1、 选择()t ?或?()?
ω，使{}()k Z t k ?∈-为一组正交归一基； 2、 求n h 。
1,(),()n n h t t ??-=
或??()(2)/()H ω?
ω?ω= 3、 由n h 求n g 。
1(1)n n n g h -=- 或()()i G e H t ωωωπ-=
4、 由n g ，()t ?构成正交小波基函数()t φ
1,()()n n t g t φ?-=∑
或??()(/2)(/2)G φ
ωω?ω= Haar 小波的构造
1）、选择尺度函数。
101()0t t ? ≤≤?=? ?其他
易知(n)t ?-关于n 为一正交归一基。
2）、求n h
1,(),()n n h t t ??-
=()2t-n)t dt ??（
其中
11(2)220n n t t n ?+? ≤≤?-=?? ?其他
当n=0时，
11(2)20t t ?? 0≤≤?=?? ?其他
当n=1时，
111(21)20t t ?? ≤≤?-=?? ?其他
故，当n=0，n=1时
1()(2)0n n t t n ?? =0,=1??-=? ?
其他 当n=0时，
()(2)t t n ???-1120t ? 0≤≤?=?? ?其他
当n=1时，
()(2)t t n ???-11120t ? ≤≤?=?? ?其他
故
n
h ()2t-n)t dt ??
（1/0n n ?=0,=1?=? ??
其他 3）、求n g 。
11/0(1)1/10n n n n g h n -?=??=-=-=?? ??
其他
4）、求()t φ。
1,()()n n t g t φ?-=∑
=0-1,011,1()()g t g t ??-+
(2)(21)t t - =110211120t t ? ≤≤???- ≤≤?? ???
其他
其图形如下：
1、 Haar 尺度函数
101()0t t ? ≤≤?=? ?
其他 Haar 尺度函数空间： }{,(22),(21),(2),(21),(21),j j j j j x x x x x ?????++--L L j 为非负的整数，该空间又称为j 级阶梯函数空间j V 。则
01211j j j V V V V V V -+???????L L
随j 的增加，分辨更为精细。
2、 性质
函数集}{/22(2):j j x k k Z ?-∈是j V 的一个标准正交基。
0()f x V ∈当且仅当(2)j j f x V ∈。
3、 Haar 小波函数
函数满足两点：（1）φ是1V 的成员；（2）φ与0V 正交。
()x φ=(2)(21)x x ??--
性质：
()0x dx φ+∞
-∞=?
()x φ是对称的、局部支撑的函数；
小波函数空间:(2),j j k
k k Z W a x k a R φ∈-∈∑
j W 是j V 的正交互补，即1j j j V V W +=⊕
函数集}{/22(2):j j x k k Z φ-∈是j W 的一个标准正交基
4、 Haar 小波分解与重建
对Haar 小波，有11(2)((2)(2))j j j x x x φφ?--=+/2 11(21)((2)(2))/2j j j x x x φφ?---=-
Haar 小波分解定理：
设：()(2),()j j k
j j k Z f x a x k f x V φ∈=-∈∑
则它可以有如下分解：
11j j j f f ω--=+
11111(2),()j j j k j j k Z
f a x k f x V φ-----∈=-∈∑
11111(2),()j j j k j j k Z
b x k x W ω?ω-----∈=-∈∑
12212
j k k k a a a -++= 12212j k
k k a a b -+-= 把函数f 分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量
()2(4)2(41)(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---
解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是2222+=，1102-=；分解后小波函数空间元素的系数是2202-=，1(1)12
--=；从而 ()2(2)(21)f x x x φ?=+-
Matlab程序
image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
subplot(2,2,1);
imshow(image1);
title('original image');
image1=double(image1);
imagew=imread('shuiyin.bmp');
imagew= rgb2gray (imagew);
subplot(2,2,2);
imshow(imagew);
title('original watermark');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca, 'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
M=512;
N=64;
for i=1:N
for j=1:N
Ca(i,j)=cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);
end;
end;
IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');
IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1, 'db1');
markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1'));
subplot(2,2,3);
colormap(gray(256));
image(markedimage);
title('marked image');
imwrite(markedimage,gray(256),'watermarked.bmp','bmp'); image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
