学生做题前请先回答以下问题
问题1：看到直角，有哪些思考角度？
问题2：特殊角30°、45°的用法是什么？
直角三角形性质综合应用（二）（北师版）
一、单选题(共7道，每道14分)
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，
若AC=12cm，则AD=( )cm．
A.4
B.8
C.6
D.无法确定
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
2.如图，等边△DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E．若AB=1，则BD的长为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
3.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AB=4，D为直线BC上一点，且AD=2CD，则DB=( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形
4.如图，在矩形ABCD中，AB>AD，AB=1，AN平分∠DAB，DM⊥AN，垂足为M，CN⊥AN，垂足为N，则DM+CN的值为( )
A.1
B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形
5.已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④．
其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形
6.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F．已知BD=2，CD=1，∠ABC=30°，有下列结论：
①∠AED=∠ADC；②；③AC·BE=2；④BE=DE．其中正确的有( )
A.①③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
7.设P为等腰Rt△ABC的斜边AB上或其延长线上一点，若，则( )
A. B.
C. D.不确定
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
直角三角形的性质（二） 编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的 思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题 和解决问题能力。 二、【教学重点】与难点： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 四、【教学过程】： （一）引入： 如果你是设计师：（提出问题） 2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公 交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构 成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ （通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引 发学生的学习兴趣。） 动一动想一想猜一猜（实验操作） 请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。 通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么 关系？ （通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的 关系。） （二）新授： 提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程） 应用定理： 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC 的中点。 求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即 可证得。 （上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化 使斜边重合，我们可以得到哪些结论？） 练习变式： 1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC F E D C B A
24.2直角三角形的性质 学习目标： 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质定理及 其应用。 重点：1、直角三角形的三个性质定理； 2、30°角所对的直角边等于斜边的一半； 难点：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明思想方法及其应用。 教学过程： 一、复习回顾 （1）什么是直角三角形？有一个角是的三角形叫做直角三角形。 （2）直角三角形的性质：①角角关系：直角三角形的两个锐角；②边边关系：直角三角形两直角边的等于斜边的。（又叫做定理）。 二、新课 1、（画一画、量一量、猜一猜）： ①如图画有Rt△ABC的纸张， ②量一量斜边AB的长度， ③画出斜边上的中线CD， ④量一量斜边中线CD的长度， ⑤猜想斜边上的中线与斜边之间有何关系？ 猜想结论：。 2、几何画板演示： 3、提出命题：。 4、逻辑演绎推理证明：如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。求证：CD= 2 1 AB。 （分析）遇到中线延长加倍中线，从而构造全等三角形或者平行四边形，然后求解之。 证明：
结论： 。（即直角三角形的性质3） 5、（小试身手） （1）已知直角三角形的斜边为20cm,那么斜边上的中线为 cm ； （2）已知直角三角形的两条直角边为3和5，则斜边上的中线为 ； （3）在直角三角形ABC 中，如果CD 是斜边AB 的中线，且CD=6cm ，那么AB= ； （4）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，若AB=8cm ，求DE 的长。 三、应用 1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°。求证：BC= 2 1AB 。 证明：作斜边AB 上的中线CD ，则： 2、练一练；（1）顶角为30°的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高为 ，三角形的面积是 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，求证AD=2BC 。
辅导讲义 一、提升目标 1、熟悉三角形的概念，以及它的物理特性，边的特性 2、能利用三角形内角和来解决三角形的问题 3、可以用三角形来拼成一些图形 二、学习内容 1、三角形的概念以及它的特性 2、三角形的内角和 3、图形的拼组 三、课堂表现及学习效果 四、请家长监督孩子完成当天作业！ 长确认：_________________
三角形 【三角形的特性】 例题：画一个三角形。说一说三角形有几条边？几个角？几个顶点？ 由三条线段围成的图形（每相邻两条 线段的端点相连）叫做三角形 ①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间 的线段 ②三角形的底：这条对边叫做三角形的底 用字母A、B、C分别表示三角形 的三个顶点，这个三角形可以表示 成三角形ABC 三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形） ②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边 做一做 1、由三条围成的图形(每的端点相连)叫做三角形，三角形具有性。 2、一个三角形最多可以画（）条高。 A、一 B、二 C、三 D、四 3、下面各组中的三条线段，可以围成一个三角形的是（） A、2、4、6 B、2、5、5 C、2、2、5 D、3、4、7 4、已知一个三角形的两条边是7厘米和8厘米，则第三条边不可能是（）
A、2厘米 B、3厘米 C、14厘米 D、1厘米 5、一个三角形有两条边分别长6厘米和4厘米，它的另一边一定（） A、等于10厘米 B、小于10厘米 C、大于10厘米 D、以上没答案 6、一个三角形的周长是24厘米，那么它的任意一条边一定（）12厘米。 A、等于 B、小于 C、大于 D、以上没答案 【三角形的分类】 例：给三角形分类 三角形（按角来分） 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形 直角三角形：有一个角是直角的三角形 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形 三角形（按边来分） 三边不等三角形：三条边都不相等 等腰三角形：有两条边相等 等边三角形（正三角形）：三条边都相等
E N M D C B A 直角三角形性质和应用练习 班级姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________. 2、“直角三角形两锐角互余”逆定理。(填:“有”或“没有”)。 3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 . 4、 在直角三角形中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm. 5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。 7、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE = 8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90o ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5 那么AD = ， 9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = . 第7题 第8题 第9题 10、到一条线段两端点距离相等的点的轨迹是____. 11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________ 12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 二、选择题 1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。 B 、等边对等角。 C 、全等三角形对应角相等。 D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 D 2 1 P C A B E O D B A
