对数运算及其对数函数一．选择题（共22小题）
1．log42﹣log48等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．计算：（log43+log83）（log32+log92）=（）
A．B．C．5 D．15
3．计算（log54）?（log1625）=（）
A．2 B．1 C．D．
4．计算：log43?log92=（）
A．B．C．4 D．6
5．计算4log6+log64的结果是（）
A．log62 B．2 C．log63 D．3
6．（log29）?（log34）=（）
A．B．C．2 D．4
7．如果lg2=m，lg3=n，则等于（）
A．B．C．D．
8．若3a=2，则log38﹣2log36的值是（）
A．a﹣2 B．3a﹣（1+a）2C．5a﹣2 D．3a﹣a2
9．设a=log32，b=ln2，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
10．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）
11．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）
A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b
12．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
13．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
14．函数y=的值域是（）
A．R B．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3] D．[3，+∞）
15．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
16．若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）A．[﹣1，1] B．C．D．[1，4]
17．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）
A．B．2 C．D．4
18．函数y=log a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）
A． B． C．
D．
19．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）
A． B．C．D．
20．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，
则下列结论成立的是（）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 21．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）22．已知函数f（x）=㏒（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值围是（）
A．0≤a≤2 B．﹣≤a≤﹣4 C．﹣4＜a＜0 D．a＜0
评卷人得分
二．填空题（共7小题）
23．方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．
24．lg0.01+log216的值是．
25．计算：log2= ，2= ．26．= ．
27．求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1= ．28．函数f（x）=的值域为．29．函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是．评卷人得分
三．解答题（共2小题）
30．计算：
（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；
（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．31．不用计算器计算：
（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0；
（2）（）﹣（）0.5+（0.008）×．
答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．log42﹣log48等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：log42﹣log48=log4=log44﹣1=﹣1，故选：B．
2．计算：（log43+log83）（log32+log92）=（）A．B．C．5 D．15
【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）
=（log23+log23）（log32+log32）
=log23?log32
=；
故选：A．
3．计算（log54）?（log1625）=（）
A．2 B．1 C．D．
【解答】解：（log54）?（log1625）=×
=×=1．
故选：B．
4．计算：log43?log92=（）
A．B．C．4 D．6
【解答】解：log43?log92==，
故选：A．
5．计算4log6+log64的结果是（）
A．log62 B．2 C．log63 D．3
【解答】解：4log6+log64=2log63+2log62=2log66=2．
故选：B．
6．（log29）?（log34）=（）
A．B．C．2 D．4
【解答】解：（log29）?（log34）===4．故选：D．
7．如果lg2=m，lg3=n，则等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵lg2=m，lg3=n，
∴===．
故选：C．
8．若3a=2，则log38﹣2log36的值是（）
A．a﹣2 B．3a﹣（1+a）2C．5a﹣2 D．3a﹣a2
【解答】解：∵3a=2，∴log32=a，
∴log38﹣2log36=log3
=
=log32﹣2
=a﹣2．
故选：A．
9．设a=log32，b=ln2，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：a=log32=，b=ln2=，
而log23＞log2e＞1，所以a＜b，
c==，而，
所以c＜a，综上c＜a＜b，
故选：C．
10．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）=x2﹣2x﹣3单调递减，
而0＜＜1，由复合函数单调性可知y=log 0.5（x2﹣2x﹣3）在（﹣∞，﹣1）上是单调递增的，在（3，+∞）上是单调递减的．
故选：A．
11．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）
A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b
【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，
∴log c a＜log c b，故B正确；
∴当a＞b＞1时，
0＞log a c＞log b c，故A错误；
a c＞
b c，故C错误；
c a＜c b，故D错误；
故选：B．
12．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【解答】解：∵
∵，故选A
13．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
14．函数y=的值域是（）
A．R B．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3] D．[3，+∞）
【解答】解：∵t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8
∴层函数的值域变[8，+∞）
y=在[8，+∞）是减函数，
故y≤=﹣3
∴函数y=的值域是（﹣∞，﹣3]
故应选C．
15．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵，，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选：D．
16．若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）A．[﹣1，1] B．C．D．[1，4]
【解答】解：∵y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，
∴函数y=f（log2x）有意义?﹣1≤log2x≤1，
∴≤x≤2．
∴函数y=f（log2x）的定义域是{x|≤x≤2}．
故选：B．
17．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）
A．B．2 C．D．4
【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，
∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，
故选：D．
18．函数y=log a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）
A． B． C．
