《现代信号处理》之报告 正交小波变换中边界延拓方法分析 唐良瑞 (北京邮电大学B991班) 1、引言 小波分析是八十年代中后期发展起来的一个新的数学分支，同时也被广泛运用于信号处理学科中。利用小波变换作图象压缩，由于它的高压缩比和好的恢复图象质量而引起了大家的注意，而且出现了许多基于小波变换的图象压缩方法；特别是在某些特殊的应用方面，它有着其它压缩方法不可代替的位置。 尽管如此，基于小波变换的图象压缩技术还有待于改进，还有许多问题值得探讨，其中之一就是边界处理问题。我们知道，小波变换是针对无限信号来进行的，但实际信号却是有限长度的。另外，二次镜像滤波器是非因果的，需要将来和过去的信号值。这在有限长度的信号首端和结束端的小波系数的计算中会引起麻烦，因为在这些地方的滤波器卷积运算中需要用到一些实际中并不知道的数据值。这就需要进行边界处理，一般常采用的方法就是边界延拓，其中包括零延拓、对称性延拓和周期性延拓。下面主要对此进行探讨。 2、信号小波分解和重建的Mallat 算法 设正交小波由低通滤波{k h }唯一确定，其对应的高通滤波为{k g }，它们满足以下条件： m n k m k n k h h ,22δ=∑-- （1） n n n h g --=1)1( （2） 022=∑--k m k n k g h （3） 21122==∑∑+k k k k h h （4） φ和ψ分别是相应的尺度函数和小波函数，{j V }和{j W }是它们生成的空间。φ和ψ满足： ?? ???-=-=∑∑k k k k k x g x k x h x )2(2)()2(2)(φψφφ （5） 小波分解步骤为：
第六章 边界单元法 有限元法属于偏微分方程法。对于求解有界电磁场域的场分布，尤其是有复杂边界和多种媒质、线性或非线性、静态或时变场的数值计算都是十分成功的，有的文献认为有限元法是应用最广，最重要的数值分析方法。 当然，任何一种数值分析方法都不是万能的，有限元法的不足之处主要表现为： 1. 对于无界求解区域的处理比较困难； 2. 所求得的数值解是位函数值，再通过求导，一般比位值的精度低一个数量级，所以计算精度较低； 3. 对时变电磁场的求解，计算量太大。 在以上这几点所反映的问题上，边界单元法解决得比较好，有明显优势。此外，边界单元法还具有能降低所研究问题的维数，离散剖分和数据准备简单等特点，它已成为计算场的重要方法，我们需要进行学习。 6.1 电磁场边界积分方程 6.1.1电磁场边界元方程的基本关系 设三维线性泊松方程为所求场的控制方程，D 是具有边界面S 的求解区域。在S 上含有给定的第一和第二类边界条件的边界1S 和2S ，21S S S +=。对于这类恒定场，定解问题可表示为： 式中：u 表示位函数，f 是场源密度函数（如ε ρ-）。若已求得近似解u ~ ，带入边值问题， 用R 、1R 和2R 分别表示方程余量及边界余量：
f u R -?=~2 u u R S ~-=1 S q q R -=2 取权函数w ，按加权余量法，令误差分配的加权积分为： 021>=<->??<-> 6.3 离散化边界积分方程的建立 以二维边界离散化方程的建立为例，重点突出离散化方法的学习。 6.3.1建立Laplace 场的边界离散化方程 电磁场边界元法的通用积分方程 (4) 其中： ?????? ?∈∈∈=域外 光滑的边界上域内D D c i 0 211 设在Laplace 场中的二维边界上一点i 处，有方程： 在二维场的边界线l 上进行离散，将l 划分为许多小段，每段以直线段或曲线段逼近，作为一个单元。设l 点共被分为0N 个单元，其中在第一类边界1l 段上划分了1N 个单元，在第二类边界2l 段上划分了2N 个单元： 210N N N += 作为单元待求量的插值计算方式，可分为几种： ① 恒值单元 同一单元中的待求量u 和 n u ??都设为恒定值 (或称零次插值)，实际上是取单元中点的u 值(或 n u ??值)作为单元的u 值(或n u ??值)。这样，取单 元中点为节点，所以求解变量数等于节点数。 ② 线性单元 它也是直线单元，其u 值在单元两端点之间按线性变化(即线性插值)。单元两端点为单元的节点。 ③ 曲线单元 每单元上的节点数大于2，以多节点拟合的曲线逼近边界单元，以单元节点上的高阶插值函数作为待求位函数近似解。 取最简单的单元——恒值单元为例，介绍边界元离散方法。 按上面的方程对i 单元的“i ”节点离散化 ∑? ∑? ==??= ??+ o j o j N j l N j l i l n u F l n F u u 1 1 d d 2 1 ∑? ∑?=== ??+ 1 1 d d 2 1N j l N j l j j i j o j l F q l n F u u ，?= j l ij l F G d ，上式表示为： 设i 点为i 单元的中点（021N i 、、、 =），有 ()∑∑==== 1 01 21N j N j j ij j ij N i q G u H ,,, 式中： 于是上述0N 个方程写为矩阵形式 GQ HU = 由定解问题中的第一类边界1l ，对应有1N 个单元的位值u s 是已知的，2l 是第二类边界，对应有2N 个单元n u q s ??= 位是已知。所以上述矩阵方程中，有2N 个单元的u 值和 1N 个单元的q 值是未知的，即是说矩阵方程有021N N N =+个未知数。设单元排列顺序 在1l 边界上为1，2，……，1N ，在2l 边是上为11+N 、21+N 、…、0N ，则上述矩阵方 有限差分法 已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单元法的不足之处。 边界元法 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。 上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的 计算固体力学 读书报告 固体力学中的边界积分方程及其边界元法 综述 Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics 土木工程系 2014年03月17日 评语 目录 摘要 (2) A BSTRACT (2) 一、引言 (3) 1)什么是边界元法[1] (3) 2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3) 二、边界元法[5] (4) 1)概述 (4) 2)基本解 (4) 3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5) 4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6) 5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6) 6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7) 三、结束语 (8) 参考文献 (9) 摘要 本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。 