傅里叶变换的性质
一、实验目标
傅里叶变换是《信号与系统》、《数字信号处理》两门课程的基础。傅
里叶变换的性质较为抽象，理解起来较为困难。本实验要求使用图形化的方法显示傅里叶变换的一些性质(至少应包括时移性质和尺度变换性质)。
对于信号的时移和频谱的关系，教材中只给出了抽象的公式，对于时移对频谱的影响却没有说明。教材中只指出，信号在时间上的平移，并不改变它的傅立叶变换的模。本实验要求选择一个信号，让它在时域上作移位，可调节不同的时移大小，然后用软件演示其傅立叶变换在幅度上几乎没有变换，但在相位上会有变化。
对于信号的时间与频率的尺度变换，从公式我们可以看出当时域扩展
时，其频谱就应该压缩；当信号在时间上受到压缩时，其频谱就应该扩展。那么只要给出一个信号，保持其幅度不变，让信号的宽度发生变化，再观察其频域的变化，就能得到与性质相一致的结果。
二、实验要求
至少应该选择两种信号进行傅里叶变换性质的演示。推荐的两种信号是
高斯信号与正弦信号。高斯的时域表示为，它的傅里叶}exp{)(22
2)(21σμπσ??=t t s 变换也是高斯型的信号。除此之外，方波与三角波也可以考虑。
界面的要求为：
1．界面上的信号的参数应该可变，包括信号的时延和宽度。
2．界面应该画出时域波形和它的频谱（包括幅度谱和相位谱）。
在计算信号傅里叶变换时，需要使用两种方式（系统自带和自行编制程
序）来得到信号的频谱。LabVIEW 中有好几种FFT 模块，大家需要亲自实验一下各自的特点和使用范围。请注意，好几种FFT 模块之间以及同自己编程序的结果可能都会有所区别，请注意鉴别。
三、实验说明
1．理论准备：请仔细阅读《信号与系统》和《数字信号处理》关于傅里叶变换性质这一小节的内容，并掌握傅里叶变换的计算方法。
2．所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3．最后要形成一个详细的报告，包括VI 的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
4．请注意傅里叶变换的概念和各种傅里叶变换适用的信号。
吉布斯振铃现象
一、实验目标：
吉布斯振铃现象是指当周期信号具有不连续点时，其截断后的傅里叶级数在不连续点附近呈现起伏。方波信号的吉布斯现象最为明显，已经证明：无论保留的傅里叶级数个数N取多大，其反变换后波形所呈现的峰值是方波幅值的1.09倍，并在方波间断点附近起伏。吉布斯现象在滤波器设计、信号检测方面都是必需考虑的问题，掌握它将对信号处理理论的理解有重要意义。
二、实验要求
至少应该选择两种信号进行吉布斯振铃现象的演示。推荐的两种信号是方波与锯齿波（锯齿波的吉布斯振铃现象不如方波明显）。
本实验的演示界面上至少应包括如下内容：
1.原始信号波形；
2.傅里叶级数截取的长度N，N应该可变；
3.反变换最终合成的波形图；
4.截取长度从1到N的反变换合成波形图（在一张图形上显示）；
三、实验说明
1.由于本实验所要变换的信号都是实信号，其傅里叶级数将只包含频率不同的各个cos函数。请参考《信号与系统》书中的内容先计算出各次谐波的系数。
2.产生波形可以使用Analyse->Signal Processing->Signal Generation 中的各个波形，也可以使用Analyse->Waveform Generation中的各个波形，在使用前注意看一下各个子VI的使用帮助，正确设置各个参数后方可使用。
3.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
4.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
数字滤波器设计
一、实验目标
数字滤波器的设计是数字信号处理的核心，不同的数字滤波器将会带来不同的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度。IIR、FIR滤波器是数字滤波器的两种基本形式，掌握它们的设计参数对正确实现数字滤波器有重要的意义。
IIR数字滤波器和FIR数字滤波器有各自不同的设计参数以及性能，本实验试图选择不同的滤波器类型和参数，以帮助同学们理解各种不同滤波器的设计参数对性能的影响。
二、实验要求
使用LabVIEW Express中的滤波器Express（在信号分析Express内）来实现各种滤波器，至少应该选择四种（至少两种IIR，两种FIR）数字滤波器。要求实现的内容包括：
