第7讲直线与圆综合题
直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容
?对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它
们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题
(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方
法研究几何问题的思想.对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直 线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重 圆的特征直角三角形”是关键.同时直线
与圆的综合问题还可能会考查轨迹问题(隐形圆)
、与直线、圆有关的定点定值及与圆有关的最值
问题等次类问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过准确作图，充分挖掘几何图形中所 隐含的条件，利用几何知识也能使问题较为简捷地得到解决. 【自主热身、归纳提炼】
1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x + 2y — 3= 0被圆(x — 2)2
+ (y + 1)2
= 4截得的弦长为 ____________ 解析圆心为(2 , — 1)，半径r = 2.
2.若直线3x - 4y -m = 0与圆x 2
y 2
2x -4y - 4=0始终有公共点，则实数
是 _________ .
解 因为(x+1)2
+(y —2)2
=1，所以由题意得：3*
4
沃
2
-W 1,化简得m — 5兰5即0打10.
5
3. ( 2017南京)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线ax + y — 2= 0与圆心为 C 的圆(x — 1)2
+ (y —
a )2= 16相交于A B 两点，且△ ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 _______________ .
解析 圆心C (1, a ),半径r =4,因为△ ABC 为直角三角形，
所以圆心C 到直线AB 的距离d =2j2，即=2屁 ，解得a =-1 .
7 a 2
+1
4.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0 ( m R)相切的所
有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ____________ .
解析 由直线 mx- y — 2m- 1 = 0得n(x — 2) — (y + 1) = 0，故直线过点(2，— 1).
当切线与过(1，0)，(2，— 1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r = ,1+ 1= 2，
故所求圆的标准方程为(x — 1)2
+ y 2
= 2.
5. ( 2017 ?苏北四市)已知A,B 是圆C 1： x 2
y 2
=1上的动点，AB 二门，P 是圆
圆心到直线的距离
|2 + 2；：； — 1
/+ 4
—3|
m 的取值范围
所以弦长为
5 ，
C2 ： (x -3)2■ (y -4)2=1 上的动点，则"P A "PB的取值范围为
解析 将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关,
故问题可转化为圆 G : x 2
y 2
=1与C 2, ： (x -5)2 ? y 2
S'lAfexct 咚wfP 疋岌址=帀孑方厂■豈竽凹詔 当月心r~wy er 4瘩时"二"就匚 朵询呻
解那：边L 幾：吐寸邸=0「列劫賣践曲胆叙二
A 6
=审普［宀s 令X 枇硝护呷. 汕 甲L 禺时也谕节幽即操危呵匙建羸启总叭 呦网 甫缶z 幷狡简推*
变式i (动圆)
(2017 苏大信息卷)已知直线 I : x 3y ^0 ,圆 C ： x 2
? y 2
-2ax-2ay =1-2a 2
(a ?0),
/中相应问题，这样易于解决
如图，当AB _x 轴，且AB 与点P 位于较近一侧时, 此时, PA PB =2 (5 =7
=2X (5+3)=13
max
2
同理，求得P
所以PA+PB 的取值范围为[7,13].
PB x 2
y 2 =1求两圆上的两点间距离的范围） 【典例探究、形成方法】 直线与圆相交中的面积问题 例1 （动直线）
动直线y =k （x —、.2）与曲线y = 1 _x 2相交于 A ，B 两点, 得最大值时，k 的值为 ____________ .
解析1易得直线y = k （x - . 2）过定点C G. 2, 0）,
曲线y 二1「X 2表示圆X 2 ■ y 2 = 1的上半圆，
1 兀
S AOB OA OB sinAOB ，当一 AOB 时，
： 2 2
O 为坐标原点，当：AOB 的面积取
AOB 的面积取得最大值，如图作OH — AB ，在R AB 中，A ^ ＜：'AO 2 BO 2二空2，
则OH ，又在Rt OHC 中,
—
兀
0C = 2，所以 OCH 二；,
6
小 兀 5兀 贝V k = tan( ) = tan - =
6 6
x
PA PB 取得最小值,
或设设AB 的中点为M 3
，故答案为
3
过原点的直线l i与直线|垂直，l i与圆C交于M N两点，则当△ CMN勺面积最大时，圆心C 的坐标为_______________ .
