数列求和
一、直接求和法(或公式法)
掌握一些常见的数列的前n 项和:123+++……+n=
(1)
2
n n +,1+3+5+……+(2n-1)=2n 2
2
2
2
123+++……+n =(1)(21)
6
n n n ++,3333123+++……+n =
2
(1)2n n +??
????
等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+.
解:原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++
+.
由等差数列求和公式,得原式50(3199)
50502
?+=
=.
变式练习:已知3
log 1
log 23-=
x ,求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解:1-n
21 二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n 项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和.
例2 求222
2
2
2222222123101102938101++++++++的和. 解:设222
2
2
222
2222123101102938101
S =++++++++ 则222
2
22222222109811012938
101
S =+++
+++++. 两式相加,得 2111105S S =+++=∴=,.
三、裂项相消法
常见的拆项公式有:
1
()n n k =+111()k n n k -+ ,
=1k
,
1(21)(21)n n =-+111
()22121
n n --+,等.
例3 已知2221
12(1)(21)6
n n n n ++
+=++,
求222222222
35721()11212312n n n
*+++++∈++++++N 的和. 解:22221216
112(1)
(1)(21)6
n n n a n n n n n n ++===
++++++, 11
161223(1)111116122311611ln .1
n S n n n n n n ??∴=++
+????+????????
=-+-++
-
? ???+????
???
?=- ?+??=+
小结:如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差,即
1n n n a b b +=-,则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习:求数列
311?,421?,5
31
?,…,)2(1+n n ,…的前n 项和S.
解:∵
)2(1+n n =2
1
1(21+-n n )
S n =??????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4
21
22143+-+-n n
四、错位相减法
源于等比数列前n 项和公式的推导,对于形如{}n n a b 的数列,其中{}n a 为等差数列,{}
n b
)1(2
)
1(=+a n n 为等比数列,均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x +++
+-的和.
解:当1x ≠时,211
2
2(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x
-+--=+----; 当1x =时,2n S n =. 小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n 项和公式求和.
变式练习:求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n ,…(a 为常数)的前n 项和。
解:(1)若a=0, 则S n =0 (2)若a=1,则S n =1+2+3+…+n=(1)
2
n n + (3)若a ≠0且a ≠1
则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n , ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1
∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1=
∴S n = 当a=0时,此式也成立。
∴S n =
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求.
例5 求数列11111
246248162n n ++,,,,,
的前n 项和n S .
23411
111111
(2462)(1)222
222n n n S n n n ++??=+++
+++++
+
=++- ???. 变式练习:求数列11111,2,3
,4,3
9
2781
的前n 项和
解:211
22
3n
n n ++-? 数列求和基础训练
11
1++---n n na a a
a )1(1)1(1
2
1≠----++a a
na
a a a n n )1(1)1(1
2
1≠----++a a
na a a a n n
1.等比数列{}n a 的前n项和S n=2n
-1,则2232221n
a a a a ++++ =41
3
n -
2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--,则n S = (1)n n -?.
3.
111
1447
(32)(31)n n +++
=
??-?+31
n n +. 4.
1111
...243546(1)(3)
n n ++++???++= 1111122323n n ??+-- ?++??
5. 数列2211,(12),(122),,(1222),
n -++++++
+的通项公式n a =12-n ,前n 项和
n S =221--+n n
6 .
;,2
12,,25,23,2132 n n -的前n 项和为 23
32n n n S +=-
数列求和提高训练
1.数列{a n }满足:a 1=1,且对任意的m ,n ∈N *都有:a m +n =a m +a n +mn ,则
=++++2008
3211
111a a a a ( A ) A .
2009
4016
B .
2009
2008
C .
1004
2007
D .
20082007
解:∵a m +n =a m +a n +mn ,∴a n +1=a n +a 1+n =a n +1+n ,
∴利用叠加法得到:2
)
1(+=
n n a n ,∴
)111(2)1(21+-=+=n n n n a n , ∴
)200911(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009
4016
=.
