数论的方法技巧之一
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：
1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得
a=bq+r（0≤r＜b），
且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：
d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法
对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：
1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；
2．带余形式：a=bq+r；
4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？
解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成1000a3+100a2+10a1+a0，
它的各位数字之和的10倍是
10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998，
110a3+10a2-a0=222。
比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
a0=8，a2=1，a3=2。
所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。
解：依题意，得
a+b+c＞14，
说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。
例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则
a+b+c=18m，a+b+d=18n，
其中m，n是自然数。于是
c-d=18（m-n）。
上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则
a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
其中a1，b1，c1是整数。于是
a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。
因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。
例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。
解：把数N写成质因数乘积的形式
由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数ak为自然数或零。依题意，有
（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。
由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故
a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，
即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2个不同的质因数5和7，因为a4+1≥3＞2，故由
（a3+1）（a4+1）=10
知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。
例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N等于10个2与某个奇数的积。
说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。
二、枚举法
枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。
运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。
设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以
x2+y2+z2≤10，
从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中：
100，101，102，103，110，111，112，
120，121，122，130，200，201，202，
211，212，220，221，300，301，310。
不难验证只有100，101两个数符合要求。
例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？
对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。
N|100，所以N=10，20，25，50；
N|1000，所以N=100，125，200，250，500；
（4）当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条件的有1000，1250。
综上所述，魔术数的个数为14个。
说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。
（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。
例8 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17。
因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：
①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8
④2，5，10 ⑤2，6，9 ⑥2，7，8
⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8
⑩3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8
(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
只有第⑧种情况可以满足题目要求，即
3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。
这3张牌的数字分别是3，5和9。
例9 写出12个都是合数的连续自然数。
分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。
解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：
114，115，116，117，118，119，120，
121，122，123，124，125，126。
分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。
又m+2，m+3，…，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，…，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。
解法2：设m为2，3，4，…，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。
说明:我们还可以写出
13！+2，13！+3，…，13！+13
（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来。
同样，
（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。
三、归纳法
当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。
例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：
（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
（3）划去这些两位数中的合数；
（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？
解：第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731；
第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173。
不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。
例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：
设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：
（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；
（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。
取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。
说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：
传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？
例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
（2）称重2克，有3种方案：
①增加一个1克的砝码；
②用一个2克的砝码；
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。
（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。
（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用
9-（3+1）=5，
即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为
14+13=27（克），
可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。
总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，
这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
