华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4
四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势
???>≤=0x ,E 0
x ,0)x (U 43
，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？
解：写出分区薛定谔方程为：
???????>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0
x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222
12
1212 ???????>=ψ+ψ≤=ψ+ψ?0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212
1212
其解为?????>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x
i 2ikx
ikx 12
k
由x=0处的连续性条件，可得到：
D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2
k 2121=+?ψ'=ψ'=+?ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从
而
几
率
流
密
度
为
x x 22k D x x 2R x e ?9k 8e ?|D |J ,e ?9k e ?|R |k J ,e ?k J μ=μ=μ-=μ-=μ=
所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率：
98|J ||J |D D =
= 满足 R+D=1
五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0 1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。 2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。 解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数： 忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222 12 2221+μπ=+= 考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的， 第一最低能态：n 1=1,n 2=1, 22 211a 22E μπ= ，则 )] s ()s ()s ()s ([a x sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ= ψ-- 由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。 第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22212a 25E μπ= 可组成如下四个态： 三重态： )x ,x ()x ,x (21S 21A ) 3,2,1(12χψ=ψ ) s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112 2121) 2,1(±±χχππ-ππ=ψ )] s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121) 3(12 21212121χχ+χχππ-ππ= ψ-- 单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S ) 4(12 χψ=ψ )] s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121) 4(12 21212121χχ-χχππ+ππ= ψ-- 第三最低能态： n 1=n 2=2， 22 222 a 28E μπ= 可组成如下态： )] s ()s ()s ()s ([a x 2sin a x 2sin a 2z 2z 1z 2z 1212221212121χχ-χχππ= ψ-- 由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且为非简并态。 2．第二最低能态：为简并态 先计算子空间中的微扰矩阵元： dx V H ) k (12* a 0) k (12 kk ψψ='? k=1,2,3,4 dx V H H ) k (12* a ) 1(12 1k k 1ψψ='='? k=2,3,4 dx V H ) k (12* a 0) 2(12 k 2ψψ='? k=3,4 dx V H ) k (12* a ) 3(12 k 3ψψ='? k=4 一 阶微 扰 修正 E 12(1) 满 足 方 程 E H H H H H E H H H H H E H H H H H E H ) 1(12 4443 42 41 34 ) 1(12 333231 2423 ) 1(12 2221 1413 12 ) 1(1211 =-'''''-'''''-'''''-' 第三最低能态：为非简并态 一阶微扰修正E 22(1)满足积分公式： ?ψψ='a 022* 2222dx V E 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学习题集及解答 目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128) 第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 华中科技大学13-14《量子力学》期末考试真题 2014年1月9日 注：光学与电子信息学院试题，回忆版本，转载请注明： ——回忆版By 华中科技大学彭超 一、填空题（20分） 回忆不起来了，大致考点关键词如下： 1.力学量用算符表示 2.概率波 3.波动性和粒子性 4.投影算符具有封闭性 5.展开系数（或者说投影） 6.电子具有自旋 7.算符对易 8.厄米算符的平均值为实数 9.不确定度关系 10.本征值本征态 11.狄拉克符号的含义等等 二、简答题（20分） 1.画图说明光的自发吸收、自发辐射和受激辐射（4分） 2.量子力学中的波是一种什么波？它和声波电磁波有哪些区别 （4分） 3.画出电子自旋实验的装置图，并说明该实验的意义（6分） 4.解释钠原子光谱的双线结构（6分） 三、证明题 1.（作业题原题）求解处于电磁场中的一维线性谐振子 2. （1）证明：lz？？ （2）证明：lx2平均值=ly2平均值 注：第一问忘记了，这里考的是角动量的对易式和算符向左作用，这一题是刘劲松版ppt上的原题 3.具体题目回忆不起来了，下面是一道类似的题 4. 考的是算符，具体题目大致如下： （1）P=？？Q=？？求[P , Q] （2）a=P+iQ b=P-iQ ，求[a[a,b]]和[[a,b]b] 5.（1）求解一维无线深方势阱 （2）一维无线深方势阱中n=1，a=π时，坐标x的平均值和动量p的平均值 09年之后，华科的量子力学是找不到真题的，这份题目整理自量子力学考试之后半个月，所以遗忘过多，不过考试题知识点覆盖率超过95%，对于把握考试方向有一定帮助 以我考99分的经验总结下来，作业题、ppt上的题目都非常重要，考的内容都比较基础，都涵盖在作业题中，不会涉及复杂推导和计算，所以作业题和ppt上的题目能理解的理解，不能理解的一字不落背下来 最后，祝学弟学妹们不挂科，考高分！ 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5：x=0，取：x=4.97， xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = e p E μ22 = E=pc p h =λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二) 《量子力学》课程期末考试试题A卷 学号： 姓名： 专业： 得分： 一、单选题 每题 分，共 分 由氢原子理论知，当大量氢原子处于 的激发态时，原子跃迁将发出（ ）。 