量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）；
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e c
hv d kT
hv v v 1
1
833
-?
=πρ， （1）
以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=
kT
hc
λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv ，
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6
1051.0?，
因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E
2
3
=
（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据
eV K k 3101-=?，
知本题的氦原子的动能为 显然远远小于2
c 核μ这样，便有 这里，利用了
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124
109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K
的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有 这样，便有
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
可解出 k
E
x 2±
=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； 这样，便有
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分 这样，便有
??--?
=-?=?
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμ
μ
πθμ
d k
E B A k
E d k
E B A （1）
这里? =2θ，这样，就有
0sin ==-?-π
π
?μ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有 这样，便有 其中π
2h h =
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐μ
22p E =，所以，有
其中，μ
2η
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 具体到本题，有
根据动能与温度的关系式 以及
可知，当温度T=4K 时， 当温度T=100K 时，
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 此外，还有 于是，有
尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
可见t J 与ρ
无关。
由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21ρ
ρ
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
ρρρ r J 1ρ
ρ与同向。表示向外传播的球面波。
可见，r J ρ
ρ与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx
e
x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∴波函数不能按
1)(2
=?
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-<η① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤η② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+->η③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψη
令2
2
2ηmE
k
=
，得 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤
0=?B
⑥ 0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0ΛΘ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin
)(2= 由归一化条件
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b a xdx a n x a m δππ?=*2sin sin
),3,2,1( 222
2
2Λη==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
#
. 证明（）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：??
?
??≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （）
由归一化，得 ∴归一化常数a
A 1=
' #
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 可见μω
α
η
±
=±
=1
x
是所求几率最大的位置。 #
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d ψψψμ=+-
η ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=--+--ψψψμη ②
利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=-+--ψψψμη ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得
其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得 可见，12
=c
当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。# 一粒子在一维势阱中
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx
d 211012
22ψψψμ=+-η a x <<∞- ① Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx d ψψμ=-
η a x a ≤≤- ② Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx
d 233032
2
2ψψψμ=+-η ∞< Ⅰ： 0) (212 01 =--''ψμψη E U ④ Ⅱ：. 0E 2222 =+''ψμψη ⑤ Ⅲ：0) (232 03 =--''ψμψη E U ⑥ 令 2 2 2 202 12 )(2ηηE k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 012 11 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 022 22 =-''ψψk ⑧ Ⅲ：012 13 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 由波函数的有限性，有 因此 由波函数的连续性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(22122 12 2=--a k k k a k k k 即 022)(2122 122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 # 解法三： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 合并)b ()a (、 ： 212221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 22 22-= # k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( ) 13 ( ) 11 ( 1 2 2 ? ? ? ? ? 解法四：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：11012 2ψψψμ E U =+''-η （χ≤0） Ⅱ：22 2 2ψψμE =''-η （0＜χ＜2a ） Ⅲ：3303 2 2ψψψμ E U =+''-η （χ≥2a ） ?????=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 3213 2 222222202 11211ψψμψψμψψηη束缚态0＜E ＜0U 因此 由波函数的连续性，有 (7)代入(6) 利用(4)、(5)，得 # 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμ η Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ η Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ η Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ η 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 而 . 