常用的8种数字滤波算法 摘要：分析了采用数字滤波消除随机干扰的优点，详细论述了微机控制系统中常用的8种数字滤波算法，并讨论了各种数字滤波算法的适用范围。 关键词：数字滤波；控制系统；随机干扰；数字滤波算法 1 引言 在微机控制系统的模拟输入信号中，一般均含有各种噪声和干扰，他们来自被测信号源本身、传感器、外界干扰等。为了进行准确测量和控制，必须消除被测信号中的噪声和干扰。噪声有2大类：一类为周期性的，其典型代表为50 Hz 的工频干扰，对于这类信号，采用积分时间等于20 ms整倍数的双积分A/D转换器，可有效地消除其影响；另一类为非周期的不规则随机信号，对于随机干扰，可以用数字滤波方法予以削弱或滤除。所谓数字滤波，就是通过一定的计算或判断程序减少干扰信号在有用信号中的比重，因此他实际上是一个程序滤波。 数字滤波器克服了模拟滤波器的许多不足，他与模拟滤波器相比有以下优点： (1)数字滤波器是用软件实现的，不需要增加硬设备，因而可靠性高、稳定性好，不存在阻抗匹配问题。 (2)模拟滤波器通常是各通道专用，而数字滤波器则可多通道共享，从而降低了成本。 (3)数字滤波器可以对频率很低(如0.01 Hz)的信号进行滤波，而模拟滤波器由于受电容容量的限制，频率不可能太低。 (4)数字滤波器可以根据信号的不同，采用不同的滤波方法或滤波参数，具有灵活、方便、功能强的特点。 2 常用数字滤波算法 数字滤波器是将一组输入数字序列进行一定的运算而转换成另一组输出数字序列的装置。设数字滤波器的输入为X(n)，输出为Y(n)，则输入序列和输出序列之间的关系可用差分方程式表示为： 其中：输入信号X(n)可以是模拟信号经采样和A/D变换后得到的数字序列，也
穷举用技巧 【例1】 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是。 【例2】 如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。 【例3】 黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。 ⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ ⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ 【例4】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题 【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。 【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 答案： 【例1】【分析】 由于30235=??，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。设：312235r r r N =???。自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +?+?+?==??（）（）（）。注意 到235??是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。因此 123111235r r r +?+?+=??（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是 124（， ， ）的一个排列。 综上所述，所求的自然数有：24235??，42235??，24235??，42235??，42235??，24235??。 【例2】【分析】 6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下： 222222222222222232527211213217219223 8323537311 45253 2721???????????????种种种种 所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。
1、限幅滤波法(又称程序判断滤波法) A、方法: 根据经验判断,确定两次采样允许的最大偏差值(设为A) 每次检测到新值时判断: 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法: 连续采样N次(N取奇数) 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点: 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法: 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时:信号平滑度较高,但灵敏度较低 N值较小时:信号平滑度较低,但灵敏度较高 N值的选取:一般流量,N=12;压力:N=4 B、优点: 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值,信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点: 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法(又称滑动平均滤波法) A、方法: 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取:流量,N=12;压力:N=4;液面,N=4~12;温度,N=1~4 B、优点:
对周期性干扰有良好的抑制作用,平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点: 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法(又称防脉冲干扰平均滤波法) A、方法: 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据,去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取:3~14 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 测量速度较慢,和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 6、限幅平均滤波法 A、方法: 相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法” 每次采样到的新数据先进行限幅处理, 再送入队列进行递推平均滤波处理 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 比较浪费RAM 7、一阶滞后滤波法 A、方法: 取a=0~1 本次滤波结果=(1-a)*本次采样值+a*上次滤波结果 B、优点: 对周期性干扰具有良好的抑制作用 适用于波动频率较高的场合 C、缺点: 相位滞后,灵敏度低 滞后程度取决于a值大小
方程、计数、最值、行程等 问题中的数论综合（下） (★★) 200以内除以3余1，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？ (★★) 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ (★★★)(小学数学奥林匹克预赛) 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。 (★★★) 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是______。 (★★★★) 小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的他在计算时遗留掉了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成了一个五位数，该五位数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来的两个数的乘积是多少？
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有13 的职工各带一个孩子参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？ A 、 B 两地相距20.3千米，甲、乙、丙的速度分别是4米/秒，6米/秒，5米/秒。如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在多长时间之后，丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍？ 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．300以内除以4余1，除以5余2，除以6余3的自然数有( )个。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．一个大于10的数，除以2余1，除以4余3，除以9余7，那么满足条件的最小自然数 是( )。 A ．40 B ．41 C ．42 D ．43 3．某数除以9余5，除以11余7，除以19余8，那么这个数的最小可能值是( )。 A ．95 B ．194 C ．293 D ．392 4．有a ，b ，c 三个数，已知24,36,54a b a c b c ?=?=?=，那么a b c ++=( )。 A ．19 B ． 20 C ．18 D ．21 (★★★★) (★★★★★)
