教师教案
学生教师班主任学科日期课时
教学内容圆的概念与性质
教学重难点圆的相关概念，圆心角定理的应用，垂径定理及应用
2.1圆
知识点1：圆的概念及与圆的相关概念
1.圆的概念
2.与圆有关的概念
典型例题
考点1：命题判定
例1以下命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤圆心相同的圆是同心圆．其中正确的命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2下列命题中是真命题的有 ( )
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．
A．3个B．4个C．5个D．6个
考点2：圆的性质应用
例1 如图，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，DC、EB的延长线相交于点A．若∠A＝20°，AB＝OC，求∠EOD 的度数．
考点3：利用圆的性质进行证明
例1 如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF与∠OFE的关系．
例2 如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，
∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
知识点2：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
设⊙o的半径为r，点P到圆心O的距离为d，用图形表示点与圆的位置关系如图所示。
典型例题
考点1：利用数量关系判断点与圆的位置关系
例1 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
考点2：利用点与圆的位置关系求圆的半径范围
例1已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，若以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是( )
A．r>15 B．15 能力提优 题型1：圆的性质和矩形性质综合 例1 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( ) A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a 题型2：点与圆的位置关系中分类讨论思想 例1 若⊙O所在平面上的一点P到⊙O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为 题型3：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明 例1已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上． 例2如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD． 求证：A、E、C、F四点共圆； 2.2圆的对称性 知识点1：圆的对称性 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。 注意：（1）圆的对称轴有无数条。（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。 典型例题 考点：命题判定 例1下列说法正确的是（） A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 典型例题 考点1：利用圆心角性质和推论求角度 =，∠1＝25°，则∠2＝_______． 例1 如图，在⊙O中，AC BD =，∠A＝30°，则∠ABC＝_______． 例2如图，在⊙O中，AB AC 例3 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为70°，则∠AOC＝_______． 考点2：利用圆心角性质和推论求弦长和线段长 ，若AC=3，则BD=__________． 例1如图，在☉O中，AD BC 例2如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，AB＝6 cm，∠ABC＝∠BAC，AB与OC相交于点M，求AM的长． 考点3：利用圆心角性质和推论进行证明 例1 如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD． 例2如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试问： (1) OE等于OF吗？ (2)AC与BD有怎样的数量关系？ 例3如图，AB是⊙O的直径． (1)若OD//AC，CD与BD的大小有什么关系？为什么？ (2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由． 知识点3：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1.?1的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是?1的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把?1的圆心角所对的弧叫做?1的弧。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形） （2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。 典型例题 考点：求圆心角 例1如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，则∠AOC＝_______°． 例2 ☉O的一条弦AB把圆分成2：3两部分，则弦所对的圆心角为__________0． 能力提优 题型1：利用圆心角性质和推论比较弦长和弧长的大小 例1 如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是( ) A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定 例2 如图，在同圆中，若AB＝2CD，则AB与2CD的大小关系是( ) A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定 题型2：圆心角性质和推论与综合证明 例1 如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连接BD，DE． 求证：BD＝DE. 例2 如图，点O在∠MPN的平分线上，☉O分别交PN、PM于点A、B和点C、D． 求证：∠PCO=∠NAO． 知识点4：垂径定理及垂径定理的推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 定理的条件：（1）直径，弦（2）直径垂直弦 定理的结论：（1）弦被直径平分（2）弦所对的两条弧被平分 2.垂径定理的推论 如果一条直线具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径的弦）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”。 注意：在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件。因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直。 典型例题 考点1：命题判定 例1下列说法中，不成立的是 ( ) A ．弦的垂直平分线必过圆心 B ．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦 C ．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧 D ．垂直于弦的直径平分这条弦 例2下列四个命题中，叙述正确的是 ( ) A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．平分一条弦的直线必经过这个圆的圆心 考点2：利用垂径定理求弦长和半径 例1 （2013潍坊）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为 ． 例2 （2015?黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD =4，AE =1，则⊙O 的半径为 ． 例3如图，已知⊙O 的半径为r ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长为 ( ) A ． 2 3 r B ．3r C ．23r D ．43r 例4如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，求AB 的长． 考点3：垂径定理解决平行弦问题 例1 ⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，求AB 和CD 之间的距离． 考点4：垂径定理与三角形性质综合应用 例1如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝5，CB＝12，则AD＝_______． 例2如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 ( ) A．10 B．23 C．32 D．13 考点5：垂径定理在实际中的应用 例1工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是_________mm． 例2 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论，并说明理由。 能力提升 题型1：垂径定理应用 例1 如图，P为半径为5的⊙O内一点，且PO＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦有 ( ) A．2条B．3条 C．4条 D．5条 例2 一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为________米． 题型2：圆中翻折求折痕 例1如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_______． 题型3：圆中求最短距离 例1如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP 的最小值为________． 例2（2014?张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为________． 题型4：圆与三角函数结合 例1已知⊙O的半径OA为1，弦AB的长为2，若在⊙O 上找一点C，使AC =3，则∠BAC＝▲°. 题型5：圆与一次函数图像结合 例1 （2014?四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（2，a）（a>2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是________． 题型6：探究圆中动点问题 例1 已知半径为2的⊙O与直线l相交于点A，且过圆心的直径BA⊥l，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O相交于点D，连接PA、PB，且∠PAC＝∠PBA，设PC的长为x（2 (1)当x＝9 4 时，求弦PA、PB的长度； (2)当x为何值时，PD·CD取最大值？并求出此最大值． 课后作业 教研组审批签字时间 圆的有关概念和性质 知识考点: 1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系； 2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念; 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。 圆的形成性描述:在一个平面内,线段ＯA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OＡ叫做半径。 以点O为圆心的圆记作“” 1.圆是定点的距离等于定长的点的集合 ２、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 4、同圆或等圆的半径相等 5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 8、不在通一条直线上的三点确定一个圆 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 １3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 1４、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 圆心角定义：顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角 圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 推论: 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。 圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理： 同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。 定理证明 已知在⊙Ｏ中,∠ＢOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC＝２∠BAＣ. 证明： 情况１: 如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图1 ∵OA、ＯC是半径 解：∴ＯA=OC ∴∠ＢＡC＝∠ACO(等边对等角） ∵∠BＯC是△AＯC的外角 ∴∠BOC=∠ＢＡＣ+∠ACO=2∠BAC 情况２： 如图2,,当圆心O在∠ＢAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D 圆的基本性质复习课 教学活动 一、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD//AC 。 求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // C O D A C O B O D A ∠=∠∠=∠∴, O C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO D ∠=∠∴ BD CD =∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的 弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证 弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形） 师：还有其他方法吗？ 