过程及结果，再求这个数的问题。 例一、按要求填数。 练习 1. 2. 例二、某数加上 5, 乘以5, 减去5, 除以5, 其结果等于 5。求这个数。 练习 1、某数加上6, 乘以6, 减去6, 除以6, 最后结果等于 6。问这个数是几？ 2、一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分。于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得52。”小朋友，你知道于昆得多少分吗？ 例三、贝贝、欢欢和迎迎三人各有一些连环画，贝贝给欢欢3本，欢欢给迎迎5本后，三人的本数都是10本。那么贝贝、欢欢和迎迎原来各有多少本？ 练习 1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数都是25个，三人原来各有玻璃球多少个？ 432 －24 ＋15 ×8 88 ＋6 －10 ×2 ×4 40 －6 ÷2 ＋7 ÷6
2、甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多，都是45本。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？ 例四、甲乙丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？ 例五、 练习 1、甲、乙、丙三人各有一些连环画，如果甲给乙9本，乙给丙11本，丙给甲16本，那么这时三人各有连环画25本。他们原来各有连环画多少本？ 2、甲、乙、丙三辆载重量不同的货车拉运一批货物，如果甲车拉的货物给乙车6吨，乙车拉的货物给丙车11吨，丙车拉的货物给甲车7吨，则三辆车所拉的货物都是20吨。问：甲、乙、丙三辆货车的载重量分别是多少吨？ 例六、小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？ 例七、 练习 1、三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？ 2、三筐苹果共放90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有苹果多少千克？
精心整理2014年四年级数学思维训练：还原问题与年龄问题 1．（2005?华亭县模拟）某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是． 2．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3 3 4 有 5 6．今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍．今年小明多少岁？ 7．今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．问：现在父子的年龄各是多少？ 8．兄弟两个年龄之和是32岁．当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟
9．学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师和学生现在的年龄． 10．今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁，多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？ 11．有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11．这个数原来是多少？ 12 13 14 15 甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了．如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是甲元，乙元，丙元． 16．今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？ 17．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍．请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？
18．去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍．求哥哥和弟弟现在的年龄． 19．今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？ 20．学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚5岁；当你像我这么大时，我已经50岁了．“求老师和学生现在的年龄． 21年后， 再过 22． 23 24 糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 25．哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和的弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄是岁．26．小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5
6-1-2.还原问题（一） 教学目标 本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想． 知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 例题精讲 模块一、计算中的还原问题 【例 1】一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。 【例 2】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【巩固】有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。 【巩固】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子? 【例 3】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【巩固】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得 了多少分？
第三十一周还原问题 专题简析： 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁 分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 练习一 1，在□里填上适当的数。 20×□÷8＋16=26 2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少3，小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁 例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台 分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。 练习二 1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子 3，某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元
三年级 第八讲 还原问题 知识点总结 1. 什么还原问题： 已知一个数（未知），经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种问题就是还原问题． 2. 解题方法（画图法） （1）一个量变化：火车图（口诀：+变- -变+ 乘变除 除变乘加减互逆，乘除互逆） （2）多个量变化：示意图， 标上箭头（有序号标示顺序）；逆推的画虚线 方法解读： 【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数 是多少？ 【类型】一个量变化：火车图 读题过程就能画出以下图来： +3 ×3 ÷2 -2 先别着急去写，从最后一步看，几-2=10，知道12，怎么来的？10+2=12，所以“—变+” 这个时候先变符号： +3 ×3 ÷2 -2 -3 ÷3 ×2 +2 逆着顺序就能很快知道原数是几了！（这里回来箭头需要和原来箭头区分开，所以画虚线箭头比较合适，因为电脑编辑我不会，所以这里书写时尽量用虚线箭头） 【例 2】 李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少2个，第二位客人又买走了剩 下的一半多2个，第三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子 里原来有 个鸡蛋． 【类型】一个量变化：火车图 第一位客人买走了一半少2个：分成2步去理解 先买走一半（÷2），少2（因为不足一半，所以+2，方框都表示剩下的） ÷2 +2 ÷2 -2 【例 3】 小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小 红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多 少个玻璃球？ 【类型】多个量变化：示意图 6 8 5 10 10 5 小巧 30 小亚30 小红30 1 2 3
