本讲主要内容 1、空间任意力系向一点的简化及结果分析 2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束 3、重心的计算
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
(1) 空间任意力系向一点简化·主矢和主矩 F 1 F 2 F n 1 F ￠ 2F ￠ n F ￠ 1M 2 M n M 空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系. ) (i O i i i F M M F F ==￠及结果分析
主矢 汇交力系的合力 主矢大小方向作用点: 一般令其作用于简化中心上 2 2 2 R )()()(???++=￠iz iy ix F F F F R R ),cos(F F iz ￠= ￠?k F 1F ￠ 2F ￠n F ￠ 1 M 2 M n M k j i F F ????++==￠z y x i R F F F R F ￠R R ),cos(F F ix ￠= ￠?j F R R ),cos(F F ix ￠ = ￠?i F (与简化中心无关)
主矩 空间力偶系的合力偶矩 主矩大小方向作用位置: 刚体上任意位置 1 M 2 M n M ) (??==i O i O F M M M R F ￠O ),cos(M M x O ?= i M O M 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 k j i M )()()(???++=i z i y i x O F M F M F M 2 2 2 ) ()()(???++=z y x O M M M M O ),cos(M M y O ?= j M O ),cos(M M z O ?= k M (一般与简化中心有关)
第二章 力系的简化 习题解答 2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ， 3F 沿BE ，4F 沿DH 。试将此力系简化成最简形式。 解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos '21=-= F F F Rx ， F F F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+= ， F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。 用解析式表示为： ()k j F += F R 2' 设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=?+?-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=?-?-= ， Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=?+?= 。 用解析式表示为：()k j M +-= Fa A 2。因为，0'=?A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简 化为一个力，即力系的合力。合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为 () i M F r a F R R =?=2''， 所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。 2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。距离 c b a ,,为已知。问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为 力螺旋？ 解：这力系的主矢为 k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为 k j i a F c F b F M O 213++=。 当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。即从 0'=?O R M F 得， 0231231=++a F F c F F b F F ， 简化为 03 21=++F c F b F a 。 当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从0=?O R M F ' 得， 2 31231aF F cF F bF F ==。 题2.2图
eBook 工程力学 （静力学与材料力学） 习题详细解答 （教师用书） (第2章) 范钦珊 唐静静 2006-12-18
习题2－2图 第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++?x F x d F ， d x =∴，F F F F =?=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（习题2－2解图） 在图中设 OF = d ， 则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD ?== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d ? =+ d d ?=+93 3=d 习题2－1图 习题2－1解图 R
∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 3 4tan = θ 8.45 4 6sin 6=× ==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6 258.420R == F 即 )kN 310,25(R =F 作用线方程：43 4 += x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。每根拖缆的拉力为5kN 。试求：(1)作用于大船上的合力的大小和方向。(2)当A 船与大船轴线x 的夹角θ为何值时，合力沿大船轴线方向。 解：（1）由题意知 kN 5T T T ===C B A F F F 。 由习题2－3解图，作用于大船上的合力在x 、y 轴上的投影的大小分别为： kN 19.1)45sin 10sin (sin40kN 5kN 12.3)cos45cos10(cos40kN 5R R =??==++?=D D D D D D y x F F 所以，作用于大船上的合力大小为： kN 4.2119.112.3222R 2R R =+=+=y x F F F 合力与x 轴的夹角为： D 53.53 .1219 .1arctan arctan R R ===x y F F α （2）当要使合力沿大船轴线方向，即合力R F 沿轴线x ，则0R =y F 0)45sin 10sin (sin kN 5R =??=D D θy F 88.0sin =θ， T T A F B F C T F y R F 习题2－3解图 习题2－3图
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图
