第2章 解析函数
2.1 解析函数的概念及C-R 条件
复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）.
（A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即
,u v u v x y y x
????==-????在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导
（C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件
（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件 2-2 若22222,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=?
，则函数()
f z （ ）.
（A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微 2-3 若22()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）.
（A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2,3,2)- （D ）(2,3,2)-
2-3 若22()i f z xy x y =+则()f z （ ）.
（A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导
（C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导
2-4 导出在极坐标下的C-R 条件.
2-5 研究下列函数的可导性与解析性
（1）2
()i f z x y =-
（2）33()23i f z x y =+
（3）()e cos ie sin x x f z y y =-
（4）()sin ch cos sh f z x y i x y =+
2-6 若u iv +是区域D 内的解析函数，那么，v iu +在D 内是否也是解析函数？
2-7 如果()f z u iv =+是解析函数，证明222(|()|)(|()|)|()|.f z f z f z x y
??'+=??
2-8 如果()i f z u v =+是解析函数，证明
22
2222()|()|4|()|f z f z x y
??'+=??
2-9 如果()f z 与()f z 均在D 内解析，证明()f z 是常数.
2-10 设()f z 在z 点可导(0)z ≠，证明
()(i )r u v f z z r r
??'=
+??，其中e i z r θ=
2.2 初等函数及其解析性
复变量的指数函数具有周期性.
2-11 若12e e z z =，则（ ）.
（A ）12z z = （B ）122(z z k k π=+为任意整数）
（C ）12i z z k π=+ （D ）122i z z k π=-
.
2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）.
（A ）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （B ）1212ln()ln ln z z z z =+
（C ）2Ln 2Ln z z = （D ）2ln 2ln z z = 2-13 Ln(1)-和它的主值分别是（ ）.
（A ）1
Ln(1)()πi,(2k k -=+为整数）主值ln(1)0-=
（B ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -=
（C ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -=-
（D ）Ln(1)ln1iA rg(1)-=+-，主值ln(1)πi -=
2-14 设k 为整数，则方程sin 0z =的根是（ ）.
（A ）πi z k = （B ）2πz k = （C ）πz k = （D ）2πz k = 2-15 证明对数函数的下列性质.
（1）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （2）1
12
2
Ln Ln Ln z z z z =-
并说明以上性质对于函数ln z 未必成立.
2-16 说明下列等式是否正确.
（1）2Ln 2Ln z z =； （2）1
Ln 2z =
2-17 求下列各式的值:
(1)exp[(1i π)/4]+ (2)i 3 (3)i (1i)+ (4) i ln(1i)+
2-18 讨论函数ln z 和Ln z 的解析性及其导数.
2-19研究幂函数a w z =的解析性质，并求其导数.
2-20 求1z =-'
的值.
第二章 解析函数 §1 复变函数 一 、复变函数的概念 1． 定义：设D 为复平面上的点集，对?点D z ∈，按某种法则， 总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。 其中，称W 为像；Z 为原像。 若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。 2、复变函数与实变函数的关系 设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(， 即有????=?=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用 两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。 例：xy i y x Z W 2)(2 2 2 +-==???=-=?xy v y x u 22 2。 ??? ????+-=+=?+-+=+-===22 2 22222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念 复变函数在几何上又称为映射（或变换）。这种函数关系要用两个平面来表示。 函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到 w 平面上的一个点集*G 。 例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .
第2章 解析函数 2．1 单项选择题 2-1 函数)(z f w =在0z 点可导是可微的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 2-2 复变函数)(z f w =在0z 点可导是连续的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 2-3 设),,(),()(y x iv y x u z f +=则在),(00y x 点，v u ,均可微是)(z f 在0 00iy x z +=点可微的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件 2-4 )(z f 在000iy x z +=点可导的充分必要条件是（ ）。 （A ） 在),(00y x 点v u ,可导，且满足C-R 条件，既x v y u y v x u ??- =????= ??,在),(00y x 成立 （B ） ）点的一个邻域内可导在（00,)(y x z f （C ） 条件可微，且满足 ）点在（R C v u y x -,,00 （D ） 条件满足具有连续的偏导数，且）点在（R C v u y x -,,00 2-5 设那么（）。,2)(2 ix xy z f -= （A ）处处可微)(z f （ B ）处处不可导)(z f （C ）仅在原点可导 )(z f （D ）轴上可导仅在x z f )( 2-6 则 若,)( xy,y)(x, v ,0 x ,00 x ),(2 22 22 20iv u z f y y y x xy y x u o +===?????=+≠++=函数)(z f （ ）。 （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点处处可导 （D ）处处可微 2-7 若 ). )((,)(z f z z f 则=
第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即 ,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件 （D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件 2-2 若22222,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （ ）. （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微 2-3 若22()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2,3,2)- （D ）(2,3,2)- 2-3 若22()i f z xy x y =+则()f z （ ）. （A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导 （C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导 2-4 导出在极坐标下的C-R 条件. 2-5 研究下列函数的可导性与解析性 （1）2 ()i f z x y =- （2）33()23i f z x y =+ （3）()e cos ie sin x x f z y y =- （4）()sin ch cos sh f z x y i x y =+
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： () ()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=????? ?++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()() 2 0001111 11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=- +=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导何处解析 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1 -=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2 1 -=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f +=
解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2= 2y x u =??，xy y u 2=??，xy x v 2=??，2x y v =??都是连续函数。 只有22x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。 4) ()xshy i xchy z f cos sin += 解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos = xchy x u cos =??，xshy y u sin =??，xshy x v sin -=??，xchy y v cos =??都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。 3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： () ()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→Λ2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=????? ?++-+= n n n n z nz z z z n n nz ???Λlim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2 0001111 11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=- +=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导何处解析 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2 x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1 -=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2 1 -=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2 296y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =