二次函数与几何综合
二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．
(20152自贡)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点
B.
(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式； (2)利用抛物线的轴对称性，BC 与对称轴的交点即为M ，继而求出其坐标；
(3)设P(－1，t)，用含t 的代数式表示PB 、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t 的值． 【解答】 (1)依题意，得 ?????－b
2a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，
解得????
?a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.
∴抛物线解析式为y ＝－x 2
－2x ＋3.
∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)．
∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y ＝mx ＋n ，得
?????－3m ＋n ＝0，n ＝3，解得?
????m ＝1，n ＝3. ∴直线y ＝mx ＋n 的解析式为y ＝x ＋3.
(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.
∴M(－1，2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时，M 的坐标为(－1，2)． (3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，
∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2
－6t ＋10.
①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2
－6t ＋10，解得t ＝－2；
②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2
，解得t ＝4；
③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2
－6t ＋10＝18；
解得t 1＝3＋172，t 2＝3－17
2
.
综上所述，P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3
－17
2
)．
(20152攀枝花)如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点
P 、与直线BC 相交于点M ，连接
PB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y ＝－x 2
＋bx ＋c 即可求出b 和c 的值，进而求出抛物线的解析式；
(2)设D(t ，－t 2
＋2t ＋3)，作DH ⊥x 轴，则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ，进而得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的性质，确定D 点坐标与S △BCD 的最大值；
(3)因为两三角形的底边MB 相同，所以只需满足MB 上的高相等即可满足题意．
【解答】 (1)由?????－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得?????b ＝2，c ＝3.
∴抛物线解析式为：y ＝－x 2
＋2x ＋3. (2)设D(t ，－t 2
＋2t ＋3)，作DH ⊥x 轴． 令x ＝0，则y ＝3，∴C(0，3)． 则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC
＝12(－t 2＋2t ＋3＋3)t ＋12(3－t)(－t 2
＋2t ＋3)－123333
＝－32t 2＋92t.
∵－3
2
＜0，
∴当t ＝－
92
23（－32
）
＝32时，即D(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278
. (3)∵P(1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一， ∵直线BC 为y ＝－x ＋3，
∴过点P 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋5.
由?
????y ＝－x ＋5，y ＝－x 2
＋2x ＋3，解得Q 1(2，3)； ∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3， ∴M(1，2)．
设PM 与x 轴交于E 点，∵PM ＝EM ＝2， ∴过点E 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋1.
从而过点E 且与BC 平行的直线与抛物线的交点也为所求Q 点之一．
由?
????y ＝－x ＋1，y ＝－x 2
＋2x ＋3，解得Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)． ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－17
2)．
(20132绵阳)如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象的顶点C 的坐标为(0，－2)，交x 轴于A 、B 两点，其中A(－1，0)，直线l ：x ＝m(m ＞1)与x 轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B 的坐标；
(2)在直线l 上找点P(P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标(用含m 的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】 (1)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点坐标为C(0，－2)， ∴b ＝0，c ＝－2.
∵y ＝ax 2
＋bx ＋c 过点A(－1，0)， ∴0＝a ＋0－2，a ＝2，
∴抛物线的解析式为y ＝2x 2
－2.
当y ＝0时，2x 2
－2＝0，解得x ＝±1， ∴点B 的坐标为(1，0)． (2)连接BC.设P(m ，n)． ∵∠PDB ＝∠BOC＝90°，
∴当以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①若△OCB∽△DBP，则OB DP ＝OC DB ，即1n ＝2m －1，解得n ＝m －1
2.
∴此时点P 坐标为(m ，m －1
2
)；
②若△OCB∽△DPB，则OB DB ＝OC DP ，即1m －1＝2
n ，解得n ＝2m －2.
∴此时点P 坐标为(m ，2m －2)．
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(m ，m －1
2
)或(m ，2m －2)．
(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x ，2x 2
－2)，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q 作QE⊥l 于点E.