image1=double(image1);
imaged=imread('watermarked.bmp');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');
[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1');
[caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');
for p=1:N
for q=1:N
W(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));
end;
subplot(2,2,4);
colormap(gray(256));
image(W);
title('从含水印图像中提取的水印'); imwrite(W,gray(256),'watermark.bmp','bmp');
Matlab小波函数 Allnodes 计算树结点 appcoef 提取一维小波变换低频系数 appcoef2 提取二维小波分解低频系数 bestlevt 计算完整最佳小波包树 besttree 计算最佳(优)树 *biorfilt 双正交样条小波滤波器组 biorwavf 双正交样条小波滤波器 *centfrq 求小波中心频率 cgauwavf Complex Gaussian小波 cmorwavf coiflets小波滤波器 cwt 一维连续小波变换 dbaux Daubechies小波滤波器计算 dbwavf Daubechies小波滤波器dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准 depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式detcoef 提取一维小波变换高频系数 detcoef2 提取二维小波分解高频系数 disp 显示文本或矩阵 drawtree 画小波包分解树(GUI) dtree 构造DTREE类 dwt 单尺度一维离散小波变换
dwt2 单尺度二维离散小波变换 dwtmode 离散小波变换拓展模式 *dyaddown 二元取样 *dyadup 二元插值 entrupd 更新小波包的熵值 fbspwavf B样条小波 gauswavf Gaussian小波 get 获取对象属性值 idwt 单尺度一维离散小波逆变换 idwt2 单尺度二维离散小波逆变换 ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式*intwave 积分小波数 isnode 判断结点是否存在 istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值 iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换iswt2 二维逆SWT变换 leaves Determine terminal nodes mexihat 墨西哥帽小波 meyer Meyer小波 meyeraux Meyer小波辅助函数 morlet Morlet小波 nodease 计算上溯结点 nodedesc 计算下溯结点(子结点)
基于MATLAB的（小波）图像处理 姓名：宋富冉 学号：P1******* 院系：电子信息工程学院 专业：电子与通信工程 日期：2015年11月7日
目录 摘要 (3) 第一章初期准备 1.1软件知识储备及学习 (4) 1.2 MATLAB操作平台安装及应用 (4) 1.3操作函数功能及调试 (5) 第二章图像准备 2.1图像采集 (6) 2.2 图像选择和保存 (6) 第三章程序设计及实现 3.1 软件编程调试 (7) 3.2 实现及优化程序 (11) 第四章完成任务报告 4.1报告书写 (12) 4.2总结 (12) 附录 (13)
摘要 本报告主要阐述有关于MABLAT在图像处理方面实际应用中的 六个方面的问题，分别涉及图像的读取、图像添加噪声、利用小波 函数对图像进行分割、分割后图像的重构、图像去除噪声、将程序 处理过程中所得各种图像确定存储格式并保存到指定的磁盘及命名。最终得到预期任务的要求，完成任务。 关键词：图像读取，图像加噪，图像去噪，图像重构，图像保存
第一章初期准备 1.1软件知识储备及学习 由于本人从未学习过MATLAB这门课程及其编程语言，对其一无所知，在之前的学习过程中，比较多的是应用C语言进行一些简单的及较复杂的任务编程。因此，接到任务之日起，本人就开始学习储备有关于此方面的软件知识，并逐步学习了解它的奥妙所在。 首先，是漫无目的的到图书馆查找有关于此类的各种书籍，并上网搜索各类处理程序和文档，以期寻求到刚好符合此次作业任务要求的完整程序设计及源代码。结果是可想而知的，并没有完全吻合的程序与代码。其次，在以上的查找翻看过程中，本人接触到了很多与此任务相关相通的程序设计和处理函数的功能及应用知识，受其启发，自我总结，将实现本任务所要用到的功能函数一一搜集了起来，初步了解了本任务如何开启。 1.2 MATLAB操作平台安装及应用 通过前期的理论准备，下一步就要开始上机实际操作和仿真各个函数在实际应用中的效果。第一步，就是寻求MATLAB操作平台的安装包或安装程序，在自己的桌面上把它装起来，以便后面随时随地使用操作，也为后期更深入的学习此门语言而准备好最基本的学习工具，从而为以后完全掌握此门语言工具打下基础。第二步，就是对本平台的安装和使用，由于此平台有中英文两个版本，于是这对我本人又是一种考验，由于英语专业词汇并不完全过关，对操作菜单中多个名词词组的用意并