D．
【解答】解：先画y=log a x，
然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），
再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，
y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．
故选：B．
19．函数y=log a（x﹣1）（0＜a＜1）的图象大致是（）
A． B．C．D．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴y=log a x在（0，+∞）上单调递减，
又∵函数y=log a（x﹣1）的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，故选：A．
20．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，
则下列结论成立的是（）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，
当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，
当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，
故选：D．
21．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）
【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，
解得：﹣3＜x＜1，
而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，
故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，
由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，
得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，
故选：B．
22．已知函数f（x）=㏒（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值围是（）
A．0≤a≤2 B．﹣≤a≤﹣4 C．﹣4＜a＜0 D．a＜0
【解答】解：当a＞0时，△=a2+4a≥0，解得a≥0或a≤﹣4，
f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，
∴层函数x2﹣ax﹣a在（﹣3，1﹣）上是减函数
∵≥1﹣，且（x2﹣ax﹣a）|≥0．
即a≥2﹣2，且a≤2
综上知实数a的取值围是0≤a≤2
故选：A．
二．填空题（共7小题）
23．方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 2 ．
【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，
∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），
化为（3x）2﹣12?3x+27=0，
因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，
∴3x=3，3x=9，
解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
24．lg0.01+log216的值是 2 ．
【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．
故答案为：2．
25．计算：log2= ，2= ．【解答】解：log2=log2=﹣；
2===3．
故答案为：；．
26．= ﹣4 ．
【解答】解：=
==﹣4
故答案为：﹣4．
27．求值：2log3+log312﹣0.70+0.25﹣1= 4 ．
【解答】解：∵
=﹣2log32+1+2log32﹣1+4
=4．
故答案为：4．
28．函数f（x）=的值域为（﹣∞，2）．
【解答】解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
29．函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是18 ．
【解答】解：∵y=2x和y=log2x在区间[1，4]上都是增函数，
∴y=2x+log2x在区间[1，4]上为增函数，
即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，
故答案为：18
三．解答题（共2小题）
30．计算：
（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；
（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．【解答】解：（Ⅰ）
=
=
=
=；
（Ⅱ）
=
=
=
=8（log33）+1+2
=8+1+2
=11．
31．不用计算器计算：
（1）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0；
（2）（）﹣（）0.5+（0.008）×．【解答】解：（1）原式=
=
=．
（2）原式=
=
=．
对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质
例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
对数的计算以及对数函数的基本性质 1.对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： log (0,1,0) x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10 a =， log 1 a a =， log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即 10log N ； 自然对数：ln N ，即 log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log () n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0 a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象： 定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 1 x y O 1 x y O
奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况： log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x >>==<<< log 0(1)log 0(1)log 0(01) a a a x x x x x x <>==><< 变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。 3.反函数的概念 （1）设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在 C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1 ()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （2）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1 ()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1 ()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则' (,)P b a 在反函数1 ()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题与解析： 例题1：将下列指数式与对数式进行互化. （1）64)4 1 (=x （2）5 15 2 1= - （3）327log 3 1-= （4）664log -=x 解析：（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64 （2）∵51521 =-，∴21 51log 5 -= （3）∵327log 3 1-=，∴27)31(3=- （4）∵log x 64 = –6，∴x － 6 = 64. 例题2：比较下列各组数的大小： （1）log 0.7 1.3和log 0.71.8； （2）log 35和log 64. （3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)；
精心整理 指数函数对数函数计算题1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1 lg )2 (lg 2 3++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、求函数1 21log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.