0) ( 222 02 =--''ψμψη E U ① 0) ( 232 13 =++''ψμψηE U ② 02424 =+''ψμψη E ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 02212 =-''ψψk 2 02 1) ( 2ηE U k -=μ ④ 03233 =+''ψψk 2 12 3) ( 2ηE U k +=μ ⑤ 042 44 =+''ψψk 2 2 4/2ηE k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 由波函数的有限性，得 ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 ∴ )(332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232cos sin )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133 sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243 cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 由⑦、⑧，得a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos ( 223 22232=+-=+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令21 11 11k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则①式变为 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 把β代入即得 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。 此即为所求方程。 # 补充练习题一 1、设 )()(222 1 为常数αψαx Ae x -=，求A = ？ 解：由归一化条件，有 π α α 1 A dy e 1 A 2 y 2 2 ==? ∞ ∞ -- 利用 ∴π α= A # 2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为ωη2 10= E 设基态的经典界限的位置为a ，则有 ∴0a 1 a == = α μω η 在界限外发现振子的几率为 式中 ? ∞ --2 2 /221 dt e t π为正态分布函数? ∞ --= x t dt e x 2 /2 21 )(πψ 当)2(2ψ时的值=x 。查表得92.0)2(=&ψ ∴]92.0[?-? =πππ ω& 16.0)92.01(2=-= ∴在经典极限外发现振子的几率为。 # 3、试证明)x 3x 2(e 3)x (33x 21 2 2ααπ αψα-=-是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为 )()(2 1 )(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+-η ① 把)(x ψ代入上式，有 把)(22 x dx d ψ代入①式左边，得 当ωη2 7 = E 时，左边 = 右边。 n = 3 )32(3)(3321 2 2x x e dx d x x ααπαψα -=-，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ωη2 7 。 第三章 量子力学中的力学量 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- = ，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； ) ( 0 x a x a x e dx e dx e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)动能的平均值μ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1)?? ∞ ∞ --== dx e x x U x 2 2 22222121α π αμωμω (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμ μ 或 ωωωηηη4 1 4121=-= -=U E T (3) ?=dx x x p c p )() ()(*ψψ 动量几率分布函数为 # .氢原子处在基态0/3 1 ),,(a r e a r -= π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -= = (3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 令 0321 , ,0 0) (a r r r dr r d =∞==?=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 ∴ 0a r =是最可几半径。 (4)2222?21??-==μ μηp T (5) τ?θψψd r r p c p ),,()()(*ρ ρ?= 动量几率分布函数 # 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 ?在球极坐标中为 式中?θe e e r ρ ρρ、、为单位矢量 m n λΘψ中的r 和θ部分是实数。 ∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e ρηρ λλ)(sin 222--- = ?ψθ μe r m e m n ρ ηλ2sin -= 可见，0==θe er J J # 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 原子磁矩与角动量之比为 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 A dS J iA dM e ?==? （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积） (2)氢原子的磁矩为 在CGS 单位制中 c m e M μ2η-== 原子磁矩与角动量之比为 )( 2SI e L M L M z z z μ -== )( 2CGS c e L M z z μ-= # 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I L H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情 况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 哈米顿算符 22 222?21?? d d I L I H Z η-== 其本征方程为 (t H 与?无关，属定态问题) 令 2 2 2ηIE m = ，则 取其解为 ??φim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 即 12=π m i e ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为I m E m 22 2η= (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 A 为归一化常数，由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 t H 与?无关，属定态问题，其本征方程为 (式中),(?θY 设为H ?的本征函数，E 为其本征值) 令 2 2ηλ=IE ，则有 此即为角动量2 ?L 的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数?θ?θim m m m e P N Y )(cos ),(λλλ= ∴ 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是)12(+λ重简并的。 # 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(2121212 kx kx A kx kx A x +-=+=ψ 可见，动量n p 的可能值为ηηηηk k k k -- 2 2 0 动能μ22 n p 的可能值为μ μμμ2 2 2 2 02 2222222ηηηηk k k k 对应的几率n ω应为 ηπ2)16 16 16 16 4(2 2222?A A A A A 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ ηπ/1=A ∴ 动量 p 的平均值为 # 一维运动粒子的状态是 其中0>λ ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 ∴2 /32λ =A 动量几率分布函数为 (2) ?? ∞ ∞ ---∞ ∞ --==dx e dx d x e i dx x p x p x x )(4)(?)(3*λλλψψη # .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 动量的几率分布函数为2 )(n C E = ω 先把)(x ψ归一化，由归一化条件， ∴5 30a A = ∴ ? -??