若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。 证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。 由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。 于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。 因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。 答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但
()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。 解法1：因()()3=?x f ，()()2=?x g ，故商()x q 满足
()()1=?x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得
()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，
l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
解法2：用带余除法
()()()()
m
l x l
m x lm m
m l x m l m x m l
x x m l
x m x x x lx x m x x -+-++-+-+-+-++-+++++++242425122223232
于是()()()()l m x lm m m l x x g x f -++-++-+=242，因
()()x f x g |，则02,042=-+=-+l m lm m ，从而 2,4==m l 。
定义：如果()()()x f x f x f m ,,,21 中任意两个都是互素的，即
()()()m j i j i x f x f j
i
,,2,1,,,1, =≠=，则称()()()x f x f x f m
,,,2
1
两两互素。
两两互素的多项式一定是互素的，但互素的多项式不一定两两互素。 例：
()()()1,1,12321-=+=-=x x g x x g x x g 互素，即
()()()()1,,321=x g x g x g ，但
()()()()()()()()1,,1,232131+==-==x x g x g x g x x g x g x g ，故
()()()x g x g x g 321,,，不是两两互素的。
求()x f 重因式的方法： 1. 求()x f '；
2. 求()()()()x d x f x f =',。 当()1=x d ，则无重因式。
当()1≠x d ，则有重因式，且()x d 即为一些重因式的乘积，据此，也可
考察()x f 有无重根。
例 求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根（习题17）
解： 设0x 为()0=x f 的一个k 重根，2≥k ，则()()x f x x k |0-，()()x f x x k '--|10，
而
()t x x x f +-='632。由带余除法有 ()()()()()121311311312323131+??
?
??-+'-=?
?
?
??-+??? ??-+'??? ??-=x t x f x t x t x f x x f
且()()()()()???
?
?
?
+??
?
??-'='1213
1
,,x t x f x f x f
当3=t 时，()()()()()113
1,2≠-='='x x f x f x f ，且()()31-=x x f 。 当3≠t 时，则
()()()()???
???
?-≠-=+=?
?
? ?
?++-=++-=' t t x x t x x x t x x x f x f ,415,1,415,21
21,3
212,63,2
2当当
且()()4212
-???
?
?+=x x x f 。
故当4
15
,3-=t 时，()x f 有重根。
有理系数多项式
应用§5节因式分解及唯一性定理到有理数域Q ，
有结论9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约
得有理系数多项式的乘积。 我们已知：
实系数多项式：仅一次因式及二次不可约因式是不可约的，当次数3≥时，肯定可约。
复系数多项式：仅一次多项式不可约，即次数2≥的多项式可约。 有理系数多项式：不可约性不易判定。
把一个多项式具体表为初等对称多项式的步骤：
步1：提出()n x x f ,,1 的首项0,2
1
21≠a x x ax n
l n l l ；
步2：作对称多项式n
n
n l n l l n l l l l a σσσσ?-----=1
3
2
2
1
1211 ；
步3：求()()()n n n x x f x x f σσ?,,,,,,11111 -=；
步4：提出()n x x f ,,11 的首项0,2
1
21≠b x x bx n
k n k k ；
步5：作对称多项式n
n
n k n k k n k k k k b σσσσ?-----=1
3
2
2
1
1212 ；
步6：求()2112,,?-=f x x f n ；
如此反复进行，直到()1,0,,1≥=m x x f n m 。 于是，我们可得
∑==+++==++=+=m
i i
m m f f f f 1112211??????
综合除法：适用于一次因式除()x f
1.综合除法的数学基础：本质上就是带余除法 设()∑==n
i i i x a x f 0，现用k x -来除()x f ，则
()()()()x r k x x g x f +-=，
而()()()1=-?
01n j j j x c x g ，则有
()0
11
10
1
110
1
11
1
01
10
c k c x c x k c c c x k c x c c x k c x
c
x a n n j n
j j j j n j j j
n j j j n j j j n j j i n j i +-+-=+-=+-=∑∑∑∑∑∑=+-=+=-=++-=+-=
于是k c c a k c c a c a j j j n n 1100,,+-=-==， 即n n j j j a c n k k c a c =-=+=+,1,,1,0,1 。 对比从何除法的过程
12101
21
0121c c c c c b b b b a a a a a n n n
n n n n n ------
.
