(完整版)直线与圆专题讲义教师版

一、 知识梳理

1．点到直线距离公式：

点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=

的距离为：d =

2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为

1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，

则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

2

22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率

4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 5．圆的方程：

⑴标准方程：①2

2

2

)()(r b y a x =-+- ；②2

22r y x =+ 。

⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)042

2>-+F E D

注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

、直线与圆相交所得弦长||AB =9. 过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;

10. 以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;

二、课堂训练

1.（最值问题）已知实数x 、y 满足方程0142

2

=+-+x y x ，

（1）求

x

y

的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；

（3）求2

2

y x +的最大值和最小值。

【小结】：方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的几何含义。

2.（位置关系）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2

2

=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（）

【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令，而对于圆可特殊的表示为点到直线

的距离。

3.（对称问题）圆4)1()3(:2

2

1=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(2

2

=-++y x B. 4)3()1(2

2

=-++y x C. 4)3()1(2

2

=++-y x D. 4)1()3(2

2

=++-y x

【思考】：圆关于直线的对称问题实际上是求圆心关于直线的对称点，那直线关于直线的对称问题？ 4.（图像法）若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是__________.

5.（定点问题）圆C ：(x －1)2＋(y －2)2

＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．

(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点， 由?

????

2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2

＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短．

又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2

＝5，

∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2

＝225－5＝4 5.

【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算

，而对于圆可特殊的利用

进行计算。

6.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，

（1）若弦AB 的长为215l 的方程； （2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程．

解：（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有2

4120y y +-=，弦

()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意．

故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=．

将圆的方程写成标准式得()2

2

225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =．

圆心()0,2-到直线l 的距离2

1

d k =

+，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以

(()2

2

23115251

k k -+

=+，即()2

30k +=，所以3k =-．

所求直线l 的方程为3120x y ++=．

（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，11O P AB k k ?=-，又(3)

(3)

AB MP y k k x --==

--，

则有()()()23103y y x x ----?=----，化简得2

2

355222x y ????+++= ? ?????

．

．．．．．（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB

中点P 的轨迹方程为22

355222x y ?

???+++= ? ??

???．

【切点弦方程： 过圆2

2

2

)()(:r b y a x C =-+-外一点),(00y x P 作圆C 的两条切线方程，切点分别为

B A ,,则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--】

7．过点C (6，－8)作圆x 2

＋y 2

＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为( )

A ．15

B ．1 C.15

2

D ．5

【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，

即PD

PC

PT?

=

2

】

8.自动点P引圆10

2

2=

+y

x的两条切线PB

PA,，直线PB

PA,的斜率分别为

2

1

,k

k。

（1）若1

2

1

2

1

-

=

+

+k

k

k

k，求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线m

y

x=

+上，且PB

PA⊥，求实数m的取值范围。

〖解析〗

（1）由题意设)

,

(

y

x

P在园外，切线10

1

),

(

:

2

=

+

-

-

=

-

k

y

kx

x

x

k

y

y

l，

10

2

)

10

(2

2

2

=

-

+

-

-

∴y

k

y

x

k

x

由1

2

1

2

1

-

=

+

+k

k

k

k得点P的轨迹方程为0

5

2=

±

+y

x。

（2）)

,

(

y

x

P

Θ在直线m

y

x=

+上，m

y

x=

+

∴

又PB

PA⊥，1

10

10

,1

2

2

2

1

-

=

-

-

-

=

∴

x

y

k

k，即20

2

2

=

+y

x，将m

y

x=

+代入化简得

20

2

22

2

=

-

+

-m

mx

x

又0

≥

?

Θ，10

2

10

2-≤

≤

∴m

又10

2

2

>

+y

x

Θ恒成立，5

2

2-

<

>

∴m

m或

[](]10

2,5

2

5

2

,

10

2?

-

-

∴的取值范围是

m

【小结】：求动点的轨迹方程是圆锥曲线部分的重要题型，解题思路为先假设动点坐标再找相关关系式。

三、综合强化

1.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，

（1）求k、b的值；

（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

2.若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程.

3.已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.

4.设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．

一、填空题

（1）曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 .

（2）已知M={(x,y)|x 2

+y 2

=1,0

（3）圆(x －3)2

+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____.

（4）直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2

+y 2

=25上，则k 的值是_____.

二、选择题

（1）由曲线y =|x |与x 2

+y 2

=4所围成的图形的最小面积是( )

A.

4

π

B.π

C.

4

3π

D.

2

3π （2） 圆12

2

=+y x 与直线01sin =-+y x θ的位置关系为 （ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、相切或相交

（3）已知二元二次方程Ax 2

+Cy 2

+Dx+Ey+F=0，则???>-+≠=0

4,

02

2F E D C A 是方程表示圆的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

（4）圆x 2

+y 2

－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( )

A ．10

B ．10或－68

C ．5或－34

D ．－68

（5）过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )

A.(x －1)2

+(y －1)2

=1 B.(x －1)2

+(y －1)2

=1或(x －5)2

+(y －5)2

=5 C.(x －1)2

+(y －1)2

=1或(x －5)2

+(y －5)2

=25 D.(x －5)2

+(y －5)2

=5