一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN?AG+
1
2
PN?BM=
1
2
PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b =??
+=?
， 解得：16k b =-??=?
，
则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN?AG+1
2PN?BM =1
2
PN?（AG+BM ） =
1
2PN?OB =12×（﹣1
2t 2+3t ）×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32（t ﹣3）2+272
，
∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，
∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，
若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，
∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，
则当y=6时，﹣
12
x 2
+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且
()6,0A -，与y 轴交于点C ．
()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC 的面积；
()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使
APC 的面积最大？若能，请求出点
P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】()1 2
134
y x x =+-；()212；()27334
APC x S =-当时，有最大值
，点P 的坐标是153,4P ??-- ???
． 【解析】 【分析】
(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；
(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF
CPF
S S
+即可.
【详解】
()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++， ∵函数图象顶点为()2,4M --，
∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14
a =
， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =
+-，即21
34
y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134
y x x =+-的图象与y 轴的交点，
∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有2
1304
y x x =
+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11
831222
ABC
S
AB OC =
?=??=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．
设(),0E x ，则2
1,34
P x x x ??+- ??
?
，
设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴60
3k b b -+=??
-=?
，
解得123
k b ?=-???=-?，
∴直线AC 的解析式为1
32
y x =--
， ∴点F 的坐标为1,32F x x ??-- ???
， 则221113332442PF x x x x x ??
=---+-=-- ???
， ∴11
22
APC
APF
CPF
S
S S
PF AE PF OE =+=
?+? 222111339327
6(3)22424244
PF OA x x x x x ??=
?=--?=--=-++ ???， ∴当3x =-时，APC S
有最大值
27
4
， 此时点P 的坐标是153,4P ??-- ???
． 【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.
3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．
①求线段PM 的最大值；
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=
9
4
；②P （2，﹣3）或
（
2﹣
）． 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?
，解得123a b c =??
=-??=-?，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=??
=-?，解得1
3k b =??=-?
， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9
4
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2
（不符合题意，舍），n 3
， n 2﹣2n ﹣
， P （
，
综上所述：P （2，﹣3）或（
，2﹣
）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
4．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =
3
4
AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（1－62
，74）． 【解析】 【分析】
已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴? 221
b
b
a -
?＝＝1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）
设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，
则
03
3
k m
m
＝
＝
+
?
?
-
?
，
∴
1
3 k
m
?
?
-?
＝
＝
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，PQ=3
4 AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=
3
2
，∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是1
2
，
∴点P的横坐标为?1
2
，
∴P（?1
2
，?
7
4
）
∴F（0，?
7
4
），
∴FC=3-OF=3-
7
4
=
5
4
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=
5
2
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=
52
-1=32． 在Rt △EGD 中，tan ∠CED=
2
3
GD EG ＝．
②P 1（，-2），P 2（1-2
-52）． 设OE=a ，则GE=2-a ，
当CE 为斜边时，则DG 2=CG?GE ，即1=（OC-OG ）?（2-a ）， ∴1=1×（2-a ）， ∴a=1， ∴CE=2， ∴OF=OE+EF=2 ∴F 、P 的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3得：或 ∵点P 在第三象限． ∴P
1（-2）， 当CD 为斜边时，DE ⊥CE ， ∴OE=2，CE=1， ∴OF=2.5，
∴P 和F 的纵坐标为：-5
2
，
把y=-
52，代入抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3得：x=1-21+2
∵点P 在第三象限．
∴P 2（-52）．
综上所述：满足条件为P 1（-2），P 2（1-2
，-52）． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
5．已知抛物线26y x x c =-++.
（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ???，求c 的取值范围.
【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是21
74
c -<< 【解析】 【分析】
(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ???可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】
解：（I ）∵抛物线2
6y x x c =-++与x 轴有交点，
∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
240b ac ∴?=-，即264(1)0c -?-?.解得9c -
（Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++
由2621
y x x c y x ?=-++?=+?，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2
(4)4(1)1240c c ?=---=+>，得3c >-.
∴方程①的解为1222x x ==
()()()()2
2
2
21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+???? 20(3)20c ∴+=，解得2c =-
（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,
0,m n m n >>≠，
2266m m c n n n c m
?-++=∴?-++=?，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-
2770m m c ∴-+-=，其中07m <<
由0?，即2
74(1)(7)0c -?-?-，得214
c -
. 当214c =-
时，7
2
m n ==，不合题意。 又70c ->，得7c <. ∴c 的取值范围是21
74
c -<< 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111
x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k
【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】
解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣
1
4
； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2，
又∵121111
x x k +=-， ∴12121
1
x x x x k +=?-， 即
2211
1
k k k +=+ ，
解得：121122
k k +==
， 又∵k ≥﹣14
， 即：k
＝
12
． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -
，两根之积等于c
a
”是解题的关键.
7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值
为317
±
或
117
±
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到
930
{
3
b c
c
-++=
=
，解得
2
{
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE=BE
DE =
1
2
，
∵∠MBA=∠BDE，
∴
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
当点M在x轴上方时，
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
解得m=﹣1
2
或3（舍弃），
∴M（﹣1
2，
7
4
），
当点M在x轴下方时，
223
3
m m
m
--
-
=
1
2
，
解得m=﹣3
2
或m=3（舍弃），
∴点M（﹣3
2，﹣
9
4
），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m=317
±
，
当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m=
117
2
±
，
∴满足条件的m的值为317
±
或
117
2
±
.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．在平面直角坐标系中，抛物线2
y ax bx c
=++过点(1,0)
A-，(3,0)
B，与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC
△，连接OD．
（1）用含a的代数式表示点C的坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若1
2
2
3
S
S
=，求a的值．
【答案】（1）(0,3)
C a
-；
(2) 抛物线的表达式为：2
52535
y x
=++；
(3) 22
a=-22
a=
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()
2
(1)(3)23
y a x x a x x
=+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB
∽，再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD
DQ BQ BD
==，即可求解；
（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，由三角形的面积
公式得到
1223S S =
，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而2
2
899m HN ON BN ??