11、已知f(x)=1322 +-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=3 21121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13 14 1516 17 18 19 20、解指数方程：014 332 14 1 1 1=+?---- --x x 21、解指数方程：042342 2 22=-?--+ -+ x x x x
22、解对数方程：log2(x－1)=log2(2x+1) 23、解对数方程：log2(x2－5x－2)=2 24、解对数方程：log16x+log4x+log2x=7 25 26 27 28 29 30 指数函数对数函数计算题1〈答案〉1、 1 2、
解：原方程为lg2(x＋10)－3lg(x＋10)－4=0, ∴[lg(x＋10)－4][lg(x＋10)＋1]=0. 由lg(x＋10)=4,得x＋10=10000,∴x=9990. 由lg(x＋10)=－1,得x＋10=0.1,∴x=－9.9. 检验知：x=9990和－9.9都是原方程的解. 3、 4、 ∵3-x 5、 6、 解：方程两边取常用对数,得：(x＋1)lg5=(x2－1)lg3,(x＋1)[lg5－(x－1)lg3]=0. . ∴x＋1=0或lg5－(x－1)lg3=0.故原方程的解为x1=－1或x2=1＋5 log 3 7、 1
高一数学对数运算及对数函数试题 一：选择题 1．若log 7[log 3（log 2x ）]=0，则为（ ） A ． B ． C ． D ． 解：∵log 7[log 3（log 2x ）]=0， ∴log 3（log 2x ）=1， ∴log 2x=3， ∴x=8， ∴ = = = ． 故选D ． 2．23(log 9)(log 4)?=（ ） （A ） 14 （B ）1 2 （C ） 2 （D ）4 【答案】D 3．的值是（ C ） A ． 12 B ． C ． ﹣12 D ． 解：=log 6（4×9）+2﹣16=﹣12， 故选C ． 4．实数﹣ ?+lg4+2lg5的值为（ D ） A ． 25 B ． 28 C ． 32 D ． 33 解： ﹣?+lg4+2lg5=﹣2×（﹣2）+lg （4×25）=27+4+2=33， 故选D ． 5．已知lg2=a ，10b =3，则log 125可表示为（ ） A ． B ． C ． D ．
解：∵lg2=a，10b=3， ∴lg3=b， ∴log125= = =． 故选C． 6．lgx+lgy=2lg（x﹣2y），则的值的集合是（） A．{1} B．{2} C．{1，0} D．{2，0} 解：∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），∴lg（x﹣2y）2=lgxy， ∴（x﹣2y）2=xy，∴x2﹣5xy+4y2=0， ∴﹣5?+4=0，∴=1（舍去）或=4， 故=log24=2， 故选B． 7．已知f（e x）=x，则f（5）等于（D） A．e5B．5e C．l og5e D．l n5 解：∵f（e x）=x，令e x=t，解得x=lnt， ∴f（t）=lnt（t＞0）， ∴f（5）=ln5， 故选D． 8．设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＜a＜b 解：因为， 又1.8＞1.5＞1.44， 函数y=2x是增函数，所以a＞c＞b． 故选B． 9．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（A）A．B． C．2D．﹣2 ﹣
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 11对数运算和对数函数 【考点解读】 对数：B 级 对数函数的图象与性质：B 级 【复习目标】 1．理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式（只要求知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数）； 2．了解对数函数的概念；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象。 活动一：基础知识 1．对数及其运算性质 一般的，如果(0,1)a a a >≠的b 次幂等于N ，即b a N =，那么指数 b 叫做以a 为底N 的对数，记作log ,a N b =其中a 叫做 ，N 叫做 ，式子log a N 叫做 。 常用对数：通常将10log N 的对数叫做常用对数，为了方便，N 的常用对数记作 。 自然对数：通常将以无理数e=2.71828L 为底的对数叫做自然对数，为了方便，N 的自然对数 记作 。 对数恒等式：log a N a = (0a >且1,0a N ≠>)叫做对数恒等式。 对数换底公式：log b N = . 对数的性质： （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =。 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ① log ()a MN = ; ② log a M N = ; ③ log n a M = （n R ∈） 2.对数函数x y log =（0>a 且1≠a ）的图像和性质
1．计算：（1）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；（2）41 111 (lg32log 166lg )lg 5 255 +++ （3） 2log ； （4）1324 lg 2493 -+（5）lg 2lg 5lg8lg 50lg 40+--； （6） 2721 log 10log 23235log [43)7]--；（7）2lg5+ 2．设lg 2,lg3,a b ==则5log 12= 。lg83lg5+= 。 3．30.4 40.4,3,log 3的大小关系为 。 4．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图像过两点（-1，0）和（0，1），则a = ，b = 。 5．对于0,1a a >≠，下列结论： ① 若M=N,则log log a a M N =； ② 若log log a a M N =，则M=N ； ③ 若22log log a a M N =,则M=N ； ④ 若M=N 。则22 log log a a M N =。 其中正确的有 。（填序号） 6．已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -= 。 7．设函数9()log f x x =，则满足1 ()2 f x =的x 的值为 。
2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数 的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
§2.2.1 对数与对数运算（一） ¤知识要点： 1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在 科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =?=. 4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲： 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）71 2128 -= ； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12 log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）. 第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一） ※基础达标 1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 0 1ln10e ==与 B. 1()3 81118 log 223 -==-与 C. 12 3log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）. A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 4．设13 log 82 x =，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 1 4 5．已知432log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ）. A. 1 3 B. C. D. 6．若21 log 3 x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = . 7．计算： = ； 6lg 0.1= . ※能力提高 8．求下列各式的值：（1） 8； （2）9log
