【例题讲解】
一、利用等腰三角形的性质求角度
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30。，则这个等腰三角
形的顶角为（）
A. 60。或120o
B. 30。或150o
C. 30。或120o
D. 60°
例2、如图，?ABC 中，AB=AC, BC=BD, AD=DE=EB.求ZA 的度数
例3、如图，?ABC中，AB=AC, D在BC上，AB于丄AB于E, DF丄BC交AC于点F, 若ZEDF=70° ,求ZAFD的度数
二.利用等腰三角形的性质证明线段关系
例1、已知：如图,?ABC中,AB=AC, BD和CE是ZkABC的角平分线,求证：BD=CE.
例2、如图：已知AB=AE, BC=ED, ZB=ZE, AF丄CD, F为垂足，求证:
① AC=AD:②CF=DFO
三.等腰三角形的判定
例1、如图，AB=DC, BD二CA, BD与CA相交于点E,求证：?AED是等腰三角形?
例 2.在AABC 中,ZBAC=90° ,ZB=45o Q 为 BC 上一点,BD=ABQE丄BC 交 AC 于点 E.
(1)求证MDE是等腰三角形；
(2)图中除AADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明)；若没有,请说明理由?
D
四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题
例1、已知，AABC是边长3cm的等边三角形.(1)动点P以lcm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为(s),那么t为何值时，△ PBC是直角三角形？
(2)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C 运动，如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么t 为何值时，APBQ是直角三角形？
(3)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC 方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么当t为何值时，ADCQ是等腰三角形？
(4)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动?连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),连接PC.请探究：在点P、Q的运动过程中APCD和AQCD的面积是否相等？
A
【巩固练习】
一.利用等腰三角形的性质求角度
1、如图，将△遊绕点A逆时针旋转150° ,得到△止尤这时点B、C 0恰好在同一直线上，则Z万的度数为______?
2、如图，在△ ABC中、AE二AGBuCE是髙,劭与6F相交于点O
⑴求证：
(2)若ZABCwy，求Z方OC的度数?
3、如图，CA=CB, DF=DB, AE=AD,求ZA 的度数
4、如图，?ABC 中，AB=AC, D 在BC 上ZBAD=30° ,在AC 上取点E,使AE=AD, 求ZEDC 的度数
D
5> AD和BE是AABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC,求ZABC的度数?
二.利用等腰三角形的性质证明线段关系
1、如图，已知：?ABC中，AB=AC, M、D、E分别是BC、AB、AC的中点?
(1)求证：MD=ME:
(2)若MD = 3,求AC的长?
2、如图，Δ ABC 中，AB=BC, BE丄AC 于点E, AD丄BC 于点D, ZBAD二45°, AD 与BE 交于点F,连接CF?
（1）试判断BF与AE有什么样的数量关系?并说明理山；
(2)若CD=2,求AF的长.
3、已知：S?ABC中，AC=BC, ZACB=90° ,点D是AB的中点，点E是AB边上一点?
（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG; （2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M （如图2）,找出图中与BE相等的线段，并证明?
三、等腰三角形的判定
1、已知：如图，在ZXABC中，AB二AC,点E在CA的延长线上，EP丄BC,垂足为P, EP交AB于点F,求证：?AEF是等腰三角形.
2、如图，在△遊中，点F在M 上，点0在BC ±, BD=BE y ABAD=ABCE y AD与CE 相交于点F、试判断△月尸C的形状，并说明理由?
