二次函数性质一览表
表达式(a≠0) a值图像
开
口
方
向
对称
轴
顶点
坐标增减性最值举例
①
y=ax2a＞0
向
上
y轴
（0，
0）
①当x＞0
时，y随x的
增大而增大
②当x＜0
时，y随x的
增大而减小
当x=0
时，y
有最小
值，即
y最小值=0
y=
4
3x2
y=3x2 a＜0
向
下
y轴
（0，
0）
①当x＞0
时，y随x的
增大而减小
②当x＜0
时，y随x的
增大而增大
当x=0
时，y
有最大
值，即
y最大值=0
y=-5x2
y=
3
1
x2
②
y=ax2+ k a＞0
向
上
y轴
（0，
k）
①当x＞0
时，y随x的
增大而增大
②当x＜0
时，y随x的
增大而减小
当x=0
时，y
有最小
值，即
y最小值=k
y=4x2+5
y=3x2-1 a＜0
向
下
y轴
（0，
k）
①当x＞0
时，y随x的
增大而减小
②当x＜0
时，y随x的
增大而增大
当x=0
时，y
有最大
值，即
y最大值=k
y=-2x2+3
y=-3x2-2
③
y=a(x-h)2a＞0
向
上
直线
x=h
（h，
0）
①当x＞h
时，y随x的
增大而增大
②当x＜0
时，y随x的
增大而减小
当x=h
时，y
有最小
值，即
y最小值=0
y=2(x-3
)2
y=
2
1(x+2
)2
a ＜0
向下
直线x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大
当x=h
时，y
有最大
值，即
y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2
④y=a(x-h)2+k
a ＞0
向上
直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小
当x=h
时，y
有最小
值，即
y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0
向下
直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大
当x=h
时，y
有最大
值，即
y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c
可化为： y=a(x+
)
2a b
2+a
b a
c 442
-
a ＞0
向上
直线x=-a b 2
（-a b
2，
a b
ac 442
-）
①当x ＞-a
b 2时，
y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小
当x=-a
b 2时，y 有最小值，即y 最小值=a b a
c 442
- y=2x 2+3x
+4
y=3x 2-3x +4 y=4x 2-3x -4 y=5x 2+3x -4
a
＜0向
下
直线
x=-
a
b
2
（-
a
b
2
，
a
b
ac
4
42
-
）
①当x＞-
a
b
2
时，y随x的
增大而减小
②当x＜-
a
b
2
时，y随x的
增大而增大
当
x=-
a
b
2
时，y
有最大
值，即
y最大值
=
a
b
ac
4
42
-
y=-2x2+3
x+4
y=-3x2-3
x+4
y=-4x2-3
x-4
y=-5x2+3
x-4
二次函数的有关知识
一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：
1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]
2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]
3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]
二、二次函数图象平移变换关系：
三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：
y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）
四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：
1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0
的解。因此利用二次函数图象可求以x 为未知
数的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的解（从图象上进行判断）。
2、二次函数y ＝ax 2+bx+c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横
坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解。
五、关于x 轴、y 轴对称的二次函数图象的关系：
二次函数y ＝ax 2+bx+c 与y ＝－ax 2+bx+c 关于x 轴对称，即关于x 轴对称的两个
二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数
和常数项相同。
六、二次函数y ＝ax 2+bx+c,当a 、b 同号时，对称轴直线x ＝－a b 2在x 轴的负半轴，即y 轴的左则；当a 、b 异号时，对称轴直线x ＝
－a b 2在x 轴的正半轴，即y 轴的右则；当c ＞0时，图象交于y 轴的正半轴；当c ＝0时图象一定过原点；当c ＜0时，图象交于y 轴
的负半轴。
七、任意一个二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0，不考虑b 和c 的取值)都可以化为
y=a(x+)2a b 2+a b ac 442
-的形式,即顶点坐标为(a b 2－，a
b
ac 442
-), 当x=-a b 2时，y 有最值，即y 最值=a
b
ac 442
-,对称轴是直线x=-a b 2.