1.使用波形产生器产生一个含白噪声的正弦波，其中正弦波和白噪声的幅度均可调，至少选择四种滤波器来滤除白噪声。要求记录各种滤波器的参数选择和输出频谱以及信噪比的关系，如果能用理论推导加以说明更好。
2.使用波形产生器产生一个含有两个相近频率的正弦波，比如选择100Hz和110Hz。同要求1类似，选择不同的滤波器以及不同的参数来滤除任一频率的正弦波，记录各种滤波器的参数选择和输出频谱的关系，如果能用理论推导加以说明更好。
三、实验说明
1.请注意各种滤波器的滤除频率分量的能力，并注意各种滤波器的特性，可能需要复习《数字信号处理》。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
调制与解调
一、实验目标
通信系统在人、系统之间的信息传递上起着至关重要的作用。在所有的通信系统中，源信息都要先被某一发射装置或是调制器所处理，以将它变化到在通信信道上最适合传输的形式，而在接收端又可通过适当的处理将信号给予恢复。调制就是将一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程，以便于有效地传输信号。
为了简化，本实验只要求对幅度调制与解调过程进行演示。载有信息的调制信号和某一正弦载波信号相乘就得到已调信号。而信号时域的相乘带来的就是其在频域的频谱的搬移，即调制信号的频谱搬移到载波信号的频率上。
二、实验要求
本实验要求首先产生一个频谱不对称的复信号（如复正弦信号或者其简单的线性组合），然后对其进行幅度调制和解调，要求表现出信号的频谱的翻转和搬移的确切过程。幅度调制方式包括普通AM，双边带和单边带三种。
本实验的演示界面上至少应包括如下内容：
1.原始信号频率（可改变）；
2.载波频率（可改变）；
3.调制后的频谱和波形；
4.解调后的频谱和波形；
三、实验说明
1.请注意频谱不对称的信号的产生方法，这是本实验唯一的难点。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
内插与抽取
一、实验目标
内插与抽取是数字信号处理的基本操作，是最简单的非线性变换操作。对一个数字信号进行内插，频谱会压缩；反之，如果对一个数字信号进行抽取，频谱会展宽。内插与抽取也与Nyquist采样定理相关。在内插后，为了保持信号的频谱，还需要经过低通滤波器，这个类似于恢复模拟信号的过程。
内插与抽取是现代通信系统数字信号处理的核心，现代通信系统的基带处理模块不可能离开这两个环节。掌握它有非常现实的意义。
二、实验要求
本实验要求对频谱上有一定特征的信号，如高斯信号或复正弦信号。要求表现出信号频谱在内插和抽取后的变化，同时为了内插后信号保持原有的样子，还需要低通滤波器。还需要展示信号频谱如果不符合内插和抽取的要求，信号会变形。
本实验的演示界面上至少应包括如下内容：
1.原始信号频谱（内插和抽取可选择不同的信号）；
2.原始信号；
3.内插和抽取倍数；
4.内插和抽取后的波形；
5.内插恢复后的频谱与波形；
6.信号频谱不合适时，信号的变形情况。
三、实验说明
1.请注意内插和抽取操作对信号频谱的要求。
2.请注意信号和频谱的显示方法。
3.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
4.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
弥散及栅栏效应
一、实验目标
计算机可处理的长度总是有限的，而信号的长度可以是无限长的，这样在处理信号时必然就进行了长度上的截断。截断相当于对被处理信号加窗处理。如果不做特殊要求，通常截断时就自然加了一个矩形窗，在频域其频谱函数是一个Sinc函数。信号在加了窗处理后就产生了弥散，从而造成频谱函数的皱折效应，使频谱失真。一般来说，信号在时域只要加了窗，在频域就会不可避免地产生弥散，造成失真。
为了抑制这种后果，在处理时可采取下列两种措施：
增长截断长度。这样可使Sinc函数的主瓣变窄，旁瓣向主瓣密集，可减小泄漏。（理想情况下，如能获取至的无限个时间记录则可得到理想的FFT解，然而在实际中仅限于人们使用有限的时间记录）
采用不同的窗函数。为抑制矩形窗函数所引起泄漏，可以采用其它类型的窗函数，如三角窗，Hanning窗，Hamming窗和指数窗等。这些窗的频谱函数与矩形窗相比可有两方面改进：一是使频谱主瓣突出；二是使旁瓣尽快衰减，实际上这二者往往不可兼得，要视具体需要选用。