第三章 空间力系 3-1 在正方体的顶角A 和B 处，分别作用力1F 和2F ，如图所示。求此两力在x ，y ，z 轴上的投影和对x ，y ，z 轴的矩。试将图中的力1F 和2F 向点O 简化，并用解析式计算其大小和方向。 3-2 图示正方体上A 点作用一个力F ，沿棱方向，问： （1）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向A 点简化的主矩为零？ （2）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向B 点简化的主矩为零？ （3）能否在B ，C 两处各加一个不为零的力，使力系平衡？ （4）能否在B 处加一个力螺旋，使力系平衡？ （5）能否在B ，C 两处各加一个力偶，使力系平衡？ （6）能否在B 处加一个力，在C 处加一个力偶，使力系平衡？
3-3 图示为一边长为a的正方体，已知某力系向B点简化得到一合力，向C?点简化也得一合力。问： （1）力系向A点和'A点简化所得主矩是否相等？ （2）力系向A点和'O点简化所得主矩是否相等？ 3-4 在上题图中，已知空间力系向'B点简化得一主矢（其大小为F）及一主矩（大小、方向均未知），又已知该力系向A点简化为一合力，合力方向指向O点试： （1）用矢量的解析表达式给出力系向'B点简化的主矩； （2）用矢量的解析表达式给出力系向C点简化的主矢和主矩。
3-5 （1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。试分析这两种力系最多能有几个独立的平衡方程。 3-6 传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有三个未知力，共6个未知量。而空间任意力系的平衡方程恰好有6个，是否为静定问题？ 3-7 空间任意力系总可以由两个力来平衡，为什么？ 3-8 某一空间力系对不共线的三点主矩都为零，问此力系是否一定平衡？ 3-9 空间任意力系向两个不同的点简化，试问下述情况是否可能？ （1）主矢相等，主矩相等。 （2）主矢不相等，主矩相等。 （3）主矢相等，主矩不相等。 （4）主矢、主矩都不相等。 3-10 一均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，重心位置是否改变？
习 题 3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F 1=6kN ，F 2=2kN ，F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的投影。 图3-26 kN 60 1111====F F F F z y x 0kN 245cos kN 245cos 2222== ?=-=?-=z y x F F F F F kN 3 3 433kN 3 3 433kN 3 34333 33 33 3==-=-===F F F F F F z y x 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ，正面有力F 1=100N ，中间有力F 2=200N ，顶面有力偶M =20N ·m 作用。试求各力及力偶对z 轴之矩的和。 图3-27 203.034 44.045cos 2 1-?+??-=∑F F M z m N 125.72034 240220?-=-+ -= 3-3如图3-28所示，水平轮上A 点作用一力F =1kN ，方向与轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b=45°角， h =r=1m 。试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 图3-28 N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==????==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=????-=-=βαF F y
N 866350060sin 1000sin -=-=??-=-=αF F z m N 25845cos 18661354cos ||||)(?-=???-?=?-?=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(?=???+?=?+?=βr F h F M z x y F m N 500160cos 1000cos )(?-=???-=?-=r F M z αF 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力 F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，a=30°。试求力F 对 x 、y 、z 轴之矩。 图3-29 N 2530sin 100sin sin 2=??==ααF F x N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=????-=-=ααF F y N 6.8635030cos 10030cos -=-=??-=?-=F F z 3 .03504.0325)(||||)(?-?-=+?-?-=CD AB F BC F M z y x F m N 3.43325?-=-= m N 104.025||)(?-=?-=?-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(?-=?-=+?-=CD AB F M x z F 3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2，如图3-30所示，已知：F 1=500N ，F 2=700N 。试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。 图3-30 N 4.82114100520014 25 221R -=--=? -?-='F F F x N 2.561141501432R -=-=?-='F F y N 7.4101450510014 15 1 21R =+=? +?='F F F z N 3.10767.410)2.561()4.821(222R =+-+-='F
工程力学习题详细解答 （教师用书） (第2章)
第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由图(a),假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++-x F x d F ，d x =∴，F F F F =-=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN.m 、M B ＝0和M C ＝－10kN.m,求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD -== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d -=+ d d -=+93 3=d ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点； 3 4 tan = θ 8.45 46sin 6=?==θAG 8.4R R ?=?=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 3 10 ,25(R =F 作用线方程：43 4 +=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 习题2－1图 A F F 2R F C B d x （a ） 习题2－2图 y x R F O θ θ C G A D E F 4 2 3 d 5 .4- (a)