∵∠DBP ＋∠BPD＝90°，∠QPE ＋∠BPD＝90°， ∴∠DBP ＝∠QPE. 在△DBP 与△EPQ 中， ????
?∠BDP＝∠PEQ＝90°，∠DBP ＝∠EPQ，
BP ＝PQ ，
∴△DBP ≌△EPQ.∴BD ＝PE ，DP ＝EQ. 分两种情况： ①当P(m ，m －1
2
)时，
∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2
－2)，
∴?
????m －1＝2x 2
－2－m －12
，
m －1
2
＝m －x ，
解得?
????x 1＝1，m 1＝1，?????x 2＝1
2，m 2＝0.
(均不合题意，舍去) ②当P(m ，2m －2)时，
∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2
－2)，
∴?
????m －1＝2x 2
－2－2（m －1），2（m －1）＝m －x ， 解得?
????x 1＝1，
m 1＝1，?
????x 2＝－5
2，
m 2＝92
.
(均不合题意，舍去) 综上所述，不存在满足条件的点Q.
(20152绵阳)已知抛物线y ＝－x 2
－2x ＋a(a≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y ＝1
2
x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA
相交于点N 点．
(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标； (2)将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积；
(3)在抛物线y ＝－x 2
－2x ＋a(a ＞0)上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围．利用二次函数解析式求得M 、A 的坐标；
(2)求出两直线的交点N ，从而求出其对称点P ，利用面积之差得△PCD 的面积；
(3)分两种情况进行讨论：①当P 在y 轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a ；②当P 在y 轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a.
【解答】 (1)由题意联立????
?y ＝－x 2
－2x ＋a ，
y ＝1
2
x －a.
整理得2x 2
＋5x －4a ＝0.
由Δ＝25＋32a ＞0，解得a ＞－25
32.
∵a ≠0，∴a ＞－25
32
且a≠0.
令x ＝0，得y ＝a ，∴A(0，a)．
由y ＝－(x ＋1)2
＋1＋a ， 得M(－1，1＋a)．
(2)设直线MA 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得
?????1＋a ＝－k ＋b ，a ＝b ，解得?
????k ＝－1，b ＝a. 故直线MA 的解析式为y ＝－x ＋a.
联立?????y ＝－x ＋a ，y ＝12
x －a.解得?
????x ＝4
3a ，y ＝－a 3
.
∴N(4a 3，－a
3
)．
由于P 点是N 点关于y 轴的对称点， ∴P(－4a 3，－a 3
)．
代入y ＝－x 2
－2x ＋a ，得－a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，
解得a ＝9
4
或a ＝0(舍去)．
∴A(0，94)，C(0，－94)，M(－1，134)，|AC|＝9
2
.
∴S △PCD ＝S △PAC －S △DAC
＝12|AC|3|x P |－1
2|AC|3|x D |
＝12392(3－1)＝92
.