matlab小波变换 Matlab 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现 Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；而函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM) 其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为 N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。 A＝fft2(X,MROWS,NCOLS) 其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。别可以实现一维、二维和 N 维 DFT A＝fftn(X,SIZE) 其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。 函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 例子：图像的二维傅立叶频谱 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现% 读入原始图像 I＝imread('lena.bmp');函数 fft、fft2 和 fftn 分 imshow(I) % 求离散傅立叶频谱 J=fftshift(fft2(I)); figure;别可以实现一维、二维和 N 维 DFT imshow(log(abs(J)),[8,10]) 2. 离散余弦变换的 Matlab 实现 Matlab
2.1. dct2 函数 功能：二维 DCT 变换 Matlab 格式：B=dct2(A) B=dct2(A,m,n) B=dct2(A,[m,n])函数 fft、fft2 和 fftn 分 说明：B＝dct2(A) 计算 A 的 DCT 变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和 B=dct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为 m×n。 2.2. dict2 函数 功能：DCT 反变换 格式：B=idct2(A) B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT B=idct2(A,[m,n]) 说明：B＝idct2(A) 计算 A 的 DCT 反变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和 B=idct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为m×n。 Matlab 2.3. dctmtx函数 功能：计算 DCT 变换矩阵 格式：D＝dctmtx(n) 说明：D＝dctmtx(n) 返回一个n×n 的 DCT 变换矩阵，输出矩阵 D 为double 类型。 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现 3. 图像小波变换的 Matlab 实现函数 fft、fft2 和 fftn 分 3.1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt 函数 Matlab
基于MATLAB的小波变换在信号分析中应用的实现 院系：应用技术学院 专业：电子信息工程 姓名：李成云 指导教师单位：应用技术学院 指导教师姓名：王庆平 指导教师职称：讲师 二零一一年六月
The application of wavelet transform based on MTLAB in signal analysis Faculty：Application and Technology Institute Profession：Electronic information engeering Name：Li Chengyun Tutor’s Unit：Application and Technology Institute Tutor：Wang Qingping Tutor’s Title：Lecturer June 2011
第 I 页 目录 摘要 (1) ABSTRACT (2) 前言 (3) 第1章 绪论 (4) 1.1 本文的研究背景意义 (4) 1.2 国内外研究现状 (5) 1.3 本文的研究内容 (7) 第2章 MATLAB 简介 (8) 2.1 MATLAB 的概况 (8) 2.2 MATLAB6.1 的功能 (8) 2.3 MATLAB 的主要组成部分 (9) 2.4 MATLAB 的语言特点 (10) 第3章 基本理论 (12) 3.1 从傅里叶变换到小波变换 (12) 3.1.1 傅里叶变换 (12) 3.1.2 短时傅里叶变换 (13) 3.1.3 小波变换 (14) 3.2 连续小波变换 (15) 3.3 离散小波变换 (17) 3.4 小波包分析 (18) 3.5 多分辨率分析与M ALLAT 算法 (19) 3.5.1 多分辨率分析 (19) 3.5.2 Mallat 算法 (19) 3.6 本章小结 (20) 第4章 小波阈值法图像去噪 (21) 4.1 图像去噪 (21) 4.1.1 邻域平均法 (22) 4.1.2 中值滤波法 (24) 4.2 小波阈值去噪 (27) 4.2.1 阈值去噪原理 (28) 4.2.2 选取阈值函数 ................................................ 28 4.2.3 几种阈值选取方法 .. (29)
MATLAB小波变换指令及其功能介绍 1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt函数 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信 号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数 fft、fft2 和 fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经 小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 2 二维小波变换的 Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 函数名函数功能