四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题
1、在等边ΔABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 三角形章节复习 全章知识点梳理： 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围
方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角
等腰三角形分类讨论综合 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明； 3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想； 4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形； 5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 知识结构 【备注】： 1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图； 2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型； 3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。 一．等腰三角形的性质： 二．等腰三角形常见题型分类：
三．函数背景下的等腰三角形的考点分析： 1.求解相应函数的解析式； 2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标； 3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类； 4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读 题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量 等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合； 注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题 的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲 边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题 在时间足够的情况下讲解。
等腰三角形中的分类讨论问题
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角 形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是 否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必 须进行分类讨论。 解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=1800，∴ x=200，∴ 4x=800， 于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， ∴ x+x+4x=1800，∴ x=300，∴ 4x=1200， 于是三角形的各个内角的度数为：300，300，1200。 故三角形各个内角的度数为200，800，800或300，300，1200。 例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。 分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500，有两种情况：与一个底角相邻的 外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500。因此需要分类讨论； 解：（1）当顶角的外角等于1500时，则顶角=1800-1500=300， ∴每个底角=（1800-顶角）÷2=750； （2）当底角的外角等于1500时，则每个底角=1800-1500=300； ∴顶角=1800-底角?2=1800-300?2=1200； 故三角形各个内角的度数为300，750，750或1200，300，300。 三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角 的度数。 分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行 分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。 解：设AB=AC，BD⊥AC； A （1）高与底边的夹角为250时，高一定在△ABC的内部， 如图1，∵∠DBC=250，∴∠C=900-∠DBC=900-250=650， D B C
等腰三角形、等边三角形题型分类 【例题讲解】 一、利用等腰三角形的性质求角度 例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角 形的顶角为（ ） A ．60°或120° B ．30°或150° C ．30°或120° D ．60° 例2、 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB.求∠A 的度数 例3、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 二、利用等腰三角形的性质证明线段关系 例1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线，求证：BD=CE. A B C D E A B C D F E
例2、如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。 三、等腰三角形的判定 例1、如图，AB=DC，BD=CA，BD 与CA相交于点E，求证：△AED 是等腰三角形. 例2、在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E. (1)求证:△ADE是等腰三角形; (2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.
四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题 例1、已知，△ABC 是边长3cm 的等边三角形.（1）动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设点P 的运动时间为（s ），那么t 为何值时，△PBC 是直角三角形？ （2）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （3） 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形? （4）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？ （1） （2） （3） （4） C Q B P A Q D B C P A Q D B C P A B C P A
等腰三角形 一、选择题 1. （2014?广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长． 解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17． 故这个等腰三角形的周长是17． 故选A． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论． 2. （2014?广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（） A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm 考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系． 分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论． 解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm， ∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm， ∴， 解得5cm＜x＜10cm． 故选B． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．3．（2014·浙江金华，第8题4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】
A．70°B．65°C．60°D．55° 【答案】B． 【解析】 4. （2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（） （第1题图） A．3B．4C．5D．6 考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨 所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形” 一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8 时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10 时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cn。 解（2）当腰长为3 时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7 时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4 倍”，还是“底角是顶角的4 倍”因此必须进行分类讨论。
