空间中的垂直关系专题训练
知识梳理
一、线线垂直：
如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.
二、线面垂直：
1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个
平面内的_________________，则称这条直线和这个平
面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那
么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面
α互相垂直，记作l⊥α.
2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂
直.
推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.
推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.
3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.
三、面面垂直：
1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交
所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.
2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.
3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于
另一个平面.
四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.
2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.
3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质
例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E
是PC的中点.求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．
（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．
【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣
﹣﹣（5分）
（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，
∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE．
【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．
（Ⅰ）证明：EA⊥PB；
（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．
【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD
为等边三角形，
又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．
而AB∩PA=A
所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．
（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．
连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，
所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．
而BM∩MG=M
所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．
【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．
（1）证明：AA1⊥BD
（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵ A1O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，∴ A1O⊥BD，又
∵ A1O∩AC=O，A1O?面A1AC，AC?面A1AC，
∴BD⊥面A1AC，AA1?面A1AC，∴ AA1⊥BD．
（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．
（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，
在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，
∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD?A1O=?（）2?=
∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．
【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥平面BCC1B1
（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；
（3）证明：B1E⊥AF．
【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥ BC．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，
∴ BB1⊥平面ABC，
∵ AE?平面ABC，
∴ BB1⊥ AE，…．（2分）
又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）
BB1，BC?平面BB1C1C，
∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）
（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB 1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣
S△CFE=4×=11．…（6分）
∴=?AE==…（7分）
（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E?平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，
EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）
又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF?平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）
∵ AF?平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）
【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．
【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD
是正方形，∴BC⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC?平面PCD，∴
PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，
∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵ E是PC的中点，
∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G
=GC?S△DEC=××1=．
﹣DEC
（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD
于点M，则PA∥平面MEG．
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO?
平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG．
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．
∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1
（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1
∵ BB1⊥平面A1B1C1
∴ B1C1⊥BB1
∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1
∴ B1C1⊥平面A1B1BA
∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1
∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1
（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设
AB=a，CE=2a，∴，∴，，
DE=，∴，∴A1E⊥A1D…
∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又
A1E?平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD
【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．
又因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC．
又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．
（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。又∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．
【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．（1）证明：CD⊥B1C1；
（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，
由D为AA1的中点，则DC=DC1，
又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，
则CD⊥ DC1，
而CD⊥ B1D，B1D∩DC1=D，
则CD⊥平面B1C1D，
由于B1C1?平面B1C1D，
故CD⊥ B1C1；
（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，
且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，
V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1?B1C1=×?B1C13=B1C13，
V=V ABC﹣A1B1C1=AC?BC?CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，
故这两部分体积的比为1：1．
【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．
（1）求证：D1E⊥A1C1；
（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；
（3）求几何体ABED1D的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正
方形，
所以A1C1⊥B1D1．
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
又A1C1?平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．
因为DD1∩B1D1=D1，DD1?平面BB1D1D，B1D1?平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．
又D1E?平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）
（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．
因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．
所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以
．…（8分）
（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．
因为==，点A到平面BED 1D的距离h=，
所以几何体ABED 1D的体积为：=．…（13分）
题型二面面垂直的判定
例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，
D、E分别是BC、CA的中点.
（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.
【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为
AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
证明：平面AEC⊥平面BED.
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；
【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD?平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH?平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．
【变式3】如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．求证：平面BCD⊥平面ABC．
【解答】因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
所以AB⊥CD．
又CD⊥BC，AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC．
又CD?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ABC．
【变式4】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是
PD，PC，BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．
【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?
平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…（3分）
又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）
（2）∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，
∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，
∴V M﹣EFG=V D﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形
∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）
因此，三棱锥M﹣EFG的体积V M﹣EFG=V D﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）
【变式5】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，
AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，
AF=．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此多面体的体积．
【解答】证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，∵PF∥DE，且FP=1又AB∥DE，且AB=1，∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（2分）又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，∴AF∥平面BCE（4分）
（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，．所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，∴DE⊥AF.
又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE.
（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）【变式6】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又
∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB?平
面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则
CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．
连接AB
，则=?CO=×AB2?CO=．
∵====，∴V 三棱柱=2．
【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并
进行证明；若无，请分析说明理由．
【解答】（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；
∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；
∵DC=2AB；∴；∴；
∴在PC上取F，使；连接OF，则OF∥PA，而OF?平面BDF，PA?平面BDF；
∴PA∥平面BDF．
题型三：面面垂直性质应用
例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB.
