习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
组合数学课后标准答案
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习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
一、填空题 1.如图,阴影部分的面积是 . 2 1 2 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米. 3.在一个半径是 4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米) 4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面 积是 (平方厘米). 5.如图所求,圆的周长是1 6.4厘米,圆的 面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分 π 的周长是厘米.) 14 .3 (= 6.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 π,那么花瓣图形的面积(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = 是平方厘米.
7.已知:ABC D 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是 . 8.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的3 11倍,那么,CAB 是 度. 9. 算出圆内正方形的面积为 . 10.右图是一个直角等腰三角形, 直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米 11一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 12.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)
13.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长 厘米 . 积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 15.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 16.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 17.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 45
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。 2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。 解： 1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。-----------------4分 2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。 -----------------4分 故R(C 4,C 4)>=6。-----------------2分 二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 19：30 至 21：30 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2007 年 11 月 27 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、填空题（每空3分，共27分） 1．将6本无区别的书放入3个无区别的箱子中的放法数为 7 ，又每个箱子都不为空的放法数为 3 。 2．将8个有区别的球放入6个无区别的盒子中,每个盒子不空的放法数为 266 ；将8个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数又为28 。（注：将9个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数为462）。 3．现有4个女士6个男士围圆桌就坐，则其中女士两两不相邻的入座方式数有 5!·6·5·4·3= 43200 种； 所有女士坐在一起的方式数有 6!·4!= 17280 种。 4．将单词〝motorola 〞中的所有字母作排列，其排列方式数有 8!/3!＝6720 种；其中所有〝o 〞均不相邻的排列方式数有 ???? ???36!5＝2400 种。（两问均只要求给出解的表达式，不必算出最终结果）。 5. 方程???≥≥≥=+++0,1,2123214321x x x x x x x 的整数解的个数为 F(4,9)=220 。 学 号 姓 名 学 院 …… … …… …… …密 …… …… … 封 … … … … … 线 … … … … … 以 … … … … … 内 … … … … … 答 … …… … … 题 … …… … … 无 … … … … … 效… … … …… …… …
《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 个个个个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数 （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数 （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数 （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数 （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数 二、注意附加条件 人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法 （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是
4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种 种 种 种 5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 种 种 种 种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 种 种 种 种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种 3.已知集合A 和B 各12个元素，A B I 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ?U 且C 中含有三个元素；（2）C A ≠?I ,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 种 种 种 种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数． （1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．
1 第一章 排列组合 1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？ 解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10； 千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1； 故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。 （或： ()()41 42 *2+＝14） （3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。 （4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。 解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。 以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。 因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。 因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数 字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)
习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整 数倍。 证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有 两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通 过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
排列组合 2016.11.16 一、选择题： 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5． 6． A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 6．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 8．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 9．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 10．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 11．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S 的值为 A. 20128 B ．15128 C ．16128 D ．21128 15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. （8640 ） 17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，
第二章 容斥原理与鸽巢原理 1、1到10000之间（不含两端）不能被4，5和7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，则 |A|=10000. 记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，则有： |A 1| = L 10000/4」=2500, |A 2| = L 10000/5」=2000, |A 3| = L 10000/7」=1428, 于是A 1∩A 2 表示A 中能被4和5整除的数,即能被20 整除的数，其个数为 | A 1∩A 2|=L 10000/20」=500； 同理， | A 1∩A 3|=L 10000/28」=357, | A 2∩A 3|=L 10000/35」=285, A 1 ∩A 2 ∩ A 3 表示A 中能同时被4,5,7整除的数，即A 中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数，其个数为 | A 1∩A 2∩A 3|=L 10000/140」= 71. 由容斥原理知，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为 ||321A A A ?? = |A| - (|A 1| + |A 2| +|A 3|) + (|A 1∩A 2| + |A 1∩A 3| +|A 3∩A 2|) - |A 1∩A 2∩A 3| = 5143 2、1到10000之间（不含两端）不能被4或5或7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除 的整数集合，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为 ||321A A A ?? = |A| - ||321A A A ?? - 2 = 10000 - L 10000/140」- 2 = 9927 3、1到10000之间（不含两端）能被4和5整除，但不能被7整除的整数有多 少个？ 解 令A 1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集，A 2表示4和5整除， 也能被7整除的整数集。则： |A 1| = L 10000/20」= 500, |A 2| = L 10000/140」= 71, 所以1与10000之间能被4和5整除但不能被7整除的整数的个数为：500-71=429。 4、计算集合{2·a, 3·b, 2·c, 4·d }的5组合数. 解 令S ∞={∞·a, ∞·b,∞·c,∞·d}，则S 的5组合数为()1455 -+ = 56 设集合A 是S ∞的5组合全体，则|A|＝56，现在要求在5组合中的a 的个数小于等 于2，b 的个数小于等于3，c 的个数小于等于2，d 的个数小于等于4的组合数. 定义性质集合P={P 1,P 2,P 3,P 4},其中： P 1：5组合中a 的个数大于等于3； P 2：5组合中b 的个数大于等于4； P 3：5组合中c 的个数大于等于3； P 4：5组合中d 的个数大于等于5. 将满足性质P i 的5组合全体记为A i (1≤i ≤4). 那么，A 1中的元素可以看作是由 S ∞的5－3＝2组合再拼上3个a 构成的，所以|A 1| =()142 2 -+ = 10.
第四章 生成函数 1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（） （2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?? ???=41(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=（2 11x -）2 . （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生 成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ????????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1) x x -=0k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成 函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= ()1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 p p n m n n 1+? (b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+?m n 种可能。 (c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+?n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！ 1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！ n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)! 所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１ 1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。 证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n !)!12(2 !)! 2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n n n 因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(n n n ++能被2n 除尽。