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1
8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2
C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二： 一、全面理解二次函数的定义 （1）二次函数有四种表达形式 ①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。 ②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。 ③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 ④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 （2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。 （3）二次函数解析式的三种形式 二、掌握二次函数的图像和性质 ①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质 ②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质 ④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下 顶点坐标是（-a b 2， a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。 当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442 -； 性质： 当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小. 一、填空题 1．已知a≠0， (1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______． 2．若函数 1 22 ) 2 1 (+ + - =m m x m y 是二次函数，则m＝______． 3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______． 5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到． 6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到． 二、选择题 7．要得到抛物线 2 )4 ( 3 1 - =x y ，可将抛物线 2 3 1 x y= ( ) A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位 8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A．y＝2x2与y＝3x2 B． 2 2 12 + =x y 与2 1 22+ =x y C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2 9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数 2 3 1 x y- = 的图象相同的抛物线是( ) 2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 - 二次函数性质一览表 二次函数的有关知识 一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a ≠0)： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c [已知抛物线任意三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)可设一般式求得] 2、顶点式：y=a(x-h)2 +k [已知顶点坐标（h ，k ）和任意一点(x,y)可设顶点式求得] 3、两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2) [已知抛物线与x 轴是的两个交点（x 1，0），（x 2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得] 二、二次函数图象平移变换关系： 三、二次函数图象（抛物线）与x 轴交点情况的判断： y ＝ax 2 +bx+c （a ≠0，a 、b 、c 都是常数） 四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系： 1、二次函数y ＝ax 2 +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 +bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x 为未知 数的一元二次方程ax 2 +bx+c ＝0的解（从图象上进行判断）。 2、二次函数y ＝ax 2 +bx+c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2 +bx+c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横 坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解。 五、关于x 轴、y 轴对称的二次函数图象的关系： 二次函数y ＝ax 2 +bx+c 与y ＝－ax 2 +bx+c 关于x 轴对称，即关于x 轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数 和常数项相同。 六、二次函数y ＝ax 2+bx+c,当a 、b 同号时，对称轴直线x ＝－a b 2在x 轴的负半轴，即y 轴的左则；当a 、b 异号时，对称轴直线x ＝ － a b 2在x 轴的正半轴，即y 轴的右则；当c ＞0时，图象交于y 轴的正半轴；当c ＝0时图象一定过原点；当c ＜0时，图象交于y 轴 的负半轴。 七、任意一个二次函数y ＝ax 2 +bx+c(a ≠0，不考虑b 和c 的取值)都可以化为y=a(x+ ) 2a b 2 + a b a c 442-的形式,即顶点坐标为(a b 2－，a b ac 442 -), 当x=-a b 2时，y 有最值，即y 最值= a b a c 442 -,对称轴是直线x=- a b 2. 《二次函数的图象和性质》练习题 姓名： 班级： 一、选择题 1、下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;4 22x x y +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有（ ） A ．② B ．②③④ C ．②③ D ．②④ 2、对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是（ ） A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 3、抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A ．向下，(0，4) B ．向下，(0，－4) C ．向上，(0，4) D ．向上，(0，－4) 4、二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点（ ） A ．(0，a ) B ．(－1，－a ) C ．(－1，a ) D ．(0，－a ) 5、要得到抛物线2)4(31 -=x y ，可将抛物线231 x y =（ ） A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位 C ．向右平移4个单位 D ．向左平移4个单位 6、要得到y ＝－2(x ＋2)2－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2作如下平移（ ） A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位 7、一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝－2(x －1)2＋3 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3 D ．y ＝－(2x －1)2＋3 8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ ） A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．221 2+=x y 与21 22+=x y C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2 D ．y ＝x 2与y ＝x 2－2． 9、抛物线x x y --=221 的顶点坐标是（ ） A ．)21,1(- B ．)21,1(- C ．)1,21 (- D ．(1，0) 二、填空题。 二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，， ()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然 函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3 时，x 的值． 二次函数 2 y ax bx c =++的图像和性质 一、填空题 1．二次函数2y x 2x 3=-++的最大值为_________. 2．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__． 3．（2019·广元）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)-，(0,2)，且顶点在第一象限，设 4 2 M a b c =++，则M 的取值范围是___． 4．（2019·天水）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =﹣．则M 、N 的大小关系为M _____N ．(填“>”、“=”或“<”) 5．（2019·河南中考模拟）已知函数y ＝﹣x 2+2x ﹣2图象上两点A （2，y 1），B （a ，y 2），其中a ＞2，则y 1与y 2的大小关系是_____．