2018高考真题分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2 2 221x y a b -=（a,b ＞0）的左、 右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平 分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 A. 23 B 6 2 D. 3【答案】B 【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组??????? =-+=0,b y a x b x c b y 得点 Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组??????? =++=0 ,b y a x b x c b y 得点P ),(a c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223 c a =，所以26=e 。 故选B 2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线 x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为)0(2 2 >=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得412162 2 =-=-=y x m ，所以双曲线方 程为42 2 =-y x ，即14 42 2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为 直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45 【答案】C 【解析】因为12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则有 P F F F 212=,，因为 2130=∠F PF ，所以 0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F == ，即c c c a =?=-22 1 23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4 3=e ，选C. 4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、22 B 、23 C 、4 D 、5 【答案】B 【解析】设抛物线方程为2 2y px =，则点(2,2)M p ±Q 焦点,02p ?? ??? ，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 2 2492p P ? ?-+= ?? ?， 解得2p =，所以44223OM =+?=.
典型高考数学试题解读与变式2018版 考点42 圆锥曲线中的综合性问题 【考纲要求】 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【命题规律】 圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）探究直线与曲线的公共点 例1.【2016新课标卷】在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：2 2(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （1）求 OH ON ； （2）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【解析】（1）由已知得),0(t M ,),2(2 t p t P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2 t p t N ,ON 的方程为x t p y =, 代入px y 22 =整理得022 2 =-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2( 2 t p t H . 所以N 为OH 的中点,即 2| || |=ON OH .
（2）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2= -,即)(2t y p t x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y , 解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点M 到定点()1,0F 和定直线4x =的距离之比为1 2 ，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程； （2）过点F 作斜率不为0的任意一条直线与曲线C 交于两点,A B ，试问在x 轴上是否存在一点P （与点F 不重合），使得APF BPF ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． （2）存在. 设直线()()()()1122:10,1,,1,,,0l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则()2 222 1{ 314123412 x ty ty y x y =+?++=+=，即()2234690t y ty ++-=， 1212 2269 ,3434 t y y y y t t --+= =++， 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即 12 12011y y ty m ty m +=+-+-，
2017年高考试题分类汇编之解析几何（文） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017课表I 文）已知F 是双曲线:C 13 2 2 =-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是)3,1(，则APF ?的面积为（ ） .A 13 .B 1 2 .C 2 3 .D 3 2 【解答】解：由双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点F （2，0）， PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y=3， 则P （2，3）， ∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3， ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S=， 故选D ． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题． 2.（2017课标II 文）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是（ ） .A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2) 【分析】利用双曲线方程，求出a ，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率为：==∈（1，）． 故选：C ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3.（2017浙江）椭圆22 194 x y +=的离心率是（ ） . A 13 3 . B 53 . C 23 . D 59 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， 所以椭圆的离心率为：=． 故选：B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4.（2017课标II 文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为（ ） .A 5 .B 22 .C 23 .D 33 【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y= （x ﹣1）， 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得M （3，2 ）． 可得N （﹣1，2 ），NF 的方程为：y=﹣ （x ﹣1），即， 则M 到直线NF 的距离为：=2 ． 故选：C ．
(2018 全国二卷)19.( 12 分) 设抛物线C ： y 2 4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k 0)的直线I 与C 交于A ,B 两点，|AB| 8 . (1)求I 的方程 (2)求过点A , B 且与C 的准线相切的圆的方程. (2018全国三卷)20. (12分) (1)证明：k 1 ； 2 ⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P FA F B 0 .证明：FA , 2 已知斜率为k 的直线I 与椭圆c ：- 4 2 7 1交于A , B 两点，线段AB 的中点为 ujur FP ,
FB成等差数列，并求该数列的公差.