--------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ----------------------------------------------------------- (1) wcodemat 函数 功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分 格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X) 说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16； OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即：别可以实现 一维、二维和 N 维 DFT OPT＝'row' ，按行编码 OPT＝'col' ，按列编码
1、 选择()t ?或?()? ω，使{}()k Z t k ?∈-为一组正交归一基； 2、 求n h 。 1,(),()n n h t t ??-= 或??()(2)/()H ω?ω?ω= 3、 由n h 求n g 。 1(1)n n n g h -=- 或()()i G e H t ωωωπ-= 4、 由n g ，()t ?构成正交小波基函数() t φ 1,()()n n t g t φ?-=∑ 或??()(/2)(/2)G φωω?ω= Haar 小波的构造 1）、选择尺度函数。 101 ()0t t ? ≤≤?=? ?其他 易知(n)t ?-关于n 为一正交归一基。 2）、求n h 1,(),()n n h t t ??- =()2t-n)t dt ??（ 其中 1 1(2)220n n t t n ?+? ≤≤?-=?? ?其他 当n=0时， 1 1(2)20t t ?? 0≤≤?=?? ?其他 当n=1时，
1 11(21)20t t ?? ≤≤?-=?? ?其他 故，当n=0，n=1时 1()(2)0n n t t n ?? =0,=1 ??-=? ?其他 当n=0时， ()(2)t t n ???-1 120t ? 0≤≤?=?? ?其他 当n=1时， ()(2)t t n ???-1 1120t ? ≤≤?=?? ?其他 故 n h ()2t-n)t dt ?? （1/0n n ?=0,=1 ?=? ??其他 3）、求n g 。 11/0 (1)1/10n n n n g h n -?=??=-=-=?? ??其他 4）、求()t φ。 1,()()n n t g t φ?-=∑ =0-1,011,1()()g t g t ??-+ (2)(21)t t - =1 102 111 20t t ? ≤≤???- ≤≤?? ??? 其他
1 绪论 1.1概述 小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。 从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。
基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成：
())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的积： ( )dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ= ψ=?+∞∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （4） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 2. 图像去噪综述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设
MATLAB 小波变换指令及其功能介绍 1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1 dwt函数 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname' [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname' 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA 、cD 分别为近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2 idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname' X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R X=idwt(cA,cD,'wname',L函数 fft、fft2 和 fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L 说明：X=idwt(cA,cD,'wname' 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 2 二维小波变换的 Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ----------------------------------------------------------- (1 wcodemat 函数 功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分格式： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL Y=wcodemat(X,NB,OPT Y=wcodemat(X,NB
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