（填“＜”，“＞”或“＝”） 6．已知二次函数()2 2f x x ax b =++，若()()1f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为____ . 7．把二次函数215 322 y x x = ++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________． 二、单选题 8．（2019·重庆）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ） A ．直线2x = B ．直线2x =- C ．直线1x = D ．直线1x =- 9．（2019·泸州）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤ D ．12a -≤< 2013中考集中营魔鬼训练（十六） ——二次函数的基本性质 一中考考点知识概括： 预备知识： 一．知识回顾： 1．二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的形式：一般式y=ax2＋bx＋c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2＋k(a≠0)． 3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标，对称轴，及增减性 4．一般的二次函数，都可以变形为y=a(x-h)2+k的形式，具有特点： (1)a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下． (2)对称轴是直线x=h．(3)顶点坐标是(h，k)． 二、z中考例题解析 例1．下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是，指出a、b、c． (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)； (3)y=3x(2-x)＋3x2；(4)y＝(x＋2)(2-x)；(5)y=x4＋2x2＋1． 例2．篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 例3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 例4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点抛物线的解析式． 例5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 例6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式；(2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大；(3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 例7.已知122 12 ++- =x x y (1) 把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2) 写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3) 求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4) 作出函数图象； (5) x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 二次函数基本性质1 一．选择题（共34小题） 1．下列解析式中表示关于x的二次函数的是（） A．y＝x2B．y＝2x+3C．y＝﹣D．y＝2x2﹣﹣1 2．下列函数是y关于x的二次函数的是（） A．B．y＝x+2C．y＝﹣3x2D． 3．下列函数属于二次函数的是（） A．y＝﹣3x2+1B．y＝C．y＝D．y＝2x+5 4．下列函数关系中，是二次函数的是（） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 5．下列函数中，是二次函数的有（） （1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣； A．1个B．2个C．3个D．4个 6．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（） A．2B．﹣1C．﹣1或2D．以上都不对7．已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（） A．顶点坐标为（1，2） B．对称轴是直线x＝1 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 8．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＝时，y有最小值是﹣ D．在对称轴左侧y随x的增大而增大 9．把抛物线y＝﹣2x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是（） A．y＝﹣2（x+1）2+4B．y＝﹣2（x+1）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣1）2+4D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B． C．D． 11．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（） A．直线y＝4B．直线x＝﹣3C．直线x＝3D．直线y＝﹣3 12．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（） A．或2B．或±2C．﹣4或D．1或﹣4或13．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣5 14．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（） A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）15．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（） A．（1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣1，﹣6）D．（﹣1，6） 二次函数图像与性质完整归纳 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值0． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 a > 向上 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值c ． a < 向下 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值0． 4. () 2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值k ． a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值k ． 二次函数的性质 【教学目标】 1．从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质。 2．了解二次函数与二次方程的相互关系。 3．探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值，并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 【教学重点】 二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法。 【教学难点】 二次函数的性质的应用。 【教学过程】 一、复习引入 二次函数：y=ax2 +bx + c (a 0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？ 补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立。 二、新课教学： 1．探索填空：根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____0时，y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时，y随着x的增大而减小。当x= 时，函数y最大值是____。当x____0时，y<0. y= -2x2 0 y= 2x2 y x 2．探索填空：：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2的顶点坐标 是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大。 当x= 时，函数y 最小值是____。 3．归纳： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 （1）顶点坐标与对称轴 （2）位置与开口方向 （3）增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4．探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x 2+2x ，y=x 2-2x+1，y=x 2-2x+2的图象如图所示。 （1）每个图象与x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？验证一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根吗？ （3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？ 归纳：二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， a 2 b x -=a 2b x -=a 4a c 4b 2-a 4ac 4b 2 -二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
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