解析圆C (x—a $ +(y —a 2 =1，直线h：3x —y=0，当CMLCN时，△ CMN勺面积最大，此时C到I i的距离为返，则里g =亚,a=^，圆心C (逅,—).
2 ^0 2 2 2 2
变式2(动直线+动圆)
在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C : x2 y^2m^ -4y 52-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若△ ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围
为__________ .
解析圆的标准方程为(x-m)2? (y - 2)2 = 32，则圆心C(m,2)，半径r =4.2 ,
1 2
S r sin. ACB =16 sin. ACB，当 / ACB= 90°寸S 取最大值16 ,
2
此时△ ABC为等腰直角三角形，AB ? 2r =8，则C到AB距离=4,所以4W PC ：：： 4、2 ,
即4< x (m-3)222 :: 4、2，所以16< (m -3)2 22：：32，即12< (m -3)2：： 28 ,
解得3 2. 3< m ：： 3 2 .7 或3-2.7 :: m< 3 - 2,
因为点P(3,0)在圆C : x2 y2「2mx「4y m2-28 = 0 内,
所以PC = .(m -3)222：：4,2，即(m -3)2：： 28，即一2 . 7 ：： m - 3 ：： 2. 7 . 定点、定值及恒成立问题
例2 （点动---两点间距离变----距离之比不变）
从而H =3
为常数
已知圆C : x 2 y 2 =9，点A(5
在x 轴上存在定点B （不同于点
都有|A 为一常数'试求所有满足条件的点B 的坐标. 解析 法1假设存在这样的点
B(t,0)，
当P 为圆C 与x 轴左交点 (-3,0)时,
当P 为圆C 与x 轴右交点 (3,0)时, 依题意，亡邑色，解得，t
2 8 9 下面证明 点B （ -— ,0）对于圆C 上彳 5 设 P(x, y)，则 y 2 =9 -x 2 ,
/ 丄9\2丄 2
2
c 2
PB
2 (x ) y y 9-x
PB _ 5 PA 2 (x +5)2 +y 2
> — PA
2 PB
|t 3| PA
8 ，
--5 （舍去）， F —点 P ，都有 2
18 81 x x
5 25 ；
9
5 ?
PB
为一常数.
PA 9-x 2
x 2 10x 25 9 - x 2
18
(5x 17)
25
__ ______ ?
2(5x 17) - 25
方法2假设存在这样的点
B （t,0），使得
空为常数■，则PB 2
PA
2 2 2 2 2 2 2
??? (x -t) +y =h ［(x+5) +y ］，将 y =9—x 代入得, x 2 _2xt +t 2 +9 _x 2 =^2(x 2 +10x +25 +9 _x 2),
即 2(5 2 t)x 34 ^ -t^^0对 X ，［-3,3］恒成立,
3452雷心解得
3 ■ =5 5或 t -一9 I 5
■ =1
t 一5 （舍去），
9
所以存在点B （ ,0）圆C 上任一点P ，
5
变式1 （线动---弦长变---弦长比值不变） 都有|A 为常数
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆0 : x 2 ?
=64，圆与圆O 相交，圆心为0,9,0），且圆
上的点与圆O 上的点之间的最大距离为 21.
PB |t 3|
A ），满足：对于圆C 上任一点P ，
（1）求圆01的标准方程;
则圆心0( 0,0 )到直线I 1的距离为d 二
|3k k 2 1
(2)过定点P(a,b)作动直线I 与圆0,圆O i 都相交，且直线I 被圆0,圆O i 截得的弦长分别为
d ， d i .若d 与d i 的比值总等于同一常数 ，，求点P 的坐标及■的值.
解析(1)由题设得圆0的半径为4,所以圆0的标准方程为(X — 9)2
+ y 2
= 16.