基于Matlab的离散小波变换 lyqmath https://www.doczj.com/doc/676110421.html,/lyqmath 目录 基于Matlab的离散小波变换 (1) 简介 (1) 实例 (2) 结果 (2) 总结 (2) 简介 在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到的，所以也称之为二进制小波变换。 虽然经典的傅里叶变换可以反映出信号的整体内涵，但表现形式往往不够直观，并且噪声会使得信号频谱复杂化。在信号处理领域一直都是使用一族带通滤波器将信号分解为不同频率分量，即将信号f(x)送到带通滤波器族Hi(x)中。 小波分解的意义就在于能够在不同尺度上对信号进行分解，而且对不同尺度的选择可以根据不同的目标来确定。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征，而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分，听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产生两个信号。 通过不断的分解过程，将近似信号连续分解，就可以将信号分解成许多低分辨率成分。理论上分解可以无限制的进行下去，但事实上，分解可以进行到细节（高频）只包含单个样本为止。因此，在实际应用中，一般依据信号的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。
航空航天大学基于Matlab的脑电信号处理 陆想想 专业领域生物医学工程 课程名称数字信号处理
二О一三年四月
摘要：脑电信号属于非平稳随机信号，且易受到各种噪声干扰。本文基于Matlab仿真系统，主要研究了小波变换在脑电信号处理方面的应用，包括小波变换自动阈值去噪处理、强制去噪处理，以α波为例，提取小波分解得到的各层频率段的信号，并做了一定的分析和评价。关键词：脑电信号；小波变换；去噪重构；频谱分析 0 引言 脑电信号EEG(Electroencephalograph)是人体一种基本生理信号，蕴涵着丰富的生理、心理及病理信息，脑电信号的分析及处理无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗，还是在脑认知科学研究领域都是十分重要的。由于脑电信号的非平稳性且极易受到各种噪声干扰，特别是工频干扰。因此消除原始脑电数据中的噪声，更好地获取反映大脑活动和状态的有用信息是进行脑电分析的一个重要前提。本文的研究目的是利用脑电采集仪器获得的脑电信号，利用Fourier变换、小波变换等方法对脑电信号进行分析处理，以提取脑电信号α波的“梭形”节律，并对脑电信号进行功率谱分析和去噪重构。 1 实验原理和方法 1.1实验原理 1.1.1脑电信号 根据频率和振幅的不同，可以将脑电波分为4种基本类型[1]，即δ波、θ波、α波、β波。4种波形的起源和功能也不相同，如图1所示。 图1 脑电图的四种基本波形 α波的频率为8~13Hz，振幅为为20~100μV，它是节律性脑电波中最明显的波，整个皮层均可产生α波。正常成人在清醒、安静、闭目时，波幅呈现有小变大，再由大变小，如此反复进行，形成所谓α节律的“梭形”。每一“梭形”持续时间约为1~2s。当被试者睁眼、警觉、思考问题或接受其他刺激时，α波立即消失而代之以快波，这种现象称之为
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下
1、 求n h 。 1,(),()n n h t t ??-= 或??()(2)/()H ω? ω?ω= 2、 由n h 求n g 。 1(1)n n n g h -=- 或()()i G e H t ωωωπ-= 3、 由n g ，()t ?构成正交小波基函数()t φ 1,()()n n t g t φ?-=∑ 或??()(/2)(/2)G φ ωω?ω= Haar 小波的构造 1）、选择尺度函数。 101()0t t ? ≤≤?=? ?其他 易知(n)t ?-关于n 为一正交归一基。 2）、求n h 1,(),()n n h t t ??- =()2t-n)t dt ??（ 其中 11(2)220n n t t n ?+? ≤≤?-=?? ?其他 当n=0时， 11(2)20t t ?? 0≤≤?=?? ?其他 当n=1时， 111(21)20t t ?? ≤≤?-=?? ?其他
故，当n=0，n=1时 1()(2)0n n t t n ?? =0,=1??-=? ?其他 当n=0时， ()(2)t t n ???-1120t ? 0≤≤?=?? ?其他 当n=1时， ()(2)t t n ???-11120t ? ≤≤?=?? ?其他 故 n h ()2t-n)t dt ?? （1/0n n ?=0,=1?=? ??其他 3）、求n g 。 11/0(1)1/10n n n n g h n -?=??=-=-=?? ?? 其他 4）、求()t φ。 1,()()n n t g t φ?-=∑ =0-1,011,1()()g t g t ??-+ =(2)(21)t t - =110211120t t ? ≤≤???- ≤≤?? ??? 其他 其图形如下：
clear % 清理工作空间 load wbarb; % 装入图像 figure; % 新建窗口 image(X); % 显示图像 colormap(map) % 设置色彩索引图 title('原始图像'); % 设置图像标题 axis square % 设置显示比例 disp('压缩前图像X的大小'); % 显示文字 whos('X') % 显示图像属性 %对图像用小波进行层小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7'); %提取小波分解结构中的一层的低频系数和高频系数cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1); %水平方向 ch1=detcoef2('h',c,s,1); %垂直方向 cv1=detcoef2('v',c,s,1); %斜线方向 cd1=detcoef2('d',c,s,1); %各频率成份重构 a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1); h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1); v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1); d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1); c1=[a1,h1;v1,d1]; %显示分频信息 figure; % 新建窗口 image(c1); % 显示图像 colormap(jet) % 