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三、遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解得???==,9, 6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是 OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2， OD=6，点 C D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 7、如图，A 、B 是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置 三、两圆一线定等腰 例3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ， 使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个 【变式训练】 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 A B x y O E C
等腰三角形三线合一专题训练 姓名 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E 是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。 (1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF． D C A E (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF B C E A D M N D C B A M N D C B A
的中点．求证：BE=CF． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ
Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1= 12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=13∠ABC ，∠2=13 ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个 等腰三角形周长分成15和6两部分， 求这个三角形的腰长及底边长． 利用等腰三角形的性质证线段相等 例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一 点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的 大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定 例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。 例3、如图，已知BC=3， ∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。 例4、如图，已知等边 △ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明 DB=DE 。 A C A D A B F C O E
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 求证：∠ABE=∠C ； 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． 5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E A B C D E P D A C M N
6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． 若BD 平分∠ABC ，求证CE= 1 2 BD ； 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平 分 ∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°， CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = E D C B
B C A D 等腰三角形典型题练 方程思想 1． 如图，在△ABC 中，D 在BC 上， 若AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠ABC 的度数为 ． 2．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BC=BD=BE ，则图中的等腰三角形共有 个。 3．如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°． 4.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一： 如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2 为第1根小棒. 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ=_________度； ②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…） 求出此时a 2，a 3 的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）. 活动二： 如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1. 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示） （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围. A 1 A 2 A B C 图乙 A 3 A 4 1 θ 2θ 3θ θ A 1 A 2 A B C A 3 A 4 A 5 A 6 a 1 a 2 a 3 图甲 θ E D C B A
北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝 角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等
例说等腰三角形中的分类讨论题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它在数学学习和数学应用中占有很重要的地位，学精学透它非常有必要。因为它有两边相等这个特性，在解这类题目时很多情况下需要分类讨论，否则答案会不全面。现归纳如下： 一、与角相关的： 例1：如果等腰三角形的一个角为，那么其它两角的度数分别为 分析：因为已知的角不知是顶角的度数还是底角的度数，所以需分类讨论。 1当顶角为时，底角为： 所以其它两角的度数为：, 2当一底角为时，顶角为： 所以：其它两角的度数为：, 所以答案有两个：，或， 例2：如果等腰三角形的一个角是，那么其它两角的
度数分别为 分析：同1题一样需分类讨论，但当底角为时，三角形内角和大于，不符合三角形内角和定理，故本题答案只有一个。 解：当顶角为时，底角为： 所以：其它两个角的度数为：， 当一底角为时，因为两底角三和为，大于三角形内角和，所以此类情况不存有。 所以答案有唯一一个：， 练习一： 1、等腰三角形的一个内角为，那么其它两角的度数为： 2、等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为 3、等腰三角形的某个内角的外角等于，则它的顶角为 4、等腰三角形的一外角为，则底角的度数为 二、与边相关的：
例3：一等腰三角形中，一边长为4，另一边长为6，则三角形周长为 分析：因为已知边中没有明确谁是底边，谁是腰，所以需分类讨论： 解：当4为底边，6为腰时，三角形三边为：4，6，6，周长为：4+6+6=16 当6为底边，4为腰时，三角形三边为：6，4，4，周长为：6+4+4=14 所以答案有两个：16或14 例4：一等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则三角形周长为 分析：同1题一样需分类讨论。但当腰长为4时，三角形三边为：4，4，9不符合三角形三边关系，故本题只有一个答案是：22 练习二：1、等腰三角形中，一边长为5，另一边长为6，则三角形的周长为 2、一等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等