数学竞赛讲座 数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r 4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x 单片机利用软件抗干扰的几种滤波方法 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A），每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效； 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值。 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰。 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰，平滑度差。 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数），把N次采样值按大小排列，取中间值为本次有效值。 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰，对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果。 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜。 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算，N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低；N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高；N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4。 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波，这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动。 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用，比较浪费RAM。 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法）。 A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列，队列的长度固定为N，每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则)，把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果。N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4。 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高，适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低，对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差，不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差，不适用于脉冲干扰比较严重的场合，比较浪费RAM。 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法”，连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值，然后计算N-2个数据的算术平均值，N值的选取：3~14， B、优点： 融合了两种滤波法的优点，对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差。 C、缺点： 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样，比较浪费RAM。 6、限幅平均滤波法 初中奥数：数论问题位值原理的解题技巧 1、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数 比原来小27，则满足条件的两位数共有______个. 【解析】：11+12+13+14+15+16+17=98.若中心圈内的数用a表示，因三条线的总和中每个数字出现一次，只有a多用3两次，所以98+2a 应是3的倍数，a=11，12，…，17代到98+2a中去试，得到a=11，14，17时，98+2a是3的倍数. (1)当a=11时98+2a=120，120÷3=40 (2)当a=14时98+2a=126，126÷3=42 (3)当a=17时98+2a=132，132÷3=44 相对应的解见上图. 2、一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。 解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c 则100a+10b+c=4(10b+c) 化简得5(20a-6b+5)=3c 因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数 又因为0≤c≤9 所以0≤3c/5≤5.4 所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4 所以3c/5=3 即c=5 所以20-6b+5=3 化简得3b-1=10a 按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7 最后再算出10a=3*7-1=20 则a=2 所以答案为275。 3、a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍? 解答：组成六个数之和为： 10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b =22a+22b+22c =22(a+b+c) 很显然，是22倍 4、有2个3位数，它们的和是999，如果把较大的数放在较小数的左边，所成的数正好等于把较小数放在较大数左边所成数的6倍，那么这2数相差多少呢? 解答：abc+def=999，abcdef=6defabc，根据位值原 理,1000abc+def=6000def+6abc 化简得994abc=5999def，两边同时除以7得142abc=857def，所以abc=857，def=142 所以857-142=715 5、将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。 费马小定理数论的证明方法 2007年12月28日星期五 01:29 P.M. 费马小定理数论的证明方法 Mod的简单介绍 (Congruence) a=b(mod m) a和b除以m以后有相同的余数 不失一般性地另a>b 则a=km+b比如7=1 mod 2 9=4 mod 5 简单的Congruence 计算 如果a=b mod m c=d mod m 则a=km+b c=tm+d 直接可推出 a+b=c+d (mod m) a-b=c-d (mod m) ab=cd (mod m) 并且可得存在正整数c 使得ac=bc (mod mc) 当然ac=bc(mod m) 费马小定理如果a,p互质且q是质数则a^(p-1)=1 (mod p) 考虑数列An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a 假设An中有2项ma, na 被p除以后的余数是相同的.那么必然有ma=na (mod p) 即a(m-n)=0(mod p) 由于a和p互质,所以m-n=0(mod p) 但是m,n属于集合{1,2,3..p-1} 且m不等于n,所以m-n不可能是p的倍数.和假设产生矛盾所以An中任意2项被p除 得到的余数都是不同的, 并且对于任一个整数被p除以后的余数最多有p-1个,分别是 1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 由此我们可以用Congruence的乘法性质, a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4..*(p-1) (mod p) 对两边进行化简,即可以得到a^(p-1)=1 (mod p) Euler’s Totient function 定义o(n)是所有比n小且和n互质的数的总数(包括1) 例如o(5)=4 o(10)=8 我们发现引入这个以后费马小定理可以改写为a^o(p)=1 (mod p) 事实上,这个结论对所有的正整数n都成立即a^o(n)=1 (mod n) 软件滤波在嵌入式的数据采集和处理中有着很重要的作用，这10种方法各有优劣，根据自己的需要选择。同时提供了C语言的参考代码，希望对各位能有帮助。 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 /* A值可根据实际情况调整 value为有效值，new_value为当前采样值 滤波程序返回有效的实际值 */ #define A 10 char value; char filter() char new_value; new_value = get_ad(); if ( ( new_value - value > A ) || ( value - new_value > A ) return value; return new_value; } 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 /* N值可根据实际情况调整 排序采用冒泡法*/ #define N 11 char filter() { char value_buf[N]; char count,i,j,temp; for ( count=0;count 数论短期班100题手册 知识框架体系 一、奇偶性质 1．奇数和偶数的表示方法： 因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)； 因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21 k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0． 2．奇数与偶数的运算性质： 性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数) 奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数) 偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数) 可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性； 一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化． (也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．) 性质二：偶数?奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数) 偶数?偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数) 奇数?奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数) 可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))． 性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数． 二、整除 1．整除的定义 所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商a b 是一个整数”；或者换句话说： 存在着第三个自然数c，使得a b c =?．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”． 2．整除性质： ⑴传递性若|c b，|b a，则|c a． ⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b ± （）． ⑶可乘性若|c a，|d b，则| cd ab． 