1,,1,0,,1,,1,0,,11-=+=+=-===++n j kc a b a c n j kc b a c j j j j j j j n n
两者一致。
于是()()()()x r k x x g x f +-=
()()∑-=+==1
001,n n j j c x r x c x g 。
例： 用综合除法
1.求3-x 除()x f 的商()x q 与余式()x r 。
2.将()x f 表成3-x 的？？幂和 这里()5224-+=x x x f 。
解：1.应用综合除法有（也可用带余除法）
3
94
33113199339350
2
01- 于是()()94,3311323=+++=x r x x x x q ，使
()()()()x r x x q x f +-=3
2要将()x f 表成()()()()43223143333a x a x a x a x +-+-+-+-。 应用综合除法
32
1356912731202961871839433113199339350201-
于是得94,120,56,124321====a a a a ，即
()()()()()()()()()[
]
()()
33
113394123563123394
11203563123232
3
2
3
4
+++-=++-+-+--=+-+-+-+-=x x x x x x x x x x x x x f
多项式求根的一些问题：
1）设()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是一个整系数多项式，s
r
为它的一有理根，其中s r ,互素，则有0|,|a r a s n ，且若1=n a ，则有理根为整根，且为0a 的因子。因此，求有理根只需给出0,a a n 的所有因式，，并写出
所有可能的既约分数s
r
（s 为n a 的因子，r 为0a 的因子），然后验证
0=??? ??s r f ？或()x f s r x ??? ?
?
-？（用综合除法）
。 2）当有理系数多项式()x f 在有理数域上不可约，且()()1≥?x f 时，()x f 无有理根。这里()()1>?x f 是必须的，如()23+=x x f 有有理根3
2
-，但
()()1=?x f 且()x f 不可约。
3）“有理系数多项式()x f 无有理根，则()x f 在有理数域上不可约。”这一命题当()()32≤?≤x f 时是成立的，但当()()4≥?x f 时，命题不再成立，如()()2
21+=x x f 无有理根，但它在有理数域上可约。
4）当()()x f x f ',不互素时，()x f 有重根，此时可通过计算
()()()()
x f x f x f ',得
到()x f 的所有不可约因式，再利用综合除法确定根的重数，也可直接将()()()x f x f ',因式分解，从而得知()x f 的重根重数。
()∑==n
i i i x a x f 0
对()n x f =?，展开成0x x -的幂：
()()()()()()()()()()().
10120121021001,,,-----+-=+-=+-=+-=n n n n n n c x x c x q c x x x q x q c x x x q x q c x x x q x f 有()()()()0111010c x x c x x c x x c x f n n n n +-++-+-=-- ，
且n n a c =，利用此式来判断0x 是否为()0=x f 的根，如果是，可判断它为n 重根。
例： 求()820617862234567+-++--+=x x x x x x x x f 的根 解法1： 因()201251323012723456-++--+='x x x x x x x f ， 用辗转相除法得
()()()485,2345-+--+='x x x x x x f x f 。
于是
()()()
()()212,2+-=-+='=
x x x x f f x f x q 。 因()x f 与()x q 有相同的不可约因式1-x 与2+x ， 故()x f 根（均为有理根）1+与2-。再用综合除法
19
1127818
1
21197119
71081261812610846518
4
6
5
1
084
101418
41014108126
113318126113318206178621
-----------------
所以
()()()()()
()()()()[
]
()()
8
1261211271911121127191234
2
3
44
5
6
7
+++-=+-+-+--=-+-+-+-=x x x x x x x x x x x x x f
再对()812623+++=x x x x g 用综合除法有()()32+=x x g
所以
()()()3
421+-=x x x f ，即1+为()x f 的4重根，2-为3重根。
解法2：因()x f 为首项系数为1的整系数多项式，故 起有理根为整根，且为80=a 的因子：
8,4,2,1±±±±。
对1=x 应用综合除法有
()()()
81261234
+++-=x x x x x f ，
可见1=x 为()x f 的4重根，而对()812623+++=x x x x g 有
1
1
751751812
6
1
---- ()()
()11752++++=x x x x g ，()011≠=-g ，1-不为根。
2
64
28815616281261
()()
()6422882+-++=x x x x g ，()0642≠=g ，2不为根。
2
012021
420
4
41882812
6
1-------
()()3
2+=x x g ，2-为()x f 的3重根，于是2,1-分别为()x f 的4，3重根。
而其它：8,4,2,1±±-不为根
第一章 习题课讲义
1（书8题）证明：如果()()()()x g x d x f x d |,|，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式。
证明：因()x d 为()()x g x f ,的一个组合，故存在()()x v x u ,，使()()()()()x g x v x f x u x d +=。
因()()()()x g x d x f x d |,|，故()x d 为()()x g x f ,的一个公因式。设()()()()x g x d x f x d |,|11，从而()()x d x d |1，因此()x d 为()()x g x f ,的一个最大公因式。
2（书9题）证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，其中()x h 的首项系数为1。
证明：设()()()()x g x f x d ,=，则()()()()x g x d x f x d |,|且存在()()x v x u ,使
()()()()()x g x v x f x u x d +=，于是 ()()()()()()()()x h x g x v x h x f x u x d x h +=
又显然()()()()()()()()x h x g x h x d x h x f x d x h |,|，故由上题（书8题）知
()()()()()()x h x d x h x g x f =,是()()()()x h x g x h x f ,的一个最大公因式，即
()()()()()()()()()x h x g x h x f x h x g x f ,,=。
3（书11，10题）如果g f ,不全为0，则 1）()()()()()()()()1,,,=????
