数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+?两边除以1
2n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以122
2
a 1
1==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)
22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n
n n a a +=+?转化为113
222
n n n n a a ++-=
，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22
n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出
11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n
n n a a +-=?+，进而求出
11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
111
21
3333
n n n n n a a +++=++， 则
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，故 11223211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223n n n n n
a n n ---=++=+-
-?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n
n n a a +=+?+转化为
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，进而求出11223
2111122321(
)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ??????
的通项公式，最后再
求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
???
??=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n
n n a n a +=+?转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，进而求出1
32
112
21
n n n n a a a a a a a a a ---???
??，即得数列{}n a 的通项公式。 例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++
+-≥，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
???
?=-???=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++
+-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则
21a =，代入③得!
13452
n n a n =?????=。
所以，{}n a 的通项公式为!
.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出1
3
212
2
n n n n a a a a a a a ---???
?，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
15
2(5)n n n n a x a x +++?=+?
④
将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n
n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n
，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-
⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1
151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n
n a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n
n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n
n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 例8 已知数列{}n a 满足1135241n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
12
3(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+
⑥
将13524n
n n a a +=+?+代入⑥式，得
1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+
整理得(52)24323n
n
x y x y +?++=?+。
令52343x x
y y +=??+=?
，则52x y =??=?，代入⑥式得
115223(522)n n n n a a +++?+=+?+
⑦
由1
1522112130a +?+=+=≠及⑦式，
得5220n
n a +?+≠，则11522
3522
n n n
n a a +++?+=+?+， 故数列{522}n n a +?+是以1
152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此
1522133n n n a -+?+=?，则1133522n n n a -=?-?-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n
n n a a +=+?+转化为
115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
例9 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将2
12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得
2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得2
2
(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，
解方程组3224252x x x y y x y z z
+=??++=??+++=?，则3
1018x y z =??
=??=?，代入⑧式，得
2
2
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨
由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2
310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2
{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此
2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。
评注：本题解题的关键是把递推关系式2
12345n n a a n n +=+++转化为
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2
{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2
{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n
n n
a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5123n
n n
a a +=??式两边取常用对数得
1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++
⑩
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++
○
11 将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg35lg 25x x x y y +=??
++=?，故lg34lg3lg 2164x y ?
=????=+??
代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg (1)5(lg )41644164
n n a n a n +++++=+++ ○
12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○
12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164
n a n +
++≠， 则
1lg3lg3lg 2
lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164
n n a n a n ++
+++=+++
， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164
n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164+
++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
1111111116
164
4
44
111111
16
16
4
4
4
4
11111116
16
4
4
4
4
55514
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2
[lg(7332)]5
lg(332)
lg(7332)5lg(332)lg(733
n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---
=+++---=???-??=???-??=??1115116
4
541515116
4
2)
lg(73
2
)
n n n n n -------?=??
则11
54151516
4
73
2
n n n n n a -----=??。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5
123n n n a a +=??转化为
1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++
+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2
{lg }4164
n a n +++的通项公式，最后
再求出数列{}n a 的通项公式。 六、迭代法
例11 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)21n
n n n
a a ++=，所以1
21
323(1)232
1
2
[]n n n n n n n n n a a a ---?-??--==
2(2)(1)
32
(2)(1)
3(3)(2)(1)
1
12(3)(2)(1)
(1)12
3(1)22
3(2)23(1)23
3(2)(1)23
323
(2)(1)213!21
[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a
-+---+--+-+--++
+-+-+----??--?-??---?-??-?-????====
=
=
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
3
!25
n n n n n a --??=。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2
1n
n n n a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n
n n a n a +=+??，即
1
lg 3(1)2lg n n n
a n a +=+，再由累乘法可推知(1)12
3!21
32112
21
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=??
???=，从而1(1)3!2
2
5
n n n n n a --??=。
七、数学归纳法
例12 已知数列{}n a 满足1122
8(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122
8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189
a =，得 2122322243228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +?=+
=+=
?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=
?+?+?
由此可猜测2
2
(21)1
(21)
n n a n +-=
+，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n =时，212
(211)18
(211)9
a ?+-==?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时， 122
8(1)
(21)(23)k k k a a k k ++=+
++
2222
2222
22222222
22
222(21)18(1)
(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)
(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=
++++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++2
由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法
例13 已知数列{}n a 满足111
(14124)116n n n a a a a +=
+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：令124n n b a =+，则2
1(1)24
n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=
-，代入11
(14124)16
n n n a a a +=+++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥ 则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+?-=为首项，以
2
1
为公比的等比数列，因此
121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+，即21
124()32n n a -+=+，得
2111
()()3423
n n n a =++。
评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化113
22
n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公
式。
九、不动点法
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441
x x x -=+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点。
因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??
是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39
n n n a a --=-，则113132()19
n n a -=+-。
评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=
+的不动点，即方程2124
41
x x x -=+的两个根
1223x x ==，，进而可推出1122
13393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??
为等比数列，再求出数列
23n n a a ??
-??-??
