高三数学文科阶段测试卷
综合试题满分：150分，时间：120分钟
学校 班级 姓名 分数 一、选择题（本题共12道小题每题5分，共60分）
1．已知集合{}11x x A =-≤≤，{}02x x B =≤≤，则A B =I （ ）
A ．[]1,0-
B ．[]1,2-
C ．[]0,1
D ．(][),12,-∞+∞U 2．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2
z
=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -
3．下列函数()f x 中，满足对任意1x ，()20,x ∈+∞，当12x x <时都有()()12f x f x >的是（ ）
A ．()1f x x
=
B ．()()2
1f x x =- C ．()x f x e = D ．()()ln 1f x x =+
4．已知函数()2log f x x =，任取一个01,22x ??
∈????
使()00f x >的概率为（ ）
A ．
14 B ．12 C ．23 D ．34
5．2x <是2320x x -+<成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为
11
12
，则判断框中
填写的内容可以是（ ）
A ．6n =
B ．6n <
C ．6n ≤
D ．8n ≤ 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．
323 B ．64 C ．3233
D ．643 8．函数()()2cos f x x ω?=+（0ω≠）对任意x 都有44f x f x ππ????
+=- ? ?????
，则
4f π??
???
等于（ ） A ．2或0 B ．2-或2 C ．0 D ．2-或0
9．定义运算：,,a a b
a b b a b ≤?*=?>?．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域
为（ ）
A ．2222?-???
B ．[]1,1-
C ．22????
D ．21,2?-??
?
10．如图，函数()f x 的图象为折线C A B ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是
（ ）
A ．{}10x x -<≤
B ．{}11x x -≤≤
C ．{}11x x -<≤
D ．{}12x x -<≤
11．已知抛物线C:24y x =的焦点为F ，直线)31y x =-与C 交于A ，B （A 在
x 轴上方）两点．若F F m A =B u u u r u u u r
，则m 的值为（ ） A 3 B ．
3
2
C ．2
D ．3 12．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()14f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为（ ）
A ．()1,+∞
B ．(),e +∞
C ．()0,1
D ．()0,e 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设x ，R y ∈，向量(),1a x =r ，()1,b y =r ，()3,6c =-r
，且a c ⊥r r ，//b c r r ，则
(
)
a b c +?=r r r
．
14．若x ，y 满足010x y x y x -≤??
+≤??≥?
，则2z x y =+的最大值为 ．
15．直线3450x y ++=与圆2
2
4x y +=交于M ，N 两点，则OM ?ON u u u u r u u u r
（O 为坐标
原点）等于 ．
16．函数()y f x =的图象与直线x a =，x b =以及x 轴围成图形的面积记为()
f x
在[],a b 上的面积．已知函数sin y nx =在0,n π??
????上的面积为2n （n *∈N ），则函数
sin 3y x =在20,3π??
????
上的面积为 ．
三、解答题(本大题共6小题， 17-21题每小题12分，22-24题10分，共70分)
17．C ?AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行． （1）求角A ；
（2）若7a =，2b =，求C ?AB 的面积．
18．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[)0,2，第二组[)2,4，第三组[)4,6，第四组[)6,8，第五组[)8,10，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第三，四，五组的频率；
（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．
19．已知四棱锥CD A-B E ，其中C C 1AB =B =A =BE =，CD 2=，CD ⊥面C AB ，
//CD BE ，F 为D A 的中点． （1）求证：F//E 面C AB ； （2）求证：面D A E ⊥面CD A ； （3）求四棱锥CD A-B E 的体积．
20．如图，椭圆:E 22221x y a b
+=（0a b >>）经过点()0,1A -，且离心率为2
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与Q A 的斜率之和为2．
21．已知函数()32f x x ax =-，R a ∈．
（1）若1a =，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；
（2）若曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦
AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ?=2． （1）求证：EP EF EB CE ?=?；
（2）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是????
?==t
y t
x 3（t 为参数），以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．
（1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,.
（1）证明：4
1
|6131|<+b a ；
（2）比较|41|ab -与||2b a -的大小.
