解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=
特别地：
x
//AB 轴， 则
=AB 。
y
//AB 轴， 则
=AB 。
2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,
0C By Ax :l 2211=++=++
则：2
2
21B
A C C d +-=
注意点：x ，y 对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++
则P 到l 的距离为：2
2
B
A C
By Ax d +++=
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?
?
?=+=0)y ,x (F b
kx y
消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>?
若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x
则：2
122))(1(x x k AB -+=
5、 若
A ),(),,(2211y x
B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB
上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，
则???
????
λ+λ+=λ+λ+=1121
21y y y x x x ，特别地：λ=1
时，P 为AB 中点且???
????
+=+=22
21
21y y y x x x
变形后：y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 6、 若直线
l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为
),0(,π∈αα
适用范围：k 1，k 2都存在
且k 1k 2≠－1 ， 2
1121tan k k k
k +-=α
若l 1与l 2的夹角为θ，则=
θtan 2
1211k k k k +-，]2,0(π
∈θ
注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π
l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2
π
。
（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；
（2）]0[,π∈θθ→
→，，夹角b a ；
（3）直线l 与平面]2
0[π∈ββα，，的夹角；
（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2
0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α；
（6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，
8、 直线的倾斜角α与斜率
k 的关系
a)
每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b)
若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、 直线
l 1与直线l 2的的平行与垂直
（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2
②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1
（2）若0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零
①
l 1//l 2?
2
1
2121C C B B A A ≠
=； ②
l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0；
③
l 1与l 2相交?
2
121B B A A ≠ ④
l 1与l 2重合?
2
1
2121C C B B A A =
=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。
10、
直线方程的五种形式
名称 方程 注意点 斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在：
x x =
（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式： 1=+
b
y
a x
其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(b 当直
线l 在坐标轴上，截距相等时应分：
（1）截距=0
设y=kx
（2）截距
=0≠a 设1=+
a
y a x 即
x+y=a
一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时
为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-，
半径圆心，----r b a ),(。
（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D
,)2
,2(圆心----E
D 2
422F
E D r -+=
11、直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若2
2
B
A C Bb Aa d +++=，0相离r d
0=???=相切r d
0>???<相交r d
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421??+>r r d
条公切线外切321??+=r r d
条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d 无公切线内含??-<<210r r d
外离 外切
相交 内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0 标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a 定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ±= 焦半径：)(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=，212PF a PF -=， c a PF c a +≤≤-1等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。） 注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22， =21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等 等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。 （2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．． 将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立1PF +2PF 、 1PF ?2PF 等关系 （3）椭圆上的点有时常用到三角换元：?? ?θ =θ =sin cos b y a x ； （4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当 焦点在y 轴上时，其相应的性质。 二、双曲线 （一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为 常数），则动点P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。 （二）图形： （三）性质 方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122 22=-b x a y )0,0(>>b a 定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ±= 焦半径：)(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=，a PF PF 221=-； 注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1 顶点到准线的距离：c a a c a a 2 2+-或；焦点到准线的距离： c a c c a c 2 2+-或 两准线间的距离=c a 2 2 （2）若双曲线方程为122 22=-b y a x ?渐近线方程： ?=-02222b y a x x a b y ±= 若渐近线方程为 x a b y ± =?0=±b y a x ? 双曲线可设为 λ=-22 22b y a x 若双曲线与122 22=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） （3）特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直， 分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 λ=-22y x ； （4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理 21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来。 （5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线 （一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物 线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。 （二）图形： （三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22； 焦点： )0,2 (p ，通径p AB 2=； 准线： 2 p x -=； 焦 半径： ,2 p x CF + = 过焦点弦长 p x x p x p x CD ++=+++ =21212 2 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2 p ；焦点到准线的 距离=p ；通径长=p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （2）抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或 或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中
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