专题五 代数的实际应用
类型
方程(组)应用题
1．(2019·百色)一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米．
解：(1)设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时． 依题意，得?????6（x ＋y ）＝90，（6＋4）（x －y ）＝90.解得?????x ＝12，y ＝3.
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． (2)设甲、丙两地相距a 千米． 依题意，得a 12＋3＝90－a 12－3.解得a ＝225
4.
答：甲、丙两地相距225
4
千米．
2．(2020·扬州)如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
解：设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为1.5x 元/件，根据题意，得 7 2001.5x －3 200
x ＝40，解得x ＝40. 经检验，x ＝40是原方程的解． ∴1.5x ＝60，3 200x ＝80，7 2001.5x ＝120.
补全进货单如下：
进货单
3．(2019·大连)某村2016年的人均收入为20 000元，2018年的人均收入为24 200元． (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？
解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x. 根据题意，得20 000(1＋x )2＝24 200， 解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(舍去)．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.
(2)24 200×(1＋10%)＝26 620(元)．
答：预测2019年该村的人均收入是26 620元．
4．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
(1)某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨；
(2)若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？
解：(1)∵40×1＋0.2×40＝48＜65，
∴用水超过40吨．
设1月份用水x吨，由题意得：
40×1＋(x－40)×1.5＋0.2x＝65，
解得：x＝50.
答：1月份用水50吨．
(2)∵40×1＋0.2×40＝48＞43.2，
∴用水不超过40吨．
设2月份实际用水y吨，由题意，得：
1×60%y＋0.2×60%y＝43.2，
解得：y＝60.
40×1＋(60－40)×1.5＋60×0.2＝82(元)．
答：该用户2月份实际应交水费82元．
5．为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少；
(2)若购买100套队服和a个足球(a>10)，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
(3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？解：(1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是(x＋50)元，根据题意得
2(x＋50)＝3x.
解得x＝100.
x＋50＝150.
答：每套队服150元，每个足球100元．
(2)到甲商场购买所花的费用为：100a＋14 000(元)，
到乙商场购买所花的费用为：80a ＋15 000(元)． (3)由100a ＋14 000＝80a ＋15 000，得：a ＝50，所以： ①当a ＝50时，两家花费一样； ②当a<50时，到甲商场购买更合算； ③当a>50时，到乙商场购买更合算．
类型 函数应用题
1．(2020·成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y (单位：件)与线下售价x (单位：元/件，12≤x ＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入，得 ?????1 200＝12k ＋b ，1 100＝13k ＋b ， 解得?????k ＝－100，b ＝2 400.
∴y 与x 的函数关系式为y ＝－100x ＋2 400.
(2)设商家线上和线下的月利润总和为w 元，则可得w ＝400(x －2－10)＋y (x －10)＝－100(x －19)2＋7 300.
∴当线下售价定为19元/件时，月利润总和达到最大，此时最大利润为7 300元． 2．(2019·辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y (千克)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图所示． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由图象可得，当x ＝30时，y ＝140；x ＝50时，y ＝100
∴?????140＝30k ＋b ，100＝50k ＋b.解得?????k ＝－2，b ＝200.
∴y 与x 之间的关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x ≤60)． (2)设该公司日获利为W 元，由题意得
W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2 000.
∵a＝－2<0，∴抛物线开口向下．
∵对称轴x＝65，
∴当x<65时，W随着x的增大而增大．
∵30≤x≤60，∴x＝60时，W有最大值，
W最大值＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950.
答：销售单价为每千克60元时日获利最大，最大获利为1 950元．
3．(2019·包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡
季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨1
3.据统计，淡季该公司平均每
天有10辆货车未出租，日租金总收入为1 500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4 000元．
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？
(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
解：(1)设货车出租公司对外出租的货车共有x辆．
根据题意，得1 500
x－10·?
?
?
?
?
1＋
1
3
＝4 000
x.
解得x＝20.经检验：x＝20是所列方程的根．
∴1 500÷(20－10)＝150(元)．
答：货车出租公司对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元．
(2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a 元时，货车出租公司的日租金总收入为W 元．根据题意，得
W ＝??????a ＋150×? ????1＋13×? ?
?
??20－a 20， ∴W ＝－120a 2＋10a ＋4 000＝－1
20(a －100)2＋4 500.