【变式1】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD
是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面
PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，
BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG
的体积．
【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD?平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD。又∵△PCD中，E、
F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD. ∵EF?平面EFG，∴平面EFG
⊥平面PAD。
（2）∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴V M﹣EFG=V D﹣EFG，
取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，∴EF⊥EH
于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形，∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，
因此，三棱锥M﹣EFG的体积V M﹣EFG=V D﹣EFG=×S△EFG×=．
【变式2】已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你
的结论．
[解析] (1)证明：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.
又△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.
∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE. ∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.
又PG?平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.
题型四求点面的距离
例4.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A A1=5，AB=12，求直线B1C1到平面A1BC D1
的距离.
【变式】如图，在四棱锥P﹣
ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ AP=AB，E是PB的中点，∴AE⊥ PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥ BC且PA∩AB=A∴BC⊥
平面PAB，∵AE?平面PAB，∴AE⊥ BC，∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥ PC．…（6分）
（Ⅱ）解：设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，
，∴点A到平面PBD的距离为．
课后作业
1. 对于任意的直线l 与平面α，在平面α必有直线m 与l （ ）
A. 平行
B.相交
C.垂直
D.互为异面直线
2.若平面α⊥平面β，l =βα ，点l P ,P ?∈α，则下列命题中的真命题有 （ ）
①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线在α内； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内. A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②③④ 3.空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC,BD ⊥AD ，那么有（） A.平面ABC ⊥平面ADC B.平面ABC ⊥平面ADB C.平面ABC ⊥平面BDC D.平面ADC ⊥平面BDC
4.若 m,n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m ?β, α⊥β，则m ⊥α B.若α∩γ=m ,β∩γ=n ，m ∥n, 则α∥β C. 若m ⊥β,m ∥α,则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 6.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形， 侧棱PA=a ，PB=PD=2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有 对. 7.三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点O ，P 到三个平面的距离 分别是3，4，5，则OP 的长为____________________. 8. 已知空间四边形ABCD 中，AC=AD ，BC=BD ，且E 是CD 的中点. 求证：(1) 平面ABE ⊥平面BCD ；
(2) 若F 是AB 的中点，BC=AD,且AB=8，AE=10，求EF 的长.
B
C
D
A
E
O
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D C B
A
9.直角三角形ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC ，D 为斜边AC 中点. （1）求证：SD ⊥平面ABC ； （2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面
SAC.
10. 在正方体1AC 中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于O ， 求证：1AO 平面BDM.
D S
C
B
A
11. 已知直三棱柱1AC 中，ABC ?为等腰直角三角形，090BAC ∠=，且，
12AB AA ==，,E F 分别为1,CC BC 的中点 .
（1）求证：1B F
⊥平面1AEF ；
（2）求三棱锥1E AB F -的体积.
F
E C 1B 1
A 1
C
B
A
空间垂直关系的相互转化 山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰 空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者进行合理的转化。 线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示： 线线垂直线面垂直面面垂直 （1） （2）（3）（4） 其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 （2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。 （3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的。 例1、设ABCD 是空间四边形，,AB AD CB CD ==. 求证：AC BD ⊥. 【证明】如右图，设BD 的中点为K ，连结,AK CK . AB AD =Q ，K 为BD 的中点，AK BD ∴⊥ 同理CK BD ⊥. 又,,AK CK K BD AKC =∴⊥I 面 又,.AC AKC BD AC ?∴⊥面 【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程为线线垂直→线面垂直→线线垂直。 例2、如右图，已知平面PAB ABC ⊥平面， 平面PAC ABC ⊥平面，AE PBC ⊥平面，E 为垂足. （1） 求证：PA ABC ⊥平面； （2） 当E 为PBC ?的垂心时，求证：ABC ?是直角三角形.
