1.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？
2.甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。问：一共有多少种可能的情况？
3.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？
4.一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？
5.设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。
6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。求：
（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
7.在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？
8.在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？
9.10个三角形最多将平面分成几个部分？
10.四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。问：一共有多少种不同的方法？
六年级奥数竞赛试题 一.计算: ⑴. =?+???+?+?+?100991431321211 ⑵. 13471711613122374?+?+?= ⑶. 222345567566345567+??+= ⑷. 45 13612812111511016131+++++++= 二.填空: ⑴.甲、乙两数是自然数,如果甲数的 65恰好是乙数的4 1.那么甲、乙两数之和的最小值是 . ⑵.某班学生参加一次考试,成绩分优、良、及格、不及格四等.已知该班有21的学生得优,有31的学生得良,有71的学生得及格.如果该班学生人数不超过60人,则该班不及格的学生有 人. ⑶.一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了 天. ⑷. 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数. ⑸.“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 _______种不同颜色搭配的“IMO ”. ⑹不定方程172112=+y x 的整数解是 . ⑺一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是 .
⑻. 把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体, 这个立方体的表面积是 平方厘米. ⑼.两车同时从甲乙两地相对开出,甲每小时行48千米,乙车每小时行54千米,相遇时两车离中点36千米,甲乙两地相距 千米. ⑽.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 _人. ⑾.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),最多有 种走法. ⑿.算出圆内正方形的面积为 . ⒀.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周 长是 厘米.)14.3(=π ⒁.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色. ⒂.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=※5= . ⒃.甲、乙、丙、丁四位学生在广场上踢足球，打碎了玻璃窗，有人问他们时，他们这样说： 甲：“玻璃是丙也可能是丁打碎的”； 乙：“是丁打碎的”； 丙：“我没有打坏玻璃”； 丁：“我才不干这种事”； 深深了解学生的老师说：“他们中有三位决不会说谎话”。那么，到底是谁打碎了玻璃 答: 是 打碎了玻璃。 北 少年宫 学校6厘米
小学六年级奥数工程问题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1
5-7-1.位值原理 教学目标 1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题 知识点拨 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 模块一、简单的位值原理拆分 【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分 【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。 【答案】10 【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上） 【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第5题
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多
六年级奥数题及答案 1、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款 9600×（1－40％）＝5760（元）5760÷2＋120＝3000（元） 3000÷（1－40％）＝5000（元） 2育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人？ 3÷（3＋5）＝3/8 9/11÷（1＋9/11）＝9/20 60÷（9/20－3/8）＝800人 3、甲、乙、丙三人各有巧克力豆若干粒，要求互相赠送.先由甲给乙、丙，甲给乙、丙的豆数依次等于乙、丙原来各人所有豆数.依同办法，再由乙给甲、丙，所给豆数依次等于甲、丙各人现有的豆数.最后由丙给甲、乙，所给的豆数依次等于甲、乙各人现有的豆数.互赠后每人恰好各有豆32粒，问原来三人各有豆多少粒？ 4、六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名，问得奖人数是多少？ 解答：设获奖人数为x，则
所以x=111（人） 5、 甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？ ①甲仓有粮：（80＋120）÷（1＋60％）=125（吨）. ②从乙仓调入甲仓粮食：125-80=45（吨）. 6、有一堆苹果平均分给幼儿园大、小班小朋友，每人可得6个，如果只分给大班每人可得10个，问只分给小班时，每人可得几个？、 7狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？、 ：根据"马跑4步的距离狗跑7步"，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。 根据"狗跑5步的时间马跑3步"，可知同一时间马跑3×7x米＝21x 米，则狗跑5×4x＝20x米。 可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20 根据"现在狗已跑出30米"，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米 8计算
小学奥数中的涂色问 题 Revised on November 25, 2020
涂色问题的常见方法 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 一、区域涂色问题 1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本 方法。 例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种 4种方法，接着给③号涂色方法有34种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240 ???= 2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再 用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4 4 A； ① ②③④ ⑤⑥
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有4 4A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有4 4A ；（5）②与④同色、③与⑥同 色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为54 4A =120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域2与4 2) 区域3与5必须同色，故有3 4A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色， 4) 则区域3与5不同色，有4 4A 种；若区域3与5同色，则区域2与 4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有24 4A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2 24=72 3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
六年级奥数题及答案 1·如图，长方形ABCD中，E为的AD中点，AF与BE·BD分别交于G·H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，H F=3cm，求AG． 2六年级奥数题及答案 如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC 和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。
3·巧克力豆；（高等难度） 甲·乙·丙三人各有巧克力豆若干粒，要求互相赠送，先由甲给乙·丙，甲给乙·丙的豆数依次等于乙·丙原来各人所有豆数，依同办法，再由乙给甲·丙，所给豆数依次等于甲·丙各人现有的豆数，最后由丙给甲·乙，所给的豆数依次等于甲·乙各人现有的豆数，互赠后每人恰好各有豆32粒，问原来三人各有豆多少粒？ 4·得奖人数；（高等难度） 六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名，问得奖人数是多少？
粮食问题；（高等难度） 5·甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？ 6·分苹果；（高等难度） 有一堆苹果平均分给幼儿园大·小班小朋友，每人可得6个，如果只分给大班每人可得10个，问只分给小班时，每人可得几个？· 7·巧算；（中等难度） 计算；