（2018北京卷）（19）（本小题14分） 已知抛物线C: y2=2px经过点P （1, 2）.过点Q （0, 1）的直线I与抛物线C有两个不同的交点A, B,且直线PA交y轴于M ,直线PB交y轴于N. （I ）求直线I的斜率的取值范围； （2018天津卷）（19）（本小题满分14分） 2 2 设椭圆笃笃1 （a>b>0）的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 a b —，点A的坐标为（b,0），且FB AB 6j2 . 3 （I）求椭圆的方程; （II）设直线I: y kx（k 0）与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB 交于点Q. AQ 5名sin AOQ （O为原点），求k的值. PQ （2018江苏卷）18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点（禺）,焦点F1（加皿。）, 圆O的直径为F1F2. （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标; ②直线I与椭圆C交于A,B两点.若△ OAB的面积为纽6， 7 求直线I的方程. （2018浙江卷）21.（本题满分15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C: y2=4x上存在不同的两点A, B满足PA PB的中点均在C
2018年高考圆锥曲线大题 一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．
3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆． （1）求C的轨迹方程； （2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是
1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有
高考圆锥曲线专题复习二 【高考考纲解读】 (1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求； (3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆：e ＝c a ＝ 1－b 2 a 2； (2)双曲线：①e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2. ②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±a b x . 4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 ①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2 ＝2ax 或x 2 ＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义； ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2 n ＝1(m ＞0，n ＞0)； 双曲线方程可设为x 2m －y 2 n ＝1(mn ＞0)． 这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法
2017、2018高考试题分类汇编之解析几何（理） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017课标I 理）已知F 为抛物线x y C 4:2 =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交 于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为（ ） 16.A 14.B 12.C 10.D 2.（2017课标II 理）若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所截 得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） 2.A 3.B 2.C 3 3 2. D 3.（2017浙江）椭圆22 194 x y +=的离心率是（ ）. A . B . C 23 . D 5 9 4.（2017课标III 理）已知椭圆:C 22 221x y a b +=)0(>>b a ，的左、右顶点分别为21,A A 且以线段21A A 为 直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） . A . B . C . D 13 5.（2017天津理）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两 点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） .A 22144x y -= .B 22188x y -= .C 22148x y -= .D 22 184x y -= 6.（2017课标III 理）已知双曲线:C 22221x y a b -=)0,0(>>b a 的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆22 1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） . A 22 1810 x y -= . B 22145x y -= . C 22 154 x y -= .D 22 143 x y -=
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版） 一、选择题 1.（浙江卷）（2）双曲线221 3 =x y -的焦点坐标是 A ．(0)，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，?2)，(0，2) 解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+= b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0） 故选：B 2.（天津文）（7）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为 （A ）22 139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -= （D ）22 1124 x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x a b y =，即0=-ay bx ，)0,( c F 故选：A 3.（天津理）(7)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412x y -= B 221124x y -= C 22139x y -= D 22193 x y -=
解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x a b y =，即0=-ay bx ，)0,( c F 故选：C 4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214 x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ， 故选：C 5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4）， FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)． 则 FM ?FN =（0，2）?（3，4）=8． 故选：D
2018（新课标全国卷2 理科） 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2 2 y x =± D ．32y x =± 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 且斜率为3 6 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 19．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷2 文科） 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2 2 y x =± D ．32 y x =± 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?， 则C 的离心率为 A ．312 - B ．23- C ． 31 2 - D ．31- 20．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ， B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷1 理科） 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
2018高考题圆锥曲线 （2018全国二卷）19.（12 分） 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k 0）的直线I与C交于A，B 两点,|AB|=8 . （1）求I的方程 （2）求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.
（2018全国三卷）20. （12分） 2 2 已知斜率为k的直线I与椭圆C:乞V 1交于A , B两点，线段AB的中 4 3 点为M 1 , m m 0 . （1）证明：k：：：—1; 2 （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA = 0 .证明：FA , FP , 成等差数列，并求该数列的公差.