(2)当直线I 的斜率存在时，设直线
I 为y — b = k (x — a )，即y — kx + ka — b = 0.
| ka — b |
| — 9k + ka — b | 则O 0到直线I 的距离分别为h = , h 1 =一尹+k 一，从而 2 2 2
d
( ka — b )
(— 9k
由 d 1=入 得 64 — —1 + k 2 —=灯16
—
1 + k
2 ]
，
整理得[64 — a 2
—16??+ f (a — 9)2
] k 2+ 2b [a —
才(a — 9)] k + 64 — b 2
—才(16 — b 2
) = 0.
由题意，上式对于任意实数 k 恒成立，所以64 — a 2
— 16 ?+ ?(a — 9)2
= 0,
2b [a —?(a — 9)] = 0, 64 — b 2
— ?(16 — b 2
) = 0, 由 2b [a — ?(a — 9)] = 0, 得 b = 0 或 a — ?(a — 9) = 0.
2 ________________________________________________________
① 如果b = 0，则64 — 16?= 0,解得?= 2(舍去负值).从而a = 6或18. 所以？= 2,点 P (6 , 0)或 R18 ,
0).
a
2 2 _______________________________________________________________________________
② 如杲a —入(a — 9) = 0，显然a = 9不满足，从而 ? = a 一9, 所以 3a 2
— 43a + 192= 0.
2 . _
但△= 43 — 4X 3X192 = — 455<0,因此该方程无实数根，舍去.
当点P 的坐标为(6 , 0)时，若直线I 的斜率不存在，此时 d = 4 7, d 1= 2 7 , d
所以d 1= 2，也满足. 综上所述，满足题意的
？= 2,点P 有2个，坐标分别为(6 , 0)和(18 , 0).
变式2 (点动---圆动---圆过定点) 已知圆0的方程为x 2
y 2
=1，直线丨1过点A (3,0)，且与圆0相切.
(1) 求直线I 1的方程；
(2) 设圆0与x 轴交与P, Q 两点，M 是圆0上异于P, Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为 I 2,直线PM 交直线I 2于点P ,直线Qh 交直线I 2于点Q.求证：以P Q 为直径的圆C 总过定点, 并求出定
点坐标.
解析(1 )因为直线11过点A (3,0),且与圆0 x 2
+y 2
=1相切,
设直线11的方程为y =k (x -3)，即kx - y -3 k =0,
(ka — b ) 2 /
(— 9k + ka —
b )
d = 2 64 — 1 + k 2
, d = 2 16 — 1 + k 2
1 + k 2
(2)对于圆方程x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即R-1,0) , Q1,O)，又直线I 2过点A且与x轴垂直，所以直线丨2方程为x =3,设Ms, t),则直线PM方程为y二丄(x?1).
s+1
+x =3
4t 2t
解方程组t ,得P(3,旦)同理可得，Q(3,旦).
y=——(x+1) ' 's+1 s—1
L s +1
‘ ’4t 2t
所以以PQ为直径的圆C的方程为(x-3)(x -3) ? (y - ——)(y- ——)=0, s + 1 s—1
又s2 t2=1,所以整理得x2 y2 -6x?1 ?牛2 y =0,
右圆C经过疋点，只需令y=0,从而有x -6x川1 =0 ,解得x = 3 士2丿2 ,
所以，圆C总经过定点坐标为(3_2.、2,0).
变式3 (线动---数量积定)
如图，已知以点A(-1 , 2)为圆心的圆与直线I仁x+2y+7=0相切.过点B(-2, 0)的动直线I与
圆A相交于M N两点，Q是MN勺中点，直线I与I 1相交于点P. BQ BP是否为定值？如果是，
求出其定值；如果不是，请说明理由
所以BQ BP=(BA AQ) BP=BA BP AQ BP = BA BP.
5
当直线I与x轴垂直时，得P(-2 , ).
2
则BP=(0，-寸)，又BA=(1，2)，所以BQ BP ="BA BP =-5.
当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x+2).
所以直线
11的方程为y = —2(x-3).