中考热点——等腰三角形分类讨论 等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要具有一定的想象能力、分析能力和运算能力，而这正是学生最缺乏的，理清这类题目的解题思路和解题策略将会等到在中考中获得高分的重要砝码。 等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种，第一种：用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解，第二种：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。下面就常见的题型练习.. 【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，54sin = B ，A C =4； D 是BC 的延长线上的一个动点，∠EDA =∠B ，A E ∥BC ． （1）找出图中的相似三角形，并加以证明； （2）设CD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数解析式， 并写出函数的定义域； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长． 【例2】已知直线1l 的解析式63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为)0,8(.又知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 上从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（100< 【例3】如图，已知二次函数c bx x y ++-=2)0(>c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ． （1）求二次函数的解析式； （2）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形；如果存在， 求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【例4】如图，在正方形ABCD 中，点F 在CD 边上，射线AF 交BD 于点E ，交BC 的延长线于点G （1）求证：△ADE ≌△CDE （2）过点C 作CH ⊥CE ，交FG 于点H ，求证：FH =GH （3）设AD =1，DF =x ，试问是否存在x 的值，使得△ECG 为等腰三角形？若存在求出x 的值；若不存在，请说明理由 y O B x C A M N 【例题讲解】 一、利用等腰三角形的性质求角度 例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30。，则这个等腰三角 形的顶角为（） A. 60。或120o B. 30。或150o C. 30。或120o D. 60° 例2、如图，?ABC 中，AB=AC, BC=BD, AD=DE=EB.求ZA 的度数 例3、如图，?ABC中，AB=AC, D在BC上，AB于丄AB于E, DF丄BC交AC于点F, 若ZEDF=70° ,求ZAFD的度数 二.利用等腰三角形的性质证明线段关系 例1、已知：如图,?ABC中,AB=AC, BD和CE是ZkABC的角平分线,求证：BD=CE. 例2、如图：已知AB=AE, BC=ED, ZB=ZE, AF丄CD, F为垂足，求证: ① AC=AD:②CF=DFO 三.等腰三角形的判定 例1、如图，AB=DC, BD二CA, BD与CA相交于点E,求证：?AED是等腰三角形? 例 2.在AABC 中,ZBAC=90° ,ZB=45o Q 为 BC 上一点,BD=ABQE丄BC 交 AC 于点 E. (1)求证MDE是等腰三角形； (2)图中除AADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明)；若没有,请说明理由? D 四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题 例1、已知，AABC是边长3cm的等边三角形.(1)动点P以lcm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为(s),那么t为何值时，△ PBC是直角三角形？ (2)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C 运动，如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么t 为何值时，APBQ是直角三角形？ (3)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC 方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),那么当t为何值时，ADCQ是等腰三角形？ (4)动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动?连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t (s),连接PC.请探究：在点P、Q的运动过程中APCD和AQCD的面积是否相等？ A 等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 等腰三角形 题型归纳： 类型一：涉及到顶角和底角的问题 1、若等腰三角形底角为72°，则顶角为( D)。 A.108° B.72° C.54° D.36° 2、若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为50°或80°. 3、(1)若等腰三角形的一个外角是40°，则这个等腰三角形的底角为____20°_______. (2)在等腰三角形中，两个内角度数的比为1:4，则它的顶角为___20°或120°_____. 中，∠A=2∠B，当∠C=____45°或72°____时，它是一个等腰三角形. 4、在ABC 5、已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为75°度. 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D)。 A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 类型二：有关等腰三角形的周长的问题 1、若等腰三角形的两边长分别为8cm和5cm，则它的周长为___18cm或21cm__. 2、等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为( C ). A．20cm B．10cm C．10cm或4cm D．4cm 3、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm，则它的周长为___10或11_____. 4、若一个等腰三角形的周长是20cm,一边长是5cm,则另两边的长是__7.5cm，7.5cm________. 5、已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长. 解:在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y ， ①当AB+AD=12时，x+ 1/2x=12 ，y+ 1/2x=15 ，解得x=8，y=11；腰是8cm ，底是11cm ； ②当AB+AD=15时，则x+ 1/2x=15，y+ 1/2x=12 ，解得x=10， y=7，腰是 10cm ，底是7cm. 6、如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三 角形的底边长为多少？ 类型三：角平分线的问题 1、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=o ，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为( D ). A.80o B.75o C.65o D.45o A B D E 第1题图 例2.等腰三角形的周长为 22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为 例3. 一等腰三角形的周长是 25cm 作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长 长是 例1.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 ，它的底角为 例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于 20 ,则等腰三角形的顶角度数为 I 四?画图中的分类（借助于圆规，注意重合的点的共线的点的情况） 例1.如图，点B 在直线L 上，点A 在直线L 外，在直线L 上找点C,使得△ ABC 为等腰三角形。（要求保 留作图痕迹，写清点 C 的个数) 专题复习 等腰三角形中的分类讨论 180 度） 例1. 已知等腰^ ABC 中，有一个内角为 40。，则另两个内角分别为 例2. 在^ABC 中，/A 的外角等于110°, △ ABC 是等腰三角形，那么/ B = 等腰三角形两内角的度数比为 2 : 1, 则顶角为 5cm,则腰 例2 .在直角坐标系中，0点为坐标原点，A (2, -4 ),动点B在坐标轴上。则满足^ OAE为等腰三角形的有B点共有 1 例3. P为直线l : y -x 3上一点，A 2, 0)，求使△ PAO为等腰三角形的点P的坐标. 2 等腰三角形中的分类讨论练习 姓名: 日期: 指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质, 最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题 目时必须全面思考，分类讨论, 以防漏解。下面就常见题型举例说明如下: 一、角不确定时需分类讨论 1若等腰三角形的一个角为40 °,则其他两个角分别为 若等腰三角形的一个角为100。，则其他两个角分别为 二、边不确定时需分类讨论 2、等腰三角形一边长是10cm,另一边长是6cm,则它的周长是 等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm,则它的周长是 等腰三角形周长是20cm,一边长为8cm,则其他两边长分别是 等腰三角形周长是20cm, 一边长为4cm,则其他两边长分别是 等腰三角形周长是13,其中一边长为则该等腰三角形的底边长为 三、高不确定时需分类讨论 3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°,则顶角的度数为 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为 四、其它 (1)等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12c m和15c m的两部分，求三角形各边的长 (2)等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长等腰三角形、等边三角形题型分类
初中数学 等腰三角形存在性问题(含答案)
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