8·四位数；（中等难度） 某个四位数有如下特点；①这个数加1之后是15的倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数， 9跑步 狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问；狗再跑多远，马可以追上它？· 10排队 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）·
位值原理 叁仟陆佰伍拾捌 3 6 5 8 加油站 位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示 的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外， 还有一个“位置值”.例如“2”，写在个位上，就表示2个一， 写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数
的原则，称为写数的位值原理. 【例1】(★) 填空: ⑴ 123＝1个（ ）＋2个（ ）＋3个（ ） ⑵234＝（ ）个100＋（ ）个10＋（ ）个1 ⑶24＝2×（ ）＋4×（ ） 【例2】(★ ★) : ⑴ 30300 3 3 ⑵ 22030 2 2 3 ⑷657＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 2 3 ⑸ （ ）＝5×100＋7×10＋9×1 ⑹ 23＋45＝（ ）×10＋（ ）×1 ⑺ 234＋321＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 ＝（ ）×111 ⑶ abc 100 10+ 1 ⑷ abcd a b c d ⑸ 1
【例3】（★★★）【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题） ⑴ 三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不 同，则abc最大是_____。 ⑵a b a b 98790807 【例6】(★★★★) 【例4】(★★★) 计算：(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷7 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三 位 数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小至少是 多 少？最大的至多是多少？ 【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题) 本讲总结 数abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、 两位数及一位abcd abc ab a 1787，那么满足条件的是多少？ abcd a c=a c 重要应用： ①计算——分位计算 ②代数化表示——分类讨论
6 人教版六年级奥数题及答案 1 甲乙在银行存款共 9600 元，如果两人分别取出自己存款的 40%，再从甲存款 中提 120 元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款 9600×（1－40％）＝5760（元）5760÷2＋120＝3000（元）3000÷（1－40％） ＝5000（元） 2 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少 1/4！”小亮说： “你要是能给我你的 1/6，我就比你多 2 个了。”小明原有玻璃球多少个？ 4*1/6＝2/ 3 4-2/3＝3 又 1/3（份） 3+2/3＝3 又 2/3（份）3*2＝6（个） 4*6＝24（个） 3 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同 样的仓库 A 和 B ，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬 运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多 少时间？ 60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）（60- 5× 8） ÷4= 5（小时） 4 一件工作,若由甲单独做 72 天完成,现在甲做 1 天后,乙加入一起工作,合作 2 天后,丙也一起工作,三人再一起工作 4 天,完成全部工作的 1/3,又过了 8 天,完 成了全部工作的 5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 5/6-1/3=1/2 1/2÷8=1/16， 1/16×4=1/4 1/3-1/4=1/12 [1/12-1/72× 3]/2=1/48 1/16-1/72-1/48=1/36 [1-5/6]÷1/36=6 天 答：还需要 6 天 5 股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的 1％和 2％分别交纳 印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王 10 月 8 日以股票 10.65 元的价格买 进一种科技股票 3000 股， 月 2 6 日以每月 13.86 元的价格将这些股票全部卖出， 老王卖出这种股票一共赚了多少钱？ 10.65*1％=0.1065(元) 10.65*2％=0.213(元)10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元)13.86*1％=0.1386(元) 13.86*2％=0.2772(元) 0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元)14.2758-10.9695=3.3063(元) 答:老王卖出这种股票一共赚了 3.3063 元. 6 一件工程原计划 40 人做,15 天完成.如果要提前 3 天完成,需要增加多少人？ 解: 设需要增加 x 人 (40+x)(15-3)=40*15 x=10
乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，…… 完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1 ×m2 ×……×m n种不同的方法。 例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。假期小茗有一次长途旅游，他 从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法? 例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？ 【巩固】在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃饭的有餐勺、餐叉和餐筷。如果一种装饭菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复的餐具多少套? 例3 小红、小明准备在5×5的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共有多少种方法？ 【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？
例4 用数字0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？ ①各个位上的数字允许重复；②各个位上的数字不允许重复； 【巩固】由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 例5 把1～100 这100 个自然数分别写在100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？ 小结：应用乘法原理解决问题时要注意： ①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成； ②要一步接一步的完成所有步骤； ③每个步骤各有若干种不同的方法。 加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk种不同的方法．例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150 本，不同的科技书200 本，不同的小说100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
小升初六年级奥数题及答案 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．
【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的 顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2 小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时． 【题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？ 【题-009】巧算：（中等难度） 计算： 【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每 边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？
六年级奥数 浓度问题讲义 一、专题引导： 什么是浓度呢？（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。） 三者之间关系：浓度＝ ×100％＝ ×100％ 二、典型例题 例1、有浓度为30％的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24％的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？ 思路导航：稀释问题是溶质的重量是不变量。 例2、有浓度为7％的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10％，需要加盐多少克？ 思路导航：溶剂重理不变。 [练习]海水中盐的含量为5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2％？ 例3、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？ 思路导航：混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。 [练习]配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？ 溶质溶液溶质溶质＋溶剂