??
x g x f x g x g x f x f 于是由P13 Th2及书8题有
多项式()x d 是多项式()x f 与()x g 得一个最大公因式
()()()()x g x d x f x d |,|?，()x d 为()()x g x f ,的一个组合。
11.（书19题）求多项式q px x ++3有重根的条件 解： 因()p x x f +='23，且
()()q px x f x x f ++'=
3231，()??
?
??+'='q px f f f 32,,。 （1）当0==q p 时，()()()()()()223
33
1
0,,x x x f x f x f x f =='='='，即 ()3x x f =有3重根0。
（2）当0,0≠=q p 时，()()()()()1,33,,223==+='q x x q x x f x f ，无重根。 （3）当0≠p 时，
()223242744272132p q p p q x p
q
px x f ++???? ??-??? ??+='， ()()()()???
?
??++=?
?
? ??+'='32
34274,3232,,p q p q px q px x f x f x f 要，则042742
2
3=+p
q p ，即027423=+q p 时()x f 存在重根（此时()x f 存在重因式q px +3
2
）。
（1）（3）均可归结为条件027423=+q p 。这是()x f 存在重根的充要条
件。
2）当()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,时，()()()1,=x v x u 。 证明：因()()x g x f ,不全为0， 故()()()0,≠x g x f 。又
()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,，于是
()
()()()()()()()()()
1,,=+x g x f x g x v x g x f x f x u ， 从而由定理3（P13）知
()()()()()()()()1,,,=???
? ??x g x f x g x g x f x f ，()()()1,=x v x u 。
4.设()()x g x f ,是不全为0的多项式。证明： （1）()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,±=， （2）()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f -+=,,。
证：（1）由P13引理知：如果()()()()x r x g x q x f +=则
()()()()()()x r x g x g x f ,,=。
而()()()()()()x g x f x g x f ±+= ，故
()()()()()()()()()()()x g x g x f x g x f x g x g x f ,,,±=±=。
（2）由（1）
()()()()()()()()()()()
()()()()().
,2,,,x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f -+=-+=+=
5.（书20题）证明：!
!212n x x x n
++++ 不能有重根。
证明：令()!
!212n x x x x f n
++++= ，要证()x f 无重根，只须证明
()()()1,='x f x f ，而
())!
1(11
-+
++='-n x x x f n ，且 ()()!
