广东省高级技工学校文化理论课教案（首页）（代号A—3）JSZ-024-2 共 5 页
科目高等数学授课
日期
2013年
12月25日
课
时
1
章节名称 2.3复合函数的导数（1）班级2013级高幼03班授
课方式讲练法、演示法、归纳法
作业
题数
3
拟用
时间
20分钟
教学目的1.理解复合函数的含义。
2.能够正确分析复合函数的结构并将复合函数拆解成
基本初等函数。
3.能够初步对简单的复合函数求导
选
用
教
具
挂
图
无
重点1.复合函数的结构分析
2.掌握复合函数求导的步骤
难
点
复合函数的结构分析
教学回顾基本初等函数类型
基本初等函数的导数公式
说明1、教材中对于复合函数求导法则的解释比较抽象，讲授时需要借助实例结合定义讲解，讲解重点放在复合函数的“拆解”上。
2、在理解复合函数定义的基础上，基本初等函数的复合较容易理解，此处不做重点讲解。
3、复合函数的结构分析为本节课的重点及难点，此处加强练习。学生理解中的难点通常在于对“基本初等函数类型”分不清，讲解中着重强调每个函数的类型。
授课人：审阅签名：
【教学回顾】（3分钟） （利用多媒体演示）
五大类型基本初等函数及导数公式。（其中a 代表任意常数）
1．幂函数： 1(-='a a ax x ）
2．指数函数：a a a x x ln ='）
（ 【特别的x x e e =')(】 3．对数函数: a x x a ln 1log ='）
（ 【特别的x
x 1
ln ='）
（】 4．三角函数：x x cos sin ='）
（ x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='
5.反三角函数：2
11)(arcsin x
x -=' 2
11)(arccos x
x --
='
211)(arctan x x +=
' 2
11
)cot (x
x arc +-=' 【新课导入】 （2分钟）
在学习完导数公式及导数的四则运算法则之后，形如：)3(sin 2'+x x ，)arctan ln 2('x x 之类函数我们都可以计算出其导数，但是函数类型也只局限于有两个或几个基本初等函数经过加、减、乘、除之后形成的函数。可计算的函数范围还是很小。
引例：2sin x y =。 （板书） 提问：这个函数中包含了哪几种基本初等函数？ 答：正弦函数（三角函数）与幂函数。
说明：两种函数并不是以加减或者乘除的形式组合在一起的，这种“组合形式”我们称之为复合函数，本节课我们就来学习复合函数的求导方法。 （板书课题）
【新课讲授】
1.复合函数 （8分钟）
在讨论复合函数求导法则之前，我们先来看一下两个函数是如何复合到一起的。 例1：已知 u y ln =，x u cos =，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将x u cos =代入u y ln =容易得到x y cos ln =。
说明：注意上题涉及到的3个函数中自变量与因变量都不相同，例如u y ln =与
x y cos ln =因变量都是y ，但是由于自变量的不同所以表示不同的函数，为了不至于混淆在表示函数时通常加上下脚标来标注自变量，即u y u ln =,x u x cos =,x
y x cos ln =.
例2：已知2
,tan ,x v v u e y x v u
u ===，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将2x v x =代入v u v tan =得2tan x u x =，
再将2tan x u x =代入u u e y =得到2
tan x
x e y =即可。 （多媒体演示师生共同解题）
2.求导法则 （3分钟）
由此可见由16种基本初等函数像是组成机器的零件，经过复合的形式“组合”到一起，可以演变出很多种函数。想要对这些函数求导我们先来看一下复合函数的求导法则：
x u x u y y '?'=' （板书）
分析：由于式子中涉及到x u u y '',两个符号，所以当我们遇到形如2
sin x y =的复合函数时，首先
应考虑将复合函数“拆解”为基本初等函数，然后分别求导，最后将求导的结果相乘即可。 即：
拆解 求导 组合（相乘） （板书）
接下来我们回顾一下我们课堂一开始提出的问题，首先我们来进行第一步：拆解。 I 拆解： （15分钟）
例3 分析下列函数结构，并求x y '。 （板书）
1）2
sin x y = 2）x e y ln =
说明：请同学们观察16条导数公式中（即基本初等函数中）每条公式包含一种运算，引导学生得到结论，复合函数都是包含有两种或两种以上的运算，若想将复合函数拆解成基本初等函数，要保证拆分后的每个函数只保留一种运算。 解：1）2x u x =，u y u sin = 2）x u x ln =，u u e y = 练习题：【课堂练习】（1）（2） 随机点提问两名学生回答问题，并进行点评
II 求导：（继续完善例3中两题的步骤）（4分钟）
1）x u x 2='，u y u cos =' 2）x
u x 1
=
'，u u e y =' 请学生对照导数公式独立完成练习（1)、（2）中的求导计算。
III “组合”（相乘） （6分钟）
1）2
cos 22cos x x x u u y y x u x =?='?'='
2）x
e x e u y y x u
x u x ln 1=?