一种波长的光 两种波长的光 三种波长的光 连续光谱 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ ）。 下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 一价金属钠原子，核外共有 个电子。当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。 下列哪种论述不是定态的特点（ ） 几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化 几率流密度矢量不随时间变化 任何力学量的平均值都不随时间变化 定态波函数描述的体系一定具有确定的能量 在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ） 能量是量子化的，而动量是连续变化的 能量和动量都是量子化的 能量和动量都是连续变化的 能量连续变化而动量是量子化的 在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ） 在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ） 和 是厄密算符 则（ ） 必为厄密算符 ? 必为厄密算符 必为厄密算符 ? 必为厄密算符 氢原子能级的特点是（ ） 相邻两能级间距随量子数的增大而增大 能级的绝对值随量子数的增大而增大 能级随量子数的增大而减小 dr r r R D rdr r R C r r R B r r R A nl nl nl nl 2 2 2 2 2 2 ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 物理学院 华中科技大学物理学院是在1983年成立的原华中理工大学物理系的基础上逐渐发展、演变而来。经过近三十年广大教职工发扬“探物穷理创新，自信自强争先”的精神，埋头苦干，艰苦创业。现已发展成为具有多个有突出特色的学科研究方向，在国内外有一定影响的物理学院系之一。多年来，为国家培养输送应用物理专业本科生12800人，硕士博士研究生520余人，并接受了世界多个国家的留学研究生。目前在读的本科生有近600多人，博士和硕士研究生300余人。 物理学院拥有物理学一级学科博士后流动站；物理学一级学科博士及硕士学位授予权（其中含理论物理，凝聚态物理，无线电物理、等离子体物理、光学、精密测量物理、材料物理与化学七个二级学科博士点），该学科获评为湖北省一级重点学科。 物理学院下设“理论物理中心”、“凝聚态与材料物理中心”、“光学中心”、“引力中心”、“等离子体物理中心”、“地球物理研究所”以及“大学物理中心”、“物理实验中心”和“物理专业教学中心”。建有科技部“引力与固体潮国家野外科学观测研究站”、“引力与量子物理”湖北省重点实验室、“基本物理量测量”教育部重点实验室、“重力导航”教育部重点实验室（B类）；“引力实验与理论”国家基金委创新研究群体；并参与武汉光电国家实验室(筹)、脉冲强磁场实验装置和磁约束核聚变(ITRE)计划平台的建设；物理实验教学中心获准建设国家级实验教学示范中心。 学院现有教职工116人，其中中国科学院院士3人（含双聘院士两人），博士生导师25人，教授33人，副教授28人；973首席科学家1人；有3人获“长江学者特聘教授”称号；１人获“湖北省优秀中青年专家”称号；4人获“国家杰出青年基金”资助；1人获中科院“百人计划”项目资助；1人被评为“全国首届高等学校教学名师奖”；1人获“第五届全国科普作品奖”一等奖；2人获“全国百篇优秀博士论文指导教师”的称号，指导3位博士生获得“全国百篇优秀博士论文”；2人入选国家百千万人才工程；6人获教育部跨/新世纪优秀人才资助，１人入选湖北省楚天学者；获国家自然科学奖二等奖1项，湖北省/教育部自然科学奖一等奖、二等奖十余项。 学院积极开展国际交流与合作，与国际学术界交往频繁，每年都有多人次出国进修、合作研究、参加国际学术会议和讲学；并多次邀请国外学者来学院访问与讲学。分别与美国、德国、意大利、俄罗斯、澳大利亚、以色列、香港、台湾等国家和地区的著名大学和科研机构建立了良好的联系与合作关系。 科学学位硕士研究生奖学金评定和助学金、贷款资助等办法按学校有关规定实行。2012年在招生计划总数下，拟接收校内外硕士推免生约占30%，统招生约占70%。 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2. 2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω 量子力学知识精要与真题详解，益星学习网可免费下载题库 目录 第一章量子力学的诞生 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第二章波函数与Schr?dinger方程 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第三章一维定态问题 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第四章力学量用算符表达与表象变换 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第五章力学量随时间的演化与对称性 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第六章中心力场 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第七章粒子在电磁场中的运动 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第八章自旋 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第九章力学量本征值问题的代数解法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十章定态问题的常用近似方法 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十一章量子跃迁 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 第十二章散射 第一节重点与难点解析 第二节名校考研真题详解 第三节名校期末考试真题详解 附录 1．南京大学2008年《量子力学》考研试题与答案2．浙江大学2009年《量子力学》考研试题与答案3．武汉大学2007年《量子力学》考研试题与答案4．吉林大学2009年《量子力学》考研试题与答案5．北京师范大学2009年《量子力学》考研试题与答案6．西安交通大学2006年《量子力学》考研试题与答案 华中科技大学2008~ 2009学年第1学期 《大学物理（二）》课程考试试卷（A 卷）（闭卷） 考试日期：2008.12.21.晚 考试时间：150分钟 一．选择题（单选，每题3分，共30分） 1、一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。设t = T /4时刻的波形如图所示，则该波的表达式为： (A))/(cos u x t A y -=ω (B)]2 )/(cos[π ω+ - =u x t A y (C))]/(cos[u x t A y +=ω (D)])/(cos[πω++=u x t A y [ ] 2、一质点作简谐振动, 其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相位为： (A) 6π (B) 65π (C) 6 5π- (D) 6π- (E) 3 2π- [ ] 得 分 评卷人 3、 使一光强为I 0的平面偏振光先后通过两个偏振片P 1和P 2，P 1和P 2的偏振化方向与原 入射光光矢量振动方向的夹角分别是α和90°，则通过这两个偏振片后的光强I 是 （A ） α202 1cos I （B ）0 （C ）)2(sin I 412 0α （D ）α2 04 1sin I （E ）α40cos I ［ ］ 4、在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，设中央明 纹的衍射角范围很小．