n x x f x f n
='-,于是 ()()()()()()()1,,=''-='x f x f x f x f x f ，事实上，()()()x f x f x '-|，()x f x '/|。
6. （书12题）证明：若()()()()()()1,,1,==x h x f x g x f ，则()()()()1,=x h x g x f 。 证：令()()()()()x h x g x f x d ,=，则()()()()()x h x g x d x f x d |,|。又由()()()1,=x g x f 有
()()()()111=+x v x g x u x f ，于是 ()()()()()()()x h x v x h x g x u x h x f =+11，从而
()()x h x d |，又()()x f x d |，因此()x d 为()()x h x f ,的一公因式，且()()()()x h x f x d ,|，即()1|x d ，即()1=x d 。
7. （书14题）证明： 如果()()()1,=x g x f ，则()()()()()1,=+x g x f x g x f 。 证明： 因()()()()()()()1,,==+x g x f x g x g x f ，
()()()()()()()1,,==+x g x f x f x g x f ，
故由上题（书12题）有
()()()()()1,=+x g x f x g x f 。
8. 已知()()()()()()x f x g x f x g x f x g |,|,|321。
（1）证明：如果()()()x g x g x g 321,,两两互素，则
()()()()x f x g x g x g |321，
（2）举例说明：如果()()()x g x g x g 321,,互素，但不是两两互素，那么不一定有()()()()x f x g x g x g |321。
证明：（1）因()()x g x g 21,互素，且()()()()x f x g x f x g |,|21，故由P17推论有()()()x f x g x g |21。又()x g 1与()x g 2均与()x g 3互素，即
()()()()()()1,,1,3231==x g x g x g x g ，于是由书12题知()()()()1,321=x g x g x g ，而
()()x f x g |3，故()()()()x f x g x g x g |321。
（2）令()()()()1,1,1,122321-=-=+=-=x x f x x g x x g x x g ；显然
()()()x g x g x g 321,,互素，但不两两互素，且()()3,2,1,|=i x f x g i ，但()()()()x f x g x g x g |321/，而当()()
2
21-=x x f ，()()3,2,1=i x g i 同上时，
()()()()x f x g x g x g |321。
9. 设()x p 是[]x P 中一个次数1≥的多项式。如果对()[]x P x f ∈?，都有
()()x f x p |或()()()1,=x f x p ，则()x p 是数域P 上的不可约多项式。
证明：用反证法。如果()x p 在P 上可约，则()x p 可表成两个次数较低的多项式的乘积：()()()x f x f x p 21=，且可设()x f 1的首项系数为1，于是()()x f x p 1|/，且()()()()1,11≠=x f x f x p ，与题设矛盾。
结论：设()[]()()1,≥?∈x p x P x p ，()[]x P x p ∈不可约得充分必要条件是对
()[]()()x f x p x P x f |,∈?或()()()1,=x f x p 。
10. 设()x p 是[]x P 中一个次数1≥的多项式。如果对于()()[]x P x g x f ∈?,，从()()()x g x f x p |可推出()()x f x p |，或()()x g x p |，则()x p 是[]x P 中的一个不可约多项式。
证明：类似上题，用反证法。若()[]x P x p ∈可约，则()x p 可分解为
()()()()()()()()()x p x f x f x f x f x p ?
结论：设()[]()()1,≥?∈x p x P x p 。则()[]x P x p ∈不可约得充分必要条件是对
()()[]x P x g x f ∈?,当()()()x g x f x p |时有()()x f x p |或()()x g x p |。
此结论是10题与书P19定理5的综合。
11.（书18题）求多项式q px x ++3有重根的条件。 解：设0x 为()q px x x f ++=3的k 重根，2≥k 。 则0x 是()p x x f +='23的1-k 重根。
于是320p
x -=，又()003
00=++=q px x x f ，故q px =03
2。
当0=p 时，0=q ，()3x x f =有3重根0. 当0≠p 时，p
q
x 230=，并代入320p x -=有027423=+q p 。而此条件包括情
形0=p 。
故当027423=+q p 时()q px x x f ++=3有重根
12. （书21题）如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是
()()()()()()a f x f a f x f a
x x g +-'+'-=
2
的一个3+k 重根。 证明：可设a 为()x g 的l 重根（1≥l ），事实上
()()()0=-=a f a f a g 而 ()()()()()()()()(),
2
12122
21
a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g '+'-''-='-''-+'+'=
'
且()0='a g 。
()()()()()x f a
x x f x f a x x f a g '''-=''-'''-+''=
''2
2122， 因a 为()x f '''的一k 重根，故a 为()x g ''的1+k 重根。 又a 为()x g 的l 重根，从而能为()x g ''的1-l 重根，
()x g ''的2-l 重根，于是12+=-k l ，即3+=k l 。故
a 为()x g 的3+k 重根。
单位根：
多项式1-n x 的n 个根为110,,,-n ααα 均称为n 次单位根 由复数开方可知
1,1,,1,0,2sin 2cos 2-=-=+=i n k n
k i n k k π
πα，或1,,1,0,2-==n k e
n
k i k π
α。
（1）)(j i j i ≠≠αα，即110,,,-n ααα 互不相等。
（令()1-=n x x f ，则()()()1,='x f x f ，即1-n x 无重根）
（2）n 次单位根的几何意义：110,,,-n ααα 刚好是单位圆上的一个内接正n 边形的顶点，即110,,,-n ααα 把单位圆n 等分。 （3）n 次单位根中是跟的数目： 当n 为奇数时，仅一个实根10=α；
当n 为偶数时，仅二个实根10=α， 12
-=n α。
（4）当单位根1≠k α时，1,0112==+++++-n k n k k k αααα 。 （5）令12sin 2cos
αππε=+=n
i n ，则k k εα=，即 12,,,,1-n εεε 为1-n x 的n 次单位根，且k k n k n k αααα==--,。 （6）1-n x 在复数域上的分解式为()()()11----n x x x εε 。 （7）1-n x 在实数域上的分解式为
()()()????