(3)①当点P 在y 轴左侧时，四边形APCN 为平行四边形，则AC 与PN 相互平分，点P 与N 关于原点(0，0)中心对称，而N(4a 3，－a 3)，故P(－4a 3，a 3)．
代入y ＝－x 2
－2x ＋a ，得a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，
解得a ＝158或a ＝0(舍去)，∴P(－52，5
8
)．
②当点P 在y 轴右侧时，四边形ACPN 为平行四边形，则NP∥AC 且NP ＝AC ，而N(4a 3，－a
3)、
A(0，a)、C(0，－a)，故P(4a 3，－7a
3)．
代入y ＝－x 2
－2x ＋a ，得－
7a 3＝－169a 2－8
3
a ＋a ， 解得a ＝38或a ＝0(舍去)，∴P(12，－7
8
)．
∴当P 点为(－52，58)或(12，－7
8
)时，以A 、C 、P 、N 为顶点能构成平行四边形．
1．(20152曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y 轴于点B(0，－2)，A 为OB
的中点，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2
＋c(a≠0)与x 轴分别交于C 、D 两点，且CD ＝4，点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆． (1)求抛物线的解析式；
(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E ，且OE ＝2，求点P 的坐标；
(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．
2．(20142绵阳)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象过点M(－2，3)，顶点坐标为N(－1，43
3)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
(3)在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
3．(20132南充)如图，二次函数y ＝x 2
＋bx －3b ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点
B 的左边)，交y 轴于点
C ，且经过点(b －2，2b 2
－5b －1)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
(3)连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．
4．(20152乐山)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y 轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线l 以AB 为起始位置，绕点A 顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D ，P 是AD 的中点．
①求点P 的运动路程；
②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF⊥AC 所在直线于点F ，连接PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接EF ，求△PEF 周长的最小值．
5．(20152雅安)如图，已知抛物线C 1：y ＝－12x 2，平移抛物线y ＝x 2
，使其顶点D 落在抛物
线C 1位于y 轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C 2，且C 2与y 轴交于C(0，2)． (1)求抛物线C 2的解析式；
(2)抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右方)．求点A 、B 的坐标及过点A 、B 、C 的圆的圆心E 的坐标；
(3)在过点(0，1
2)且平行于x 轴的直线上是否存在点F ，使四边形CEBF 为菱形，若存在，求
出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．
6．(20142眉山)如图，已知直线y ＝－3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y
＝ax 2
＋bx ＋c 经过点A 和点C ，对称轴为直线l ：x ＝－1，该抛物线与x 轴的另一个交点为B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P 在直线l 上，求出使△PAC 的周长最小的点P 的坐标；
(3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
7．(20152德阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
8．(20142成都)如图，已知抛物线y ＝k
8(x ＋2)(x －4)(k 为常数，且k ＞0)与x 轴从左至右
依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y ＝－3
3
x ＋b 与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；
(3)在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
9．(20152南充)已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A(m －2，0)和B(2m ＋1，0)(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ，对称轴为l ：x ＝1. (1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值． 10．(20142攀枝花)如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°. (1)请直接写出A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由； (4)平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H(t ，0)．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围． 11．(20152成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2 －2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC. (1)直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)； (2)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 4 5 ，求a 的值； (3)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由． 参考答案 1．