栅栏效应是指在对信号频谱进行采样时，经过这种采样所显示出来的频谱仅在各频率采样点上，而不在这些点上的频谱分量都显示不出来，即使在其它点上有重要的峰值也会被忽略。这一效应对周期信号尤为严重，因其频谱是离散的，如处理不当这些离散谱线可能不被显示。
二、实验要求
本实验要求对一个正弦信号截断后通过不同的窗函数来显示弥散，即，理想的正弦信号是无限长的，当截取有限长的信号时它的频谱可能就会弥散。通过加窗可以改善这种弥散。栅栏效应可以这样演示，将一个频率可变的正弦信号周期经过给定长度DFT变换来计算频谱，可以明显观察到信号谱线的分裂。
本实验的演示界面上至少应包括如下内容：
1.窗函数的选择与参数设置；
2.加窗函数之前与之后的频谱；
3.DFT的长度选择，频率变化以及谱线分裂的情况；
三、实验说明
1.请注意对理论的理解和结果的解释。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
二阶系统的频域特性
一、实验目标
二阶系统是信号与系统的重要内容之一，本实验准备给出二阶系统的频域特性。此二阶系统由RLC电路组成。如图1所示：
R L
C
图1二阶系统示意图
二、实验要求
本实验要求根据不同的R,L,C值，实时地绘制出相应的幅频特性与相频特性。此外，界面上还需要包括整个系统的冲激响应。R,L,C也需要在界面上出现。R,L,C的值需要可以输入。
三、实验说明
1.请注意对理论的理解和结果的解释。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
利用声卡实现波形输出和数据采集
一、实验目标
利用声卡进行数据采集与分析，具有实现简单、界面友好、性能稳定等诸多优点。LabVIEW环境已经实现了音频信号的采集分析及数据存盘重载。
随着DSP(数字信号处理)技术走向成熟，PC声卡本身就成为一个优秀的数据采集系统，它同时具有A/D和D/A转换功能，不仅价格低廉，而且兼容性好、性能稳定、灵活通用，软件特别是驱动程序升级方便。而且声卡用DMA(直接内存读取)方式传送数据，极大地降低了CPU占用率。一般声卡16位的A/D转换精度，比通常12位A/D卡的精度高，对于许多工程测量和科学实验来说都是足够高的，其价格却比后者便宜得多。
如果利用声卡作为数据采集设备，可以组成一个低成本高性能的数据采集与分析系统。当然，它只适合采集音频域的信号，即输入信号频率必须处于20~20000Hz的音频范围内。如果需要处理直流或缓变信号，则需要其他技术的配合。
二、实验要求
利用声卡实现波形输出和数据采集，利用声卡和廉价的数据采集卡，重新实现实验5或实验6。
实验的要求同实验5或实验6。
三、实验说明
1.理论准备：请仔细阅读相关书籍，弄懂LabVIEW数据采集与产生的原理与方法。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
频率的测量（每人只用完成一种方法）
一、实验目标
在数据采集的环境下，信号的频率测量和信号的频率跟踪是基本且重要的问题。只有测得被测信号的频率后，才有可能对其实现整周期采样，从而为接下来的数字信号处理创造有利条件。在能测到信号频率的基础上也才有可能实现对被测信号的跟踪，即在信号的频率发生变化时，及时调节采样频率，以保证整周期采样。
在数据采集的环境下，可以通过现有的条件，例如信号的幅值以及计算机的处理能力来计算信号的频率。本次实验的内容与目的就是通过几种软件模拟测量信号频率的方法来加强对信号处理等知识的学习以及理解。本次实验用到的测量频率的方法有：
(1)时域方法：
多周期平均计数法：通过对多个周期采样样本数的统计，然后求均值的方法求信号频率；
(2)频域方法：
比例法：通过对频谱图中真实频率谱线的相邻两条谱线的数学关系，求得频率；
二、实验要求
测量现实信号的频率。信号由模拟的信号源产生，在选择以上的两种方法进行测量，并比较各种方法测量的准确程度。两种方法实现时的具体方法如下：
(1)多周期平均计数法
在数据采集的环境下，利用计数方法测量信号的频率虽然不太好用，但是可以尝试对它进行改进。改进为可以对多个周期的采样信号进行计数，然后以其平均值作为频率测量值。假定采样频率为F s ,共采集m 个周期的信号，用计数的方法找到各个周期的样本个数，分别为N 1，N 2，…，N m ，那么对应于各周期的频率值分别为F s /N 1，F s /N 2，…，F s /N m ，考虑m 个周期的频率的均值，有
12m 111···s F f m N N N ??=+++????
