石河子大学第十四届高等数学（01）竞赛试卷
一、填空题)10303(?'='
1. 设函数()f x 的定义域是[0,1]，则1
()1
x f x -+的定义域是__ ____ 2. 设)0(1)(>='a a f ，则=--→a
x a f x f a
x )()(lim
3. =+→)2sin 1sin
(lim 2
20
x x x
x x 4. 设0)1(lim 2
=--+-+∞
→b ax x x x ，则=a =b
5. 设)1arctan(lim )(2n n x x f +=∞
→，则)(x f 的间断点为
6. 曲线?--=x
dt t t y 0
)2)(1(在点)0,0(处的切线是
7. 设0
()
lim
3,()0sin x f x f x x x
→==在连续，则=')0(f 8. 设函数)(x y y =由方程y x xy +=2所确定，则==0x dy 9. 设)(x f 是连续函数，且?+=1
0)(2)(dt t f x x f 存在，则=)(x f
二、计算题（每题5分，共40分）
1、4
2
02cos lim x e x x x -→-
2、求n n n n n n )12()1(1
lim -+?∞→
3、设函数)(x f 有二阶连续导数，且0)(lim 0=→x x f x ，4)0(=''f ，求x
x x
x f 1
0])(1[lim +→
4、设函数)(2
b ax f y +=，f 具有二阶导数，求22dx
y
d
密 封
线
院 系
班
级
姓 名
学 号
院系
班级
姓名
学号
5、由方程?-=+x y dt t y x 0
22cos 确定了y 是x 的函数，求
dx
dy
6、dx x
x x
?+2
2)1(arctan
7、?-222),1
min(dx x x
8、?+20
2010ta 11
π
dx x
n
密 封 线
密封线
三、证明题（8+7=15分） 1、 设),3,2()(2 =+++=n x x x x f n
n 证明：（1）方程1)(=x f n 在),0[∞+内有唯一的实根n x （2）求n n x ∞
→lim
2、 设函数)(x f 在区间]1,0[上可微，且满足条件?=210
)(2)1(dx x f f 。试证：存
在)1,0(∈ξ使0)()(='+ξξξf f
四、应用题（8+7=15分）
1、假设曲线)10(1:L 21≤≤-=x x y 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:L ax y =分为面积相等的两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值。
2、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。
已知井深30米，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重2000N ，提升速度为3m ∕s 。在提升过程中，污泥以20N ∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉。现
将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功？（说明：抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）
院
系
班 级
姓 名
学 号