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。 例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点。
因为17255
112323
n n n n n a a a a a +---=
-=++，所以
2111
()()3423
n n n a =++。
评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化113
22
n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公
式。
专题讲座——数列求和的基本方法和技巧
★数列在高考中的要求：
1．等差数列和等比数列是两种最基本、最重要及使用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列和等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。
3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、和奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。
5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。
6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。
7．数列的使用极其广泛，因此尽管现在的使用题多为概率统计，但不排除考数列使用题的可能，也有可能是数列和概率交汇。
8．数列常和函数、不等式、分析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。
一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3
)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n
[例1] 已知数列{},n n n a a x =，
（x ≠0），n s 数列的前n 项和，求n s 。 解：当x=1时，n s n = 当x ≠1时，{}n
a 为等比数列，公比为x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x
x x n --1)
1(
【巩固练习】1：已知数列{}n a 的通项公式为314n a n =-，n s 为{}n a 的前n 项和，
（1）求n s ； （2）求{}
n a 的前20项和。
解：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例2] 求和：1
32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）
解： 当x=1时，231
21315171(21)1135(21)n n S n n n -=+?+?+?+???+-?=+++
+-=
当x ≠1时， 1
32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………. ①
①式两边同乘以x 得n xS = 231
13
5(23)(21)n n x x x n x n x -+++???+-+-………② （设制错
位）
①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 【巩固练习】2：求数列??????,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项和等比数列{n 21
}的通项之积 设n n n
S 2
226242232+???+++=…………………………………①
1
2n S = 231242(1)22222n n n n +-++???+
+………………………………② （设制错位）
①－②得14322
22222222222)2
11(+-+???++++=
-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它和原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例3] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）
∴ n
n n S 2)1(?+=
【巩固练习】3：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：{}n n a b ±的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数
列、等比数列或常见的数列. [例4] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++
=-n a
a a S n n （分组）
当a ＝1时，2
)13(n n n S n -+=＝2)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n
n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=
n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(2
3
1
k k k
n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n k n
k ∑∑∑
===++1
2
1
3
132
（分组）
＝)21()21(3)21(22
2
2
3
3
3
n n n +???++++???++++???++
＝2
)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解和组合思想在数列求和中的具体使用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 （7）)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
（8）
)!1(+n n =!1
n －)!1(1+n （9）111
n a n n n n =
=+-++ [例5] 求数列
???++???++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111 （裂项）
则 1
13
212
11+++
???+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n
【巩固练习】5：①在数列{a n }中，11211++???++++=
n n
n n a n ，又1
2+?=n n n a a b ，求数列{b n }
的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=
∴ )11
1(82
122+-=+?=n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
11(
)41
31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝
1
8+n n
②求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
???++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1sin 1?＝ 1sin 1cos 2
∴ 原等式成立
③求和：22
2
1335(21)(21)
n s n n =
+++??-+ 六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例6] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cos(180)cos n n -=- （找特殊性质项） ∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
【巩固练习】6：在各项均为正数的等比数列中，若10
3231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. [例7] 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91
99999111111
1
-=????=???k k k
个个 （找通项及特征） ∴
1
1111111111个n ???+???+++ ＝
)110(91
)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝
)1111(91)10101010(911
321 个n n +???+++-+???+++ ＝9
110)110(1091n
n ---?
＝
)91010(81
1
1n n --+ 【巩固练习】7： 已知数列{a n }：11
8
,(1)()(1)(3)n
n n n k a n a a n n +==
+-++∑求的值.
解：∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）
＝])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++?n n n n （设制分组）
＝)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+?n n n n （裂项）
∴ 11111111(1)()4(
)8()243
4n
n
n n n k k k n a a n n n n +===+-=-+-++++∑∑∑ （分组、裂项求和）
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
数列求和 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n 项和公式 (2)分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和． 【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n
－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二 错位相减法求和 例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式
数列求和方法小结 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法） 将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ， 等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）， 另 外 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ ， 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 例1 ． 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2已知函数()x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则
数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。
类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。
数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n － ）（ n ＋ ） ＝ 2 n － － n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋ － n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一 分组转化法求和 例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．
【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从 而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理分解 转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝ ，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解． 【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三 裂项相消法求和 例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；
数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.
1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习
练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21
第三讲（数列三） 本讲主要内容：数列通项和前n 项和 第一部分：旧知识复习 ①（（ 2.右的第三个数位________________ 【知识笔记】： ② 叠加法3.已知数列{}n a 满足* 132() n n a a n n N +=++∈，且12a =，求n a _____ 【知识笔记】： ４.已知数列{}n a 中，*112,2()n n n a a a n N +==+∈，求n a ______________
5.在数列{}n a 中，121,2,a a ==且11(1)(2,0)n n n a q a qa n q +-=+-≥≠ （1）设 * 1()n n n b a a n N +=-∈，证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。 【知识笔记】： ③ ____ 7. ④*)N ， 9. ⑤ 倒数法 10.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +== +，求n a _________ 【知识笔记】： 11.已知数列{}n a 中，1111,21 n n n S a S S --== +，求通项公式______________
⑥ 构造辅助数列 12.已知数列{}n a 满足1111,12 n n a a a +==+ ，求其通项公式 【知识笔记】： 13.在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈，求n a ______________ 14. (①的n S ② 2x 图 ③ 令 （n n n 【知识笔记】： ④ 倒序相加法 18.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求 1 2 1231 ...n n n n n n n S C a C a C a C a +=++++ 【知识笔记】：
知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1
数列求和及求通项 一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列13 12--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1k n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++=1，可裂项成)(1n k n k a n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2() 1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S 4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。 例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广） 一、数列求通项公式的常见方法有： 1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法
7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法 累加法和累乘法最基本求通项公式的方法 求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。 二、方法剖析 1、关系法：适用于)(n f s n =型 求解过程：???≥-===-) 2()1(111n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列 求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =- 所有等式两边分别相加得：∑-== -111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列 求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a n n =+ ...... 累加
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】
1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解