=?== ???
，即可求解．
【详解】
（1）抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点
(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ?∠+∠=，90PDC QDB ?∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ?∠=∠=，
∴CPD DQB ∽，
∴
CP PD CD
DQ BQ BD
==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：55
a =±， ∵0a <，故55
a =-
， 故抛物线的表达式为：252535
y x x =++
； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
113
22
OBD S S OB DM DM ?==
??=， 21
12
OAC
S S m ?==??，而1223S S =，
则29m DM =
，11
299m HN DM OC ==
=， ∴1193BN BO ==，则18
333
ON =-=，
则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，
则2
2899m HN ON BN ??
=?== ???
，
解得：62m =±（舍去负值），
|3|62CO a =-=，
解得：22a =-
故：22a =-C 在x 轴下方时，同理可得：22a =22a =-22a =【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用
几何方法得出：2
2899m HN ON BN ??
=?== ???
，是本题解题的关键．
9．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ??=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边
形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：
21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．
【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则
()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--?，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：2
28y x x =-++…①， 则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2
,28D x x x -++，点(),21H x x -，
∵2DAC DCM S S ??=， 则()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--?， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±
故点(
)17,2P 或()
17,2；
综上，点()6,16P -或()4,16--或(
)17,2或()
17,2． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．已知二次函数y=﹣316x 2
+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣92
）两点． （1）求b ，c 的值．
（2）二次函数y=﹣316
x 2
+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
【答案】（1）983
b c ?=?
??=?；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣
239
168
x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣
92
）分别代入y=﹣3
16x 2+bx+c ，
得3
39164162c b c =???-?-+=-??，
解得983
b c ?=???=?；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+9
8
x+3， △=（9
8）2﹣4×（﹣3
16）×3=22564
＞0， 所以二次函数y=﹣316
x 2
+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣
316x 2+9
8
x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．
水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2
二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到 小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表： 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23 y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1 y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1； 当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围 成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎 样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如 何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b． （1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式； （3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围． 【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1 2 ，﹣ 9 4 a）；（2） 27327 48 a a --；（3） 2≤t＜9 4 ． 【解析】 【分析】 （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标； （2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可； （3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b=0，即b=-2a， ∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1 2 ）2- 9 4 a ，
∴抛物线顶点D 的坐标为（- 1 2 ，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2， 则2 222y x y ax ax a -??+-? ＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x= 2 a -2， ∴N 点坐标为（ 2a -2，4 a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ， ∵抛物线对称轴为122 a x a =-=-， ∴E （- 1 2 ，-3）， ∵M （1，0），N （ 2a -2，4 a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM = 12 |（ 2a -2）-1|?|-94a -（-3）|=274?3a ?278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+ 12 ）2+94，
图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.
【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、
第05练 二次函数与幂函数 刷基础 1．（2020·贵溪市实验中学高二期末）已知函数( ) 2 53 ()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数， 则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0 【答案】B 【解析】 由题意得2 11,530,1m m m m --=-->∴=-， 故选：B. 2．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数1y x = 、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数 的图象经过的部分是④⑧，则 可能是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y x = C ．12 y x = D ．y=x -2 【答案】B 【解析】 由图象知，幂函数()f x 的性质为： （1）函数()f x 的定义域为()0+∞， ； （2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1 f x x >； 所以()f x 可能是y x = .故选B.
3．（2019·河南高三月考）若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A 【解析】 因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x = ， 2 1ln ()x f x x -'= ，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数. 则()(3)f f π<，即 ln ln 3 3 π π < ，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 4．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是（ ） A ．2213 3 3 111252??????<< ? ? ? ?????? B ．122333 111225??????<< ? ? ? ?????? C ．212333 111522??????<< ? ? ? ?????? D ．221333 111522??????<< ? ? ? ?????? 【答案】D 【解析】 因为12x y ??= ???是单调递减函数，1233<，所以12 331122????> ? ????? ， 因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，11 52 <； 所以223 3 1152????< ? ? ???? ，
二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函
数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
题型04 二次函数的实际应用题 一、单选题 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣ 16 x 2 +bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( ) A ．2m B ．4m C ． D ．【答案】D 【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4． 所以抛物线的顶点横坐标为6， 即﹣2b a =13 b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为： y =﹣ 16 x 2 +2x +4 =﹣ 16 （x ﹣6）2 +10 当y =8时， 8=﹣ 1 6 （x ﹣6）2+10， 解得：x 1 x 2=6﹣ 则x 1﹣x 2 ． 所以两排灯的水平距离最小是 43．
故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决． 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（） A．33°B．36°C．42°D．49° 【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 该函数的对称轴x＞1854 2 且x＜54， ∴36＜x＜54， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）
圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）
二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .
二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,
填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不
二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD，
高考数学复习二次函数测试题 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为 (0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、 ()2,0B x ，且2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值 或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则 122x x f +??= ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、 ()1f 的大小关系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性 x y O
二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
秒杀二次函数综合问题(高考专题) 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知，满足1 且 ，求 的取值 范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1 和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵ ，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 例2 设 ，若 ，，, 试证
二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由
图3
4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5