-4
解析因为AQL BP,所以AQ BP=0,
由 y =k(x 2),
X 2y 7 =0,
解得P( Vk —7 -5k )
1 2k i 2k )
所以BP =(
-5 -5k
1 2k‘1 2k
)
■
高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x
8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 直线与圆综合 一、填空题 1．已知点M 0y +?=上，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，点M 的横坐标的取值范围是__________. 2．以点(1,2)C ?为圆心作圆，过点(2,4)P 作圆C 的切线，切线长为2，直线OP （其中O 为坐标原点）交圆C 于,A B 两点，当点(,)M x y 在优弧AB 上运动时，212x y x y ??+?的最大值为_________. 二、解答题 3．已知一圆的圆心C 在直线210x y +?=上，且该圆经过()3,0和()1,2?两点. （1）求圆C 的标准方程； （2）若斜率为1?的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC 面积的最大值和此时直线l 的方程. 4．已知22:120+++?=C x y Dx Ey 关于直线240x y +?=对称，且圆心在y 轴上. （1）求C 的标准方程； （2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引圆C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B .记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值； 5．设不过坐标原点的直线y kx b =+与二次函数21 2y x =相交于,A B 两点，若以AB 为 直径的圆过坐标原点. （1）求b 的值； （2）当以AB 为直径的圆的面积最小时，求直线AB 的方程. 6．已知点M 的坐标为()，点N 的坐标为)，且动点Q 到点M 的距离是 QN 的垂直平分线交线段QM 于点P . （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）过圆22:2E x y +=上任意一点作切线l 交曲线C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由. 一、 知识梳理 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++= 的距离为：d = 2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为 1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ， 则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 3．两条直线的位置关系： 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 2 22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率 4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 5．圆的方程： ⑴标准方程：①2 2 2 )()(r b y a x =-+- ；②2 22r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)042 2>-+F E D 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离） ①?=R d 点在圆上；②? 《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。 直线与圆 一．解答题（共10小题） 1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2． （1）求圆C的方程； （2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程． 2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径． （1）求圆C的方程； （2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由． 3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：?=6|| （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值． 5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB， 在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线Γ的方程； （Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围． 7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上． （Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值． B ．1350 , - 1 (x -1)2 + y 2 = 25 450 ,1 直线与圆的方程训练题 一、选择题: 1. 直线 x = 1 的倾斜角和斜率分别是（ ） A. C ． 90，0 不存在 D ． 1，8不00 存在 2. 设直线ax + b y + c = 0 的倾斜角为，且sin + c os = 0 ，则a ,b 满足（ ） A. a + b = 1 B. a - b =1 C. a + b = 0 D. a - b = 0 3．过点 P (-1, 3) 且垂直于直线 x - 2 y + 3 = 0 的直线方程为（ ） A ． 2x + y - 1 = 0 B ． 2x + y - 5 = 0 C ． x + 2 y - 5 = 0 D ． x - 2 y + 7 = 0 4. 已知点 A (1, 2), B (3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ． 4x + 2 y = 5 B ． 4x - 2 y = 5 C ． x + 2 y = 5 D ． x - 2 y = 5 5. 直线x cos + y sin + a = 0与x sin - y cos +b = 0的位置关系是（ ） a , b , A. 平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与 的值有关 6. 两直线3x + y - 3 = 0 与6x + my +1 = 0 平行，则它们之间的距离为（ ） A. 4 B ． 2 13 13 C ． 5 13 26 D ． 7 10 20 7. 如果直线l 沿 x 轴负方向平移3 个单位再沿 y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直 线l 的斜率是（ ）A ． B ． -3 C ． D ． 3 8. 直线l 与两直线 y = 1和 x - y - 7 = 0 分别交于 A , B 两点，若线段 AB 的中点为M (1,-1) ，则直线l 的斜 率为（ ）A ． 3 2 B. 2 3 C. - 3 2 D. - 2 3 9. 若动点 P 到点 F (1,1) 和直线3x + y - 4 = 0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为（ ） A ． 3x + y - 6 = 0 B ． x - 3y + 2 = 0 C ． x + 3y - 2 = 0 D ． 3x - y + 2 = 0 P (2, -1) 10. 若 为 圆的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ） A. x - y - 3 = 0 B. 2x + y - 3 = 0 C. x + y - 1 = 0 D. 2x - y - 5 = 0 11. 圆 x 2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 = 0 上的点到直线 x - y = 2 的距离最大值是（ ） 1 3 - 1 3 直线与圆的方程训练题 一、选择题: 1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ． B ． C ． ，不存在 D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与 的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B C D 7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么 直线l 的斜率是（ ）A B ．