实际上，在非整周期采样的条件下上式中N 的取值只有两种情况，即多一个或少一个样本。假定分别是n 1和n 1+1，与它们对应的周期分别是m 1和m 2，则上式可以改写为
()12112211m 1m f +m f n n 1m
s F m f m ??=+=??+??
其中，和分别对应于被测信号频率的最大偏差值和最小偏差11
s F f n =211s F f n =+值。
可以看出所求出的频率值实际上是在m 个周期范围内的加权平均值，相对测量误差δ≤。如果满足采样频率是被测信号频率的10倍，且采样样本11mn 数超过10个周期，则频率测量误差可以控制在1%以内。该结果是可以接受的，它
显然是通过增大周期数来弥补偏低的采样率。
(2)比例法
考虑采样信号的频谱，如图2所
示。图中显示的是主瓣内的谱线y k 和
y k+1，其谱线序号分别为x k 和x k+1，而
频率的准确值位于横坐标处。可以利
用y k 和y k+1这两条谱线的幅值对间隔
x k+1-x k ，即Δf 进行细分。中给出了一种
简单而且有效的细分方图2比例法的示意图
法，称为比例法。
在矩形窗的情况下，可以关的视x 0处为重心，则有10
10k k k k
y x x y x x ++?=?于是
1100110001k k k k k k k k k k
y y x x x x x x y x x x x x x +++++?+??===???所以
101
k k k k y x x y y ++=++101k k k k y f f x x f y y ++??=?=+???+??
i i 对Hanning 窗可以导出
1012k k k k k
y y x
x y y ++?=++
112k k k k k y y f x f y y ++???=+???+??
i 三、实验说明
1.理论准备：请仔细阅读相关书籍，弄懂LabVIEW 数据采集的原理与方法。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI 的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
三极管伏安特性的测量
一、实验目标
本实验同实验4类似，都是伏安特性的测量。不同的是，这次实验测量的对象是三极管。
二、实验要求
三极管的伏安特性曲线表示以基极电流I b 为参变量时，集电极电流I c 和集电极与发射机间电压U ce 之间的关系，即
()|c ce Ib const
I f U ==测量电路如图2所示：
图3三极管特性测量电路
同二极管的测试不同，三极管测量需要两个独立的电源。也就是说，需要两个通道的模拟输出U s 1,U s 2。其余需要注意的问题同二极管的测量，同样也要完成两种方法即有规律的信号和随机信号的测试。
三、实验说明
1.在画伏安特性曲线时，U Rb 最好选择为一种阶梯状的波形，这个可用数组实现。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI 的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
系统频率特性的测量（每人只用完成一种方法）
一、实验目标
?同实验6类似，使用LabVIEW来实现网络频率特性测量，相当于完成一个简单的矢量信号分析仪。
二、实验要求
与实验6类似，测量以下电路的频率响应，不过使用不同的方法。
o
图4待测网络－－文氏电桥
可采用的方法：
(1)正弦波组合法
首先产生一个具有所需频率成分的信号，将其加到被测网络上。采集响应和激励信号，最后对两者进行FFT后对应频率成分处幅值相除，相位相减。
这种方法需要使用LabVIEW中波形生成的多调信号（在模拟波形发生的基本混合单频或者带幅值混合单频中），注意在使用基本混合单频信号时需要指定幅度，否则幅度可能相当大，超过采集卡所能输出的最大值。
在使用这种方法时，还有两点需要主要
1.在幅值相除时，有时输入的幅值相当小，这时需要判断输入信号对应频点处的幅度值，如果过小需要将其删除。
2.使用FFT时，请使用信号分析Express中的频谱测量VI，否则误差可能会相当大。
(2)Chirp信号单步法
这种方法使用Chirp信号来实现所需要的单频，Chirp信号可用信号处理->信号生成->Chirp信号来实现。注意这种方法生成出的Chirp信号是一个数组，不是一个波形，在模拟输出时需要指定模拟输出的采样率。在使用Chirp信号VI时还要注意各个参数的含义。
三、实验说明
1.注意频率响应的中心点，否则误差可能相当大。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
参数辨识
一、实验目标
使用已有的网络频率测量VI ，对未知的电路元件R,L,C 进行参数估计，其中可能需要使用最小二乘法。
二、实验要求
对于图4的参数测量问题，
U R U s U C U L 图5RLC 电路模型
其微分方程为
22()()()c c d u t du t u t LC RC dt dt
=+通过拉普拉斯变换得到
2()()()()
c c c U s LCs U s RCsU s U s =++得到系统的频率特性函数
2()1()()1c U j H j U j j RC LC
ωωωωω=
=+?取模得到
()()()c U j H j U j ωωω=
=?那么可以对不同的频点，可以得到一组(,)。可以使用最小二乘??)(?j H 法来求得RC 和LC 。
三、实验说明
1.注意频率响应的中心点，否则误差可能相当大。
2.大家也可以使用别的方法，只要最终结果正确，又推导过程即可。
3.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
4.最后要形成一个详细的报告，包括VI 的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
?
?参数的测量（RLC的测量）
一、实验目标
使用一个单频正弦信号来测量RLC的参数值，对未知的电路元件R,L,C进行参数估计。
二、实验要求
如图5所示，本实验即使用电工技术的三表法来测量R,C,L的值。本实验测量总的U s，并用电阻上的电压U R来代替电流。还可以测得U L和U C。通过比较各个电压之间的相位差，就能估算出R,C,L的值。
三、实验说明
1.注意电感含有电阻，而且这个电阻值是随着频率变化的，在实际测试时必须要考虑这一点。
2.所编程序应该有适当的注释，包括框图窗口中的局部变量都需要注释。每个功能块也需要说明，程序中也需要旁注。
3.最后要形成一个详细的报告，包括VI的设计，演示的原理，在完成的过程中所遇到的问题及解决方法和最终的心得等等。
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知
§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数， 则有如下性质： 一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω) 证明： 将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t， 或： ， 即：F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3：已知 ， 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换： (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性： (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移)： P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：
(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理： 欧拉公式 ? 例如门信号的调制：