????????? ??+???
??--+???? ??+??? ??--=-∏∏-=-=.,12cos 211,,12cos 21112122
1
12为偶数为奇数n x n k x x x n x n k x x x n
k n k n ππ 事实上
()()()()
()()12cos
21Re 222+??
? ?
?
-=+-=--=---x n k x x x x x x x k k k k n k πααααα
注：n
i
e πε2=又称1-n x 的一个单位原根。
第24题：证明：如果()()n x f x |1-，那么()()n n x f x |1-。 证法1：利用变量代换
因()()n x f x |1-，则()n f 1=0，即()01=f 。 令y x n =，则由()01=f 有()()y f y |1-， 从而()()n n x f x |1-。
证法2：只需证明1-n x 的单位根均是()n x f 的根即可。 因()()n x f x |1-，故()()011==f f n 。
设α为1-n x 的任意n 次单位根，即1=n α，则()()01==f f n α，即任意n 次单位根α均是()n x f 的根，即()n x f x |α-。 设110,,,-n ααα 为1-n x 的n 个n 次单位根，则
)1,,1,0,,(-=≠≠n j i j i j i αα，且()()()1101----=-n n x x x x ααα ，因
()()1,,1,0,|-=-n i x f x n i α。
故()()n n x f x 1-。
13. （书25题）证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，则
()()()()x f x x f x 21|1,|1--。
证： 设ω是12++x x 的一个根，则2ω是12++x x 的另一个根，即有
2
3,1ωωω≠=。事实上，由012=++ωω有
()
()
011211242242
2
=++=+++++=++ωωωωωωωωω，故2ω也是 1
2++x x 的一个根 ，又由012=++ωω有023=++ωωω，于是。再
()
1112242342
2
=+++=++=-ωωωωωωω，故2ωω≠。 由假设，()()()
32312
|1x xf x f x x
+++，得
()()
()()
0,0622613231=+=+ωωωωωωf f f f ，即 ()()()()021,01122121=+=+f f f f ωω，从而
()()01121==f f ，即()()()()x f x x f x 21|1,|1--。
14. （补充题11）设()x f 是一个n 次多项式，如果()()x f x f |'，则()x f 有n 重根。
证：因()()x f x f |'，故()()()()x f x f x f '=',且()()()()()
x f x f x f x g '=
,是一个一次多项式，但()x g 的根包括了()x f 的全部不通的根，所以()x f 得n 个根都相等，即()x f 有n 重根。
15. （补充题14）设()x f 是一个整系数多项式。证明：如果()0f 与()1f 是奇数，则()x f 不可能有整数根。
证：用反证法。如果()x f 有一个整数根a ，则()x f a x |-，且
()()()x g a x x f -=，其中()x g 为一整系数多项式。于是
()()()()()00,111ag f g a f -=-=，
因此()()0|,1|1f a f a -，但()()0,1f f 均为奇数，而a a ,1-中有一个为偶数，这是不可能的。
16. 书23题
α为()x f '的m 重根 ?？ α为()x f 的1+m 重根
例： ()x x x x f +-=233
1，()()()11122--=+-='x x x x x f ，
1=x 为()x f '的
2重根，但它不是()x f 的根。
问在什么条件下，此判断成立？
α为()x f '的m 重根，且α为()x f 的根 ?？ α为()x f 的1+m 重根
事实上，因α为()x f 的根，不妨设α为()x f 的)1(≥l l 重根，则α为
()x f '的1-l 重根，从而由已知有m l =-1，即1+=m l 。
17. 书28题
下列多项式在Q 上是否可约？ 4）1++px x p ，p 为奇素数。 5）144++kx x ，k 为整数。
解：4）令1-=y x 代入()1++=px x x f p ，有
()()()()(
)
p
y p C
y C
y
C y y p y y f x f p p
p p
p p
p
p
-++++-=+-+-=-=---12
21
11
111
因1,,2,1,|-=p i C p i p ，故由艾森斯坦因判别法知
()()1-=y f y g 在Q 上不可约，从而()x f 在Q 上不可约。
5）令1+=y x 代入()x f 有
()()()()2444641234++++++=+=k y k y y y y f x f 取2=p ，因()44|2,6|2,4|2,1|2+/k ，但()24|22+/k ，故知
()1+y f 在Q 上不可约，从而()x f 在Q 上不可约。
18. 证明： 1|1--m d x x ，当且仅当m d |。
证明：对于任两个多项式()()[]x P x g x f ∈,，有()()()()x g x f x g x f -+= 由引理知()()()()()()()x g x f x g x g x f -=,,，当()()1,1-=-=d m x x g x x f 。又因