3- C D ．3 8．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的 斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23 - 9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D . 052=--y x 11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 0135 ,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+= 高中数学必修二直线和圆与方程综合测试卷 姓名 分数 一.选择题(每题3分,共30分) 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．2 3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23 - 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 7.平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 8. 圆 关于原点对称的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 9. 若为圆 的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. x y O x y O x y O x y O 22(2)5x y ++=(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x ( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 九年级数学：《直线与圆的位置 关系》(教学方案) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities. 九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教 学方案) 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种 位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 2018级高一年数学竞赛辅导材料 1、直线l ：()22+=x k y 与圆O ：422=+y x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，ABO ?的面积为S 。 （1）求函数)(k f S =； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时的k 值。 2、曲线03622=+-++y x y x 上点Q 、P 满足：关于直线04=+-y kx 对称、OQ OP ⊥，求直线Q P 的方程。 3、在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以O 为圆心的圆与直线043=--y x 相切。 （1）求圆O 的方程； （2）若直线l ：3+=kx y 与圆O 交于B 、A 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得+=？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由。 4、已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线0743=+-y x 相切，且被y 轴截得的弦长为32，圆C 面积小于13。 （1）求圆C 的标准方程； （2）设过点()3,0M 的直线l 与圆C 交于不同的两点B 、A ，以OB OA 、为邻边做平行四边形OADB 。是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。 5、已知圆C :)0()(222>=-+r r b y x 与直线l ：02=-+y x 相切于点)1,1(P 。 （1）求圆C 的方程； （2）若点Q 为圆C 上一个动点，点)2,2(--M ，求?的最小值； （3）过点P 作两条相异直线与圆C 相交于点B 、A ，且直线PB 、PA 的倾斜角互补，试判断直线CP 与直线AB 是否平行，并说明理由。 6、已知圆C 过)0,2(B 。 （1）若圆C 与圆D ：()2221r y x =+-关于直线x y =对称，试判断圆D 与圆C 的位置关系； （2）若圆C 过点()2,0A ，圆心在圆222=+y x 的内部，且直线0543=++y x 被圆C 截得的弦长为32，点P 为圆C 上异于B 、A 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N 。 ① 求圆C 的方程； ② 求证：BM AN ?为定值。 7. （2019年福建省质检理12题）在ABC ?中，B =ο30， 3=BC ，32=AB ，点D 在边BC 上，点B 、C 关于直线AD 的对称点分别为B '、C '，则C B B ''?的面积的最大值是 A. 2339- B.736 C.739 D.2 33 8. （2018年5月莆田市质检理16）在平面四边形ABCD 中，AC AB ⊥，CD AD ⊥，3=AB ，8=AC ，则BD 的最大值为？ 9. （2018年5月福州市质检理16）在平面四边形ABCD 中，若ο15022=∠=∠=∠C B A ，当BC 取某个定值时，得CD 的取值范围为()t ,2，则t 的值为？ 10. （2018年3月福建省高三质检理16）在平面四边形ABCD 中，1=AB ，5=AC ，BC BD ⊥，BC BD 2=，则AD 的最小值为？ 11. （2019年1月湖北省元月调研理10）在ABC ?中，角C B A ,,的对边 直线与圆综合练习题 出题人：李保忠 做题人：奚鹏程 奚凯倩 一、选择题： 1．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是（ ） A.2360x y --= B.3260x y --= C.3260x y -+= D.2360x y -+= 2．02:,073:21=--=-+y kx l y x l 与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 的值等于 （ ） A ．-3 B ．3 C ．-6 D ．6 3． 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形（ ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 4．若动点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）分别在直线1l ：x +y －7=0和2l ：x +y －5=0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为（ ） A ．32 B ．23 C ．33 D ．42 5．过点A B ()()1111，、，--且圆心在直线x y +-=20上的圆的方程是（ ） A. 4)1()3(22=++-y x B. ()()x y ++-=31422 C. ()()x y -+-=11422 D. ()()x y +++=11422 6．圆x 2+y 2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是 ( ) A ．(x+1)2+(y+3)2=1 B.(x+1)2+(y-1)2=1 C.(x-4)2+y 2=1 D.(x-3)2+y 2=1 7．直线l ：x+2y-3=0与圆C ：x 2+y 2+x-6y+m=0有两个交点A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥, 则m 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．-1 D ．2 2 8．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 的值为 ( ) A ．2 B ．22- C ．12- D ．12+ 9．方程4x 2－y 2+4x+2y=0表示的曲线是 ( ) A ． 双曲线 B ．两条互相平行的直线 11．5直线与圆的综合应用 【知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】 [例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（） A．