(1)∵A 为OB 的中点，B(0，－2)，∴A(0，－1)． ∵抛物线y ＝ax 2 ＋c 对称轴为y 轴，CD ＝4， ∴C(－2，0)，D(2，0)． 把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y ＝ax 2 ＋c ，得?????c ＝－1，4a ＋c ＝0.解得?? ???a ＝1 4，c ＝－1. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2 4 －1. (2)设点P(x ，x 2 4－1)，过P 作PM⊥y 轴于点M ，则OM ＝1 2OE ＝1. ∴|x 2 4－1|＝1.∴x 2 4－1＝1或x 2 4 －1＝－1. 解得x 1＝22，x 2＝－22，x 3＝0. ∴点P 坐标是P 1(22，1)，P 2(－22，1)，P 3(0，－1)． (3)直线l 与⊙P 相切．设点P(x ，x 24 －1)，过P 作PN⊥l 于点N ，交x 轴于点Q. 在Rt △POQ 中，PO 2 ＝x 2 ＋(x 2 4－1)2＝x 2＋x 4 16－x 2 2＋1＝x 4 16＋x 2 2＋1.PN 2＝[x 2 4－1－(－2)]2 ＝x 4 16 ＋ x 2 2 ＋1. ∴PN＝PO.∴直线l 与⊙P 相切． 2.(1)由抛物线顶点坐标为N(－1，433)，可设其解析式为y ＝a(x ＋1)2 ＋433.将M(－2，3) 代入，得3＝a(－2＋1)2 ＋433，解得a ＝－33. 故所求抛物线的解析式为y ＝－33x 2－23 3 x ＋ 3. (2)∵y＝－33x 2－23 3 x ＋3，∴x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)． y ＝0时，－ 33x 2－233 x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－3， ∴A(1，0)，B(－3，0)， ∴BC ＝OB 2 ＋OC 2 ＝2 3. 设P(－1，m)，当CP ＝CB 时，有CP ＝1＋（m －3）2 ＝23，解得m ＝3±11； 当BP ＝BC 时，有BP ＝（－1＋3）2 ＋m 2 ＝23，解得m ＝±22； 当PB ＝PC 时，（－1＋3）2 ＋m 2 ＝1＋（m －3）2 ，解得m ＝0. 综上所述，当△PBC 为等腰三角形时，点P 的坐标为(－1，3＋11)，(－1，3－11)， (－1，22)，(－1，－22)，(－1，0)． (3)由(2)知BC ＝23，AC ＝2，AB ＝4，所以BC 2＋AC 2＝AB 2 ，即BC⊥AC.连接BC 并延长至B′，使B′C＝BC ，连接B′M，交直线AC 于点Q ，连接BQ ，BM. ∵B 、B′关于直线AC 对称， ∴QB ＝QB′，∴QB ＋QM ＝QB′＋QM ＝M B′，又BM ＝2，所以此时△QBM 的周长最小． 由B(－3，0)，C(0，3)，易得B′(3，23)． 设直线MB′的解析式为y ＝kx ＋n ，将M(－2，3)，B ′(3，23)代入，得?? ?－2k ＋n ＝3， 3k ＋n ＝23， 解得?????k ＝3 5，n ＝735. 即直线MB′的解析式为y ＝ 35x ＋73 5 . 同理可求得直线AC 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.由?????y ＝35x ＋735， y ＝－3x ＋3，解得?????x ＝－1 3，y ＝433，即 Q(－13，43 3 )． 所以在直线AC 上存在一点Q(－13，433 )，使△QBM 的周长最小． 3.(1)把点(b －2，2b 2 －5b －1) 代入解析式，得2b 2 －5b －1＝(b －2)2 ＋b(b －2)－3b ＋3.解 得b ＝2. ∴抛物线解析式为y ＝x 2 ＋2x －3. (2)由x 2 ＋2x －3＝0，得x ＝－3或x ＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． ∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1， ∴圆心M 在直线x ＝－1上． ∴设M(－1，n)， 作MG⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC ，MB. ∴MH ＝1，BG ＝2. ∵MB＝MC ，∴BG 2＋MG 2＝MH 2＋CH 2.∴4＋n 2＝1＋(3＋n)2 .解得n ＝－1. ∴点M 的坐标为(－1，－1)． (3)由M(－1，－1)，得MG ＝MH.∵MA＝MD ， ∴Rt △AMG ≌Rt △DMH. ∴∠MAG ＝∠MDH.由旋转可知∠AME＝∠DMF.∴△AME≌△DMF.若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形． 设E(x ，0)．△AME 为等腰三角形， 分三种情况：①当AE ＝AM ＝5时，则x ＝5－3，∴E(5－3，0)． ②当AM ＝ME 时，∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA ＝ME ＝MB ，∴E(1，0)． ③当AE ＝ME 时，则点E 在AM 的垂直平分线上．AE ＝x ＋3，ME 2＝MG 2＋EG 2＝1＋(－1－x)2 . ∴(x ＋3)2＝1＋(1＋x)2 .解得x ＝－74.∴E(－74，0)．∴所求点E 的坐标为(5－3，0)，(1， 0)或(－7 4 ，0)． 4.(1)∵函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，且一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0两根为－8，2，∴A(－8，0)、B(2，0)，即OB ＝2. 又tan ∠ABC ＝3，∴OC ＝6，即C(0，－6)．将A(－8，0)、B(2，0)代入y ＝ax 2 ＋bx －6中，得a ＝38，b ＝94 ， ∴二次函数解析式为y ＝38x 2＋9 4 x －6. (2)①当l 在AB 位置时，P 即为AB 中点H ，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 中点K ， ∴点P 的运动路程为△ABC 的中位线HK.∴HK＝1 2BC.在Rt △BOC 中，OB ＝2，OC ＝6. ∴BC ＝210.∴HK ＝10. 即点P 的运动路程为10. ②∠EPF 的大小不会改变． 理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt △AED 中，P 为斜边AD 的中点，∴PE ＝1 2AD ＝PA ，∴∠PAE ＝ ∠PEA＝1 2 ∠EPD. 同理可得：∠PAF＝∠PFA＝1 2∠DPF ，∴∠EPF ＝∠EPD＋∠DPF＝2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF ＝2∠EAF. 又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变． (3)设△PEF 的周长为C ，则C ＝PE ＋PF ＋EF ， ∵PE ＝12AD ，PF ＝1 2 AD ，∴C ＝AD ＋EF. 在等腰三角形PEF 中，过P 作PG⊥EF 于点G ，∴∠EPG ＝1 2 ∠EPF＝∠BAC. ∵tan ∠BAC ＝OC AO ＝34.∴tan ∠EPG ＝EG PG ＝34.∴EG ＝35PE ，EF ＝65PE ＝3 5AD.∴C ＝AD ＋EF ＝(1＋ 35)AD ＝8 5 AD. 