对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y -- 3 函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 （2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥= x x y 。 （3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。 类型三、对数函数中的单调性问题 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 对数运算与对数函数 已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算. 【对数运算的相关问题】 1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底 数，N 叫做真数. 2指数式与对数式的互化 如图1.10—1所示. ②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：① . ② . 证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都 可以用一个对数表示. 说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？ 由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b =1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1. 例1.化简下列各式：(1). (2) . 解: (1)原式=31 ×=3×6=18. (2)原式=. 4.对数运算性质 如果 (1). (2)= . (3) ． 5.换底公式及推论 ①换底公式：. ②推论1： . a b =N b=log a N ? 指数式← →对数式 底数 指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1 ③推论2：． 例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数， ∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(), 又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= . 例3.求值. (1). (2)lg52++lg5lg20+lg22. 解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3. 法2.原式= (2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3. 例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645. (2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc. (3)若.求的值. 解:(1)法1.由log189=a,得a=log18 又由18b=5,得b=log185, ∴log3645= 法2. log189=a,得， 再由b=log185= ∴log3645= (2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2， 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 对数运算、对数函数 二. 重点、难点： 1. 对数运算 0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a （1）x N a =log N a x =? （2）01log =a （3）1log =a a （4）N a N a =log （5）N M N M a a a log log )(log +=? （6）N M N M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ?= （8）a M M b b a log /log log = （9）b x y b a y a x log log = （10）1log log =?a b b a 2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域 R 单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0） 图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称 【典型例题】 [例1] 求值 （1）=7 log 3) 9 1( ； （2）=-++4log 20log 2 3 log 2log 151515 15 ； （3）=+?+18log 3log 2log )2(log 66626 ； （4）=?81log 16log 329 ； （5）=+?++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+?+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。 解： （1）原式49 173 3) 3(27log 7 log 27 log 22 333= ====---- （2）原式115log 15== （3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++?= 236 log 18 log 2log 666==+= （4）原式58 )3log 54()2log 24(23=?= （5）原式8 15 )2log 23()5log 23()3log 65(532=??= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++= 2 100lg 2 lg 225lg ==+= [例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33 1322 12y x =)]z (log [log log 55 15= 0=，试比较z y x 、、的大小关系。 解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0?log 2 1(log 2x)＝1?log 2x ＝21?x ＝2＝(215 )1. 同理可得 y ＝33＝(310) 30 1 ,z ＝5 5＝(56) 30 1 . ∵310 >215 >56 ，由幂函数y ＝x 30 1 在(0，+∞)上递增知，y>x>z. [例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=?)(log 21)(21n a a a b b b n 。 解：由已知λ 11a b =，λ λn n a b a b == 22 ∴ λ)()(11n n a a b b = ∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n 2.2对数函数 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作 1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1 ()x f y -=； ③将1 ()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1 ()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1 ()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则' (,)P b a 在反函数1 ()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 课堂练习 对数函数与指数函数的混合运算： 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________ 2、若1a >且01b <<，则不等式log (3) 1b x a ->的解集为________ 3、已知35,a b A ==且 11 2a b +=，则A 的值是________ 4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 对数运算、对数函数经典例题讲义 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________． 3．对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝____. 对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2
(完整版)对数公式及对数函数的总结
对数运算、对数函数经典例题讲义
对数运算与对数函数
必修1第三章对数函数的运算法则(全)
对数函数及其运算
对数运算、对数函数经典例题讲义
相关主题
文本预览