3．整除的特征 ⑴4,25,8,125,16,625的整除特征 能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425 =?,10008125 =?,1000016625 =?,100000323125 =?) ⑵3,9的整除特征 能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表 软件滤波算法（转载） 这几天做一个流量检测的东西，其中用到了对数据的处理部分，试了很多种方法，从网上找到这些个滤波算法，贴出来记下 需要注意的是如果用到求平均值的话，注意总和变量是否有溢出，程序没必要照搬，主要学习这些方法，相信做东西的时候都能用得上 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低 N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高 N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法） A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取：3~14 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 整数的p 进位制及其应用 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项 式 ， 即 12211101010a a a a A m m m m ，其中 1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简 记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 典例分析 例1．(2007年中国数学奥林匹克协作体竞赛试题)假定正整数N 的8进制表示为 8)43211234567765( N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ） A 、N 能被7整除而不能被9整除 B 、N 能被9整除而不能被7整除 C 、N 不能被7整除也不能被9整除 D 、N 既能被7整除也能被9整除 答 D 由于)7(mod 18 ，所以)7(m od 18 i k i k i i i i k k a a a a a a N 0 8011)7(mod 8 即N 能被7整除 N 的8进制表示下各位数字之和能被7整除。 类似的，N 能被9整除 N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被9整除 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 自动化科协 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低 N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高 N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法） A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取：3~14 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 自动化科协 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 6、限幅平均滤波法 A、方法： 相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法” 每次采样到的新数据先进行限幅处理， 再送入队列进行递推平均滤波处理 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 比较浪费RAM 7、一阶滞后滤波法 A、方法： 取a=0~1 本次滤波结果=（1-a）*本次采样值+a*上次滤波结果 B、优点： 对周期性干扰具有良好的抑制作用 适用于波动频率较高的场合 C、缺点： 100个著名初等数学问题 https://www.doczj.com/doc/6916512755.html,/xyp 2003-10-26 数学园地 第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物. 问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了； a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了； a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； 求出从a到c"9个数量之间的关系？ 第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 初一数学竞赛培训讲座数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力.数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”.因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了.任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作.”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的 比重. 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆.主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r 是唯一的.特别地，如果r=0，那么a=bq.这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数N都可以写成质数的连乘积， 即 (1，其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的.（1）式称为N的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）. 5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数.因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决.这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n +a n-110 n-1 +…+a0； 数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下： 我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示 1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ] 表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为 )(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ?表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数， 并称)(m ?为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系。 定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得 yb xa d +=. 定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； （2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则 )(mod d m d b d a ≡； （3）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d b d a ≡； （4）若b a ≡（i m mod ），n i ,...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+； （3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为 ∑ ≥1 k k p n . 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； 几个精彩的数论问题 从同事那里借来了一本单墫教授?主编的《初等数论》奥数书，看到很多精彩的问题，在这里做个笔记，与大家一同分享。不少问题和答案都有过重新叙述，个别问题有所改动。 问题：找出所有使得 2n - 1 能被 7 整除的正整数 n 。 答案：由于 2n的二进制表达为1000…00 （n 个 0），因此 2n - 1 的二进制表达为111…11 （n 个 1）。而 7 的二进制表达是 111 ，要想让它整除 n 个1 ，显然 n 必须是也只能是 3 的倍数。 问题：是否存在 100 个数，使得它们的和等于它们的最小公倍数？ 答案：是的。考虑3, 2 × 3, 2 × 32, 2 × 33, …, 2 × 398, 399，它们的和为： 3 + 2 × 3 + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 3 × (1 + 2) + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 32+ 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 32× (1 + 2) + 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 33+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = ... ... = 399 + 399 = 2 × 399 而这 100 个数的最小公倍数正是 2 × 399。 问题：能否找出 100 个不同的正整数，使得其中任意 2 ≤ k ≤ 100 个数的算术平均数都恰为整数。 答案：能。这个问题非常唬人，它的答案异常简单： 1 · 100!, 2 · 100!, 3 · 100!, …, 100 · 100! 显然满足要求。 问题：求证，存在任意长的连续正整数，使得其中任何一个数都不是质数的幂（当然更不能是质数）。10种简单的数值滤波方法
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