1、设恒成立的c的取值范围是
A． B． C． D．
2、设，且（其中），则M的取值范围是
．．
满足，则的取值范围是
．
，，，则的最小值是（
（Ａ）
5、若不等式组所表示的平面区域被直线的值是
(A)(C) (D)
6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
7、已知正实数满足，则的最小值为。
8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函
数的最优解，则的取值范围是( )
（A）（B）（C）（D）
9
A.18
10满足，则的最小值为
A．3 ．
11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为；（2）证明：；
（3）若满足不等式的取值范围。
12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值
为 .
13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 14、若不等式的解集为区间,且,则k=________ 15、已知满足，则的取值范围是 . 16、关于的不等式在上恒成立，则实数k 的范围为 ． 17、已知函数，若，则实数的取值范围是 . 18）；（ 。其中一定成立的不等式的序号是_________________。 19，。（1）求不等式的解集； （3时，求函数的最大值。20、已知函数是定义在上的奇函数,都有＞0时, 有）用单调性的定义证明在上为单调递增函数；（2）解不等式＜；（3）设,若＜ ,对所有,恒成立,求实数的取值范围． 21、已知不等式的解集为， （1）求的值； （2）解关于的不等式： 22.设实数y x ,满足1)1(2 2=-+y x ，当0≥++c y x 时，求c 的取值范围。 23.若x2+y2=1，则的最大值为___________． 1 ）Z （B （1 （2）A （3 2W+Z t代表时间）下列有关X、Y、Z、W的状态叙述正确的是： A．X、Y、W为气体，Z不是气体B．X、Y为气体，W、Z中有一种是气体 C．W、Z为气体，X、Y中有一种是气体 D．W、Z中有一种为气体，X、Y都不是气体 3、某化学科研小组研究在其他条件不变时，改变某一条件对化学平衡的影响，得到如下变化规律（图中P表示压强，T表示温度，n表示物质的量）： 根据以上规律判断，上列结论正确的是（） A． C． 4 2SO2（g2SO A． B． C．图III研究的是催化剂对平衡的影响，且甲的催化效率比乙高 D．图III研究的是温度对化学平衡的影响，且乙的温度较低 5、在容积不变的密闭容器中进行反应：2SO2(g)＋O2(g)2SO3(g)；ΔH<0。下列各图表示当其他条件不变时，改变某一条件对上述反应的影响，其中分析正确的是 A.图Ⅰ表示温度对化学平衡的影响，且甲的温度较高 B.图Ⅱ表示t0时刻使用催化剂对反应速率的影响 C. D. 6Y(g) 是 A．A 前者< C 状态 7、 B(g)2C(g) －1 C. 8W%； W%，则x 的值为 A、只能为2 B、只能为3 C、可能为2，也可能为3 D、无法确定 9、一定温度和压强下，下列各可逆反应达到化学平衡状态，各反应有如图所示的对应关系： （1）N2(g)+3H2(g)2NH3(g)；ΔH＜0（曲线Ⅰ） （2）H2(g)＋I2(g)2HI(g)；ΔH＞0（曲线Ⅱ） （3）2SO3(g) 2SO2(g) +O2(g)；ΔH＞0（曲线Ⅲ） 则下列y轴的表达意义均符合上述三个平衡状态的是 A.平衡混合气中一种生成物的物质的量浓度 B.平衡混合气中一种反应物的体积分数 C.平衡混合气的平均相对分子质量 D.平衡混合气中一种反应物的转化率 10、在一个容积为2L的密闭容器中，加入0.8mol的A2气体和0.6molB2气体，一定条件下发生如下反应：A2(g)+B2(g)―2AB(g)△H<0，反应中各物质的浓度随时间的变化情况如图所示。 (1)该反应进行到__________时达到平衡，用AB表示的平均反应速率为： 。则 g)C 。 （4）若在（3）的平衡混合物中再加入3molC，待再次到达平衡后，C的物质的量分数是。 II．若维持温度不变，在一个与（1）反应前起始体积相同、且容积固定的容器中发生上述反应。 （5）开始时放入1molA和1molB到达平衡后生成b molC。将b与（1）小题中的a进行比较（选填一个编号）。（甲）a＜b （乙）a＞b （丙）a＝b （丁）不能比较a和b的大小 作出此判断的理是。 12、向体积为 2L 的固定密闭容器中通入3molX 气体 , 在一定温度下发生如下反应：2X (g) Y (g) +3Z (g) (1). 经 5min 后反应达到平衡 , 此时测得容器内的压强为起始时的 1.2 倍 , 则用 Y 表示的速率 为 mol/L·min。 (2)若上述反应在甲、乙、丙、丁四个同样的密闭容器中进行 , 在同一段时间内测得容器内的反应速率分别为 : 甲、v (X) =3. 5 mol/L·min; 乙、 v (Y) =2 mol/L·min; 丙、 v (Z) =4. 5 mol/L·min; 丁、 v (X) =0. 075 mol/L·s 。若其它条件相同 , 温度不同 , 则温度由高到低的顺序是 ( 填序号〉 (3) 若向达到 (1) 的平衡体系中充入惰性气体, 则平衡向 ( 填"左"或"右"或"不)移动；若向达到 (1) 的平衡体系中移走部分混合气体 , 则平衡向( 填 " 左 " 或 " 右 " 或 " 不 ") 移动。 (4)若在相同条件下向达到 (1) 所述的平衡体系中再充入 0.5molX 气体 , 则平衡后 X 的转化率与(1) 的平衡中的 X A (5) (1) (6) (1) 13、1molHe，此时K）2C （1 （2 （3 ______50＜6 ②＞6 （4）若达到平衡时，隔板K最终停留在左侧刻度靠近0处，则乙中可移动活塞F最终停留在右侧的刻度不大于( )；若K最终停留在左侧刻度靠近2处，则乙中F最终停留在右侧的刻度不小于( )。 （Ⅱ）若一开始就将K、F固定，其他条件均不变，则达到平衡时： （1）甲、乙中C的摩尔分数是( )（填：“甲＞乙”或“甲＜乙”或“甲＝乙”）； （2）测得甲中A的转化率为b，则乙中C的转化率为( )； （3）假设乙、甲两容器中的压强比用d表示，则d的取值范围是( )。 14、如图所示，当关闭阀门K时，向甲中充入1.5 mol A、3.5 mol B，向乙中充入3 mol A、7 mol B，起始时，甲、乙体积均为V L。在相同温度和有催化剂存在的条件下，两容器中各自发生下列 反应：3A(g)＋2B(g)C(g)＋2D(g)；ΔH<0 达到平衡（Ⅰ）时，V(乙)=0.86V L。请回答： （1）乙中B的转化率为 （2）甲中D和乙中C的物质的量比较：（填“相等”、“前者大”、“后者大”）； （3 15 A2Y2Z B C D 16 7体积。