24.2 直角三角形的性质 教学目标: 1、以直角三角形为载体,继续学习几何证明. 2、掌握直角三角形的两个锐角互余。 3、通过图形的运动来比较一般三角形与直角三角形中线的性质。 4、在图形的运动中培养学生学习几何的兴趣。 难点与重点： 1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质定理的证明思想方法。 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 教学过 程： 一、1、复习提问：在三角形ABC中，∠C＝90° 那么，△ABC为什么三角形？ 2、∠A＋∠B＝？通过几何画板的演示，在图形不断运动中∠A＋∠B＝90° 3、三边之间有什么关系呢？ 4、学生归纳出：（1）在直角三角形中，两个锐角互余。 （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定 理）。
二、观察： 1、已知：△ABC 以及AB 边上的中线CD ， 2、任意三角形一边上的中线与这边之间有什么关系？ 3、让学生在图形的变化过程中观察到CD ／AB 的值不是一个定值， 学生不难发现任意三角形一边中线与这边之间没有规律可循。 4、请同学们继续观察，我们今天所研究的直角三角形斜边上的中线与斜边的长度之间有什么系？ （1） CD ＝21 BA ， CD ／BA ＝0.5。 （2）通过几何画板的演示，Rt △ABC 的形状在不断的变化， CD 、AD 、DB 的长度也在变，但这三条线段之间的长度始终相等。 让学生归纳出：（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、仅仅通过观察和操作是不够的，那么对于任何一个直角三角形是否也具备此性质，我们要通过逻辑推理的方法加以证明。 （1）、根据题义作出图形，并标上必要的字母和符号。 （2）、根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”。 （3）、通过分析写出证明过程。 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°CD 是斜边AB 上的中线。求证：CD ＝ 21 AB 提问设计：1、如果不能直接证明，怎么办？（添辅助线）
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
三角形 讲义 一、 基础知识 （一）与三角形有关的线段 1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形 叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三 角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和 1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成 的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正 多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形 的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也 互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相 加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三 角形、等边三角形） （五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌
19.8 (1) 直角三角形的性质 一、内容与内容解析 本节课的教学内容是上海教育出版社八年级第一学期第十九章《几何证明》这一章节中的第三节“直角三角形”内容中的“19.8直角三角形的性质”，第1课时.学生们在七年级的时候，已经学习并掌握了等腰三角形的判定与性质，这为我们研究特殊的三角形提供了一定的认知基础和学习范式. 此前，对直角三角形，学生只学习过它的定义及其有关概念，以及两个直角三角形全等的判定，而这一节课要研究的就是直角三角形的性质：定理1直角三角形的两个锐角互余.定理 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这两条性质分别揭示了直角三角形的主要元素“角”之间的数量关系、主要元素“斜边”及相关元素“斜边上的中线”之间的数量关系，这是本节课的学习主题与重点．同时，无论定理2的文字语言的表述，还是图形语言的描述，都揭示了直角三角形与等腰三角形之间内在的天然联系，这种联系在例题、练习题中，同样显示得那么强烈．我认为对于这种内在的天然联系的凸显与认识是很有必要的，其价值不仅在于对数学知识的真正理解，而且在于数学育人层面上，为如何认识“世界上事物之间是互相联系的，在一定条件下，是可以互相转化的”大道理，提供了一个数学“小案例”。在等腰三角形→等腰直角三角形→直角三角形多媒体演示过程中，体现了“从一般到特殊”，再“从特殊到一般”的数学思想以及“特殊化”、“一般化”的研究策略，旨在让学生更好的理解这两条性质的“发生”．同时，观察图形变化过程中始终不变的特征，这种图形在变化过程中的不变特征就是图形的性质．于是重现了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的特殊性质，并得到了直角三角形的性质．我认为，这个多媒体课件的设计，同样也是今天教学内容的一部分，“特殊化”“一般化”是数学学习的一种重要的学习策略，在动态变化过程中，观察变化中的不变性从而得出图形性质，是研究图形性质的科学方法，这种方法就其本质而言，就是观察变化的世界，把握变化规律，发现不变特征的世界观. 直角三角形的性质定理2是后续研究直角三角形与特殊平行四边形的基础与依据，直角三角形与等腰三角形的联系与转化也是解直角三角形的利器．这两条性质的学习为今后的平面几何证明学习奠定了坚实的基础，提供了更为灵活的证明思路和方法. 第1页共7页
【作业1】 下列命题中，正确的有( )个 （1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【作业2】 （1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°， 则∠ECB =__________； （2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________． 【作业3】 如图，ABC ?中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =， 则AD =________，AE =____________． 【作业4】 （1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______； （2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________． 【作业5】 已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ． 直角三角形的全等判定及性质 D A B C E A B C D E
【作业6】 已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ． 【作业7】 如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ， 求证：4BE=AC . 【作业8】 在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上， 且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明． A B C D E A B C D A B C D E C E F
直角三角形的性质（一） 【教学目标】： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 【教学过程】： 一、引入 复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。 （二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、巩固训练：
练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中 点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ 练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与 DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业 直角三角形的性质（二） 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。 二、【教学重点与难点】： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学过程】： （一）引入：