显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积： f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明： 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法： 时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件： 例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性：
2.3 快速傅立叶变换问题 1) 问题背景 在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。 那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理： ∑-=--=-==1 0/21 ,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π (1) 则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。 公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT 。现在我们来分析一下计算DFT 所需要的工作量。如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N 次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N 很大时，这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因，使得DFT 的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT 的计算时间？ 1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT 的数学方法，大大减少了DFT 的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT 。鉴于DFT 的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT 结构的来源和FFT 的工作原理。 2） 傅立叶变换 如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出： ?∞ ∞ ---==1 ,)()(/2i dt e t x f X T nift （2）
一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性 已知： [()]()j DTFT x n X e ω= **[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出) 共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和： ()()()()()()()()() **12 12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ???=+-????=+? ???=--? ??? ()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω ωωωωωωωω--???=+?? ??=+? ???=-? ??? 求证： [Re(())]() [Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω ?=?=? or [()]Re(()) [()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω ?=?=? [()]Re(()) [()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω ?=?=? or [Re(())]() [Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω ?=?=? 证明： ()()()[][] ** 1 21()()21 2Re(())2 Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-?? = +? ???= +??== ()()( )[][]* * 121()()2 1 2I m (())2 I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x n ωω ω- ??= -? ? ??= -??==
1. [][]()()j j ax n by n aX e bX e ωω+?+ Proof: ([][])[][]()() j n j n j n j j ax n by n e a x n e b y n e aX e bX e ωωωωω∞ --∞ ∞∞ ---∞-∞ +=+=+∑∑∑ 2. (1)[]()d j n j d x n n X e e ωω--? Proof: ()[][].()d d j n d n j n n j n d n j n j x n n e x n n e e X e e ωωωωω∞-=-∞∞---=-∞--=-=∑ ∑ (2) 00()[]()j n j e x n X e ωωω-? Proof: 000()()[][]()j n j n j n j n n e x n e x n e X e ωωωωωω∞∞ ----=-∞=-∞==∑ ∑ 3. []()j x n X e ω--? Proof: ()[][]()j n j n j n n x n e x n e X e ωωω∞∞ ---=-∞=-∞-=-=∑ ∑ if []x n is real ()j X e ω-=*()j X e ω 4. ()[]j dX e nx n j d ωω? Proof: ()[]() ()[]()[]j j n n j j n n j j n n X e x n e dX e jn x n e d dX e j nx n e d ωωωωωωωω∞-=-∞∞-=-∞∞-=-∞=?=-?=∑∑∑
5. (1)22 1|[]||()|2j n x n X e d πωπωπ∞ =-∞-=∑ ? Proof: 2*2221 |()|21 ()()21 [][]21 |[]|21 |[]| 2|[]|j j j j n j n n n n n n X e d X e X e d x n e x n e d x n d x n d x n πωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞=-∞ -∞=-∞ -∞=-∞ =====??∑∑?∑?∑ ?∑ (2) **1[][]()()2j j n x n y n X e Y e d π ωωπωπ∞=-∞-=∑ ? Proof: *****1 ()()21 ()()21 [][]21[][]21 [][] 2[][] j j j j j n j n n n n n n n X e Y e d X e Y e d x n e y n e d x n y n d x n y n d x n y n πωωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞ =-∞-∞ ∞=-∞ =-∞-∞=-∞====??∑∑?∑?∑ ∑?∑ 6. []*[]()()j j x n y n X e Y e ωω? Proof:
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八 餐丄I 则 嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55） 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 ，； 「" 由式（3-55）得 =侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ — 2 2 2 2 JtD J QJ 、对称性 （3-56） 则」 将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即 证明因为 fC ）二丄「EQ 讣叫田 N J 2^(i) = f F(J 噪叫 a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕 J —TO