='?'=' 说明：注意在完成第三步“组合”时，最后给出的函数形式为x y ，即必须以x 为自变
量，表达式中不可再出现中间量“u ”，需将u 代换回来。
随机点提问两名学生补充完课堂练习的求导部分。
【课堂练习】（1）)arctan(x e y = （2）4)(tan x y = 【小结】（3分钟）
1. 复合函数求导的步骤：拆解、求导、组合。
x u x u y y '?'='
2. 拆解函数过程中需注意拆分出的函数只能保留一种运算。
3. 组合时注意式子中不能再出现中间量u 。
课后思考：形如3)sin (ln x y =由3种基本初等函数复合而成的函数该如何进行求导？
【作业布置】（1分钟）
课本P55.1.（6）（7）（8）
【板书设计】
例 分析下列函数结构，并求x y '。 1）2sin x y
= 2）x e y ln =
解：
课堂练习：
)arctan(x e y = 4)(tan x y =
2.3复合函数的导数
x u x u y y '?'='
1）拆解
2）求导 3）组合
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=
《童心是小鸟》 一、教材分析： 这首歌曲为大调式，3/4拍，二段体结构。第一乐段共有四个乐句，采用了排比句式，节奏基本相同，曲中含有附点音符和休止符，使得旋律欢快跳荡;第二乐段旋律变得优美而舒展.歌曲旋律优美、舒缓，歌词富有诗意，很形象的把儿童比喻成一只快乐的小鸟，反映了他们活泼向上、充满朝气地精神风貌。 二、教学目标： 1、学生学会歌曲。能用轻盈、优美的声音，有感情的演唱歌曲。 2、感受3/4拍的节奏特点。 四、教学重点：帮助学生自主学习歌曲旋律。 五、教学难点：体会歌曲的情感，准确地表达歌曲的情绪，运用力度记号来表现歌曲。 六、教学发展点：运用轻盈而富有弹性的声音，有感情的歌唱。 七、教学准备：投影教学光盘课件电子琴小鸟卡片 九、教学过程 一、情境导入 师：亲爱的同学们！一年四季的变化，让我们的生活充满了生机与诗意，给我们的童年带来了无穷的乐趣，让我们一起走进四季，感受、体验四季给我们带来的乐趣。 （课件展示四季里童趣图片感受天真快乐的童趣） 生：说感受 [设计意图：通过课件展示童趣童乐的图片，拉近学生对童年时的美好回忆，激发学生学习的兴趣，通过教师生动形象的语言，能够和学生产生情感认同，从而达到学习的目的。] 师：四季也给老师的童年带来很多美好的回忆，我也曾在春天悄悄在栽下希望的小树，也曾在夏天追打着淘气的浪花，也曾在路边和小朋友一起拾捡秋天的落叶，也曾幻想冬天和雪孩子成为伙伴的童话梦想，童年是一幅画，童心是一首诗……（点击课件出示歌词） 师：有感情朗读歌词小诗。 二、教授新课 1、教师范唱并朗诵 师：童年不只是一首诗，它还曾是老师童年心中流淌的一首动听的歌。 [设计意图：以诗绘歌通过教师生动的诗朗诵和生动形象的语言勾起学生对美好童年的
高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；
简单复合函数的导数 1. 函数f(x)=cos(?2x)的导函数是( ) A.2cos2x B.?2cos2x C.2sin2x D.?2sin2x 2. 已知函数f(x)=e2x+1?3x，则f′(0)=( ) A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3 3. 设函数f(x)=?cos x?x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( ) A. B. C. D. 4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π 6,f(π 6 ))处的切线的斜率为( ) A.1 2B.√3 2 C.?1 2 D.?√3 2 5. 函数f(x)=ln x x ，则f′(e)值为( ) A.0 B.1 C.1 e D.1 e2 6. 若函数f(x)=(2x?x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（） A.2(x+1)e x B.(2?x2)e x C.(2+x?x2)e x D.2(x?1)e x 7. 已知函数f(x)=x3?2x2+x?3，则f′(2)=( ) A.?1 B.5 C.4 D.3 8. 已知函数，则的导函数() A. B. C. D. 9. 函数y=x2sin x的导函数为________. 10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________. 11. 设函数f(x)=x2+1 e x . (1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程． 12. 求下列函数的导数： (1)f(x)=x3+6x?2 ； x (2)f(x)=cos x ； e x x. (3)f(x)=(x?1)2log 2 13. 已知函数f(x)=(2x?1)2+5x． (1)求f′(x)； (2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数. (1)y=e x ； x (2)y=(2x2?1)(2x+1)+2sin x?cos x.