（0， 2 －1）B．（ 2 －1， 2 ＋1） C．（－ 2 －1， 2 －1）D．（0， 2 ＋1 （2）圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（） A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0 （3）“a=b”是“直线22 与圆相切”的（） =+-++= 2()()2 y x x a y b A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 （4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为． （5）过点（1， 2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ． [例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程． [例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． [例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)． (1)求证：（a －2)(b －2)=2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值． 【课内练习】 1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5 2 =0相切的直线的方程为 （ ） A ．y=－3x 或y=1 x B ．y=3x 或y=－1 x C ．y=－3x 或y=－13 x D ．y=3x 或y=1 3 x 2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A ．(x ＋2)2＋y 2=5 B ．x 2 ＋(y －2)2=5 C ． (x －2)2＋(y －2)2=5 D ．x 2 ＋(y ＋2)2=5 3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点轴对称 D ．关于y=x 轴对称 高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提 高) 高二数学 第3讲 直线与圆综合 1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长； （2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2 111x x 为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大． 2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ． （1）求点C 的轨迹C 2的方程； （2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|?|AN|为定值． 3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=?BC AC ，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程； 4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。 （1）求点P 的轨迹方程； （2）若点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22 ||||QA QC +的最大值和最小值； （3）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。 第7讲直线与圆综合题 直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容 ?对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它 们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题 (如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方 法研究几何问题的思想.对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直 线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重 圆的特征直角三角形”是关键.同时直线 与圆的综合问题还可能会考查轨迹问题(隐形圆) 、与直线、圆有关的定点定值及与圆有关的最值 问题等次类问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过准确作图，充分挖掘几何图形中所 隐含的条件，利用几何知识也能使问题较为简捷地得到解决. 【自主热身、归纳提炼】 1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x + 2y — 3= 0被圆(x — 2)2 + (y + 1)2 = 4截得的弦长为 ____________ 解析圆心为(2 , — 1)，半径r = 2. 2.若直线3x - 4y -m = 0与圆x 2 y 2 2x -4y - 4=0始终有公共点，则实数 是 _________ . 解 因为(x+1)2 +(y —2)2 =1，所以由题意得：3* 4 沃 2 -W 1,化简得m — 5兰5即0打10. 5 3. ( 2017南京)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线ax + y — 2= 0与圆心为 C 的圆(x — 1)2 + (y — a )2= 16相交于A B 两点，且△ ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 _______________ . 解析 圆心C (1, a ),半径r =4,因为△ ABC 为直角三角形， 所以圆心C 到直线AB 的距离d =2j2，即=2屁 ，解得a =-1 . 7 a 2 +1 4.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0 ( m R)相切的所 有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ____________ . 解析 由直线 mx- y — 2m- 1 = 0得n(x — 2) — (y + 1) = 0，故直线过点(2，— 1). 当切线与过(1，0)，(2，— 1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r = ,1+ 1= 2， 故所求圆的标准方程为(x — 1)2 + y 2 = 2. 5. ( 2017 ?苏北四市)已知A,B 是圆C 1： x 2 y 2 =1上的动点，AB 二门，P 是圆 圆心到直线的距离 |2 + 2；：； — 1 /+ 4 —3| m 的取值范围 所以弦长为 5 ， 【例1】已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22， 则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________． 【解析】(1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2 .由弦长为22可知? ?? ??|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4. ∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 【例2】已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________． 【解析】依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2 －1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2 ＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2 ＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22 ＝3＋ 2. 【例3】过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_________． 【解析】22=OH ，在OHP Rt ?中，2 1sin ==∠OP OH OPH ，所以ο30=∠OPH ，即33150tan - ==οk ． 