（2018北京卷）（19）（本小题14分） 已知抛物线C： y2=2px经过点P （1, 2）.过点Q（ 0, 1）的直线I 与抛 物线C有两个不同的交点A, B,且直线PA交y轴于M直线PB 交y轴于N. （I）求直线I的斜率的取值范围； （2018天津卷）（19）（本小题满分14分） 2 2 设椭圆笃二=1（a>b>0）的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心 a b 率为乎，点A的坐标为（b,0），且| FB?AB =6忑. （I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l : y = kx（k 0）与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q AQ 5 J2 若1_ =』sin^AOQ（O为原点），求k的值. PQ 4 （2018江苏卷）18.（本小题满分16分） （第18 题）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（.3丄）,焦点 2 匸（一.3,0）, F2（ 3,0），圆O的直径为FF2. （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P ①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线I与椭圆C交于A B两点.若△ OAB的面积为乙6， 7 求直线I的方程. （2018浙江卷）21.（本题满分15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线c：y2=4x上存在不同的两点A, B满足PA PB的中点均在C
圆锥曲线高考小题解析 一、 考点分析 1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则 ||AB =___________ 解析：2222230(1)4x y y x y ++-=?++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r = 圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8 sin p AB θ = = ，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =- （2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005 (1)(1)162 y x y x x =-+?? ?-++= +?? 解得0000 311 2-6x x y y ==????==??或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：
2018年高考数学——圆锥曲线解答 1.（18北京理（19）（本小题14分）） 已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11 λμ +为定值． 2.（18江苏18．（本小题满分16分）） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1 (3,)2，焦点 12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26 ，求直线l 的方程． 3.（18全国二理19．（12分））
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 4.（18全国三理20．（12分）） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差． 5.18全国一理19．（12分） 设椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
河北省对口招生高考数学试卷分类汇总（2011-2017） 圆锥曲线 1、若抛物线方程是2 4x y =，则其准线方程是（ ） A ．116x =- B ．18 x =- C ．1x =- D ． 1y =- 2、抛物线216y x =上一点M 到焦点F 的距离为6，则M 的坐标为 。 3、中心在直角坐标系原点，焦点在x 轴上的椭圆与某双曲线有共同的焦点F 1、F 2，并且|F 1F 2|=2 椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7，求椭圆和双曲线的标准方程. 4、若抛物线方程是28 1y x =，则其准线方程为（ ） A 2-=x B 4-=x C 2-=y D 4-=y 5、渐近线方程为x y 3 2±=的双曲线，经过点（6，0），则该双曲线的标准方程为___________ 6、已知圆O 的标准方程为2522=+y x ,一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，并且以圆O 的直径为长 轴，，离心率为5 4， (1) 求椭圆的标准方程； (2) 过原点O ，斜率为5 3的直线l ，分别与椭圆 和圆O 交于A 、B 、C 、D 四点（如图所示）， 求|AC|+|BD|的大小。 7、椭圆2 2 14y x +=的离心率为（ ）．A ．12 B C ．56 D ．23 8、已知双曲线22 149 x y -=的两焦点分别为12F F 、，经过右焦点2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两个点，8AB =,则1ABF ?的周长是
9、. 直线y=2x+b(b ≠0)与双曲线2 2 14y x -=的交点有 个. 10、设抛物线对称轴为坐标轴，顶点在原点，焦点在圆22 20x y x +-=的圆心。过圆与x 轴的右交点作倾斜角为 4 π的直线与抛物线交于A 、B 两点，求：（1）直线AB 与该抛物线的方程；（2）线段AB 的中点坐标与OAB ?的面积。 11、抛物线21 4y x =- 的准线方程为（ ）1y =- B 、1y = C 、12y =- D 、12 y = 12、直线y x k =-与抛物线24y x =交于两个不同的点A 、B ， 且AB 的中点的横坐标为1，则k 的值为（ ） A 、1-或2 B 、1- C 、2 D 、1± 13、以抛物线28y x =-的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______ 14、已知双曲线2 2 1y x m -=与抛物线28y x =有共同的焦点2F ,过双曲线的左焦点1F ，作倾斜角是030的直线与双曲线交于A ，B 两个点。 （1）求直线和双曲线的方程；（2）求2F AB ?的面积。 15、抛物线24 1y x -=的焦点坐标为A ．（0，1） B ．（0，-1） C ．（1，0） D ．（-1，0） 16、设直线2+=x y 与抛物线2x y =交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为_________. 17、 求以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116 92 2=-y x 的渐近线相切的圆的标准方程. 18、等轴双曲线的离心率为（ ） A ． 12 B ．12 C D ．1
（2018全国二卷）19．（12分） 设抛物线24 C y x = ：的焦点为F，过F且斜率为(0) k k>的直线l与C交于A，B 两点，||8 AB=． （1）求l的方程 （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． （2018全国三卷）20．（12分） 已知斜率为k的直线l与椭圆 22 1 43 x y C+= ：交于A，B两点，线段AB的中点为 ()() 10 M m m> ，． （1）证明：1 2 k<-； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．
（2018北京卷）（19）（本小题14分） 已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物 线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （2018天津卷）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22 221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为 A 的坐标为(,0)b ，且F B AB ?=. （I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若 4 AQ AOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. （2018江苏卷）18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2 ，焦点12(F F ， 圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △， 求直线l 的方程． （2018浙江卷）21．（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴) 一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C