《童心是小鸟》教学设计 基本信息 学科音乐年级五年级教学形式唱歌 教师王超群单位合肥市颐和佳苑小学 课题名称《童心是小鸟》 学情分析 五年级学生经过一定时间的音乐课学习，已具备一定识谱的能力，节奏感较好。所以教学中教师应运用多种教学方法引导学生乐学，激发孩子对生活的热爱，从而达到有感情的表现歌曲，以情带声。 教学目标 1、情感态度和价值观：通过对于歌曲的学习，学生能够通过音乐表达对于童年美好生活的热爱。 2、知识与技能：能够用活泼、快乐富有弹性的声音有感情的演唱歌曲。 3、过程和方法：通过聆听、合作演唱的方法，表现歌曲的美好感情。 教学过程 导入：通过分享四季的感受和趣事体会四季给童年带来的欢乐。（多媒体播放《童心是小鸟》FLASH） 新授课： 一、聆听与感受 1、初听歌曲，感受歌曲的情绪。 师：同学们，首先让我们来仔细聆听这首歌曲，体会一下这首给你带来了怎样的感受呢？ 2、再次聆听，了解歌曲的节奏。 师：这是一首活泼快乐，旋律十分优美的歌曲，那么下面让我们再来听一下这首歌曲，之后我将请一位同学告诉我这首歌的节拍是什么样的呢？ 师：歌曲听完了，那么哪位同学可以告诉我问题的答案呢？ 师：这是一首4/3拍的歌曲，三拍子的强弱规律是强-弱-弱。请大家一起伸出你们的双手击打三拍子的强弱规律。 3、全体起立，跟着歌曲的旋律一起律动。 二、教唱歌曲 1、朗诵歌词。（多媒体展示大歌片） （1）学生集体朗诵； （2）教师朗诵； （3）对比教师和学生朗诵之间的不同； 总结：老师读的有长的地方、有停顿的地方，是有节奏的读出了歌词，注意了节奏中的休止符以及停顿部分。
（4）全体带上节奏有感情的齐读歌词。 2、教师教唱歌曲 （1）教师有感情的范唱歌曲，学生小声跟唱 （2）教师放慢弹奏速度，学生用“LA”歌曲 （3）处理在学唱中遇到的附点四分音符的节奏 （4）再次齐唱歌曲，教师通过对比教学法教授休止符的唱法 （5）教师钢琴伴奏，全体代入歌词齐唱歌曲。 （6）播放录音范唱，引导学生用欢快活泼的声音、喜悦饱满的情绪演唱歌曲。 三、教学延伸，创作表现 1、老师想问大家一个问题：为什么音乐家把歌名定为《童心是小鸟》呢？ 生讨论回答：把童心比做小鸟，表达了少年儿童美好幸福的童年时代，就像小鸟在大自然的怀抱中一样，快乐、美好、无拘无束。 师：同学们优美的歌声让老师仿佛回到了美好的童年，小鸟在空中自由的飞翔，同学们的歌声在上空快乐的回荡，童年真美好。 2、唱一唱，跳一跳 师：今天老师为大家带来了一些小鸟的头饰，那么下面我们把全班同学分为二组，一组同学演唱，一组同学带上小鸟的头饰表演，同学让我们一起化身为快乐的小鸟，唱起来，跳起来，自由的飞翔在童年的天空中。 四、小结 师：童心是美好而纯真的，但我们不会独自享受快乐，从小我们就应该懂得分享，通过我们这一节课的共同努力，我发现同学们的歌声越来越美了！现在就让我们把那快乐的歌声传向远方，让我们乘着歌声的翅膀在音乐的天空自由飞翔！（播放《童心是小鸟》），在歌声中结束这节课！ 板书设计
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√) 2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×) 3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√) 一、求复合函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝1 (1－3x)4 ； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解(1)令u＝1－3x，则y＝1 u4＝u －4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝ 12 (1－3x)5 .