m d ≤，故d r r kd m <+=,。
于是
()()()()
()()()()()()()
1,11,11,11,1,11,11
,1,11,122--=--==--=--=--=--=--=--=--------r
d
kd
m d
d m d d
m d d d
d
m d
d
m d d m d d d m d m d
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
充分性：若m d |，则0=r ，于是()11,1-=--d m d x x x ，从而1|1--m
d x
x 。
必要性：若1|1--m d x x ，则()11,1-=--d m d x x x ，从而1|1--r d x x ，因d r <，故0=r ，即m d |。
19. 证明：设B A ,分别为n k k m ??,矩阵，则 ()()()b r AB r k A r =?=，()()()A r AB r k B r =?=。
证： 仅证()()()A r AB r k B r =?=。因存在m m ?与k k ?可逆阵。
Q P ,使???? ?
?=00
01
r E PAQ ，()A r r =1，于是10001-???? ?
?=Q E PA r ，B Q E PAB r 1
0001
-???
? ?
?=，记?
???? ??==-k C C B Q C 11
，于是???
????
??
?
??=0011 r C C PAB ，而秩()()PAB r AB r =，()()k B r C r ==。
由P157题7有秩()11r k r k AB r =-+≥，又()()1r A r AB r =≤，
()()A r AB r =∴。
第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .
本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
大学高数试卷及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是： ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限（每小题 6分, 共18分）
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
浙江农林大学2016 - 2017 学年第 一学期期中考试 课程名称： 高等数学I 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事 项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间120分钟。 题 答 :号学 要 不 :名姓 内 线 ? ?级班 业 专 :院学 题号 -一一 二二二 -三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3分, 共21分) 1 ?下列各式正确的是: 得分 A. sin x lim 1 B. x x C. lim 1 - x e D. x x 2.当 x 0时，与 f ■- x 等价的无穷小量 是: A. \/1 V x 1 B. In --------------------- x C. 1 J x 3.设 f (x)在 x a 的某邻域有定义, A.J imhfQ ) f(a)存在 叫 H h sin x lim x 0 lim 1 D. cos 、二 则它在该点处可导的一个充分条件是: B. m o H h 叫 H h 在
x 2 3x 10 2 3. 设函数f (x)= x 2 x 在点x=2处连续，则a a x 2 4. 函数f(x)—的间断点为 ___________________ . ________ sin x 5. 函数y 2x 2 lnx 的单调减区间为 _________________ . _________ 6. 设函数 y ln tan x ，贝卩 dy _____________ . _________ x a cost 7. 椭圆曲线 _________________________________ 在t —相应的点处的切线方程为 .______________________________________ y bsi nt 4 A. 0 B ? 没有 C. 2 D. 2 9 5.函数y 1 x 2 在区间［ 1,1］上应用罗尔定理 时， 所得到的中值 () A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 6.设函数 ax e f(X ) “ 2 b(1 x x 0 处处可导，那么 )x 0 : ( ) 4.函数y 3x 3 x 在区间［0,1］上的最小值是: () A. a b 1 B . a 2,b 1 C. a 0,b 1 D. a 1,b 0 7.设x a 为函数y f (x)的极值点，则下列论述正确的是 A . f '(a) 0 B f(a) 0 C f"(a) 0 D .以上都不对 、填空题(每小题3分，共21 分) 得分 1.极限lim x x 2 cos x 1 = (x sin x)2 2.极限lim n 2 2 2
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .