多边形的内角和与外角和提高题
一．选择题（共5小题）
1．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a（0°＜α＜180°）被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为（）
A．72°B．108°或144°C．144°D．72°或144°
2．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°
3．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（）A．40°B．45°C．50°D．60°
4．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）A．140°B．130°C．110°D．70°
5．有一程序，如果机器人在平地上按如图的步骤行走，那么机器人回到A点处共走的路程是（）
A．24米B．48米C．15米D．30米
二．填空题（共20小题）
6．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为．
7．在如图一、图二、图三中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形．在图1中，x=70°；在图二中，y=28°；通过（1）、（2）的计算，请写出图三中a+b+c+…+d与n的数量关系式．
8．一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于．
9．如图是探索多边形的对角线d与边线n的关系
n 3 4 5 6 …n …
d 0 2 5 9
则n边形的对角线d=（用n表示）
10．小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此反复，小林共走了108米回到点P，则角α的度数为．
11．一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角．
12．小张由于粗心，计算一个多边形的内角和少加了一个内角的度数，得到2009度，那么他少加的内角是．
13．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿
DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过°．
14．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了米．
15．小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论．
参加人数 2 3 4 5 …n
握手示意图
握手次数 1 2+1=3 3+2+1=6 4+3+2+1=10 …
16．正六边形的每一个内角都等于度．
17．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成个（用含n的代数式表示）三角形．
18．凸n边形的对角线的条数记作a n（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=；②a6﹣a5=；③a n+1﹣a n=．（n≥4，用n含的代数式表示）
19．将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是度．
20．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．
21．在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为度．22．如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是度．23．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．
24．一块正六边形硬纸片（如图），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见面2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是度．
25．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=．
三．解答题（共5小题）
26．已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
27．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．28．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
29．将一个正六边形的纸片对折，并完全重合．那么得到的图形是几边形？它的内角和（按一层计算）是多少度？
30．阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形．
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6．4多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步． 提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和定理 【类型一】利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则它是() A．四边形B．五边形 C．六边形D．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【类型二】求多边形的内角和 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为() A．1620°B．1800° C．1980°D．以上答案都有可能 解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多
边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键． 【类型三】复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝() A．450°B．540° C．630°D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以 后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数． 解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围． 探究点二：多边形的外角和定理 【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数 正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正() A．八边形B．九边形 C．十边形D．十一边形 解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可． 【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用 一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是() A．五边形B．四边形 C．三角形D．不能确定 解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
第二十四讲 多边形的内角和与外角和 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n -g °； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n °； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 凸多边形 凹多边 形
三角形的内角和与外角和 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和． 2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算． 重点、难点 1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质． 2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法． 教学过程 一、活动引入：你有什么办法可以探究它呢？ 活动内容：(1)：通过具体的度量，验证三角形的内角和 (2)方法二：剪拼法．把三个角拼在一起试试看？ 图1
图2 通过测量发现三角形的三个内角和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°． 证明：如图，过A 作EF ∥BC ∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等) 同理：∠3=∠5(两直线平行，内错角相等) ∵∠4+∠1+∠5=180°(平角定义) ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换) 2、 方法一：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C (两直线平行，内错角相等) ∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180° ∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换) 方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ． ∵CE ∥BA ∴∠B =∠ECD (两直线平行，同位角相等) ∠A =∠ACE (两直线平行，内错角相等) ∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180° A B C D E A B C E D
∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换) 2．直角三角形两锐角之间的关系 由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论： 直角三角形的两个锐角互余． 新知应用：比一比，赛一赛 (1)在△ABC 中，∠A =35°，∠B =43°，则∠C =102°． (2)在△ABC 中，∠C +∠B =140°则∠A ＝40°． (3)在△ABC 中，∠A =40°∠A =2∠B ， 则∠C ＝120°． 三角形的外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 如图，△ABC 中，∠1是一个外角． 3．三角形的外角及其性质 我们已经知道三角形的内角和等于180°．现在我们探索三角形的外角及外角的性质． 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角． 图 8.2.6 ∠DAC 是三角形的一个外角，内角 BAC 与它相邻，内角∠B 、∠C 与它不相邻． 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系．请同学们拿出一张白纸， 在 1
多边形内角和与外角和（提高）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 知识点二、多边形内角和定理 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； 凸多边形 凹多边形
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n ° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明． 按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形． 按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形． 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形． 【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题． 举一反三： 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。 【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.
《多边形的内角和与外角和》教案 第1课时 教学目标 (一)教学知识点： 1．理解多边形的定义． 2．掌握多边形的内角和公式． (二)能力训练要求 1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力． (三)情感与价值观要求 经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系． 教学重难点 教学重点：多边形的内角和． 教学难点：探索多边形的内角和公式过程． 教学过程： 一．巧设情景问题，引入课题： 引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？ 提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．(学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形) 二．讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图． 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角． 如图(3) 多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA． 好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题． (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流． (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的思想在数学中经常用到． (从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°)
多边形的内角和与外角和 基础巩固题 一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.
14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2 3 , 求这个多边形 的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.
§9.1.2三角形内角和与外角和 内江六中 饶莹 一、教学目标： 知识与技能目标：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用相关结论进行有关的推理和计算，初步掌握演绎推理的证明格式； 过程与方法目标：在学生学习过程中，使学生学会探索数学问题的归纳和实验法等研究方法； 情感、态度与价值观：通过小组讨论与自主学习相结合的方法，让学生融入课堂，成为课堂的主宰，并感受数学中演绎推理的魅力。 二、教学重难点： 教学重点：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并进行有关的推理和计算； 教学难点：三角形内角和定理的证明过程的引导与掌握。 情景引入： 1、通过PPT 展示生活中三角形的应用 2、提问：三角形内角和等于多少度？ 3、谁能上台用图片直观的给同学们演示三角形三个角之和等于0 180？ 4、通过PPT 动态演示撕一撕，拼一拼的过程 自主探究一： 问题3：如何演绎证明三角形内角和等于0 180？ 已知ABC ?，分别用321∠∠∠、、表示ABC ?的三个内角，证明：0 180321=∠+∠+∠。 结论1：三角形的内角和等 于0 180。 简单提示三角形的内角和等于180°的其他常见方法：
例1、说出下列三角形中未知内角的度数。 结论2：直角三角形的两个锐角互余。 自主探究二：三角形的一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，如图： 思考：三角形的一个外角与它内角的等量关系 结论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 的度数。 例2、说出下列各图中1
多边形的内角和与外角和 ?基础巩固题 一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.
15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. ? 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的 23 , 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. E F D B C A
教学设计 第六章平行四边形 ④多边形的内角和与外角和（第一课时） 贵阳市第四十一中学李龙梅 一．教材分析 本节课位于北师大版教科书八年级下册第六章平行四边形第四节多边形的内角和与外角和第一课时，本节内容是八年级上三角形内角和与外角和的延生和扩展，为九年级学习“特殊的平行四边形”和“圆内多边形”等知识做好铺垫。 二．学情分析 学生在八年级上册已经学习过三角形内角和与外角和，已经知道了特殊的多边形三角形的基本概念和公式，在此基础上探索四边形、五边形、六边形……n边形的内角和 三．教学目标分析 1.知识与技能：理解并掌握多边形内角和定理，正多边形内角的求法，并能加以运用。 2.过程与方法：经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展演绎推理能力。 3.情感态度价值观：通过合作、交流、讨论、争议培养学生的合作意识，提高学生质疑和倾 听能力。 四．教学重难点 重点：多边形内角和定理和应用。 难点：多边形内角和公式的推导过程及其应用。 五．教学准备 三角板、多边形等实物 六．教学过程 第一步，引入 1. 教师向学生展示学习目标 （1）探索多边形的内角和定理和应用 （2）正多边形内角的求法 2.教师用实物展示，并提出在我们的生活中有很多常见的多边形，那么这些多边形的内角和是多少呢？ 第二步，学生讲解题目 学生按A、B、C、D、E的层次，从优等生到学困生依次分层，由优等生示范带动学困生讲解题目，每组一位学生讲解，每次题目讲解结束都说“本组有什么补充，其他组有什么补充，老师有什么补充”。 （课堂预设：这个环节根据具体的课堂生成，学生听课的反馈，如果对讲解比较有疑问的，教师适时的组织学生讨论，再进行补充，教师要做好每个环节的衔接）
6.4探索多边形的内角和与外角和 一、选择题 1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是( ) A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( ) A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A．8 B．7 C．6 D．5 5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．4 6．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（）A．5 B．4 C．3 D．不确定 7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（） A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥9 8．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（）A．50°B．100°C．180°D．200° 9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝． 12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数 是，顶点的个数是，对角线的条数是
． 13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4， 则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________． 15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°． 16．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．17.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°．18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____． 19．多边形的内角中，最多有________个直角． 20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形 三、解答题 22．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． 23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数． 24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数． 26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数． 27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p 边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p 的值． 28．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E＝
22.8多边形的内角和与外角和 滦县第五中学王丽娟
22.8多边形的内角和与外角和 课题：多边形的内角和与外角和 一．教学目标 1.理解多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和与外角和 3.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展学生说理能力和简单的推理能力 4.通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神. 二．教学重点 多边形的内角和与外角和. 三．教学难点 多边形的内角和的公式推导. 四．教学方法 启发、讨论式. 六．教学过程 （一）巧设情景问题，引入课题 ［师］前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕(出示投影片) ［师］刚才大家看到许多实物图片，它与数学图形联系起来，你知道它们各是什么图形？ ［生］三角形、四边形、五边形、六边形、八边形. （二）新课讲解 1、介绍概念 ［师］对，这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形 ［师］请看大屏幕，什么叫多边形呢？多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形. 我们在初中阶段主要探讨的平面几何.所以现在定义的多边形应在同一平面内，即： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可. 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. 如图
多边形内角和与外角和的几个应用 1．已知边数求内角和与内角度数． 例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ 分析： ①引导学生利用方程的思想，要根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中 提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解． ②灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算． 解:⑴根据n边形的内角和度数(n-2)·180°，得 (22-2)·180°=3600° 由于多边形的外角和度数为360°，所以360180 2211 = o o ． ⑵设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，得 (n-2)·180°=2×(8-2)×180° ∴n=14 答: 14边形的内角和是八边形内角和的2倍． 2．已知内角和求边数． 例2．⑴几边形的内角和是2160?？是否存在一个多边形的内角和为1000?？⑵已知一个多边形，它的内角等于外角的2倍，求边数． 分析: ①对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解； ③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算． 解: 设该多边形为n边形，依题意得 (n-2)·180°=2160° ∴n=14 不存在这样的多边形，理由如下: 假设存在这样的n边形，依题意得 (n-2)·180°=1000°
∴ n =689 ∵ 多边形的边数为正整数 ∴不存在这样的多边形． 3． 已知各相等内角与外角度数求多边形边数 例3． ⑴ 已知多边形的每个内角都是135?，求这个多边形的边数； ⑵ 每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数． 分析： ① 每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -?o ，每个外角为360n o ，利用这两点就可以列出关于边数n 的方程，其中第二种方法较为简单． ② 对于第(1)题，可将“每个内角都135?”转化为“每个外角都是45?”，从而利用360n o =45?，得出n 的值为8． ③ 若设边数为n ，则方程为(2)180n n -?o =9?n ο 360，得出n =20． 解: ⑴ ∵ 多边形的每个内角都是135?， ∴ 它的每个外角度数为45?． 根据多边形外角度数为360? ∴ n =36045 o o =8 ∴ 这个多边形的边数为8． ⑵ 设该多边形的边树为n ，依题意得 (2)180n n -?o =9?n ο 360，∴ n =20．
龙文教育一对一讲义 教师:学生：日期:星期:时段:课题多边形的内角和与外角和 学习目标与分析目标:会求多边形的内角和,会根据多边形的外交和求相应的边角关系。 考点:1)多年形内角和公式：(n-2）*18０0 2)多年形外角和为36０0 学习重点重点：会运用多边形的内角和公式进行相关的计算。 难点：运用外角和定理,内角和公式求多边形的边角关系。 学习方法讲授与练习，归纳与总结 学习内容与过程教师分析与批改1.12边形内角和是_＿_____ 2．已知一个多边形的每个内角为1４0度则这个多边形是—————边形 3.若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加—— 4．在四边形ABＣD中四个内角度数比为2:3:4：3则每个内角————— 5.下列角中能成为一个多边形内角和的是———— A 270度 B ５6０度 C 18０0度Ｄ1９0０度 6. 如果一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形的内角和是多少？ 7.如果一个多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形的边数是多少？ ８.如图：求正五边形的每一个外角以及每一个内角的度数 各是多少度? 学习内容与过程教师分析与批改
９.如图，Ｄ是△ＡBＣ的BC边上一点， ∠Ｂ=∠BＡＤ，∠ADC＝80°， ∠BＡC＝７0°. 求:（1）∠B的度数； （２）∠C的度数． 10、一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于9０0, ∠Ｂ和∠Ｃ应分别是21０和3２０,检验工人量得∠BDＣ＝1480,就断定这个零件不合格．运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. １1. (1）如图(甲）,在五角星图形中,求∠A+∠B+ ∠Ｃ+ ∠D+ ∠E的度数。 (2）把图(乙)、（丙)叫蜕 化的五角星,问它们的五 角之和与五角星图形的五 角之和仍相等吗?为什么?
9.2多边形的内角和与外角和 【教学内容】 本节（包括第8章的引言）内容在教材第41-43页．。主要内容为：通过对瓷砖的铺设这个实际问题的分析，比较各种卖家的瓮砖铺设方式，由老师提出瓷砖铺设中的一些疑问，引起学生的学习兴趣，从而导入到本章知识内容的学习。 【教学目标】 知识与能力 1．学会使用不同的方法探索多边形的内角和公式。 2．学会计算多边形的内角和。 3．知道多边形的外角和为360度。 4．能使用计算器来计算大的数据。 过程与方法 主要目标是引导学生使用不同的方法探索多边形的内角和公式与外角和，并且学生可以采用计算器进行相关数据的计算，提高学生的推理能力、归纳能力和使用计算器的能力。老师主要是引导和组织学生学习，学生可以采取探讨式的学习方法。 情感、态度、价值观 通过本节的教学，应该达到培养学生体会数学图形美感的价值观。 【重点难点】 重点：1、学生积极参与讨论与探究问题；2、推导出多边形的内角和公式和外角和。。 难点：1、使用各种方法进行探索；2、推导和归纳多边形的图形的性质。 【教学突破】： 实质上，本节就是学生通过探讨寻找出多边形的内角和公式，可以在计算器帮助下处理这些数据，然后推导出多边形的相关性质。所以本节的目标是学生能推导出多边形的内角和公式和外角和，并在计算器的帮助下归纳出多边形的性质。由于多边形知识是三角形有关知识的拓展，在教学中，教师要注意与相关知识进行类比教学。 【教学过程】 第一课时教学流程设计 教师指导学生活动 1、讲解多边形的相关概念 1、学习多边形的知识 2、讲解正多边形的概念 2、学习正多边形 3、指导学生做课堂练习 3、完成课堂练习
三角形的内角和(一)教案 教学目标： 1.知道三角形内角之间的关系，直角三角形的两个内角互余 2.能运用相关结论进行有关的推理和计算； 教学难点 1.探索三角形3个内角之间的关系 2.灵活使用相关结论，理性思维的培养 教学过程 一、创设情境，感悟三角形内角和等于1800 在小学里，学生知道三角形内角和等于1800 ，通过运用几何画版制作的课件，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系。 情境1：感受△ABC 的形状在不断变化过程中三角形三内角的和为1800 。 情境2：感受△ABC 用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 。 方法一，在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置。 方法二，其它拼图验证方法（如集中在A 点） 二、探索规律，揭示三角形内角和等于1800 1.议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ，根据图（2），你能说明“三角形内 角和等于1800 ”吗？ A B a b (2) 1 221(1) b a C B A
三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800 2.由下图1、图2你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 图1 图2 三、尝试反馈，领悟新知 例1、如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A 与∠B 的和等于∠C 与∠D 的和吗？为什么？ O D C B A 四、拓展延伸，运用新知 1.处理教材P26“做一做”1，2 教学中，要注意引导学生在探究“∠A 与∠B 的和”的度数的基础上,逐步归纳出 直角三角形的两个锐角互余 2、三角形的三个内角中，最多能有几个直角？最多能有几个钝角？为什么？ 五、课堂小结，内化新知 1、重点探究了三角形3个内角之间的关系以 2、由三角形3个内角 的关系得到直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余。 六、课后作业 一、选择题
多边形的内角和与外角和教学设计 作者：都小娟( ) 评论数/浏览数：17 / 373 发表日期：2010-12-18 09:43:36 《多边形》探索的是三角形和多边形的有关概念和性质，是学生在上学期初步认识和感受空间图形之后的延伸，也为今后进一步学习各种多边形打好基础。 一、教材分析 1、教学内容 “多边形的内角和与外角和”一节包括的内容主要有多边形的有关概念以及多边形内角和公式的推导和运用。 2、本章及本节的地位与作用 本章《多边形》探索的是三角形和多边形的有关概念和性质，是学生在上学期初步认识和感受空间图形之后的延伸，也为今后进一步学习各种多边形打好基础。 二、学生分析 学生刚刚学了三角形的有关知识，对“三角形的内角和为180°、外角和为360°”的知识有了较好的认识，加上七年级的学生好奇心、求知欲强、互相评价互相提问的积极性高。 三、教学目标及重点、难点 1、教学目标 【知识与技能】掌握多边形内角和与外角和定理，进一步了解转化的数学思想 【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。 【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，通过体会数学图形的美感，提高审美能力, 树立数学来源于生活，又服务于实践的观点 2、重点、难点的确定 【教学重点】多边形内角和及外角和的公式及公式的推导和运用 【教学难点】如何引导学生通过自主学习, 探索多边形内角和的公式。 四、教法和学法 【课堂组织策略】利用学生的好奇心,设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与、大胆猜想、积极思考，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的有关内容。 【学生学习策略】明确学习目标，在教师的组织、引导、点拨下进行主动探索、实践、交流等活动。 【辅助策略】利用多媒体课件展示三角形内角和向多边形内角和转化，突破这一教学难点，另外利用演示法、归纳法、讨论法、分组竟赛法，使不同学生的知识水平得到恰当的发展和提高。 五、教学过程设计 1、创设情景、引入新课 从三角形的概念推出多边形的概念。讲清多边形分凸多边形和凹多边形，今天研究的是凸多边形。学习正多边形的概念、多边形的对角线的概念。 2、合作交流，探索新知 给出三角形和四边形内角和，让同学们自己猜想五边形，六边形的内角和。 交给同学们探究方法。 3、归纳总结、建构体系 n边形内角和为（n－2）×1800 n边形外角和为180°n－（n－2）180°＝360°