据此回答下列问题： （1）保持上述反应温度不变，设a、b、c分别代表初始加入的N2、H2和NH3的体积，如果反应达到平衡后混合气体中各气体的体积分数仍与上述平衡相同，那么： ①若a=1，c=2，则b=_________。在此情况下，反应起始时将向_________（填“正”或“逆”）反应方向进行。 ②若需规定起始时反应向逆反应方向进行，则c的取值范围是_________。 （2）在上述装置中，若需控制平衡后混合气体为6.5体积，则可采取的措施是_________，原因是_________。 17.甲、乙两容器都发生反应2A(g)＋B(g)xC(g)，两容器温度和初始压强相同。甲容器中充入2molA和1molB， 达平衡后，C在平衡混合气中的体积分数为? 、物质的量为n1；乙容器中充入1.4molA、0.7molB和0.6molC，达平衡 后C在平衡混合气中的体积分数为? 、物质的量为n2。下列说法中正确的是 A B 若甲、乙两容器均为恒压容器，则x必等于3 C D ，则n1必大于n2 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高二数学基本不等式训练题 数学基本不等式训练题1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是() A.有最大值-2 B.有最小值2 C.无最大值和最小值 D.无法确定 答案：B 2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案：A 3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____. 答案：2 4 4.已知f(x)=12x+4x. (1)当x0时，求f(x)的最小值; (2)当x0 时，求f(x)的最大值. 解：(1)∵x0，12x，4x0. 12x+4x212x4x=83. 当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83， 当x0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x0，-x0. 则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83， 当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号. 当x0时，f(x)的最大值为-83. 一、选择题 1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+12x B.x2-1+1x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案：C 2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是() A.32-3 B.-3 C.62 D.62-3 解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3. 3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立. 4.给出下面四个推导过程： ①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba ②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx ③∵aR，a0，4a+a 24a ④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2. 其中正确的推导过程为() A.①② B.②③ 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2 ．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3 ．常考不等式：2 222 1122a b a b ab ++??≥≥≥ ???+ ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，( )min a b +=。其中 [),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 max 2a b ab +?? = ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得 ： 1a b ==-时取等号。 变式：函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中 可得1m n +=，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：且仅当12 m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析： 且仅当2 1212 x x x +=?=-时取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x ++的最小值为 。 解析：由题意可得()120,212 x x x +>+?=+，明显，积为定，根据和定积最大法则 1 22112 x x x x +=?+= ?=-+时取 例题3：若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数 分离的方法。 解法1： 精品文档 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） +ab）＜log（a+a+b））B＜A．a+．＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．loga+C．a+＜log（a+b22xyz，则（=3=5x、y、z为正数，且2）2．设 A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 满足，则x+2y的最大值为（x，y）3．若 D．9A．1 B．3 C．5 满足约束条件yx，4的最小值是（）．设，则z=2x+y A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 满足约束条件，yx）5．已知，则z=x+2y的最大值是（ A．0 B．2 C．5 D．6 满足约束条件，则z=x+y的最大值为（．设x，y）6 A．0 B．1 C．2 D．3 满足约束条件y．设x），7z=x则﹣y的取值范围是（ A．[﹣3，0]，D ．[03] B．[﹣3，2]]，[C．02 满足约束条件﹣，则z=xyy．已知变量x，的最小值为（）8 ．D．0 B．