」一 再将t用夕代之，上述关系依然成立，即 2戒（―型）-[ Jr-CD 最后再将x用t代替，则得—Lm—? ” 所以,fl- —■-'■ ■■* 证毕 若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56） 尺〔血—2对'（创）C3-57） 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：/（0 =郭）一S）=l FS）= 1一2才㈣=2斶眄 例3-7若信号；二的傅里叶变换为 < r 72 G3> r <2 试求。 解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有 M |r|G 戈 0 |t|>r/2 该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为 頁恥）卜2氓旳（号）
2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是
２。6 傅里叶变换得性质 2。6.1线性 若信号与得傅里叶变换分别为与,??? 则对于任意得常数a与b,有? ? 将其推广,若,则??? 其中为常数,n为正整数。? 由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、 ?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即 ???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与?? ２．6．2 反褶与共轭性 设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。 (1)反褶 ｆ(-t)就是ｆ(ｔ)得反褶,其傅里叶变换为 (２)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设ｇ(t)=f(-t),h(t)＝g*(t),则 在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质
2。6.3 奇偶虚实性 已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)得虚实性来讨论Ｆ()得虚实性、 (1) f(t)为实函数?对比式(２－33)与(2—34),由ＦT得唯一性可得 (1、1)f(t)就是实得偶函数,即ｆ(ｔ)=f(—t) X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时X()=0,于就是??可见,若f(ｔ)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (１、2)ｆ(t)就是实得奇函数,即-f(t)＝f(-t)?Ｒ()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时R()=0,于就是 可见,若ｆ(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、
3-5 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(ωj F 。 解 因 由式(3-55)得 二、对称性 若 证明 因为 有 将上式中变量ω换为x ，积分结果不变，即 再将t 用ω代之，上述关系依然成立，即 最后再将x 用t 代替，则得 所以 证毕 若)(t f 是一个偶函数，即)()(t f t f =-，相应有)()(ωωf f =-，则式(3-56)成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数π2。式中的ω-表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如
例3-7 若信号)(t f 的傅里叶变换为 试求)(t f 。 解 将)(ωj F 中的ω换成t ，并考虑)(ωj F 为ω的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 根据对称性 故 再将)(ω-f 中的ω-换成t ，则得 )(t f 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 观看动画 若 则 证明 因a ＞0，由 令at x =，则adt dx =，代入前式，可得 函数)(at f 表示)(t f 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a 倍，而 ) (a j F ω 则表示 )(ωj F 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8 已知 ,求频谱函数)(ωj F 。 解 前面已讨论了
实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波 一、实验目的 1、了解图像傅里叶变换的物理意义； 2、掌握频域滤波原理； 3、熟悉傅里叶变换的基本性质； 4、熟练掌握FFT的变换方法及应用； 5、通过实验了解二维频谱的分布特点； 二、实验平台 计算机和Matlab语言环境 三、实验内容 1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示 2、频域滤波器处理图像 3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性) 四、实验步骤 1、二维傅里叶变换的性质 1> 二维傅里叶变换 构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换 f = zeros(64,64); for j=1:5 f(:,j*10:j*10+1)=1; end F=fft2(f);Fc=fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换'); 2> 比例变换性 将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 fresize=imresize(f,2); fresize=fresize(31:94,31:94);
Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize); subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶'); 3> 旋转 将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 frotate=imrotate(f,45);%图像旋转 Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶'); 4> 可分性 首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶 for i=1:64 fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 end for j=1:64 fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 end Fc3=fftshift(fft_col); figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');