又当AD⊥BC 时，AD 最小，此时C 最小，又S △ABC ＝30，∴1 2BC 2AD ＝30，∴AD ＝310.∴C 最 小值为85AD ＝245 10. 5.(1)由题意，设D(a ，－12a 2)．则抛物线C 2的解析式为y ＝(x －a)2 －12 a 2. 又∵点C 在抛物线C 2上，将C(0，2)代入上式，解得a ＝±2.又因为D 在y 轴右侧，所以a ＝2. ∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －2)2 －2. (2)由题意，在y ＝(x －2)2 －2中，令y ＝0，则x ＝2± 2. ∵点B 在点A 的右侧，∴A(2－2，0)，B(2＋2，0)． 又∵过点A 、B 、C 的圆的圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则设E(2，m)，且|CE|＝|AE|.则22＋(2－m)2＝m 2＋(2－2＋2)2 ，解得m ＝32.∴圆心E 的坐标为(2，32 )． (3)假设存在F(t ，12)，使得四边形CEBF 为菱形，则|BF|＝|CF|＝|CE|.∴(12)2 ＋(2＋2－ t)2＝(2－12)2＋t 2 ，解得t ＝ 2.当t ＝2时，F(2，12)．此时|CE|＝172 ，|CF|＝ 22 ＋（2－12 ）2＝ 2＋94＝172 . ∴|CF|＝|BF|＝|BE|＝|CE|.即存在点F(2，1 2)，使得四边形CEBF 为菱形． 6．(1)对于y ＝－3x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝1， ∴点C(0，3)，点A(1，0)． ∴?????c ＝3， a ＋ b ＋3＝0，－b 2a ＝－1.解得???? ?a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. ∴此抛物线解析式为y ＝－x 2 －2x ＋3. (2)如图1，点A 关于直线l 的对称点是点B(－3，0)，连接BC 交直线l 于点P ，连接PA ，则此时△PAC 周长最小． 设BC 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点B(－3，0)、点C(0，3)代入解析式中，则??? ??－3k ＋m ＝0， m ＝3.解得? ????k ＝1， m ＝3. ∴BC 的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝－1时，y ＝2，∴点P 为(－1，2). (3)如图2，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能为平行四边形． 满足要求的点M 有3个，分别是M 1(－2，3)，M 2(－4，－5)，M 3(4，－21)． 7.(1)∵B 点坐标为(－3，0)，OC ＝OB ，∴OC ＝OB ＝3， ∴C(0，3)．将A(1，0)、B(－3，0)、C(0，3)三点的坐标分别代入y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，得?????a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，解得???? ?a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. ∴此抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)过点E 作直线EF 平行于BC. ∵直线BC 过B(－3，0)、C(0，3)， ∴y BC ＝x ＋3.设直线EF 的解析式为y EF ＝x ＋b. ∵△BOC 面积为定值，S 四边形BOCE ＝S △BOC ＋S △BCE ， ∴四边形BOCE 面积最大时，△BCE 面积最大． ∵BC 为定值，∴当BC 上的高最大时，△BCE 面积最大，此时直线EF 与抛物线有且只有一个交点． 故一元二次方程x ＋b ＝－x 2－2x ＋3有两个相等的实数根．整理得x 2 ＋3x ＋b －3＝0.Δ＝9－4(b －3)＝0.解得b ＝214，x 1＝x 2＝－3 2 . ∵当x ＝－32时，y ＝154，∴点E 的坐标为(－32，15 4 )． 当E 点的坐标为(－32，154)时，S 四边形BOCE ＝123(32＋3)3154－123323(154－3)＝63 8 . (3)∵抛物线y ＝－x 2 －2x ＋3的对称轴为x ＝－1，点P 在抛物线的对称轴上，∴设P(－1， m)． ∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图， ∴PA ＝PA′，∠APA ′＝90°，如图，过A′作A′N⊥对称轴于N ，设对称轴与x 轴交于点M ， ∴∠NPA ′＋∠MPA＝∠NA′P＋∠NPA′＝90°，∴∠NA ′P ＝∠MPA， 在△A′NP 与△PMA 中，???? ?∠A′NP＝∠PMA＝90°，∠NA ′P ＝∠MPA，PA ′＝AP ， ∴△A ′NP ≌△PMA.∴A′N＝PM ＝|m|，PN ＝AM ＝2.∴A′(|m|－1，m ＋2)，代入y ＝－x 2 －2x ＋3，得m ＋2＝－(|m|－1)2 －2(|m|－1)＋3，解得m ＝1，m ＝－2.∴P 1(－1，1)，P 2(－1，－2)． 8.(1)∵抛物线解析式为y ＝k 8(x ＋2)(x －4)，令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4，∴A(－2，0)， B(4，0)． ∵直线y ＝－33x ＋b 经过点B(4，0)，∴－3334＋b ＝0，解得b ＝433 .∴直线BD 解析式为y ＝－ 33x ＋433 . 当x ＝－5时，y ＝33，∴D(－5，33)． ∵点D(－5，33)在抛物线y ＝k 8(x ＋2)(x －4)上， ∴k 8(－5＋2)(－5－4)＝33， ∴k ＝839 . ∴抛物线的函数表达式为y ＝83 9 (x ＋2)(x －4)． (2)由抛物线解析式，令x ＝0，得y ＝－k.∴C(0，－k)，OC ＝k. ∵点P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如图1所示．设P(x ，y)，过点P 作PN⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y.tan ∠BAC ＝tan ∠PAB ，即k 2＝y x ＋2 ， ∴y ＝k 2x ＋k.∴P(x，k 2x ＋k)，代入抛物线解析式y ＝k 8(x ＋2)2(x－4)，得k 8(x ＋2)(x －4)＝ k 2 x ＋k ，整理得x 2 －6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2(与点A 重合，舍去)， ∴P(8，5k)． ∵△ABC ∽△APB ，∴AC AB ＝AB AP ，即k 2 ＋46＝6 25k 2 ＋100 ， 解得k ＝45 5 . ②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如图2所示．与①同理，可求得k ＝ 2. 综上所述，k ＝45 5 或k ＝ 2. (3)由(1)知D(－5，33)．过点D 作DN⊥x 轴于点N ，则DN ＝33，ON ＝5，BN ＝4＋5＝9， ∴tan ∠DBA ＝DN BN ＝339＝3 3 ， ∴∠DBA ＝30°. 过点D 作DK∥x 轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°. 