四年级奥数练习（还原问题） 一、填空题。 1、（□×4—46）÷3—10＝4 □=( ) 2、将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,再3倍后减5，得70，某数是（） 3、小明把某数减去5，再增加6，乘以3，结果是27，这个数是（） 4、小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年（）岁. 5、小红对小明说：“你的年龄是11岁，你的年龄是我的2倍少9岁”小红的年龄是（）岁。 二、解答题。 1、一捆电线，第一次用了一半，第二次又用了剩下的一半，还有6米，这捆电线长多少米？ 2、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩50台，这个商场原来有洗衣机多少台？ 3、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少5吨，还剩下26吨，问粮库原有大米多少吨？ 4、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡60张，如果甲给乙8张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问甲乙丙三人原来各有贺年卡多少张？ 5、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽15张，小丽给小敏12张，小敏给小红8张，那么她们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？ 6、甲乙两桶油共96千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好重量相等，问两桶油原来各有多少千克？ 7、一筐桔子，取一半给甲，甲还回一个，又取剩下的一半给乙，乙又还回一个，再取剩下的一半给丙，丙也还回一个，这时筐里还剩50个桔子，原来筐里有多少个桔子？ 8、王伯伯养了几头小猪。第一天卖了全部的一半又半头，第二天卖了余下的一半又半头，第三天又卖了再余下的一半又半头，恰好卖完。王伯伯养了几头小猪？ 附加题：一个车间计划用三天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的 4 1 多30个,第二天加工了剩下的 3 1 多20个,第三天加工 了剩下的 2 1 多20个,还有80个没有加工，这批零件总数有多少个?
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运 用倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想． 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常 是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原 问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题 意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变 减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 模块一、单个变量的还原问题 【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半， 第二口又喝了剩下的13 ，第三口则喝了剩下的14，第四口再喝剩下的15，第五口喝了剩下的16．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？ 例题精讲 知识点拨 教学目标 6-1-2.还原问题（二）
【例2】李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（）斗酒。 【例3】有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个 小组． 模块二、多个变量的还原问题 【例4】甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的 书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。 【例5】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只? 【巩固】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【例6】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又
还原问题 还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时就乘。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。 如小莉要把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔。妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小莉把它重新包装起来。小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。 小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。在数学中，还原问题也很多。 【例1】★小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？ 【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。 【例2】★小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。【小试牛刀】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。 【例3】★两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴
奥数专题之还原问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
奥数专题之还原问题4 1、某数如果先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问原数是多少？ 2、一个人沿着大堤走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问大堤全长多少千米？ 3、甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问这批零件有多少个？ 4、某水果店进一批水果，运进的水果是原来的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果有800千克。求原有的蔬菜有多少千克？ 5、小丽用4元钱买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用了剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问小丽原来有多少钱？ 6、某村在修一段路，第一次修全长的一半，第二次修200米，第三次修剩下的一半，还剩170米没修好，问这条路全长多少米？ 7、一桶水，第一次倒出一半，然后倒回桶中40千克，第二次倒出桶中剩下水的一半，第三次倒出180千克。桶中还剩下60千克，原来桶中有水多少千克？
8、一批图书，甲借了一半加1本，乙借了余下的一半加2本，丙又借了余下的一半加3本，这时还剩下2本图书。这批图书原有多少本？ 9、一条小虫由幼虫长到成虫，每天长大1倍（即第二天是第一天的2倍，第三天是第二天的2倍，……）。30天能长到20厘米，那么长到2.5厘米时用了多少天？ 10、有一堆砖有26块,兄弟两人争着去挑,弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了,哥哥见弟弟挑的太多就抢过一半,弟弟不服,又从哥哥那儿抢走一半,哥哥不肯,弟弟只好再给哥哥5块,这是哥哥比弟弟多挑2块.问最初弟弟准备挑几块
6-1-2.还原问题（二） 教学目标 本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题． 1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2.了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3.培养学生“倒推”的思想． 知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变 减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 例题精讲 模块一、单个变量的还原问题 【例1】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的13，第三口则喝了剩下的14，第四口再喝剩下的15，第五口喝了剩下的16 ．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答 【关键词】可逆思想方法【解析】最开始瓶子里有矿泉水：111110.511111323456????????????÷-?-?-?-?-=?? ? ? ? ? ?? ???????????（升）．
第三十一周还原问题 例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁 1，在□里填上适当的数。 20×□÷8＋16=26 2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少 3，小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁 例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台 1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子 3，某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元 例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本 1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张 2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张 3，甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗 例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克 1，王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张 2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个