(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2 (2x ＋1)ln 2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋ 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝ 1 1－2x ； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ????2x ＋π3. 解 (1)() 12 =12,y x -- 设y ＝12 u -，u ＝1－2x ， 则y ′x ＝()1212u 'x '?? - ???- ()32212u -?? -? ??? ＝－ ()32 =12x .- - (2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝ －5u ln 2＝5 (x －1)ln 2 .
小学四年级音乐上册教学设计 《童心是小鸟》教学设计 【教学目标】 1、知识目标：在歌曲中演唱感受3/4拍，准确掌握附点四分音符节奏。 2、能力目标：能学会演唱歌曲《童心是小鸟》，用轻盈而富有弹性的歌 声表现愉快的精神面貌。 3、情感目标：力求从听，辨，感等教学活动中丰富学生的情感体 验，帮助学生更好的理解音乐，感受音乐，表现音乐。 【教学重点】 1、指导学生用轻盈有弹性的声音表现歌曲的情感 2、用歌声表现两段曲式的对比关系 【教学难点】 感受3/4拍节奏特点，附点四分音符及休止符的准确演唱【教学切入点】 以培养学生聆听能力为切入点，激发学生感受、表现音乐兴趣，充分发挥想象力，逐步培养学生音乐情感的表达能力。 【教学过程】 一、组织教学 二、创设情境，基本练习 1、用柯尔文手势训练音高 3、5、6、3、5、2、 4、3、1、2 师：上课前给同学们请来了几个音符小朋友，不知同学们还认识它们么 2、将所练习的音组成歌曲中某段旋律进行演唱 啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦师：我们给这些音符朋友安排座位，将它们排在一起，用“啦”唱出它们
师：这是几拍子的？有什么特点呢？介绍3/4拍子歌曲特点是强、弱、弱 （设计意图：培养学生音准能力；感受3/4拍节奏特点，为学习新歌曲减轻难度） 三、导入新课 1、多媒体幻灯片出示许多“心”的形状 （设计意图：让学生给心取名字，揭示出“童心”，激发学生兴趣，启发学生想象力） 2、聆听歌曲，感受体验 学生边听边思考，这首歌曲的情绪是怎样的 师：这首歌叫做《童心是小鸟》，歌中描述了哪几个季节的美？大家能从歌词中发现“我”都和谁成了好伙伴呢？ （设计意图：在每一遍聆听前给学生提出问题，让学生带着目的去听，激发学生听赏的专注力，听懂歌词内容，重视“听”的教学。） 四、学唱歌曲 1、带着感情有节奏地朗读歌词（教师教一遍，师生接力一遍） 师：童年是多么美妙的时光，让我们一起在诗歌中放飞我们的童心吧！ 师：请同学们再观察这四条节奏，找出不同的地方 （设计意图：从直观的节奏谱让学生快速发现曲中的不同之处，强调休止符与附点节奏的演唱，将重难点贯穿在学唱中，较快的掌握歌曲难点） 2、趣味感受四季，走进歌曲。 师：同学们的声音真好听，我想，如果让这些优美的文字化成一个个快乐的音符，再用动听的声音唱出来，那一定更美，同学们想听吗？（老师跟伴奏范唱，带上头饰） 3、分四季进行教唱，引出歌谱 ①快乐童年之旅第一站——春天 ②快乐童年之旅第二站——夏天 ③快乐童年之旅第三站——秋天 ④快乐童年之旅第四站——冬天
高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→=
高高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对 称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ）
高三数学复习教案：简单复合函数的导数 【高考要求】：简单复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则 ___________.(4)若，则 ___________. 3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数. 4.函数的单调性是_________________________________________. 5.函数的极大值是___________. 6.函数的值,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值. 【矫正反馈】 1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________. 2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.