【例4】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为_________． 【解析】设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 【例5】过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为_______________，△P AB 的外接圆方程为_________________． 【解析】易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1) 与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12 ，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图 形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即 2x ＋y －3＝0.又由CA ⊥P A ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径．∴△P AB 的外接圆 方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54 . 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相 切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等 分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω 中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） A ．A B B ．BC C ．C D D ．DA Ωy x O D C B A 【例2】 求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程． 【例3】 据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时 40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km 以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h ．（结果精确到0.1h ） 典例分析 板块七.直线和圆的综合问题 【例4】 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购 得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 【例5】 设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行， A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与 B 相遇．设A 、B 两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？ 【例6】 已知：过点(0,1)A 斜率为k 的直线l 与⊙C ：22(2)(3)1x y -+-=相交与M 、N 两点． ⑴ 求实数k 的取值范围； ⑵ 求证：AM AN ?为定值； ⑶ 若O 为坐标原点，且12OM ON ?=，求k 的值． 轨迹问题 【例7】 已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且 13 AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ． 【例8】 设(,0),(,0)(0)A c B c c ->为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比 为定值(0)a a >，求P 点的轨迹． 高中数学复习典型题专题训练136 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相 切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） A ．?A B B ．?BC C ．?CD D ．?DA Ωy x O D C B A 【例2】 求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程． 【例3】 据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时 40km 的速度向西北方向移动， 在距台风中心250km 以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h ．（结果精确到0.1h ） 【例4】 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购 得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费典例分析 板块七.直线和圆的综合问题 和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 【例5】 设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行， A 先向东直行， 出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇．设A 、B 两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？ 【例6】 已知：过点(0,1)A 斜率为k 的直线l 与⊙C ：22(2)(3)1x y -+-=相交与M 、N 两点． ⑴ 求实数k 的取值范围； ⑵ 求证：AM AN ?u u u u r u u u r 为定值； ⑶ 若O 为坐标原点，且12OM ON ?=u u u u r u u u r ，求k 的值． 轨迹问题 【例7】 已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且 13 AM MB =u u u u r u u u r ，则点M 的轨迹方程是 ． 【例8】 设(,0),(,0)(0)A c B c c ->为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比 为定值(0)a a >，求P 点的轨迹． 【例9】 由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=?， 则动点P 的轨迹方程是 ． 【例10】 如图，圆1O 与圆2O 的圆心都在x 轴上，半径都是1，124O O =，且两圆关于y 轴 对称，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点， 且PM =，试求动点P 的轨迹方程． 9.5 直线与圆的综合应用 一、填空题 1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0 的距离为则a 的值为 ________． 解析 圆心为(1,2), =化简得|a-1|=1,解得a=0或 a=2 . 2．直线y ＝3 3x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3 的位置关系是________． 解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y ＝3x ，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案 相切 3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2| 5 ＝5，可得4＜r ＜6. 答案 (4,6) 答案2或0 4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →2OB →＝________. 解析 由题可知∠AOB ＝120°，所以OA →2OB →＝|OA →|2|OB →|2cos 120°＝－12. 答案 －1 2 5．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213. 法二 设圆的参数方程为?? ? x ＝2＋cos α， y ＝3＋sin α 则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，直线与圆综合
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高中数学 直线与圆的综合应用
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