参考答案
一、选择题
1-5 CDACB 6-10 CABDC 11-12 DD 二、填空题
13．15 14．2 15．2- 16．4
3
三、解答题
17．（1）3
A π
=
；（2．
【解析】（1）因为//m n r r
，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得
sinAsinB A 0-=，
又sin 0B ≠，从而tan A ，由于0A π<<，所以3
A π
=
（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而2,a =3
π
A =
得2742c c =+-，即2230c c --=
因为0c >，所以3c =.故?ABC 的面积为1bcsinA 2=
考点：两向量平行，正弦定理，余弦定理，三角形的面积．
18．（1）0.3，0.2，0.1；（2）1
5
．
【解析】（1）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；
第五组的频率是0.050×2=0.1 （2）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，
由题意可知，分别抽取3个，2个，1个． 不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，
所含基本事件总数为：
{}{}{}{}{}{}{}12132311121121,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B
{}{}{}{}{}2221313231,,,,,,,,,,A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C ，
所以31()155
P A =
=． 考点：频率分布直方图，古典概型． 19．（1）见解析；（2）见解析；（3
【解析】（1）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点，∴FG ∥CD,且FG=
2
1
DC=1 ． ∵BE ∥CD ，∴FG 与BE 平行且相等，∴EF ∥BG ．ABC BG ABC EF 面面??, ∴EF ∥面ABC ．
（2）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC
又∵DC ⊥面ABC,BG ?面ABC ∴DC ⊥BG ，∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，
∴BG ⊥面ADC ． ∵EF ∥BG ，∴EF ⊥面ADC
A
B
C
D
E
F G
∵EF ?面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ．
（3）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．
4
3631232313114331=+=??+??=
+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ． 考点：线面平行，面面垂直，棱锥的体积．
20．（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析．
【解析】（1
）由题意知
1c b a ==，综合222a b c =+
，解得a =， 所以，椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2
212x y +=，得
22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，
由已知0?>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212
22
4(1)2(2)
,1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和
12121211
1122AP AQ y y kx k kx k
k k x x x x +++-+-+=
+=+ 12
1212112(2)2(2)x x
k k k k x x x x ??+=+-+=+- ???
()4(1)
222(21)22(2)
k k k k k k k k -=+-=--=-.
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．
【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代
入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型． 21．（1）0y =和1y x =-；（2）1a <.
【解析】（1）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为
232
00000
(32)()y x x x x x x =--+-. 该直线经过点(1,0)，所以有232
00000
0(32)(1)x x x x x =--+-， 化简得3200020x x x -+=，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-.
（2）由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，
设32()1g x x ax x =--+，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ?=+>
所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i
i x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i i
x a x -=
， 不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，
1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，
方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且
2()0g x <，
又23
2323311
()111(1,2)222
i i i i
i
i i
i i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，
设31()122x h x x =--+，所以231
'()022
h x x =--<，所以()h x 为减函数，
又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，
所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. 考点：利用导数求切线，函数的零点，转化与化归，函数的单调性与极值． 【名师点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而
在点P 处的切线，必以点P 为切点．
（2）求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．
（3）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决． 22、【解析】（1）∵EC EF DE ?=2,DEF DEF ∠=∠
∴DEF ?∽CED ?,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠ ∴EDF ?∽EPA ?， ∴
ED
EP
EF EA =
， ∴EP EF ED EA ?=? 又∵EB CE ED EA ?=?，∴EP EF EB CE ?=?． ………………………………5分
（2）∵EC EF DE ?=2,2,3==EF DE ∴ 2
9
=
EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（1）可知：EP EF EB CE ?=?，解得4
27
=EP . …………………………7分
∴4
15
=
-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ?=2 ∴)2
9427(4152+?=
PA ，解得
4
3
15=
PA ． ……………………………………10分 23、【解析】（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分
由??
?==θ
ρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=?ρπ
θ.
（ 也可以是：3
π
θ=
或)0(3
4≥=
ρπ
θ）---------------------5分 （2）??
???==--+303sin 2sin cos 2222π
θθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分 设)3
,(1πρA ，)3
,(2π
ρB ，
则154)(||||2122121=-+=-=ρρρρρρAB .---------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）
24、【解析】（1)记??
?
??>-≤<----≤=+--=1,312,122,
3|2||1|)(x x x x x x x f ，
由0122<--<-x 解得：2
121<<-
x ， 即)2
1
,21(-=M ……………………………………………………3分
所以，4
1
21612131||61||31|6131|=?+?<+≤+b a b a ; ……………………5分
（2）由（1）得：412<
a ，4
1
2--=b a ………………9分 故22||4|41|b a ab ->-，即||2|41|b a ab ->- ……………………10分