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1.如图1,等腰△ ABC的周长为21,底边BC = 5, AB的垂直平分线是DE，则△ BEC 的周长为_________________ 。 例2?如图2,菱形ABCD 中,~A 60° E、F是AB、AD的中点，若EF 2，菱形边长 ____________ 图1 图2 例3 已知AB是。O的直径，PB是。O的切线，AB = 3cm, PB = 4cm，贝U BC = _______________________________________________________________ . 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4 D, E分别为AC , BC边的中点，沿DE折叠，若CDE 48°则APD等于_______________ 。例5如图4?矩形纸片ABCD的边长AB=4, AD=2 .将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C 重合，折 叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（） 积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3, P为。O外一点，PA切于A, AB是。O的直径，PB交。O于C, P心2cm PO 1cm,则图中阴影部分的面积S是（） 八 5.3 2 5.3 2 5.32 2 23 2 A. cm B cm C cm D cm 2 4 4 2 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）一一三角形全等 【判定方法1: SAS 例1.AC是菱形ABCD勺对角线，点E、F分别在边AB AD上，且AE=AF求证：△ ACE^A ACF 例2正方形ABCD中, AC为对角线，E为AC上一点，连接EB ED. （1）求证：△ BEC^A DEC 2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( ) 或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0 方案设计型 ㈠应用方程(组)不等式(组)解决方案设计型 例1．(2009·益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 解析:此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组． 解:(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得:?? ?=+=+3152183y x y x 解得:???==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本 依题意得:???≥-≤-+a a a a 48200)48(53，解得:2420≤≤a ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为:20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 点评:解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，(或不等关系)列出相应的方程(或不等式组)． 同步检测: 1 (2009·安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家 长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸 的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题: (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 说明理由． 2.(2009·益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得： 中考数学几何专题训练含答案 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点， 且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． 4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF. ⑴求证：△ABE≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan∠EBC的值. A B D E C F 5、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF 分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE ∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE． （1）求证：BC=CD； （2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG； （3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点． 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是全体 a≠，而b c 实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 第1课时 实数的有关概念 一、选择题 1.计算(－2)2－(－2) 3的结果是( ) A. －4 B. 2 C. 4 D. 12 2.下列计算错误的是（ ） A ．－（－2）=2 B = C ．22x +32x =52x D ．235 ()a a = 3.20XX 年5月27日，北京奥运会火炬接力传递活动在古城南京境内举行，火炬传递路线全程约12900m ，将12900用科学记数法表示应为（ ） A ．0.129×105 B ．41.2910? C ．312.910? D ．212910? 4.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0 (π2)0-= 5.若2 3(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ） A ．4- B ．1- C ．0 D ．4 6.计算2 (3)-的结果是（ ） A ．6- B ．6 C ．9- D ．9 7.方程063=+x 的解的相反数是（ ） A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 8.下列实数中,无理数是（ ） B. 2π C.13 D. 1 2 9.估计68的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 10.用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过5 410 -?秒到达另一座山峰，已知光速为8 310?米／秒，则两座山峰之间的距离用科学记．．．．数法．． 表示为（ ） A ．3 1.210?米 B ．3 1210?米 C ．4 1.210?米 D ．5 1.210?米 11.纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=10-6毫米，某种病毒的直径为100纳米，如将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是( ) A.102个 B 104个 C 106个 D 108个 12.巳知某种型号的纸100张厚度约为lcm ，那么这种型号的纸13亿张厚度约为( ) A ．1.3×107km B ．1.3×103km C ．1.3×102km D ．1.3×10km 二、填空题： 13.若n m ,互为相反数，=-+555n m ． 2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； （3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存 1 / 3 数学几何部分专题复习 一、点到直线的距离垂线段最短 精炼1、点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值 为________ 二、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的 高 精炼： 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD 边上有2013个不同的点 122013,,,p p p ?，过(1,2,i p i =?,2013)作i i PE AB ⊥于i E ，i i PF AD ⊥于i F ，则 111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++?++的值为_______________. 三、利用轴对称解决最短距离问题 几何模型： 条件：如图1，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交l 于点P ，则PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）． 模型应用： （2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是 ； （3）如图4，在菱形ABCD 中，AB=10，∠DAB=60°，P 是对角线AC 上一动点，E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE+PF 的最小值是 ． （4）如图5，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是 ． （5）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 ． 中考名题：1、长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ． 2、 如图，是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m 的半圆，其边缘AB=CD=20cm ，小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为 m ．（π取3） 3、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________cm ． 4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC 平分∠BCD，E ，F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF ．点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA+PB 的最小值为 ． 四、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 精炼1、如图，已知BD 、CE 是ABC V 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。请证明。 2、如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5 3、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为 n 图3 图5 图4 B A 6cm 3cm 1cm 第1题图 第2题图 A B C D O F （第13题） E 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标； （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 （3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 （2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D， 令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6，∴ 1 2 AO?BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上， ∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。 又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若( ) 2 x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为： 12PO?BO=1 2 ×2×2=8。 2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ． 中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质： 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：左图画2221,2,2 y x y x y x === ， 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质：左图画221,1y x y x =+=-，右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：左图画22(1),(1)y x y x =+=-，右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--，右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=--- 总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 苏教版初中数学一轮复习资料（教师用） 目录 1、第1课时实数的有关概念....................................................................... (2) 2、第2课时实数的运算....................................................................... .. (4) 3、第3课时整式与分解因式....................................................................... (6) 