高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式

1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4

(1)X -整除,而()1f x -能

被4

(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）

（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表

示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，

g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：

（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证

明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项

式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。

8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2

+x -2，

将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成

f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1

+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x)

其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ）

（2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

10、（上海交大2005—15分）假设()f x =

2

32331

112221213141

x

x x x x x ------

（1）证明：存在实数c(0

11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P 上的多项式，证明：在数域P 中，若

f 3(x)∣

g 3

(x),则f(x)∣g(x)。

12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x 2+1除余x+1，被x 3+x 2

+1除余

x 2

-1。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F 上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而

h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。 14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：

（1）x -3整除f(x)；

（2）x+3除f(x)的余数是4；

（3）x+2除f(x)的余数等于x -2除f(x)的余数。

15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x -1)2

整除，而f(x)-1

能被(x +1)2

整除.

16、（南航2003—20分）设A ∈C n×n

, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A 的最小

多项式。证明：

(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。 17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（x -a ），（x -b ）除f(x)的余数分别为r 1和r 2 ，求用（x -a ）（x -b ）

除f(x)的余式。(10分)

(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分)) （3）设f(x)= f 1(x) f 2(x)，次（f 1(x)）>0，次（f 2(x)）>0，且(f 1(x) f 2(x))=1。 证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f 2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得

u(x) f 1(x)+v(x) f 2(x)= g(x)

成立，且满足次(u(x))<次(f 2(x))，次(v(x))<次(f 1(x))。(15分) 18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x -1)f(x +1) -（x +2)f(x)≡0。

19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x 5+3x 4+x 3+x 2+3x+1 g(x)=x 4+2x 3

+x+2

求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))

20、（南航2002—20分）设f(x)=x 4-4x 3

+5x 2

-2x -2 ，g(x)=x 3-x 2+2x -2 (1)已知1- i 是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分)

（2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x)) 。(14分)

21、（上海交大2002—12分）设f 1(x)=a f(x)+b g(x)，g 1(x)=c f(x)+d g(x)且

a b c d

≠0。

证明(f(x)，g(x))= (f 1(x)，g 1(x))。 22、（北理工2003—15分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有 f(x 5) +xg(x 5)+x 2h(x 5)=(x 4+x 3 x 2+x+1)k(x)

证明：x -1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。 23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组

合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。 24、（北邮2004—18分）设多项式f(x) ≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，

则(f(x)，g(x) h(x))= (f(x)，h(x))，问反之是否成立？ 25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)，证明：存在六个多项

式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，h 1(x)，h 2(x)，h 3(x)使

123123123f (x)f (x)f (x)

g (x)g (x)g (x)h (x)h (x)h (x)

=（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)） 这里（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)）表示f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。 26、（北邮2005—18分）试问k 为何值时，整系数多项式f(x)=x 2+(k+6)x+4k+2和g(x)=

x 2+(k+2)x+2k 的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。 27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x) h(x))=1。 28、（西安交大2004—12分）证明：数域P 上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充

要条件是存在P 上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。

29、（北京化工大2002—20分）设A 是n 级矩阵，()A m x 是A 的最小多项式，()f x 是多项式且其次数?(()f x )≥1。

证明：（1）若()f x ︱()A m x ，则()f A 是退化矩阵，即︱()f A ︱=0；

（2）若()d x =（()f x ，()A m x ），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：(()r f A = (())r d A ；

（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（()f x ，()A m x ）=1。

30、（北大2002—12分）对于任意非负整数n ，令221

()(1)n n n f x x x ++=-+，

证明2

(1,())1n x x f x ++=

31、（北理工2005—15分）设A 为数域F 上的n 阶矩阵，f(x )，g(x)∈F[x]，证明：如果d(x )

是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)X =0的解空间等于f(A)X =0的解空间与g(A )X =0的解空间的交集。 32、（北交大2005—15分）设A 为n 阶方阵，g(x)是A 的最小多项式，f(x)是次数大于零的

任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。 33、（东南2005—10分）设F 一数域，多项式f(x)，g(x) ∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x]

且f(x)︱h (x)，g(x)︱h (x)时，必有f(x)g (x)︱h (x) 。证明：（f(x)，g (x)）=1 34、（重大2005—10分）设A 为方阵，g (λ)

证明：f (A)可逆?(f (λ)，g (λ))=1 35、（南开2000—15分）设f(x)是数域P 上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可以

整除f(x)。证明f(x)=a(x -b)n ，a,b ∈P ，a ≠0。

36、（南开2001—10分）设()f x 是复数域上首项系数为1的n 阶多项式，如

()