空间中得垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直: 如果两条直线于一点或经过后相交于一点,并且交角为 ,则称这两条直线互相垂直、 二、线面垂直: 1、定义:如果一条直线与一个平面相交,并且与这个 平面内得_________________,则称这条直线与这个平 面垂直、也就就是说,如果一条直线垂直于一个平面, 那么她就与平面内任意一条直线都、直线l与平面 α互相垂直,记作l⊥α、 2、判定定理:如果一条直线与平面内得直线垂直,则这条直线与这个平面垂 直、 推论①:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这个平面、 推论②:如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行、 3、点到平面得距离: 长度叫做点到平面得距离、 三、面面垂直: 1、定义:如果两个相交平面得交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交 所得得两条交线 ,就称这两个平面互相垂直、平面α,β互相垂直,记作α⊥β、 2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面得___________,则这两个平面互相垂直、 3、性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于另 一个平面、 四、求点面距离得常用方法: 1、直接过点作面得垂线,求垂线段得长,通常要借助于某个三角形、 2、转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面得距离来求解、 3、体积法:利用三棱锥得特征转换位置来求解、 题型一线线垂直、线面垂直得判定及性质 例1、如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E就是PC得中点、求证: (1)CD⊥AE;
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. , 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. ; 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； @ (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分） ~ （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是C1C、B1B的中点， ∴CE∥B1F且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴EF∥BC且EF=BC
空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
空间中的垂直关系(带 答案)
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角 为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且 和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线 与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第 三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
空间中的垂直关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 理解空间中三种垂直关系的定义； 掌握空间中三种垂直关系判定及性质； 用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题． 一、直线与平面垂直 1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直． 2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离 3.直线和平面垂直的判定 4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面． 符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a?α，b?α?l⊥α， 如图： (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 符号语言：a∥b，a⊥α?b⊥α， 如图：
5．直线与平面垂直的性质 (1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b， 如图： (2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． 符号语言：a⊥α，b?α?a⊥b， 如图： 6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影 (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点． (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、直线和平面平行 1．平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β. 2．两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示：a⊥α，a?β?α⊥β， 如图： 3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面． 符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B为垂足?BA⊥β，
空间中的垂直关系 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α?b⊥α． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________． 3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直． 自查自纠： 1．直角 2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线 直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行 3．锐角[0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°] 5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线 (2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：①α⊥β?l ∥m；②α∥β?l⊥m；③l⊥m?α∥β；④l∥m?α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④ ． (2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
！ 空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 ！ α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. — 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 】
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 《 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣ ﹣﹣（5分） - （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则
空间中的垂直关系练习题 知识点小结 一．线面垂直定义：如果直线AB 与平面α相交于点O,并且和这个平面内过交点O 的任何直线都垂直，我们就说直线AB 与平面α互相垂直，直线AB 叫做平面α的_________，平面α叫做直线L 的_________,交点P 叫做_________。 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的_________，垂线段的长度叫做点到平面的_________。 由定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么_____________________________。 二．判定定理：如果一条直线与平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直。 符号语言： 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么__________________________。 推论2 如果在两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线_________。 三．平面与平面垂直的判定 1.平面与平面垂直定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与_________________互相垂直，就称这两个平面互相垂直。 2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的_________，则两个平面互相垂直。 3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么_____________________________________。 一．选择题 1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 2.个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥ γ，则α与β （ ） A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上三种可能都有 3.下列命题正确的是( ) A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 4.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β； ③l ∥α，l ⊥β?α⊥β. 其中的真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面
空间的垂直关系 一、基础梳理 1．直线和平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线 ．．．．．．都垂直，我们就说 这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα ⊥。 说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m?α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。 （2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。 （2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 ．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝ 。简称：“线线 ．．垂直 ?线面垂直” 定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。”已知：a∥b，a⊥α。则：bα ⊥。（ 3）直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。简称“线面垂直?线线平行”。已知：, a b αα ⊥⊥，则：// a b。 2. （1）平面的斜线、垂线、射影 ①垂线： 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 ②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。 ③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。 练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。（） （2）①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_____________； ②直线,a b在α 上的射影是两条相交直线，则a与b的位置关系是__________________； ③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，则这两条直线的位置关系是_____________。 （2）射影长相等定理 从平面外同一点 ．．．．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长。 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短。 几个常见模型的射影位置： D D , , )D