《工程力学》第2次作业解答（平面力系） 2008－2009学年第2学期 一、填空题 1．合力在某坐标轴上的投影，等于其各分力在 同一轴 上投影的 代数 和。 2．画力多边形时，各分力矢量 首尾 相接，而合力矢量是从第一个分力矢量的 起点 指向最后一个分力矢量的 终点 。 3．如果平面汇交力系的合力为零，则物体在该力系作用下一定处于 平衡 状态。 4．平面汇交力系平衡时，力系中所有各力在两垂直坐标轴上投影的代数和分别等于零。 5．平面力系包括平面汇交力系、平面平行力系、平面任意力系和平面力偶系等类型。 6．力矩是力使物体绕定点转动效应的度量，它等于力的大小与力臂的乘积，其常用单位为N m ?或kN m ?。 7．力矩使物体绕定点转动的效果取决于力的大小和力臂长度两个方面。 8．力矩等于零的条件是力的大小为零或者力臂为零（即力的作用线通过矩心）。 9．力偶不能合成为一个力，力偶向任何坐标轴投影的结果均为零。 10．力偶对其作用内任一点的矩恒等于力偶矩与矩心位置无关。 11．同平面内几个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 12．力偶是由大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力组成的特殊力系。 13．力偶没有 合力，也不能用一个力来平衡，力偶矩是转动效应的唯一度量； 14．力偶对物体的作用效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和作用面三个要素。 15．平面任意力系向作用面内任一点简化的结果是一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，它作用在简化中心，且等于原力系中各力的矢量合；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。 17．平面任意力系的平衡条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩分别等于零；应用平面任意力系的平衡方程，选择一个研究对象最多可以求解三个未知量。 二、选择题 1．力使物体绕定点转动的效果用（ A ）来度量。 A ．力矩； B ．力偶矩； C ．力的大小和方向； D ．力对轴之矩。 2．（ C ）是一种自身不平衡，也不能用一个力来平衡的特殊力系。 A ．重力； B ．共点二力； C ．力偶； D ．力矩。 3．作用在同一刚体上的一对等大、反向、作用线平行的力构成（ C ）。 A ．一对平衡力； B ．作用力和反作用力； C ．一个力偶； D ．力矩。 4．力偶向某坐标轴投影为（ B ）；对坐标轴上任意点取矩等于（ A ）。 A ．力偶矩； B ．零； C ．变化值； D ．不确定。 5．同一刚体上，一力向新作用点平移后，新作用点上有（ D ）。 A ．一个力； B ．一个力偶； C ．力矩； D ．一个力和一个力偶。 6．一力作平行移动后，新作用点上的附加力偶一定（ A ）。 A ．存在且与平移距离有关； B ．存在且与平移距离无关； C ．不存在； D ．等于零。 7．平面任意力系平衡的充分必要条件是（ D ）。 A ．合力为零； B ．合力矩为零； C ．各分力对某坐标轴投影的代数和为零； D ．主矢与主矩均为零。 8．若平面任意力系向某点简化后主矩为零，则其合力（ D ）。 A ．一定为零； B ．一定不为零； C ．与主矩相等； D ．不一定为零。 9．若某刚体在平面任意力系作用下平衡，则此力系各分力对刚体（ C ）之矩的代数和必为零。 A ．特定点； B ．重心； C ．任意点； D ．坐标原点。
平面一般力系的简化 平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，图4－1所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力X A、Y A、Y B，这些力组成平面一般力系。 在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。例如，图4－2（a）所示的重力坝，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m 的堤段来考虑，它所受到的重力、水压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如图4－2（b）所示。 第一节力的平移定理 上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。 设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为 m= Fd = ) M (O F 这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶
1 F 2 F 3 F 0 1350 90O 第二章 力系的简化习题解 [习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC 的方向上受到三个力的作用,已知kN F 11=, kN F 41.12=,kN F 23=,试求这三个力的合力. 解: 01=x F kN F y 11-= )(145cos 41.102kN F x -=-= )(145sin 41.102kN F y == kN F x 23= 03=y F )(12103 0kN F F i xi Rx =+-==∑= 00113 =++-==∑=i yi Ry F F 12 2=+=Ry Rx R R F F 作用点在O 点,方向水平向右. [习题2-2] 计算图中已知1F ,2F ,3F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影并求合力. 已知 kN F 21=,kN F 12=,kN F 33=. 解: kN F x 21= 01=y F 01=z F )(424.053 7071.01cos 45sin 022kN F F x =??==θ)(567.05 4 7071.01sin 45sin 022kN F F y =??==θ )(707.0707.0145sin 022kN F F z =?== 03=x F 03=y F kN F z 33= )(424.20424.023 0kN F F i xi Rx =++==∑= )(567.00567.003 0kN F F i yi Ry =++==∑= )(707.33707.003 kN F F i zi Rz =++==∑= 合力的大小: )(465.4707.3567.0424.22222 22kN F F F F Rz Ry Rx R =++=++= 方向余弦: 4429.0465.4424 .2cos === R Rx F F α 1270.0465 .4567 .0cos ===R Ry F F β