6.4 多边形的内角和与外角和 一、选择题 1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（） A．8 B．7 C．6 D．5 5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（） A．7 B．6 C．5 D．4 6．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（） A．5 B．4 C．3 D．不确定 7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（） A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥9 8．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（） A．50°B．100° C．180° D．200° 9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（） A． 4 B．5 C．6 D．8 10．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 二、填空题 11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝． 12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．
多边形的内角与外角和 一．选择题（共13小题） 1．（2006?柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 2．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，且AC=12，BD=9，则四边形ABCD的面积是（） A．60 B．54 C．30 D．27 3．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（） A．一个B．2个C．3个D．无数个 4．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（） A．B．C．D． 5．若n边形恰好有n条对角线，则n为（） A．4B．5C．6D．7 6．过一个多边形的顶点可作5条对角线，则这个多边形是（） A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形 7．（2012?深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（） A．120°B．180°C．240°D．300° 8．（2010?房山区一模）如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1：3，那么n的值是（）A．5B．6C．7D．8 9．内角的度数为整数的正n边形的个数是（）
10．如图，△ABC中，∠A=45°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2的大小为（） A．225°B．135°C．180°D．315° 11．若一个多边形的内角和与外角和的度数比为4：1，则此多边形共有对角线（） A．35条B．40条C．10条D．50条 12．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（） A．4B．5C．6D．7 13．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2 570°，则这个角是（） A．90°B．15°C．120°D．130° 二．填空题（共11小题） 14．（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成_________个三角形．（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成_________个三角形． 15．若多边形不相邻顶点连线称为多边形的对角线，则五边形共有_________条对角线． 16．过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则（m﹣p）n=_________． 17．（2009?浔阳区模拟）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2=225°，则∠A=_________度． 18．（2004?连云港）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了_________米．