= a n dx x a x x a n a a C 0 5)(sin 302π ∴ 26 62 ])1(1[240 )(n n n C E --= =π ω .设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z 分量的可能值为 其相应的几率分别为 41， 4 3 其平均值为 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 0=ψ (a r ≥) 由于在a r <的区域内，0)(=r U 。只求角动量为零的情况，即0= λ，这时在各个方向发现粒子的几率是 相同的。即粒子的几率分布与角度?θ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与?θ、无关。设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为 令 22 2 ,)(η E k rE r U μψ==，得 其通解为 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r B r sin )(= ψ 由波函数的连续性条件，有 ∵0≠B ∴),2,1( Λ==n n ka π ∴ 2 2222a n E n μπη= 其中B 为归一化，由归一化条件得 ∴ a B 21π= ∴ 归一化的波函数 r r a n a r ππψsin 21)(= # . 求第题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22 =???p x 解： 0=p 粒子处于状态 式中ξ为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系?)()(22 =?p x ?? 解：①先把)(x ψ归一化，由归一化条件，得 ∴π ξ 21 2 = / ∴ 是归一化的 ② 动量平均值为 ③ ?)()(22=?p x ?? ?? ∞ ∞ --∞ ∞ -==dx xe dx x x x 2 *πψψ （奇被积函数） # 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 解：设氢原子基态的最概然半径为R ，则原子半径的不确定范围可近似取为 由测不准关系 得 2 2 2 4)(R p η≥? 对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符p ρ 为奇宇称，所以 又有 22 2)(p p p -=? 所以 2 2 2 2 4)(R p p η≥?= 可近似取 22 2 R p η≈ 能量平均值为 r e P E s 2 22- =μ 作为数量级估算可近似取 R e r e s s 2 2≈ 则有 R e R E s 222 2-≈μη 基态能量应取E 的极小值，由 得 2 2 s e R μη= 代入E ，得到基态能量为 2 4 min 2η s e E μ- = 补充练习题二 1．试以基态氢原子为例证明：U T ??或不是ψ的本征函数，而是U T ??+的本征函数。 可见，的本征函数不是U ?100ψ 可见，100ψ是)??(U T +的本征函数。 2．证明：ηη±== L L ，6的氢原子中的电子，在??=135 45和θ的方向上被发现的几率最大。 解： ΩΩ?θd Y d W m m 2 ),(λλΘ= ∴ 2 ),(m m Y W λλ=?θ ηη±== L L ，6的电子，其1 ,2±==m λ ∴θπ θθπ?θ2sin 3215cos sin 815),(2222 12== =±m Y W λ 当??=135 45和θ时 π 3215 12= ±W 为最大值。即在?=?=13545θθ，方向发现电子的几率最大。 在其它方向发现电子的几率密度均在0～ π 3215 之间。 3．试证明：处于1s ，2p 和3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为00094a a a 和、 的球壳内被发现的几率最大(0a 为第一玻尔轨道半径 )。 证：①对1s 态，0 /2/30 10)1( ,0 ,1a r e a R n -===λ 令 010 =??r W 0321 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当0 ,01021=∞==?W r r 时，不是最大值。 2 0104)(-= e a a W 为最大值，所以处于1s 态的电子在0 a r =处被发现的几率最大。 ②对2p 态的电子02/0 2 /30 213)21( ,1 ,2a r e a r a R n -=== λ 令 021 =??r W 03214 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当0 ,02121=∞==?W r r 时，为最小值。 ∴ 04a r =为几率最大位置，即在04a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。 ③对于3d 态的电子 03/20 2/3032)(15811)2( ,2 ,3a r e a r a R n -===λ 令 032 =??r W 03219 , ,0a r r r =∞==? 易见 ，当0 ,03221=∞==?W r r 时，为几率最小位置。 ∴ 09a r =为几率最大位置，即在09a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。 4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为 其中 00>U ，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为ε，方向沿χ轴负向，则总势能为 )0( )(≤-=x x e x V ε， 势能曲线如图所示。则透射系数为 式中E 为电子能量。01=x ，2x 由下式确定 ∴ ε e E U x -= 02 令 θε 20sin e E U x -= ，则有 ∴透射系数])(232exp[00E U e E U D --- ≈με η 5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 2 2 2 4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑ =n K 1 解：①2 2 2 4dx d x 是线性算符 ② []2 不是线性算符 ③ ∑ =n K 1 是线性算符 6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 7、下列函数哪些是算符2 2 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2 x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 解：①2)(22 2 =x dx d ∴ 2 x 不是2 2 dx d 的本征函数。 ② x x e e dx d =2 2 ∴ x e 不是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 2 2-== ∴ 可见，x sin 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(2 2x x x dx d x dx d --=-= ∴ x cos 3 是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ⑤) cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 8、试求算符dx d ie F ix -=?的本征函数。 解：F ?的本征方程为 ix Fe ce --=φ（F F 是?的本征值） 9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。 解： ??? ???? ≥∞≤=2 ,2 ,0)(a x a x x U 方程（分区域）： Ⅰ：∞= )(x U ∴ 0)(=x I ψ )2(a x -≤ Ⅲ：∞= )(x U ∴ 0)(=x III ψ )2 (a x ≥ Ⅱ：II II E dx d ψψμ=- 2 222η 令 2 2 2ηE k μ= 标准条件：?? ???=-=-) 2()2()2()2(a a a a III II II I ψψψψ ∴ 0)sin(=+-δkx A ∵ 0≠A ∴ 0)sin(=+-δkx 取 02=-a k δ， 即 2 a k =δ ∴ )2 (sin )(a x k A x II + =ψ ∴ πn ka = ) ,2 ,1(Λ=n ∴ 粒子的波函数为 ??? ????≥ ≤+=2 ,02 ),2(sin )(a x a x a x a n A x πψ 粒子的能级为a k n k E μπμ222 2222==η ) ,3 ,2 ,1(Λ=n 由归一化条件，得 ∴ a A 2= ∴ 粒子的归一化波函数为 10、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、 的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径）。 证：dr r R dr r s 22 1010)( :1=ω 令 010 =dr d ω，则得 00 210 211>=r dr d ω ∴011=r 为几率最小处。 00 112 10 2<=a r dr d ω ∴011a r =为几率最大处。 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡. 关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用 十九世纪末期,物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段.