第一章 力系的简化 1-1 静力学基本概念与静力学公理 一、静力学基本概念 1.力的概念 （1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。 （2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。 （3） 力的三要素：大小，方向，作用点 （4）力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN) 力系：是指作用在物体上的一群力。 力系的分类：1.按力的作用线的空间位置：平面、空间 2.按力的作用线的相对位置：汇交、平行、一般 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡。 2.刚体 在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 3.平衡 指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。 二、静力学公理 公理1 二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 1、大小相等 | F 1 | = | F 2 | 2、方向相反 F 1 = –F 2 3、作用线共线， 4、作用于同一个物体上 公理2 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。 必须注意：力的可传性只能用于单个刚体，如果将其用于刚体系统，则会改变刚体的受力。 公理3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。21F F R += 推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。 公理4 作用力和反作用力定律 等值、反向、共线、异体、且同时存在。 公理5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。 1-2 力的投影、力矩与力偶 一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示：
理论力学-平面力系 第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小 则可能大于该力的模。（） 2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（） 3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（） 4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（） 5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其 对刚体的效应。（） 6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（） 7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化 中心的位置无关。（） 8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（） 9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶， 且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（） 10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（） 11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（） 12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为 ① 0； ② 50N；
③ 70.7N； ④ 86.6N； ⑤ 100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为，y向分力 的大小为 N。 ① 86.6； ② 70.0； ③ 136.6； ④ 25.9； ⑤ 96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ① 图（a）所示的力系； ② 图（b）所示的力系； ③ 图（c）所示的力系； ④ 图（d）所示的力系。 4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。 ① 作用在O点的一个合力； ② 合力偶； ③ 作用在O点左边某点的一个合力； ④ 作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力作用，则A支座反力的大 小为，B支座反力的大小
第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为。 ①0； ②50N； ③70.7N； ④86.6N； ⑤100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力 的大小为N。 ①86.6； ②70.0； ③136.6； ④25.9； ⑤96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ①图（a）所示的力系；
1. 一物体在两个力的作用下，平衡的充分必要条件是这两个力是等值、反向、共线。 ( √ ) 2. 若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。 ( × ) 3. 理论力学中主要研究力对物体的外效应。 ( √ ) 4. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。 ( × ) 5. 力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。 ( √ ) 6. 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。 ( √ ) 7. 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。 ( × ) 8. 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。 ( √ ) 9. 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。 ( × ) 10. 力的平行四边形法则只适用于刚体。 ( √ ) 1.作用在刚体上两个不在一直线上的汇交力F 1和F 2 ，可求得其合力R = F 1 + F 2 ，则其合力的大小 ( B;D ) (A) 必有R = F 1 + F 2 ； (B) 不可能有R = F 1 + F 2 ； (C) 必有R > F 1、R > F 2 ； (D) 可能有R < F 1、R < F 2。 2. 以下四个图所示的力三角形，哪一个图表示力矢R 是F 1和F 2两力矢的合力矢量 ( B ) 3. 以下四个图所示的是一由F 1 、F 2 、F 3 三个力所组成的平面汇交力系的力三角形，哪一个图表示此汇交力系是平衡的 ( A ) 4．以下四种说法，哪一种是正确的 ( A ) （A ）力在平面内的投影是个矢量； （B ）力对轴之矩等于力对任一点之矩的矢量在该轴上的投影； （C ）力在平面内的投影是个代数量； （D ）力偶对任一点O 之矩与该点在空间的位置有关。 5. 以下四种说法，哪些是正确的？ ( B ) F F R ( F F R ( F F R ( F R F ( F F F ( F F F ( F F F ( F F F (