空间中的垂直关系（一） 【知识概述】 垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直），提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、几何直观能力以及计算能力. 1.线线垂直 如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直.（线面垂直?线线垂直） 2.线面垂直： 方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直?线面垂直） 方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直+线线垂直?线面垂直） 3．面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直?面面垂直） 4.垂直?平行 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 【学前诊断】 1．[难度] 易 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 2．[难度] 易 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．[难度] 中 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （1）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （2）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
《空间中的垂直关系一》复习课教案 临潼区华清中学：张胜利 一．教学目标 1、知识与技能 （1）.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 ◆出垂直于同一个平面的两条直线平行 ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (2).能运用公理、定理及已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题. (3).能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理） 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养学生对知识的归纳总结能力，对知识的灵活应用能力。 3、情感态度与价值观： 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 二、重、难点分析： 1、重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。 2、难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用。 三、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《空间中的垂直关系 的复习课》，重点是理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。 2、教学手段：利用多媒体和导学案，导学案把大容量的信息提前呈现给学生，让学生提前思考，培养学生自学能力；多媒体演示使空间图形更加直观；利用黑板适当的板书弥补导学案在即时信息，反馈和信息的储存方面的不足。
【例1】 下列说法正确的有 ． ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． ②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直． 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线， 该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线； ②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线可以不垂直于这个平面，并且可以与这个平面相交，平行或在平面内； ③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直线作一个与此平面相交的平面，交线即满足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线； ④错误，可以在此平面内，或与此平面平行； ⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直； ⑥正确，比如正方体上底面的两条相邻的棱互相垂直，且都与下底面平行； 【答案】正确的说法有③⑥． 【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个． 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】一个可行的例子如下：ABC ?为直角三角形，B ∠为直角， 直线PA ⊥面ABC ，D 为直线PA 上异于A 点的任意点，则四棱锥D ABC -的4个面均为直角三角形．（学生可以试着证明） 【答案】4； 【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ． 典例分析 板块五.垂直关系的判断与证 明
第58讲 空间的垂直关系 【考点解读】 1.理解直线与平面的垂直关系，理解线面垂直、面面垂直的定义，掌握线面垂直、面面垂直判定定理及性质定理、三垂线定理及性质定理，并能灵活运用. 2.掌握空间的垂直关系的互相转化，并能灵活应用. 3.规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力. 【知识扫描】 1．直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质 若a ⊥α，b ?α则 若a ⊥α，b ⊥α则 若a ⊥α，a ⊥β则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 6．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 7．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直． 8．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面． 9．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ． 10．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ． 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 11．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB ⊥α，B 为垂足，AC ?α，∠OAB ＝1θ，∠BAC ＝2θ， ∠OAC ＝θ，则cos θ＝ ． 12．直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角． 斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． C O B A
第64题 空间垂直关系的证明 考向1 空间直线与直线垂直 【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形， 1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明： 1B C AB ⊥； （2）若11,3AC AB CBB π ⊥∠=， 1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高． 【例2】．【2018临海市级联考】如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1CC ⊥底面,3,4,5ABC AC BC AB ===, 点D 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证1//AC 平面1CDB . 【例3】【遵义市2018届高三联考】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的 菱形， 60BAD ∠=?.已知2PB PD ==， PA = （Ⅰ）证明： PC BD ⊥； 、
2.【2017昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱A BE D CF ''-中，A B A F ''=， 2BE EF ==． （Ⅰ）证明：A E '⊥BF ； （Ⅱ）若60BEF ∠=，2A E B ''==，求三棱柱A BE D FC ''-的体积． 3.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中， 2,1AC CE ==，平面ABC ⊥平面ACEF ． M 是线段EF 上的一个动点． （1）若BM AC ⊥，确定M 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥C ABM -的体积． 考向2 空间直线与平面垂直 【例1】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥P ABCD -中， 90ABC BAD ∠=∠=?，22BC AD ==，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （1）证明：CD ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．
高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． 1 A II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=， 且四棱锥P-ABCD 的体积为 8 3 ，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）326+． 【解析】分析：（1）由AB AP ⊥，AB PD ⊥，得AB ⊥平面PAD ；（2）设AB x =，则四棱锥 P ABCD -的体积 311 33 P ABCD V AB AD PE x -= ??=，解得2x =，可得所求侧面积． 解析：（1）由已知90BAP CDP ==?∠∠，得 AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ?平 面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ． 由（ 1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知 可得AD = ，PE x = ．故四棱锥 P ABCD -的体积 311 33 P ABCD V AB AD PE x -=??=．由题设得 318 33 x =，故2x =．从而2PA PD ==， AD BC ==，PB PC ==．可得四 棱 锥 P A B - 的 侧面积为 112 2 PA PD PA AB ?+?
空间中的垂直关系 1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行 ．．．与β平行的直线 ．．．，则在α内不存在 D．若m，n不平行 ．．．垂直于同一平面 ．．．，则m与n不可能 可以结合图形逐项判断． A项，α，β可能相交，故错误； B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误； D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确． 2．(2017·东城区校级月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C) A．若α∥β，l?α，n?β，则l∥n B．若α⊥β，l?α，则l⊥β C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥n，m⊥n，则l∥m A选项中，α∥β，l?α，n?β，则l与n还可能异面； B选项中，α⊥β，l?α，则l与β还可能斜交或平行； C选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的； D选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m还可能相交或异面，选C.
3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．平面ADE⊥平面BCE因为BE⊥AE，BE⊥DA ?BE⊥平面ADE?BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE⊥CE.故A、B、D都为真命题． 对于C，假设DE⊥CE，又DE⊥BE?DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE?DE∥AE，这显然矛盾．故选C. 4．α，β，γ为不同平面，a，b为不同直线，给出下列条件： ①a⊥α，β∥a; ②α⊥γ，β⊥γ； ③a⊥α，b⊥β，a⊥b; ④a?α，b?β，a⊥b. 其中能使α⊥β成立的条件的个数为(B) A. 1 B．2 C. 3 D．4 根据面面垂直的定义与判定，只有①和③能使α⊥β， 选B. 5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取AB＝4，AC ?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，且AC＝3，BD＝12，则CD ＝13. 连接AD，则 CD＝AC2＋AD2＝AC2＋AB2＋BD2＝13. 6．已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，