组三：连接BC ， AB 是直径 090=∠∴ACB AC//OD OD BC ⊥∴ 由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画 出这个基本图形） 垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的 关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的 轴对称性。 而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角； 而0 90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图 圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析 圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160° 5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8 复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？ ∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B 圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成 两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O 圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！” 《圆的基本性质复习课》教案 潮阳区华阳初级中学陈朝鸿 复习目标 1、使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2、使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3、圆周角的定理及其推论； 4、与性质相关的计算。 复习难点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4、与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 （一）课前反馈用多媒体小试卷的形式： 展示自主学习案习题：1.在一个平面内，线段OA绕的一个端 点O旋转一周，所形成的图形叫做圆，固定的叫做， 线段叫做。 2.连接圆上任意两点的线段叫；经过圆心的弦叫 ; 圆上任意两点间的部分叫 ;大于半圆的弧叫 ;小于 半圆的弧叫。 3.外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫三角形的外 心，锐角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在 三角形的，直角三角形的外心在三角形。 4. 圆是一个特殊的图形，它既是一个对称图形，又是一个对 称图形。 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧； 6.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 参与习 题的解 答。 使学生 对所学的 圆的性质 有一个较 系统的回 顾。 总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条 件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外?d＞r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d＜r． 要点进阶：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A、B的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示． 《圆的基本性质复习》教案 教学目标: 熟悉本章所有的定理。 教学重点：圆中有关的定理 教学难点: 圆中有关的定理的应用 教学方法：谈话法 教学辅助：多媒体 教学过程： A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等 9、圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。 10、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 11、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13、思考： （1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 14、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 15如果用字母S 表示扇形的面积，n 表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r 表示圆的半径，那么 弧长L 公式是------------- 扇形的面积计算公式是 ---------------- 圆锥的侧面积和全面积:S 侧= 16、小结和同步作业 P B O 圆的有关性质 【中考考纲解读】 1．课标要求 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系． ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题． 2．考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分． 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1：圆的有关概念 1． 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2． 弦：连接圆上任意两点的线段． 3． 直径：经过圆心的弦． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 5． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6． 优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7． 劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9． 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆． 10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 14．圆周角：顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论 一、 第三章圆的基本性质复习点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d 学科：数学 专题：圆的有关概念与性质 主讲教师：黄炜北京四中数学教师 重难点易错点辨析 1、等弧的概念，区别于长度相等的弧. 2、利用圆周角定理求角时，注意分类讨论. 例题2.1： 题面：∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为（）A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3、在应用垂径定理的计算中，注意分类讨论. 例题3.1： 题面：已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD 之间的距离是多少？ 金题精讲 题一 题面：已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°. 求⊙O的直径． 题二 题面：已知，如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是弧AD的中点． (1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短； (2)若CD=4cm，求AP+PB的最小值． 满分冲刺 题一 题面：如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a﹥2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A. 23 B.2+ 2 C. 22 D. 2+ 3 题二 题面：如图，在⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D 与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E． (1)求证：AE=BF； (2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 A 讲义参考答案 重难点辨析 例题2.1 答案：D 例题3.1 答案：1cm 或7cm 金题精讲 题一 答案：83cm 题二 答案：(1)提示：作A 点或者B点关于直径CD的对称点A’或者B’，然后连接A’B或者B’A。 (2) 最小值23cm 满分冲刺 圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误 ．．的是（） D．OD＝DE 2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（） A． B． C． D． 3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（） A．2 B．3 C．4 D．5 3，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm 的长为（） A ． 3 cm 2 B ．3cm C ． D ．9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题． 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. 圆的基本性质 3.1 圆 1．圆的定义： 在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。 以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。 圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。 ２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 例题分析： 1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？ （2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？ ３、证明几个点在同一个圆上的方法。 要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。 4.确定唯一的一个圆的条件： （1）经过一个已知点能作无数个圆！ 经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。 （2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。 经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？ （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性） （4）外接圆，外心的概念。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点 （5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。 锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上， 钝角三角形的外心在三角形的外部。 A 中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 —知识讲解（提高） 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有： 点P 在圆外?d ＞r ； 点P 在圆上?d ＝r ； 点P 在圆内?d ＜r ． 要点诠释：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示． D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD = B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线 圆的基本性质复习课 教学目标： 1、在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2、在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论； 3、通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。 4、通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。 教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用 一、引入： 师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？ 生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。 师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。 师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？ 生：因为它们所对的圆心角相等。 师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。 二、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且 OD//AC 。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // COD ACO BOD A , OC OA ACO A DOB COD BD CD 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD CAD OAD ODA 弧CD=弧BD CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑 去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形）圆的有关概念和性质总结
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