∵－1
20
<0，∴当a ＝100时，W 有最大值．
答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，货车出租公司的日租金总收入最高． 4．(2019·舟山)某农作物的生长率p 与温度t (℃)有如下关系：如图，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝150t －1
5
刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝ －
1
160
(t －h )2＋0.4刻画． (1)求h 的值．
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m (天)
5
10
15
求：①m 关于p 的函数表达式； ②用含t 的代数式表示m ；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20 ℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市．现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t ≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25 元/天．问加温到多少度时增加的利润最大，并说明理由．(注：农作物上市售出后大棚暂停使用) 解：(1)把(25，0.3)代入p ＝－ 1160(t －h )2＋0.4，得0.3＝－1160 (25－h )2＋0.4. 解得h ＝29或h ＝21，∵25≤h ≤37，∴h ＝29. (2)①由表格可知m 是p 的一次函数，设m ＝kp ＋b ，把(0.2，0)，(0.3，10)代入，得 ?????0＝0.2×k ＋b ，10＝0.3×k ＋b.解得?????k ＝100， b ＝－20. ∴m ＝100p －20. ②由(1)得：当10≤t ≤25时，p ＝ 150t －1 5 ，把p 代入m 得 ∴m ＝100? ????1 50t －15－20＝2t －40； 当25≤t ≤37时，p ＝－1 160 (t －h )2＋0.4， ∴m ＝100?????? －1160（t －h ）2＋0.4－20＝－58 (t －29)2＋20. ∴m ＝???2t －40，10≤t ≤25 －58（t －29）2 ＋20，25≤t ≤37 ③设利润为y 元，则当20≤t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－200(30－m )]＝800m －3 000＝1 600t －35 000. 当20≤t ≤25时，y 随t 的增大而增大，当t ＝25时，最大值y ＝1 600×25－35 000＝5 000. 当25 ∵a ＝－625<0， ∴当t ＝29时，最大值y ＝11 000. ∵11 000>5 000， ∴当加温到29 ℃时，利润最大． 5．(2019·荆门)为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m (元/公斤)与第x 天之间满足m ＝???3x ＋15（1≤x ≤15），－x ＋75（15 如图所示： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． (1)求销售量n 与第x 天之间的函数关系式； (2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；(日销售利润＝日销售额－日维护费) (3)求日销售利润y 的最大值及相应的x. 解：(1)当1≤x ≤10时，设n ＝kx ＋b ，由图知可知?????12＝k ＋b ，30＝10k ＋b.解得?????k ＝2， b ＝10. ∴n ＝2x ＋10. 同理，当10 ∴n ＝?????2x ＋10（1≤x ≤10），－1.4x ＋44（10 (2)∵y ＝mn －80， ∴y ＝ ???? ?（2x ＋10）（3x ＋15）－80（1≤x ≤10），（－1.4x ＋44）（3x ＋15）－80（10 即 y ＝???? ?6x 2＋60x ＋70（1≤x ≤10），－4.2x 2＋111x ＋580（10 ∵y ＝6x 2＋60x ＋70的对称轴为x ＝－5. ∴y 的最大值是y 10＝1 270. 当10 ∵y ＝－4.2x 2＋111x ＋580的对称轴是 x ＝ 111 8.4 ≈13.2<13.5， ∴y 的最大值是y 13＝1 313.2. 当15≤x ≤30时，∵y ＝1.4x 2－149x ＋3 220的对称轴为x ＝ 149 2.8 >30. ∴y 的最大值是y 15＝1 300. 综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1 313.2元． 类型 方程与不等式应用题 1．(2020·常州)某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． (1)求每千克苹果和每千克梨的售价； (2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元．依题意，得：?????x ＋3y ＝26，2x ＋y ＝22. 解得：?????x ＝8， y ＝6. 答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元． (2)设购买m 千克苹果，则购买(15－m )千克梨． 依题意，得：8m ＋6(15－m )≤100. 解得：m ≤5. 答：最多购买5千克苹果． 2．(2019·福建)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录， 5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． (1)求该车间的日废水处理量m； (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 解：(1)∵35×8＋30＝310(元)，310<370， ∴m<35.依题意，得30＋8m＋12(35－m)＝370，解得m＝20. 答：该车间的日废水处理量为20吨． (2)设一天产生的工业废水量为x吨． ①当0 ②当x>20时，依题意，得12(x－20)＋8×20＋30≤10x.解得x≤25，所以20 综上所述，15≤x≤25. 故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间． 3．(2019·柳州)小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同． (1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元； (2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？ 解：(1)设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(x＋0.3)元． 依题意，得：8 x＋0.3＝5 x.解得x＝0.5. 经检验，x＝0.5是所列方程的解，且符合题意， ∴x＋0.3＝0.8. 答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元． (2)设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本． 依题意，得：0.8m＋0.5×2m≤15.解得m≤50 6. ∵m为正整数，∴m的最大值为8. 答：大本作业本最多能购买8本． 