例4、从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？ 思路导航：反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为100克，由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？ [练习]①有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2％,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?又问未加入水时盐水浓度是多少? ②有含糖6％的糖水900克,要使其含糖量加大到10％,需加糖多少克? 比和比例应用题 例4、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是5 0:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 思路导航:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例5、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比
位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 知识点一：位值原理的认识 【例 1】填空：
365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？ 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？ （2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这 三个数字分别是多少？ 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？
7-1-1.加法原理之分类枚举（一） 教学目标 1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则． 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致． 知识要点 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决． 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法． 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确． 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．
小学六年级奥数题及答案 1.某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392 2.电影票原价每若干元,现在每降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一电影票原价多少元？ 解：设一电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x 元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等
3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款. 解答：解：设乙存款x元，则甲存款是9600-x元，由题意得： （9600-x）（1-40%）x=（1-40%）x+2×120， 5760-60%x=60%x+240， 60%x+60%x=5760-240， 1.2x=5520， x=4600； 答：乙的存款4600元． 点评：解答此题的关键是根据题意设出未知数，另一个未知数用设出的字母表示，再根据数量关系等式：甲存款的（1-40%）等于乙存款的（1-40%）加上2个120元，列出方程解决问题． 4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗
计数原理 知识纵横： 如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。 加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。 完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。 乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。 例题求解： 【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？ 【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？ 【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？ 【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。 【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。在所有的三位数中，共有个“特殊数”。
【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？ 【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 基础夯实 1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？ 2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？ 3、用1、2、3、 4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？ 4、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组，第一组7个队，第二组6个队，第三组7
小学六年级奥数题及答案 1某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 2电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 3甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 4由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 5小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 6搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 7一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?
8股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？ 9某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少 11 一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人12仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？ 13育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人？ 14 小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道? 15甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？ 1 6某工会男女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之比是10:8:7，甲组中男女比是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之比
六年级奥数-重叠问题 容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先 计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复， 这种计数的方法称为容斥原理。 公式法： 运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题【C表示两个 集合的并集，A.B表示两个集合，AB表示两个集合的交集】。 运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关 问题。【D表示三个集合的并集，A.B.C表示三个不同的集合，AB.AC.BC表示两个不同集合 的交集，ABC表示三个集合的交集】 图象法： 根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。 例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两 题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？ 例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学 竞赛又参加作文竞赛。那么 【1】只参加数学竞赛的有多少人？ 【2】参加竞赛的一共有多少人？ 【3】没有参加竞赛的一共有多少人？ 例3：某校有三个兴趣小组，体育.书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人.24人和30人。同时参加体育.书法兴趣小组的有5人，同时参加体育.美术兴趣小组 的有2人，同时参加书法.美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？ 例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数