2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第10部分:圆锥曲线 一、选择题: 1．（ 2010年高考全国卷I 理科9）已知1F 、2F 为双曲线C:22 1x y -=的左、右焦点，点 p 在C 上，∠1F p 2F =0 60，则P 到x 轴的距离为 (A) (C) (D) 1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义 得 21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+ ，2 2000||[)]1a PF e x ex a c =-=-=-.由余 弦定理得 cos ∠1F P 2F = 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 0 60222=, 解得2 052x = ,所以22 00312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0||2 y = 2．（2010年高考福建卷理科2）以抛物线2 4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.2 2 x +y +2x=0 B. 2 2 x +y +x=0 C. 2 2 x +y -x=0 D. 2 2 x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为2 2 x-1)+y =1（，即2 2 x -2x+y =0，选D 。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 3．（2010年高考福建卷理科7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)a x y -=的中 心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ? 的取值范围为 ( ) A. )+∞ B. [3)++∞ C. 7[-,)4+∞ D. 7 [,)4 +∞ 【答案】B
2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点． （Ⅰ）若90BFD ∠=?，ABD ?的面积为，求p 的值及圆F 的方程． （Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆 22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22 221(0) x y a b a b +=>> 的离心率为 2 ，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2 :4 x C y =与直线 (0)y kx a a =+>交于,M N 两点． (Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的 圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； (II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与 l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的 取值范围． 6. (2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C ：（a >b >0），四 点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第19题) (本小题满分12分)设椭圆的右焦点为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，点 的坐标为 ． ⑴当与轴垂直时，求直线的方程； ⑵设为坐标原点，证明： ． 22 22=1x y a b + 22
2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析 一、选择题 ............................................................................................................................. 1 二、填空题 ............................................................................................................................. 3 三、大题 (5) 一、选择题 【浙江卷】2．椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ． 23 D ． 59 【解析】e == B. 【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知1 1cos 22AF GF AK AK AF P P GP P θ? ??+=?? =?? ???=--= ????? （几何关系） （抛物线特性） cos AF P AF θ?+=∴ 同理1cos P AF θ= -，1cos P BF θ =+ ∴22221cos sin P P AB θθ = = - 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为 π 2 θ+
山东各地 2019 高考数学最新联考试题分类大汇编：圆锥曲线 【一】选择题： 11、 ( 山东省济南市 2018 年 2 月高三定时练习文科 ) 圆 x 2 y 2 10 x 24 0 的圆心是 双曲线 x 2 y 2 1(a 0) 的一个焦点，那么此双曲线的渐近线方程为 (B) a 2 9 A 、 y 4 x B 、 y 3 x C 、 y 3 x D 、 y 4 x 3 4 5 5 3.( 山东省济南市 2018 年 2 月高三定时练习理科 ) 抛物线 y 1 x 2 的焦点坐标是〔 D 〕 1 1 4 A 、（ ,0） B 、 (1,0） C 、（ ） D 、（0,1） 16 - ,0 16 11.( 山东省济南市 2018 年 2 月高三定时练习理科 ) 点 F 1 、 F 2 分别是双曲线 x 2 y 2 1 的 a 2 b 2 左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、 B 两点，假设 ABF 2 为锐角三角 形，那么该双曲线的离心率 e 的取值范围是〔 D 〕 A 、 (1, ) B 、 (1, 3) C 、〔 1， 2〕 D 、 (1,1 2) 10、 ( 山东省潍坊市 2018 年 3 月高三一轮模拟文理科 ) 直线 4h 一 4y — k=0 与抛物线 y2=x 交 于 A 、 B 两点，假设 ，那么弦 AB 的中点到直线 x+1/2=0 的距离等于 (C) A 、 7/4 B 、 2C.9/4D 、 4 2 2 11. ( 山东省淄博市 2018 年 3 月高三第一次模拟文科〕 设双曲线 x 2 - y 2 =1 的半焦距为 c ， a b 直线 l 过 A 〔 a,0 〕， B 〔 0,b 〕两点，假设原点 O 到 l 的距离为 3 c ，那么双曲线的离心率 4 为 [ 学.科. (A) 网] A. 2 2 或 2B.2C. 2 或 2 3D.2 3 3 3 3 5.( 山东省实验中学 2018 年 3 月高三第四次诊断文科) 对任意实数 ，那么方程 x 2 y 2 sin 4 所表示的曲线不可能是 (C) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 7. ( 山东省实验中学 2018 年 3 月高三第四次诊断文科 ) 抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 x 2 y 2 6x 7 0 相切，那么 p 的值为 (C)