(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是 ____________. 4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________. 5.曲线上的点到直线的最短距离是___________. 【迁移应用】 1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围. 2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.
《童心是小鸟》 --玄钟小学林元瑛 教学内容： 1、能学会唱歌曲《童心是小鸟》，并在欢快的学唱活动中展示自我，从中感受歌曲演唱给孩子们带来的快乐。 2、能从模仿和听赏中学会正确的发声方法，养成良好的演唱习惯，并能对他人的演唱作出相应的评价。 教学重点： 1、学好歌曲《童心是小鸟》。 2、运用正确的发声方法歌曲。 教学难点学唱〈童心是小鸟〉 教具准备：多媒体电子琴 教学过程： 一、师生问好 二、童之趣——歌曲演唱《童心是小鸟》 1、找童趣（体验歌词） 师：童年是快乐的，四季是多彩的。每一个季节豆油自己的声音、自己的故事。同学们，在你的心中最喜欢哪个季节呢？在这个季节里又有哪些有趣的事呢？ （1）小组讨论，学生谈自己心中的四季趣事。播放《童心是小鸟》的旋律。 （2）指名发言。 （3）学生朗诵歌词，体验歌词。 师：老师把四季的故事编成了一首小诗送给你们，诗名叫“童心是小鸟”，请大家仔细听，认真看。 (4) 诗中的四季童趣表现在那些地方呢？ 2、唱童趣（体验旋律） 听一听： 聆听《童心是小鸟》，感受歌曲的节奏。
师：这是几拍子的歌曲？ 生：这是一首三拍子的歌曲。 敲一敲： 复听歌曲 师：你听到了哪几种节奏型呢？请想一想并把节奏敲出来。 想一想：31 51 3| 6 5 0|16 4 |65 5 – | 31 51 3| 6 505|16 4| 45 6–| ①这两个乐句有什么不同之处？ ②休止符你觉得怎样唱才好？ ③指出附点四分音符，引起学生的注意。 ④师生对比地唱一唱。 找一找： 师：仔细聆听歌曲，你能听出有几处地方带有附点四分音符节奏的地方？请用手势表示出来。 （2）演唱歌曲 ①请音乐基础好的同学先跟钢琴用“la”哼唱旋律，其余同学认真听，然后给予评价。 ②师：你会唱哪一句或你觉得哪一句最难唱？ （对于学生提出来的难点，大家共同解决，并试着唱一唱） ③全班同学跟琴哼唱旋律。 ④全班同学跟琴唱歌词。引导学生用喜悦欢快的情绪、有表情地演唱歌曲。 ⑤分角色演唱歌曲。将学生分成春夏秋冬四组，每组演唱一个乐句，结尾部 分合唱。 ⑥请学生为歌曲创编律动并进行表演，同学评价。 ⑦全班同学怀着喜悦欢快的情绪，有感情地完整地演唱歌曲。 3、编童趣（创编歌词） （1）分组作诗 师：同学们，你能将自己心中有趣的四季生活编入歌中吗？下面就让我们放
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
1.2.3 简单复合函数的导数 明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积． 探究点一复合函数的定义 思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))． 思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答A?B. 小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的； (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；
第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数
（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】