2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和I r aC , F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl) 则对于任意的常数a和b,有 F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl) 将其推广，若■-、出 -,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒（W2?］的?卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是 复函数，因此 ， 无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(M 因为F 是实数，所以［dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅 里叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 * ??tl 3r F?r^!? :o?苫
FLT(-O] = FH y) F[f,HI)=r?) FLn￡)]"H J) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 FQ) U 卩(询)* 眄' =j?Crt)) +χ((?) 显獻μ?) 卜阿跖丽 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 R(O)) = J [/(t) cosaf址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0 ,于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 7】：’匚Fl左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R(J的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R( )=0 ,于是 (2-33) φ((w) = arc tan (曲)=2[ /(t)cos^? 根据定义，上式还可以写成
1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数, 由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函 数的和。假设可以，不失一般性，于是得到: /(!2 如+ 工A a sin(mvt + 各), Fl = 1 2、将后面的正弦函数展开: sin( ncvt + 竹)=A rt sin % cos + cos
那么如何求出a n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。 /（工）ms 利用三角函数的正交性，可以得到: /（rtrdj- 再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b n, 4 =丄[/(nxdjr (- 1,3 .…)” J ■*■ fir 于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现 A o/2而不是直接的A o的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。 通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。 到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多， 他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet 的家伙证明出如下结论： 定理f收敏宦理■狱利克需(DiMh冶)充分条件)设/Cr)Jg周期为2削的周期苗数，如果它満足： (1｝在一个周期内连续或只有有限个第一类间斷点* (2)在一个周期内至务只有有限个曲值点. 则"工〉的傅里叶飯数收歟，井且 当工是的连嫌点时.级数收敕于 当丁S/(.r)的闾新点时?级數收飯于 i[ /(X ) + f(jt * )]- 有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间??… 至此以2n为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该 不会这么凑巧是2n,于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来 都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2n周期 函数的基础之上的。 也就是说如何让一个以21为周期的函数变成一个以2 n为周期的函数，于是乎可以使
傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行
● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中，?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(
● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换
● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f
● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π
附录A 拉普拉斯变换及反变换 .
.
. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
2.3 快速傅立叶变换问题 1) 问题背景 在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。 那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失 有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理： ∑-=-- = - = = 1 / 21 ,1 ,..., 1,0 , ) ( ) ( N k N nki i N n e k x n Xπ (1) 则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中 在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的 目的。 公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT。现在我们来分析一下计算DFT所需要的工作量。如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n)需要N次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N很大时，这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因，使得DFT的应用范围在过去很长 的时间里受到了严格的限制。注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT的计算时间？ 1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT的数学方法，大大减少了DFT的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT。鉴于DFT的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过 三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们 从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT结构的来源和FFT的工作原理。 2）傅立叶变换 如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下 式给出：