((),())

f x f x f x '=(x -b 1) (x -b 2)，b 1≠b 2

且x -b 1是()f x '的k 重因式（这里()f x '是()f x 的一阶微商），问()f x =？为什么？

37、（清华1998—16分）试求多项式f =x 3+px+q 的判别式D(f )(即用f 的系数表出D(f )。

判别式定义为D(f )=(x 1-x 2)2

(x 1-x 3)2

(x 2-x 3)2

；x 1 ，x 2 ，x 3为f 的复根，p,q 为实

数)

38、（北航2001—10分）用线性代数方法证明：若一个n 次多项式P(x )在n+1个互不相等

的数1x ，2x ，… ，1n x +处取值为0，则P(x )≡0

39、（北大2000—10分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q 上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明: (1)在Q[x]中，p(x)整除f(x)；

(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)= g(x) p(x) 40、（北航2000—10分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0

没有整数根。 41、（浙大2003—10分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a 及一个奇数b ，

使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。 42、（北交大2003—15分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x )︱f(x n )，n 是大于1

的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。 43、（大连理工2004—24分）设R,Q 分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)∈Q[x].

(1)证明：如果在R[x]中有g(x)︱f(x)，则在Q[x]中，也有g(x)︱f(x)。 (2)证明：f(x)与g(x)在Q[x]中互素当且仅当f(x)，g(x)在R[x]中互素。 (3)证明：设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。 44、（重大2005—15分）设f(x)=x 3+6x 2+3px+8，试确定P 的值使f(x)有重根并求其根。 45、（清华2001—20分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦

（Eisenstein ）判别法”。

（2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。

46、（北航2004—20分）设f(x )= 1

10n n n n a x a x a --+++L 是一个整系数多项式，如果存在

一个素数P ，使得 （1）p 不能整除n a

(2)p ︱1n a -，2n a -，… ，0a （3）p 2不能整除0a

则此多项式在有理数域上是不约的。

47、（北京化工大2004—10分）设12,,n a a a L 是两两互异的整数。 证明：2

1

()1()

n

i f x x a ==+-∏在Q[x ]中不可约，这里Q 表示有理数域。

48、（东南2004—15分）设12,,n a a a L 互不相同的整数，

12()()()()1n g x x a x a x a =----L ，（1）求证()g x 在有理数域Q 上不可约。

（2）对于整数t ≠-1，问12()()()()n h x x a x a x a t =---+L 在有理数域Q 上是否可

约，为什么？

49、（浙大2004—10分）设整系数多项式()f x 的次数是2n m =或21n m =+（其中为正整

数）。证明：如果有(1)k ≥个不同的整数1,,k L αα使()i f α取值1-或1则()f x 在有理数域上不可约。（提示：用反证法）

50、（北师大2005—10分）试用n 元初等对称多项式11(),1,2,,k k i i i i x x x k n σ<<=∑=L L L 表

达下列多项式： （1）2n =，2

12()x x -

（2）2

12x x ∑，此处∑表示对脚标进行所有可能的n 元置换后对不同的项求和 （3）41x ∑

51、（西安交大2005—12分）求由下述行列式所表示的一元多项式()f x 的最高次幂项：

123412311122

31

22

1

()n n n n n x f x x x x

x

x

ααααααααααααααααααα---=

L

L L

M

M O O O

M

L L

其中，12,,n a a a L 为数域P 中的数。

52、（西安电子科大2005—12分）设021(),(),,()n f x f x f x -L 是1n -（2n ≥）个多项式，

证明：如果多项式2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++L 能被231

1n x x x -++++L 整除，

则每个()(1,2,,1)i f x i n =-L 的所有系数之和为零。

53、（华南师大2004—15分）设c 是复数，并且是有理数Q 上的一个非零多项式的根，令J={()()()0}f x Q x f c ∈=。证明J 中存在唯一的首项系数为1的多项式()p x ，使得对于任意()f x ∈J ，()()(),()()f x p x q x q x Q x =∈

54、（华南师大2003—15分）设(),()f x g x 是数域F 上的多项式，m 是一正整数。

证明：()()()()m m f x g x f x g x ?

