基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【教学目标】
1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y
＝1x ，y ＝x 的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 【教法指导】 本节学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
本节学习难点：能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x
，y ＝x 的导数． 【教学过程】
☆复习引入☆
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
☆探索新知☆
探究点一 几个常用函数的导数
思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？
答 (1)计算Δy Δx
，并化简； (2)观察当Δx 趋近于0时，Δy Δx
趋近于哪个定值； (3)Δy Δx
趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． 思考2 利用定义求下列常用函数的导数：
①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，
④y ＝1x
，⑤y ＝x . 答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 Δy Δx
＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx
＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x
2(其它类同)， ⑤y ′＝12x
. 思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？
思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，
y ′＝4.
(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．
(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，
函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．
函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |
越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．
思考5 画出函数y ＝1x 的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．
答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x
2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x
减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．
点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－11
2＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．
例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x .
解 (1)y ′＝0；
(2)y ′＝(5x )′＝5x
ln 5； (3)y ′＝? ??
??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x
； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3
. 反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以
下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现?
????sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13
x .
例2 判断下列计算是否正确．
求y ＝cos x 在x ＝π3
处的导数，过程如下： y ′|x ＝π3＝? ????cos π3′＝－sin π3＝－32
. 解 错误．应为y ′＝－sin x ，
∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32
. 反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数．
解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x
， ∴f ′(1)＝1，
∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1.
探究点三 导数公式的综合应用
按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：
(1)可求基本初等函数图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程．
(2)知切线斜率可求切点坐标．
例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2
相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x
上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y
＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，
即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，
∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离
为
22.
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，
§函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程：复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计
函数的极值与导数教学设计 【内容分析】 本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】 （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值 函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值 函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极
《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
《导数与函数的单调性》教学设计 【课题】导数与函数的单调性 【课时】1课时 【教材分析】 导数与函数的单调性是人教版选修2-2第三章第一节的内容。函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势,是高一需要了解的知识点；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢，是高二需要掌握的知识内容。 在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。【学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础一般，高一阶段对于单调性概念的理解不够准确且现在早已忘记；同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。 【教学目标】 知识与能力： 一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。 过程与方法： 通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。 情感态度与价值观： （1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。 2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重点】
《导数与函数的单调性》教学设计 教材分析：《导数与函数的单调性》是北师大版选修2-2第三章1.1节的内容，也是高考的重点内容之一。本节内容的学习与掌握有助于学生深入的研究函数的性质，尤其借助导数知识求解函数的单调区间起到推波助澜的作用。学生已经掌握了基本的求导公式和导数的四则运算规则，对于导数也有了初步认识，通过本节课的学习，是学生认识到导数可以作为一种工具来进一步研究函数，对于求解较复杂函数的单调区间是一个捷径。 教学目标： 1．知识与技能： 理解导数与函数单调性的关系，会用导数法确定函数的单调区间，能确定函数的大致图像。 2．过程与方法： （1）通过导数与函数单调性关系的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法。 （2）通过导数法求单调区间基本步骤的形成，体会算法思想。 3．情感、态度与价值观： 通过导数法求单调区间，体会不同数学知识间的内在联系，体会导数的实用价值。 教学重点：函数单调性的判定和单调区间的求法 教学难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来 教法学法： 1、教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动--师生互动、共同探索；②导--教师指导、循序渐进 （1）新课引入--较简单的数学问题引入，帮助学生联想。 （2）理解导数的内涵，组织学生自主探索，获得用函数的导数判断函数单调性的法则。 （3）例题处理--始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）练习--深化对用函数的导数判断函数单调性的法则内涵的理解，巩固新知识。 2、学法： （1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。 （2）自主学习：引导学生动口、动脑、参与数学活动。 （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑
二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =
2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t
1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究 1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数． cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？ 2．复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？ 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.
ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数． 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1：求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系： (1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3； (3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)． 2.求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e －2x ； (3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．
§5函数与导数教案 1、曲线3123y x =- -在点（-1，-53 ）处切线的倾斜角为 2、曲线ln y x x =在点（e,e ）处切线的方程为 3、设曲线1122sin (,),(,)y x P x y P x y =在点处切线分别为12,l l ，若122PP π<，12l l ⊥ 则12,l l 与x 轴所围成的三角形的面积为 4、若曲线1x x y e e -=-在点p 处切线平行于244(3y x x =-+Q 处切线,则PQ 的斜率为 5、函数2()ln 2cos 2 x x f x x =++的单调递增区间是 6、函数2 3()x x f x e =的极大值是 极小值是 7、已知,函数36y x x =-,则当[x ∈时,y 的最大值为 8、已知曲线2x y =在点(,2)()n n P n n N +∈处的切线与x 轴相交于点(,0)()n n Q x n N +∈则 当2n ≥时,1n n x x --= 9、若函数2()2sin()cos 3f x a x a x x π=++ 在R 上是增函数,求a 的取值范围
10、设函数2 ()(1)2ln f x a x x =-+ ①若f(x)没有极值点,求a 的取值范围 ②若f(x)的极大值点为1x ,极小值点为2x ,求2x -1x 的取值范围? 11、已知332,()3,()3(1)11k R f x x x k g x kx k x ∈=-+=-+-函数, (1)若对任意1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-≥都有,求k 范围. (2)若存在1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-<使得,求k 范围
3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答）
2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t
《离散随机变量的均值》教学设计 课程内容：普通高中人教A版（数学选修2-2）第二章第6节第一课时《函数的极值与导数》。 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材1.3.2 函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用. 三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七、教学基本流程
函数与导数 诊断练习 1、曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 2、函数2ln y x x =-的单调增区间为 ，减区间为 ； 3、已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 4、函数2cos y x x =+在区间0, 2π??????上的最大值是 ，最小值是 ． 5、曲线C ：211ln 22 y x x =++的斜率最小的切线与圆221x y +=的位置关系为 典型例题 例1：（1）若函数3(3)y a x x =-在区间(1,1)-上为减函数，则实数a 的取值范围 是 ； （2）若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(14)，内为减函数，在区间()6,+∞上是增函数，是求实数a 的取值范围． （2）若函数32 4y x ax =-+在()0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；
例2：已知函数)ln()(m x e x f x +-=. (Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >. 变式：已知函数1()ln x f x x ax -=+，0a R a ∈≠且． （1） 当2a =时，求函数()f x 在??? ???1,e e 的最大值和最小值； （2） 若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；
课后练习： 1、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 2、设32 ()31f x ax x x =+-+是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 ； 3、已知0a >，函数3()f x x ax =-在区间[)1,+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ； 4、函数3()2f x x ax =-+在区间1(0,)3 上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ； 5、函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，求实数a 的值． 6、()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不 等式()0xf x >的解集为 ． 7、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 8、已知P,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 9、设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =+ +> （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32 y x = ，求,a b 的值。
《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图
《1.2.3简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 3.运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即： [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1：求函数2(32)y x =-的导数 . 问题2：考察函数sin 2y x =的导数. 【建构数学】 一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u )，u =ax +b ，则'''x u x y y u =?，''x u y y a =?即： ? 对于一般的复合函数，结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =--
§ 1.3.1函数的单调性与导数(2课时) 教学目标： 知识与能力：了解可导函数的单调性与其导数的关系； 过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函 数一般不超过三次； 情感态度价值观：运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程： 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质，我们可以 对数量的变化规律有一个基本的了解. 下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数 在研究函数中的作用. 二?新课讲授 1 ?问题：课本22页图1.3-1 ( 1 ),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 h(t) 4.9t2? 6.5t 10的图像，图1.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化 的函数v(t) =h'(t) =「9.8t 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增加而增加，即h(t)是增 函数?相应地，v(t^h'(t) 0 . (2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t的增加而减少，即h(t)是减 函数?相应地，v(t) =h'(t) ：：： 0 . 2 ?函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图1.3-3，导数f'(X o)表示函数f(x)在点(X o, y o)处的切线的斜率. 在X=X o处，f'(X o) 0，切线是“左下右上”式的, 这时，函数f(X)在X0附近单调递增； 在X =X1处，f'(X o) ：：：0，切线是“左上右下”式的, 这时，函数f (X)在X1附近单调递减. 结论：函数的单调性与导数的关系