那时,一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明:物体的机械运动比光速小的多时,准确地遵循牛顿力学的规律;电磁现象的规律被总结为麦克斯韦方程;光的现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程;热的现象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼,吉不斯等人建立的统计物理学.在这种情况下,当时有许多人认为物理现象的基本规律已完全被揭露,剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上,进行一些计算而已。 这种把当时物理学的理论认作”最终理论”的看法显然是错误的,因为:在绝对的总的宇宙发展过程中,各个具体过程的发展都是相对的,因而在”绝对真理的长河中,人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识具有相对的真理性.”生产力的巨大发展,对科学试验不断提出新的要求，促使科学试验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象，例如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系以及固体在低温下的比热等，都是经典物理理论所无法解释的。这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。黑体辐射和光电效应等现象使人们发现了光的波粒二象性；玻尔为解释原子的光谱线系而提出了原子结构的量子论，由于这个理论只是在经典理论的基础上加进一些新的假设，因而未能反映微观世界的本质。因此更突出了认识微观粒子运动规律的迫切性。直到本世纪二十年代，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径。 量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想，新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人），他们的思想不能（或不完全能）随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为说明这些现象而提出的新思想，新理论纳入经典物理理论的框架之内。虽然本书中不能详细叙述这个过程。尽管这些新现象在十九世纪末就陆续被发现，而量 量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4) 经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 量子力学与经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学就是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革,一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识,另一方面使人们认识到物理理论不就是绝对的,而就是相对的,有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律,而量子力学则描述微观物质形态的运动规律,她们之间有质的区别,又有密切联系。本文试图通过解释、比较,找出它们之间的不同,进一步深入了解量子力学,更好的理解与掌握量子力学的概念与原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现,量子世界真正的基本特性:如果系统真的从状态A跳跃到B的话,那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候,我们所获得的结果就是有限的,而当我们没有观察的时候系统正在做什么,我们都不知道。量子理论可以说就是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就就是:在经典物理中,运动状态描述的特点为状态量都就是一些实验可以测量得的,即在理论上这些量就是描述运动状态的工具,实际上它们又就是实验直接可测量的量,并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数描述,一切都就是不确定的。但就是当微观粒子积累到一定量就是,它们又显现出经典力学的规律。 关键字:量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 1、1 经典力学基本内容及理论 (3) 1、2 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 2、1 微观粒子与宏观粒子的运动状态的描述 (4) 2、2 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论:量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 量子力学与经典力学在的区别与联系 一、量子力学及经典力学基本内容及理论 1、1经典力学基本内容及理论 经典力学就是在宏观与低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念与理论体 《量子力学与统计力学》各章习题 习题一 1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30o初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力 作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动 能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2 ，地面为零重力势能面）。 1.2、在极坐标平面中任取两点P 1和P 2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P 1和P 2处 的极坐标单位矢。 1.3、在球坐标系中任取一点P ，试画出P 点的球坐标单位矢。 1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不 同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。 1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange 方程适用的体系。 1.6、证明: Lagrange 方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen 形式： αα αQ q T q T =??-??2 ,s ,,2,1 =α 1.7、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α。试证明存在一个任意可微函 数),,,,(21t q q q F s ，由它与该体系的Lagrange 函数构成的如下函数 dt t q q q dF s ) ,,,,(L L 21 + =' 满足Langrange 方程（1.67）式。 1.8、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α，满足Langrange 方程（1.67） 式的Lagrange 函数为),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 。设存在另一组广义坐标αξ，),,2,1(s =α，且有变换方程 ),,,,(21t q q s ξξξαα =，s ,,2,1 =α 此变换叫做点变换。证明： 若通过上述点变换将),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 变 换为),,,,,,,,(L L 2121t s s ξξξ ξξξ =，则有 s dt d , ,2 ,1 ,0L )L ( ==??-??αξξα α 这就是说，Lagrange 方程的形式与所选用的广义坐标无关。 1.9、一个质量为m 的物体在地球(质量为M )引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面 上建立极坐标系),(?r ，并选极坐标为广义坐标。 1）、写出该物体的Lagrange 函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange 方程导出 该物体的径向和横向运动方程； 2）、写出该物体的Hamilton 函数， 并由Hamilton 正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对量子力学思考题及解答
量子力学教程课后习题答案
量子力学期末考试题解答题
从经典力学到量子力学的思想体系探讨
量子力学习题集及答案
量子力学与能带理论
量子力学和经典力学联系的实例分析
2011量子力学期末考试题目
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
经典力学与量子力学中的一维谐振子
量子力学思考题及解答
量子力学典型例题分析解答1
量子力学的发展史及其哲学思想
量子力学和经典力学的区别与联系(完整版)
经典力学与量子力学中的一维谐振子
量子力学和经典力学的区别与联系
量子力学和经典力学的区别与联系
量子力学与统计力学各章习题Word版
周世勋量子力学习题及解答
相关主题
文本预览