设置色彩索引图 axis square; % 设置显示比例 title ('分解后低频和高频信息'); % 设置图像标题 ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1); ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0); %改变图像高度并显示 ca1=0.5*ca1; figure; % 新建窗口 image(ca1); % 显示图像 colormap(map); % 设置色彩索引图 axis square; % 设置显示比例 title('第一次压缩图像'); % 设置图像标题 disp('第一次压缩图像的大小为：'); % 显示文字 whos('ca1') % 显示图像属性 %保留小波分解第二层低频信息进行压缩 ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2); %首先对第二层信息进行量化编码 ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);
Matlab 小波变换对于奇异点的检测 1．信号的突变性 突变信号又称奇异信号，突变信号的突变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。这样我们就引入小波变换算法。 2．信号的突变点的检测原理 设h(t)是函数f(t)和g(t)的卷积，即： )()()(t g t f t h ?= 则根据傅立叶变换的性质有： )()()]()([)]('[ωωωω∧∧=?=g f j t g t f F j t h F =)()]([ωωω∧∧g f j =)]()[(ωωω∧∧g j f =)]('[)]([)]([)]('[t g F t f F t g F t f F ?=? 所以得到：)(')()()(')('t g t f t g t f t h ?=?= 若将函数f(t)看作是信号，g(t)看作是滤波器，那么信号的导数与滤波器的卷积结果可以看作是滤波器的导数与信号的卷积。例如，如果选g(t)为高斯函数，则利用其导数可以构造Morlet 小波和Maar 小波，因此，小波变换的突变点和极值点与信号f(t)的突变点和极值点具有对应关系，利用小波可以检测突变信号。具体过程如下： 设)(t θ是一个起平滑作用的低通平稳函数，且满足条件 ?∞ ∞-=, 1)(dt t θ0)(lim =∞→t t θ 通常取)(t θ为高斯函数，即 2/221 )(t e t -=πθ 假设)(t θ是二次可导的，并且定义 2/)1(221)()(t te dt t d t --==π θψ 2/22 2)2(2)1(21)()(t e t dt t d t --==πθψ 则函数)()1(t ψ、)()2(t ψ满足小波的容许条件： ?∞ ∞-=0)() 1(dt t ψ，?∞ ∞ -=0)()2(dt t ψ 因此可用做小波母函数。
基于小波变换的信号降噪研究 2小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2(R)(L 2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 ()R t dw w C ψψ=<∞?（1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到 一个小波序列： ,()()a b t b t a ψ-=,,0a b R a ∈≠（2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2(R) 的连续小波变换为： ,(,),()()f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= （3）其逆变换为：21 1()(,)()f R R t b f t a b dadb C a a ψψ+-=??（4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3小波降噪的原理和方法 3.1小波降噪原理 从信号学的角度看,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波,但由于在去噪后,还能成功地保留信号特征,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合,其流程框图如图所示[6]： 特征提取 低通滤波 特征信号 重建信号 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：带噪信号
Matlab实现小波变换 本文来自: 高校自动化网(https://www.doczj.com/doc/676110421.html,) 详细出处参考(转载请保留本链接)：https://www.doczj.com/doc/676110421.html,/html/matlab/7709.html MATLAB 小波变换2010-01-11 20:51 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分析 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数fft、fft2 和fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量cA 和细节分量cD 经小波反变换重构原始信号X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号X 中心附近的L 个点。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3.2 二维小波变换的Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和N 维DFT ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换Matlab waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量