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三 角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛 直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ， 分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． 第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用 1．理解并掌握含30°锐角的直角三角 形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的 性质解决问题．(难点) 一、情境导入 用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并 把你的发现和大家交流一下． 二、合作探究 探究点一：在直角三角形中，如果有一 个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半 等腰三角形的一个底角为75°， 腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这 个三角形的面积是________cm2. 解析：因为75°不是特殊角，但是根据 “三角形内角和为180°”可知等腰三角形 的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm， S△ABC＝1 2 AC·BD＝ 1 2 ×4×2＝4(cm2)．故答 案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键． 探究点二：在直角三角形中，如果一条 直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ 1 2 BC，求∠DAC 的度数． 解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC ＝ 1 2 BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°. 方法总结：如果题中出现直角三角形及 斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 探究点三：含30°锐角的直角三角形性 质的应用 如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间． 解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路 程关系式求出时间． 解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 主备 审核 班级____________姓名___________ 学习目标 1 会推导勾股定理的逆定理； 2 会用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形。 学习重点：勾股定理的逆定理推导和应用 学习难点：勾股定理的逆定理应用 学习过程 一 温固知新 1、什么叫勾股定理？ 2、怎样判断一个三角形是直角三角形？ 3、 一次一队建筑工人上班时只带了一根皮尺，忘记带直角工具了，但是需要需要作一个直角，怎么办呢？有人提出这样作： 在皮尺的3米处，7米处12米处打好结，并用木桩固定然后围成一个三角形，就可以得到一个直角了，你认为它这个方法对吗？ 二 合作交流（自主学习） 1 、已知：△ABC 中，AB=c ，BC=a,AC=b ，且222c a b =+， 求证：∠C=90° 分析：直接证明很困难，但可以作一个直角三角形使它的两条直角边分别等于a,b,如果作出的这个直角三角形的斜边等于C ，那么这个三角形就与已知三角形全等，已知三角形也就是直角三角形了。 交流讨论：作出的三角形斜边是否等于c? 归纳：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、尝试应用 1已知△ABC 的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？ （1） a=8,b=15,c=17 , (2) a =10,b=24,c=25 ， （3）a=10,b=6,c=8 （4）7911 ,,222 a b c === C A c b 3米 米 12米b ' B A '
已知三边判断三角形是不是直角三角形的方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、 应用提高 1 、如图，在△ABC 中，已知AB=5,CD=15,AC=17,你能求出DB 的长吗？ 2 、 某地有A 、B 、C 三个村庄，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1,0),B(4,0)C(1,4),现在要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等，你能在图中根据这一要求确立学校的地址吗？ 3、如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠C ＡＢ＝５５°，求∠B 的大小． 4、如图，四边形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， C D ＝３， ＤＡ＝１， 且∠B ＝９０°，求∠D ＡＢ的度数． D C B A y x C B A
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
直角三角形的性质和判定教学设计 直角三角形的性质和判定（第1课时）教学目标 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 教学重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 教学难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 教学方法观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程 一、复习引入 1、复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作探究 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？
2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1 （1）在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A -∠B =30°，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。 （二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度 （2）找到斜边的中点，用字母D表示 （3）画出斜边上的中线 （4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
2、归纳直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 三、巩固与提高 （一）讲解P87例1 （二）课堂练习 1、在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 2、已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ （三）小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ （四）布置作业 P93 第1、2题 课后反思：
直角三角形（提高）【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边||，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知||，对于两个直角三角形||，满足一边一锐角对应相等||，或两直角边对应相等||，这两个直角三角形就全等了||。这里用到的是“AAS”||，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边||，直角边定理 在两个直角三角形中||，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的||，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等||，由于其中含有直角这个特殊条件||，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、 HL.证明两个直角三角形全等||，首先考虑用斜边、直角边定理||，再考虑用 一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件||，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中||，如果一个锐角等于30°||，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中||，如果一条直角边等于斜边的一半||，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”||，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一||，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等||，不全等的画“×”||，全等的注 明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等||，“AAS”；（2）全等||，“AAS”；（3）全等||，“SAS”；（4）全等||，“HL”. 【解析】理解题意||，画出图形||，根据全等三角形的判定来判断.