2.数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列,若其首项满足a 1+b 1=5,a 1>b 1,且a 1,b 1
∈N *,则数列{n b a }前10项的和等于 ( B )
A .100
B .85
C .70
D .55
解:∵a n =a 1+n -1,b n =b 1+n -1∴n b a =a 1+b n -1=a 1+(b 1+n ―1)―1=a 1+b 1+n -2=5+n -2=n +3则数列{n b a }也是等差数列,并且前10项和等于:
85102
13
4=?+答案:B.
3.设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ,则m 等于 ( A )
A.3)1(2-n n
B.21n (n +4)
C.21n (n +5)
D.2
1n (n +7)
3.解:因为a n =n 2
-n .,则依据分组集合即得. 答案;A.
4.若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ,则S 17+S 33+S50等于 ( A ) A.1B.-1C.0D.2
解:对前n 项和要分奇偶分别解决,即: S n =???????-+)(2
)(2
1
为偶为奇n n n n 答案:A
5.设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列,且b 1=0,=a n +b n ,若数列{}是1,1,2,…,则{}的前10项和为 ( A )
A.978
B.557
C.467
D.979
解 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则??
?=+=+2
212
d q d q
∴q 2
-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴=2n -1
+1-n,∴S n =978. 答案:A
6. 若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=
( A )
A .15B.12 C .-12
D.-15
解析 A 设b n =3n -2,则数列{b n }是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a 1+a 2+…
+a 9+a 10=(-b 1)+b 2+…+(-b 9)+b 10=(b 2-b 1)+(b 4-b 3)+…+(b 10-b 9)=5×3=15.
7.一个有2001项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为
解: 设此数列{a n },其中间项为a 1001,
则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:
1000
1001
8.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+,则a =,b =,c =.
解: 原式=.6326)12()1(23n n n n n n +-=-?-答案:6
1
;21;31-
9.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且其第二项、第五项、第十四项分别是
等比数列{b n }的第二、三、四项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设数列{}对任意自然数n 均有133
2211+=++++n n
n a b c b c b c b c 成立. 求c 1+c 2+c 3+…+c 2014的值.
解:(1)由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0)解得d =2,∴a n =2n -1,可得b n =3n -1
(2)当n =1时,c 1=3;当n ≥2时,由
n n n
n
a a
b
c -=+1,得=2·3n -1,
故??
?≥?==-).
2(32),1(31
n n c n n 故c 1+c 2+c 3+…+c 2014=3+2×3+2×32
+…+2×3
2002
=3
2015
.
10.设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列?
?
?
???n S n 的前n 项和,求T n .
解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则S n =na 1+1
2
n (n -1)d .∵S 7=7,S 15=75,
∴??? 7a 1+21d =7,15a 1+105d =75,即??? a 1+3d =1,a 1+7d =5,解得???
a 1=-2,d =1.
∴S n n =a 1+12(n -1)d =-2+12(n -1).∴
S n +1n +1-S n n =12,∴数列?
??
???n S n 是首项为-2,公差为12的等差数列.∴T n =14n 2-94n . 11.已知数列{a n }的首项a 1=23,a n +1=2a n a n +1
(1)证明:数列??????-11n a 是等比数列;(2)求数列?
??
???n a n 的前n 项和S n .
解析 (1)∵a n +1=
2a n a n +1,∴1a n +1=a n +12a n =12+12a n ,∴1a n +1-1=???
? ??-11
21n
a ,又a 1=23, ∴1
a 1-1=12≠0,∴1a n -1≠0,∴1
a n +1-1
1a n
-1=12,∴数列???
???-11n a 是以12为首项,12
为公比的等比数 (2)由(1)知1
a n -1=12·n
n ??
?
??=?
?
?
??=21211
即1a n =12n +1∴n a n =n 2n +n .设T n =12+222+323+…+n 2n .......①
则12T n =122+223+…+n -12n +n 2n +1 .......② , ①-②得12T n =12+122+123+…+12n -n
2
n +1
=2
1
121121-
?
?
? ??-n -n 2n +1=1-12n -n 2n +1,∴T n =2-12n -1-n 2n =2-2+n 2n .又∵1+2+3+…+n =n (n +1)2,
∴数列?
??
???n a n 的前n 项和S n =2-2+n 2n +n (n +1)2=n 2
+n +42-n +22n .