) (a 第四章 力系的简化习题解 [习题4-1] 解： （1）以整体为研究对象，其受力图如图所示。 由结构的对称性可知， kN R R B A 4== （2）以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 因为节点A 平衡，所以 0=∑iy F 0460sin 0 =+AD N )(62.4866.0/4kN N AD -=-= 0=∑ix F 060cos 0=+AD AC N N (31.25.062.460cos 0N N AD AC =?=-=（3）以节点D 为研究对象，其受力图如图所示。 因为节点D 平衡，所以 0=∑iy F 0430cos 30cos 0' 0=---AD D C N N 0866.0/4=++AD D C N N 0866.0/4866.0/4=+-D C N 0=DC N 0=∑ ix F 030sin 30sin 0' 0=-+AD D C D E N N N 05.062.4=?+DE N )(31.2kN N DE -= （4 [习题4-2] 用截面法求图示桁架指定杆件 的内力。 解：(a) （1）求支座反力
kN 4A B R kN 2A C 23 N A 以整体为研究对象，其受力图如图所示。 由对称性可知， kN R R B A 12== (2)截取左半部分为研究对象，其受力图 如图所示。 因为左半部分平衡，所以 0)(=∑i C F M 0612422843=?-?+?+?N 063243=?-++N )(123kN N = 0=∑ix F 0cos cos 321=++N N N αθ 01252252421=+?+?N N 0125 15221=+?+?N N 0512221=++N N ……..(1) 0=∑iy F 02812sin sin 21=--++αθN N 025*******=+?+?N N 02525121=+?+?N N 052221=++N N 0544221=++N N ……..(2) 05832=-N )(963.53/582kN N ==
一、 导入 1、平面任意力系引论 2、特殊力系 二、 新授 2.1 平面任意力系的简化 2.1.1 平面任意力系向一点简化 1.主矢 (平面汇交力系各力的矢量和)： ∑∑=+???++==+???++=F F F F F F F F F n n R 2 1 ' '' 2' 1 ' 在平面直角坐标系oxy 中，根据合力投影定理 ∑∑=+???++==+???++=x nx x x x nx x x Rx F F F F F F F F F 21 ''' 2' 1' ∑∑=+???++==+???++=y ny y y y ny y y Ry F F F F F F F F F 21'' ' 2' 1' )主矢大小：2 22'2'')(()()(y x Ry Rx R F F F F F +=+=∑主矢方向：∑= X y F F αtan
2.主矩 (附加平面力偶系的合力偶): ∑∑==+???++=+???++=M M M M M M M M M o n o o o n o )() ()()(2 1 2 1 F F F F 注意：(1)一般情况下主矩与简化中心O 位置的选择有关 (2)原力系与主矢和主矩的联合作用等效。 3. 结论： 平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶；这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。
2.1.2 简化结果的讨论 1．主矢F ，主矩 M (一般情况) 合力的大小 F 、方向与主矢 F 相同；合力F 的作用线与简化中心O 点的垂直距离D=M/F 2. 主矢F 不等于0，主矩 M=0 3. 主矢F =0，主矩 M 不等于0 4. 主矢F =0，主矩 M=0 平面任意力系平衡的必要和充分条件为：主矢F =0 主矩M=0 例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2.3a 所示，已知 F 1=600N ，F 2=100N ，F 3=400N 。试分析力系向固定端A 点的简化结果，并求该力系的合力。 解：力系向A 点简化的主矢为： N N N F F F F x Rx 8.38245cos 40010045 cos 32'-=° --=N N N F F F Ry Rx R 2.962)8.882()8.382() ()(2 22 '2''=-+-=+=N N N F F F F y Ry 8.88245sin 40060045sin 31' -=°--=°--==∑
力系的简化 1图示平面力系中F1＝56.57 N ，F2＝80 N ，F3＝40 N ，F4＝110 N ，M＝2000 N.mm 。各力作用线如图示，图中尺寸单位为mm 。试求：（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线的位置。 解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向；（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F'R＝150N ，M o=900N.m ，F R＝150N ，d＝－6mm 2如图所示的挡土墙自重G＝400 kN ，土压力F＝320 kN ，水压力F1＝176 kN 。试求这些力向底边中心O简化的结果，并求合力作用线的位置。 解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向；（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F R＝608kN ，M o＝296.1kN.m，∠(F R，i )＝96.30 , x＝0.489m (在O点左侧) 3一平行力系由5个力组成，力的大小和作用线的位置如图所示，图中小方格的边长为10mm。试求此平行力系的合力。
解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F R＝20N，沿z轴正向，过作用点（60mm，32.5mm） 4（a）试求下列图形的形心。图中的长度单位为cm 。 解题思路： （1）设直角坐标系，把其中一根坐标轴设在图形的对称轴上； （2）把图形分割成两个矩形，由式（6－5）求其重心坐标。 答案：y c＝24cm （b）试求下列图形的形心。图中的长度单位为cm 。 解题思路： （1）设直角坐标系，把其中一根坐标轴设在图形的对称轴上； （2）把图形分割成三个矩形，由式（6－5）求其重心坐标。 答案：x c＝11cm