关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法 Abstract This paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications. Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm 2009全国结构动力学学术研讨会 安徽省安庆市，2009.10.28-31 中国振动工程学会结构动力学专业委员会 弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程i 姚振汉 清华大学航天航空学院工程力学系, 北京, 100084 Email: demyzh@https://www.doczj.com/doc/691089948.html, 摘要：弹性动力学问题传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解基于动力学互等定理来建立。弹性动力学含时间的基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。本文采用加权余量格式由弹性动力学偏微分方程初边值问题出发导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只分别利用于某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，从而使方程显著简化。由此建立的边界元法将比传统方法具有更高的计算效率。 关键词：弹性动力学，边界积分方程，边界元法，球面会聚压力波，球面会聚剪切波 引言 众所周知，边界元法是比有限元法稍晚几年发展起来的，最早可以看到关于间接法的一系列工作，其中求解的边界未知量并不是原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅助变量。最早的间接法边界积分方程方法的文献可追溯到1958年（Smith 和 Pierce用于位势问题）。直接法边界积分方程方法的文献出现得稍晚一些，1963年 Jaswon将其用于位势问题。1967年Rizzo发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文，我国从事固体力学边界元法研究的一些作者曾经把它作为边界元法的第一篇文献。1968年Cruse和Rizzo就发表了弹性动力学问题直接法边界积分方程方法的文章[1, 2]。弹性动力学问题在重大工程问题中广泛存在，因此弹性动力学是固体力学边界元法中最重要的研究领域之一。在近年Aliabadi的边界元法专著[3]中也有专门的一章。 上述最早的弹性动力学边界积分方程方法的文献将边界元结合Laplace变换，然后求解变换域中的椭圆型方程，后来Manolis和Beskos对其做了一些改进[4]。时间－空间域边界元描述最早是由Cole、Kosloff和Minster于1978年对反平面问题给出的[5]，后来Niwa、Kobayashi和Kitahara给出了一般形式的描述[6]。进一步的改进还可见于Antes[7]，Karabalis和Beskos[8]，以及Mansur等的文献[9]。 基于弹性动力学方程的问题除弹性波问题之外还有弹性体振动问题。主要对于后者，Nardini和Brebbia基于弹性静力学描述导出了质量阵和刚度阵[10]，后来发展成为双重互易法，用于将惯性力的域内积分化为边界积分。弹性动力学边界元法在广泛的应用中受到重视，还进一步发展了用于土壤－结构相互作用和动态断裂力学的方法。 弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解、基于动力学互等定理来建立。该基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。 i此项研究得到国家自然科学基金资助（10602029） 117 第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数 边界元法发展综述 刘娅君 学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。然而，有限元法本身还存在一些缺点。例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。 边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。 边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。最后，由于边界元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。 正则变换的研究 学生xx 红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100 摘 要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。是解决正则方程的 解而引入的一种重要的变换方法。 关键词：正则变换；母函数；广义坐标。 1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。 拉格朗日是用s 个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s 个变为2s 个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。这组方程叫哈密顿正则方程。他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。 （一）正则变换的目的和条件 哈密顿函数是 ),...,2,1(,p s q =ααα及t 的函数，而哈密顿正则方程则是2s 个一阶微 分方程。如果H 中不出现某个q ，例如q i ，则这个不出现q i 就是循环坐标，而我们也将 由正则方程式 ),...,2,1(q s H H q p p =??? ? ??? ??- =??=ααα αα …… （1） 力学体系的哈密顿函数H 中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m ，则动能)(m 2 122 2θ r r T += 。对平方反比引力问题来讲，势能r m V k 2 - =，故H=T+V.很显然，这里极角θ是一个循环坐标，故对应 由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程 姓名：谭建学号：222010315210236 学院：物理学院年级：2010级4班 一、 问题重述 已知H q p α? ??=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 求证拉格朗日方程()0d L L dt q q ???-=?? 二、 问题分析及证明 H 是q,p,t 的函数，L 是q,q ?,t 的函数，因此我们要先将H 换成q,q ? ,t 的函数。勒让德变换有 1s H L H p p ααα =?=-+?∑……………………………………..（１） 1(( ))s H H dL dH d p dp p p ααααα =??=-++??∑…………..（２） 此处的H 仍是q,p,t 的函数，因此将H 全微分有 1()s H H H dH dp dq dt p q t αααα α=???=++???∑…………….（３） 将（３）式带入（２）得 1 (())s H H H dL d p dq dt p q t ααααα=???=--???∑………..（4） 再将已知条件H q p α???=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 代入（4）有1 ()s L dL p d q p dq dt t αααα???=?=++ ?∑………………（5） 而L 是q,q ?,t 的函数，即L （q,q ?,t ）。我们将L 全微分 1()s L L L dL dq d q dt q t q ααααα??=???=++???∑ (6) 比较（5）、（6）两式我们可得到如下公式 L p q αα??=?，L p q αα ??=? 所以我们可得到()d L p dt q αα???=?，L p q αα??= ? 所以有()0d L L p p dt q q αα?????-=-=??……………..（7） 第七式即为拉格朗日方程。 三、 参考资料 分析力学，勒让德变换，哈密顿正则方程 §1.3哈密顿正则方程 上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 L T U =-，并且发现拉格朗日函数L 是广义坐标和广义速度的函数。给出拉格朗日方程的表达式。但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。 一、广义动量 设体系的广义坐标为11,, ,s q q q ，对于每一个广义坐标k q ，可以定义一个广义动量： k k L p q ?=? （1） 式中L 为拉格朗日函数，k q 为广义速度。大家注意，这里我们定义的广义动量和 我们一般所说的动量的含义不一定相同。例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角θ为广义坐标。则质点的速度为：v r θ=，2221122T mv mr θ==， 2212L T mr θ==，广义动量2L p mr θθθ ?==?相当于通常意义上的动量矩。 二、哈密顿正则方程 拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即(,)L L q q =，它的全微分 11s s k k k k k k L L dL dq dq q q ==??=+??∑∑ （2） 由拉格朗日方程()0k k d L L dt q q ??-=??和广义动量的定义式k k L p q ?=?得 k k L p q ?=? （3） 将(1)(3)代入(2)中，dL 可写为 11s s k k k k k k dL p dq p dq ===+∑∑ （4） 而上式的第二项可写为 111()s s s k k k k k k k k k p dq d p q q d p ====-∑∑∑ （5） 把（5）式代入（4）式得 111()s s s k k k k k k k k k dL p dq d p q q d p ====+-∑∑∑ 即 111()s s s k k k k k k k k k d p q L p dq q d p ===-=-+∑∑∑ （6） 定义： 1s k k k H p q L ==-∑ 称作哈密顿函数 所以（6）式可写为 11s s k k k k k k dH p dq q d p ===-+∑∑ （7） 由上式可以看出H 只是各个k q 和k p 的函数。(,)H H q p =，式中q 及p 代表各个k q 和k p 。 对H 取微分可得 11s s k k k k k k H H dH dq d p q p ==??=+??∑∑ （8） （7）和（8）式对比可得 k k k k H p q H q p ??=-??????=??? 形式简单对称，故称为正则方程 1,2,,k s = 将这两个方程称为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程。包括2s 个形式完全相同的一阶微分方程，建立求解这2s 个一阶微分方程，会出现2s 个积分常数，这些积分常数由初始条件决定。若已知体系在某时刻的各个广义坐标及广义动量的数6.3 边界积分方程的离散化方程
有限差分法、边界元法和离散元法
固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程_姚振汉
7第5章哈密顿原理
边界元法发展综述
哈密顿正则变换
由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程
§1.3哈密顿正则方程
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