55、（华南师大2004—15分）设()f x 是数域F 上的多项式，1212()()()()k

k

ks s f x cp x p x p x =L

是其标准分解式（0,0,()i i c k p x ≠>是首项系数为1不可约多项式），()f x '是()f x 的导数。证明：（1）

12()

()()()((),())

s f x cp x p x p x f x f x ='L

（2）()f x 无重因式当且仅当((),())f x f x '=1

56、（华南师大2002—12分）设()f x ，()g x 是数域F 上的多项式，

11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，证明：()d x 是(),()f x g x 的最大公因式当且仅当 11((),())1f x g x =

57、（华南师大1999—20分）（1）设a ≠0，证明：()()m m n n x a x a --的充要条件m n ； （2）设(),(),()f x g x h x 是数域F 上的多项式，证明((),()())1f x g x h x =的充要条件是

((),())1f x g x =且((),())1f x h x =

58、（华南师大2005—15分）令f(x)与g(x)是数域F 上的多项式， a,b,c,d∈F 且ad -bc

≠0，证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))/=(f(x),g(x))

59、（华南师大1998—15分）设F 是数域，11

(),,()[],,0n f x f

x F x a F a -∈∈≠L

证明：若10

()()n n

n i

i

i x a f x x -=-∑，则必有()(),0,1,2,1i x a f x i n -=-

60、（华南师大1998—10分）求多项式432

()651f x x x x x =-+--的有理数。

61、（华南师大2000—20分）（1）设(),()f x g x 是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n ，((),())((),())n n n

f x

g x f x g x = （2）设是a 一个实数，证明：多项式1

221()n n n n n f x x ax a x a x a ---=+++++L 最多只

有一个实根（不计重数）

62、（华南师大1997—10分）设32210()f x x a x a x a =+++，i a 为整数，0,1,2i =

如果2010a a a a +为奇数，证明：()f x 无正整根。

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第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.

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高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式： 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

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高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

考研必备 数学公式大全

·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：

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考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p

考研数学公式大全(数三)

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

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高等数学公式篇 导数公式： 基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-='

高等代数多项式试题库(精品文档)

§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故

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高等数学公式篇· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α)

高等代数例题(全部)

高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

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高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

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(sin (tan (cot x ) x ) x ) cos x sec 2 x (ln x ) x (arcsin x ) 1 (sec x ) (csc x ) ( a x ) csc sec x 2 x tan x 1 (arccos x ) x 1 2 1 x 2 a x a x ) csc x ln a 1 x ln a cot x (arctan x ) 1 1 x 2 1 (log ( arc cot x ) 1 x 2 kdx kx C x a dx 1 1 dx x ln x C e x d x a e x 1 x a 1 C, (a 1) C a x dx a x ln a C ( a 0, a 1) sin xdx cosx C cosxdx sin x C 1 tanxdx ln cosx C 1 x 2 dx dx arctanx C sec2 xdx tan x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cos2 x dx sin 2 x csc2 xdx cot x C cscxdx dx ln cscx cot x C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C a 2 x 2 1 arctan a dx x a a a x x C a x dx x 2 a 2 1 ln x 2a x 1 ln a C shxdx a x ln a chx C C dx a2 x 2 dx 2a a C a2 x 2 arcsin x a C chxdx dx x 2 shx C a 2 ln(x 2 x 2 a ) C 导数公式： 基本积分表： 高等数学公式篇 ( C ) 0 (cos x ) ( e x ) e x sin x ( X a ) aX a 1 1

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导数公式： 基本积分表： ( C ) 0 ( X a ) aX a 1 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (cot x ) csc 2 x (sec x ) sec x tan x (csc x ) csc x cot x ( a x ) a x ln a (log a x ) 1 x ln a kdx kx C 1 ln x C dx x a x dx a x C ( a 0, a 1) ln a cosxdx sin x C tan xdx ln cosx C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C 高等数学公式篇 (cos x ) sin x ( e x ) e x (ln x ) 1 x (arcsin x ) 1 1 x 2 (arccos x ) 1 1 x 2 (arctan x ) 1 x 2 1 ( arc cot x ) 1 1 x 2 x a dx 1 x a 1C, (a1) a 1 e x dx e x C sin xdx cosx C 1 1 x 2 dx arctanx C dx x sec2 xdx tan x C cos2 dx x csc2 xdx cot x C sin 2 secx tan xdx secx C dx a2 x 2 dx x 2 a 2 dx a2 x 2 dx a2 x 2 1 arctan x C a a 1 x a 2a ln C x a 1 a x 2a ln C a x arcsin x C a cscx cot xdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln(x x 2a2 ) C x 2 a 2

考研高等数学公式大全

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高等代数作业 第一章 多项式答案

---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++