﹣A3 ．C3 精品文档． 精品文档 满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（9．若变量x，y） ．﹣DC．﹣3A．1 B．﹣1 +的最小值是（，且ab＞0），则10．若a，b∈R 2．．2 BD．CA．1 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） ccab．D．logc＞B．alog＜bcA．c ＞cC ba yx，则lg8，lg2=lg2+12．已知x ＞0，y＞0的最小值是（） 2D．2 C．BA．2 ．4 ，则的最小值是（ +b=3）＞0，b＞2，且a13．设a ．．．CDA．6 B 2222﹣xy的最小值是（xy=315，则x+．已知14x，y∈R，xy+y）+ A．35 B．105 C．140 D．210 +≥m1恒成立，则，不等式m的最．设正实数x，y满足x＞，y＞15）大值为（ 16D．2 B．．4 C．8 高考数学基本不等式专项练习题附答案 1.2021·徐州期中检测如果log2x+log2y=1，则x+2y的最小值是________. [解析] 由log2x+log2y=1得log2xy=1， xy=2且x>0，y>0，x+2y≥2=4. 当且仅当x=2y即x=2，y=1时，x+2y取得最小值4. [答案] 4 2.2021·山东高考改编设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则的最大值是________. [解析] 由题设，得z=x2-3xy+4y2， ==， 又x，y，z大于0， +≥4，故≤1. 当且仅当x=2y时，等号成立，则的最大值为1. [答案] 1 3.2021·苏州调研若x>2，则x+的最小值为________. [解析] x>2， x-2>0，x+=x-2++2≥2+2=4， 当x-2=即x=3时等号成立， x+的最小值为4. [答案] 4 4.2021·扬州中学检测设x，y均为正实数，且+=1，则xy的最小值为________. [解析] 由已知解出y=-2， 那么xy=x=-2x=x+9+， x，y为正实数，y>0，则x>1，x-1>0， x+9+=x-1++10≥2+10=16， 当且仅当x-1=，即x=4时等号成立，故所求最小值为16. [答案] 16 5.2021·泰州调研关于x的方程x2+2px+2-q2=0p>0，q>0有两个相等的实根，则p+q 的取值范围是________. [解析] 由题意，Δ=4p2-42-q2=0，即p2+q2=2， 又p+q2=p2+q2+2pq≤2p2+q2=4. 所以00，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值是________. [解析] a>0，b>0， +≥恒成立，等价于m≤5++恒成立. 又5++≥5+2=9，当且仅当=，即a=b时，等号成立. m≤9，则m的最大值为9. [答案] 9 8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y 单位：万元与机器运转时间x单位：年的关系为y=-x2+18x-25xN*.则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. [解析] 每台机器运转x年的年平均利润为=18-，而x>0，故≤18-2=8，当且仅当 x=5时，年平均利润最大，最大值为8万元. [答案] 5 8 9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0， 求：1xy的最小值;2x+y的最小值. [解] x>0，y>0,2x+8y-xy=0， 1xy=2x+8y≥2， ≥8，xy≥64. 故xy的最小值为64. 2由2x+8y=xy，得：+=1. x+y=x+y·1=x+y 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 基本不等式 同步练习(一) 选择题 1、下列函数中，最小值为4的函数是（ ） A 、x x y 4+= B 、)0(sin 4sin π x x x y += C 、x x e e y -+=4 D 、81log log 3x x y += 2、已知正数y x ，满足194=+y x ，则xy 有（ ） A 、最小值12 B 、最大值12 C 、最小值144 D 、最大值144 3、设*N n z y x ∈， ，且z x n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地间铁路 线长为400 km ，为了安全，两列货车间的间距不得小于2 20??? ??v km ，那么这批货物全部运到B 市最快需要（ ） A 、6 h B 、8 h C 、10 h D 、12 h 5、若)2 lg()lg (lg 21 lg lg 1b a R b a Q b a P b a +=+=?=，，， ，则（ ） A 、Q P R B 、R Q P C 、R P Q D 、Q R P 6、若a ，b 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．1>a b C ．1-a b 7、R c b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．c b c a ->+ B ．bc ac > C ．02 >-b a c D ．0)(2≥-c b a 8、若b a >、d c >，那么（ ） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．c b d a ->- D ．c d b a > 9、给定0>>b a ，R d ∈，下列各式中不正确的是（ ） A ．2b ab > B ．c b c a +>+ C ．b a > D ．bc ac > 解答题 10．已知0,0,0>>>c b a ，求证： )(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 11．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： )()()()(2222222b a c a c b c b a c b a +++++>++． 12．已知a ，b ，c 都是正数，且1=++c b a ， 求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---． 答案： 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____高中数学不等式练习题
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