4、第4课时分式与分式方程....................................................................... (8) 5、第5课时二次根式....................................................................... (10) 6、第6课时一元一次方程和二元一次方程 （组） (12) 7、第7课时一元二次方程....................................................................... (14) 8、第8课时方程的应用（一）................................................................... (16) 9、第9课时方程的应用（二）................................................................... (18) 10、第10课时一元一次不等式（组） (20) 11、第11课时平面直角坐标系、函数及图 像 (22) 12、第12课时一次函数图像及性 质 (24) 13、第13课时一次函数应用....................................................................... (26) 14、第14课时反比例函数图像和性 质 (28) 15、第15课时二次函数图像和性 质 (30) 16、第16课时二次函数应用....................................................................... (32) 初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法 画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特殊与一 般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（ ） 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题：（每小题3分，共30分） １、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限 ２、对于ｙ＝－１ ｘ ，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ３、二次函数ｙ＝ｘ２ ＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是 ４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２ －７的对称轴是直线ｘ＝ ５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是 ６、函数ｙ＝ １ ２－４ｘ 中，自变量ｘ的取值范围是 ７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１ 是反比例函数，则m 的值为 ８、在公式１－ａ ２＋ａ ＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝ ９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的 取值范围是 １０、 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口 数ｘ的函数关系式是 二、选择题：（每题3分，共30分） １１、函数ｙ＝ｘ－５中，自变量ｘ的取值范围 （ ） (Ａ)ｘ＞５ (Ｂ)ｘ＜５ (Ｃ)ｘ≤５ (Ｄ)ｘ≥５ １２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２ －２的顶点在 （ ） (Ａ)第一象限 (Ｂ) 第二象限 (Ｃ) 第三象限 (Ｄ) 第四象限 １３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为 （ ） (Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)３ １４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（ ） （A ）（－3,5） （B ）（3,5） （C ）（－3，－5） （D ）（3，－5） 16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝1 2 的是（ ） （A ） ｙ＝12 ｘ2（B ）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C ）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D ）ｙ＝ｘ2 －ｘ－2 17．函数ｙ＝3ｘ 1－2ｘ 中，ｘ的取值范围是（ ） （A ）ｘ≠0 （B ）ｘ＞12 （C ）ｘ≠12 （D ）ｘ＜1 2 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -= 专题几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为。 例2如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______． D E B C A 图1 图2 图3 例3已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于。 例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其 一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 112 C ． 4 D ．5 2 E D B C A P 图 4 图5 图6 【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ， PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A. 2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22 32cm π - 图3 B D G F F D C B A E F G 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）——三角形全等 【判定方法1：SAS 】 例1如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF 例2 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 【判定方法2：AAS （ASA ）】 例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+． 例4如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG. E B D A C F A F D E B C A D F E B C中考数学二次函数压轴题(含答案)
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