若使单缝宽度a 变为原来的3/2，同时使入射的单色光的波长λ变为原来的３／４，则屏 幕Ｃ上单缝衍射条纹中央明纹的宽度Δx 将变为原来的 （Ａ）３／４倍． （Ｂ）２／３倍． （Ｃ）９／８倍． （Ｄ） 1 / 2倍． （Ｅ）２倍． ［ ］ 5、弹簧振子的振幅增加1倍，则该振动： （Ａ）周期增加1倍； （Ｂ）总能量增加2倍； （Ｃ）最大速度增加1倍； （Ｄ）最大速度不变。 ［ ］ 6、两个线圈P 和Q 并联地接到一电动势恒定的电源上，线圈P 的自感和电阻分别是线圈Q 的两倍，线圈P 和Q 之间的互感可忽略不计。当达到稳定状态后，线圈P 的磁场能量与Q 的磁场能量的比值是 （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）1/2 [ ] 7、Ｎ型半导体中杂质原子所形成的局部能级 (也称施主能级)，在能带结构中处于 (A)满带中 (B)导带中 (C)禁带中，但接近满带顶 (D)禁带中，但接近导带底 [ ] 8、关于不确定关系式 ≥???x p x ，下列说法中正确的是： (A)粒子的坐标和动量都不能精确确定。 (B)由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时完全确定。 (C)由于量子力学还不完备，粒子的位置和动量不能同时完全确定。 (D)不确定关系是因为测量仪器的误差造成的。 [ ] λ 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对 1. 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，形成了三门经典学科。这三门经典学科分别是＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿. 2. 按经典的物质概念，物质可以分为两类，一类是＿＿＿＿，另一类是＿＿＿＿＿＿． 3. 二十世纪初，经典物理学遇到了无法克服的困难。这些困难分别是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿及＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4. 经典物理中，对实物的运动采用＿＿＿＿＿来描述，实物的运动遵守＿＿＿＿＿＿。 5. 经典物理中，对辐射场的运动采用＿＿＿＿＿来描述，辐射场的变化遵守＿＿＿＿＿＿。 6. 在经典概念下，实物的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿． 7. 在经典概念下，辐射场的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿． 8. 在经典概念，粒子性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 9. 在经典概念，波动性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 10. 在经典概念，波动性和粒子性＿＿＿（填是否可以）统一于同一物质客体． 11. 光的波动性的理论基础是＿＿＿＿＿＿＿＿． 12. 光的波动性的实验证据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 13. 光的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 14. 光的粒子性的理论依据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 15. 微粒的粒子性是指微观粒子的＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿以及＿＿＿＿＿＿． 16. 微粒的波动性是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 17. 微粒的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿． 18. 按照爱因斯坦光子假设，光子的能量E和动量P与光波的频率ν和波长 λ的关系为 E=＿＿＿＿，P=＿＿＿＿． 19. 按照德布洛依假设，能量为E、动量为P的自由粒子其相应的物质波的 波长λ=＿＿ ＿＿，频率ν=＿＿＿． 20. 自由粒子的动能为E，速度远小于光速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 21. 电子被电势差V（伏）加速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 22. 按照德布洛依假设，粒子的能量E、动量P与相应的物质波的频率ν， 波长λ的关 系是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 23. 历史上第一个肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是＿＿＿＿． 24. 历史上第一次用实验证明实物具有波动性的科学家是＿＿＿＿＿＿＿＿． 25. 能量为E，动量为P的自由粒子的平面波的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿． 26. 玻尔的氢原子理论包含三条假设，分别是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿． 27. 索末菲对玻尔的轨道量子化条件推广为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 28. 玻尔的频率条件表示为＿＿＿＿＿＿＿＿． 29. 任何态函数用动量本征函数展开的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 30. 任何态函数在动量表象中的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 31. 波函数是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解 5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系 的状态。 一． 计算题（20分×4题） 1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势 ???><-=0,00 ,)(0 x x U x U 入射，求透射系数。讨论如下三种情况： （1）－U0 令： η2 01) (2U E k += μ， η222E k μ= 可将上述方程简化为： 一般解可写为： 考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有： 解得： ???????+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有 但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有 解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，仍有粒子被反射。 2.一维谐振子在 t ＝0 时处于归一化波函数 )()(51 )(21)0,(420x C x x x φφφψ++= 所描述的态中，式中 ) (),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函 数，求： 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A量子力学思考题及解答
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