4．(2019·玉林)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策的号召，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x. 根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)． 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%. (2)设至少再增加y个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)．解得y≥9 4. ∵y取整数，∴y最小取3. 答：至少再增加3个销售点． 类型方程与函数应用题 1．(2019·雅安)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． (1)求甲、乙两种商品的进价是多少元； (2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a≥30)，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值． 解：(1)依题意可得方程： 360 x＋60 ＝180 x. 解得x＝60. 经检验x＝60是所列方程的根，∴x＋60＝120. 答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元．(2)∵销售甲种商品为a件(a≥30)， ∴销售乙种商品为(50－a)件． 根据题意，得：w＝(200－120)a＋(100－60)(50－a)＝40a＋2 000(a≥30)， ∵40>0，∴w的值随a值的增大而增大． ∴当a＝30时，w最小值＝40×30＋2 000＝3 200(元)． 2．为了抗击新冠病毒疫情，全国人民众志成城，守望相助，春节后某地一水果购销商安排15辆汽车装运A，B，C三种水果共120吨销售，所得利润全部捐赠湖北抗疫．已知按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种水果，每种水果所用车辆均不少于3辆，汽车对不同水果的运载量和每吨水果销售获利情况如表． (1)设装运A种水果的车辆数为x辆，装运B种水果的车辆数为y辆，根据上表提供的信息， ①求y与x之间的函数关系式； ②设计车辆的安排方案，并写出每种安排方案； (2)若原有获利不变的情况下，当地政府按每吨50元的标准实行运费补贴，该经销商打算将获利连同补贴全部捐出．问应采用哪种车辆安排方案，可以使这次捐款次数w(元)最大化？捐款w(元)最大是多少？ 解：(1)①由题意得装C种水果的车辆是(15－x－y)辆 则10x＋8y＋6(15－x－y)＝120 即10x＋8y＋90－6x－6y＝120 则y ＝15－2x ②根据题意得：???? ?15－2x ≥3x ≥315－x －（15－2x ）≥3 解得：3≤x ≤6 ∵x 为正整数 ∴x ＝3，4，5，6 则有四种方案：A ，B ，C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆 (2)w ＝10×800x ＋8×1 200(15－2x )＋6×1 000[] 15－x －（15－2x ）＋120×50＝－5 200x ＋150 000 根据一次函数的性质， ∵k ＝－5 200<0，w 随x 的增大而减小， ∴当x ＝3时，w 有最大值，最大值为－5 200×3＋150 000＝134 400(元) 应采用A ，B ，C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆． 3．(2019·绵阳)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8 500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5 000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元； (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？ 解：(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元． 根据题意，得?????15x ＋20y ＝8 500， 10x ＋10y ＝5 000. 解得?????x ＝300， y ＝200. 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元． (2)设每间房间定价为a 元．根据题意，得 m ＝(a －80)(20－a －20020×2) ＝－1 10 (a －240)2＋2 560. ∴当a ＝240时，m 取得最大值，此时m ＝2 560. 答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2 560元． 4．(2019·潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%. (1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元； (2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其他费用忽略不计．) 解：(1)设今年这种水果每千克的平均批发价是x 元，由题意，得 ∴100 000（1＋20%）x －100 000x ＋1＝1 000， 解得x ＝24或x ＝－5(舍去)． 答：今年这种水果每千克的平均批发价是24元． (2)设每千克的平均售价为m 元．依题意，得 w ＝(m －24)? ???? 41－m 3×180＋300＝－60(m －35)2＋7 260. ∵－60<0， ∴当m ＝35元时，w 取最大值为7 260. 答：每千克的平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7 260元． 类型 方程、不等式与函数应用题 1．(2019·内江)某商店准备购进A ，B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3 000元购进A 种商品和用1 800元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元． (1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1 560元的资金购进A ，B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量 不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m (10 由题意，得 3 000x ＝1 800 x －20 .解得x ＝50. 经检验，x ＝50是所列方程的解，且符合题意， 50－20＝30. 答：A 种商品每件的进价是50元，B 种商品每件的进价是30元． (2)设购买A 种商品a 件，则购买B 种商品(40－a )件． 由题意得???? ?50a ＋30（40－a ）≤1560，a ≥40－a 2. 解得40 3 ≤a ≤18. ∵a 为正整数，∴a ＝14，15，16，17，18. 答：商店共有5种进货方案． (3)设销售A ，B 两种商品共获利w 元． 由题意得：w ＝(80－50－m )a ＋(45－30)(40－a )＝(15－m )a ＋600. ①当10
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