1.前言
1.1背景
利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以
使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积
分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属
于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变
换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成
分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例
如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的
成分。Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家
（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他
的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理
论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉
斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理
学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛
（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少
方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理
论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论
依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展
也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和
拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，
并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
1.2预备知识
定理1.2.1（傅里叶积分定理）
若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：
（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；
（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；
则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处
在它的间断点处
定义1.2.1（傅里叶变换）
设函数满足定理 1.2.1中的条件，则称
为的傅里叶变换，记作。
定义1.2.2（傅里叶级数）
设函数的周期为T，则它的傅里叶级数为：
上式中，
定义1.2.3（傅里叶逆变换）
定义1.2.4（拉普拉斯变换）
若函数满足积分收敛，那么该积分记作
式中s为复数，为积分核，上式称为拉普拉斯变换. 定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）
称为F(s)的拉普拉斯逆变换
＝-1
定义1.2.6（卷积）
假如?1(t)和?2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则
?1(τ) ?2(t-τ)dτ
称为?1(t)和?2(t)的卷积，记为?1(t)*?2(t)
?1(t)*?2(t)＝?1(τ) ?2(t-τ)dτ
2.傅里叶变换的性质及应用
2.1傅里叶变换的性质
性质2.1.1（线性性质）
设常数，[?1(t)]，[?2(t)]则：性质2.1.2（位移性质）
设＝，则
性质2.1.3（微分性质）
设＝，在连续或可去间断点仅有有限个，且
，则：
证明
由傅里叶变换的定义有
性质2.1.4（积分性质）
设，若，
则：
证明
因为
故由微分性质得
即
定理2.1.1（卷积定理）
如果，，则有：
证明
性质2.1.6（Parseval恒等式）
如果有F(ω)＝，则有
这个式子又叫做Parseval等式。
2.2 函数及其傅里叶变换定义2.2.1（函数）
满足：
的函数是函数。
定义2.2.2（函数）
满足：
的函数是函数。
定义2.2.3（函数的数学语言表述）
的极限叫做函数，记作＝
定义2.2.4（函数的数学语言表述）
的极限叫做函数，
记作＝
性质2.2.1（函数的筛选性质）
对任意连续函数，有
性质2.2.2（函数的相似性质）
设a为实常数，则：
定义2.2.5（单位阶跃函数）
函数是单位阶跃函数在时的导数
这里
称为单位阶跃函数。
性质2.2.3（函数的傅里叶变换）因为
所以
即和1，和分别构成了傅里叶变换对。
2.3傅里叶变换的应用
2.3.1求微分积分方程
依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。
例2.3.1
求积分方程
的解，其中
解该积分方程可改写为
为的傅里叶正弦逆变换，故有：
例2.3.2
求积分方程
其中是已知函数，而且的傅里叶变换存在。
解设，。由定义1.2.6（卷积）可
知，方程右端第二项。故对方程两边取傅里叶变换，
根据卷积定理可得：
所以
由傅里叶逆变换，求出原方程的解：
例2.3.3
求微分积分方程
的解，其中，均为常数，为已知函数
解根据傅里叶变换的性质2.1.1（线性性质），性质2.1.3（微分性质），性质2.1.4（积分性质），且记
对原方程两边取傅里叶变换：
,
.
而上式的傅里叶逆变换为
2.3.2解偏微分方程
例2.3.4（一维波动方程的初值问题）
用傅里叶变换求定解问题：
解由于未知函数中的变化围为，
故对方程和初值条件关于取傅里叶变换，记
定解问题已经改变为求含参变量的初值问题：
是一个关于t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为：
由初值条件可知：
因此初值问题的解为：
对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质2.2.4（函数的筛选性质）原定解问题的解为：
3.拉普拉斯变换的性质及应用3.1拉普拉斯变换的性质
性质3.1.1（存在性）
假如在这个区间上可以满足如下的条件：
(1)在任意的一个有限的区间上面分段连续；
(2)，使得
，
则在半平面上，
存在，由这个积分确定的。
性质3.1.2（线性性质）
设k1，k2是常数，，，则：
.
. 性质3.1.3（微分性质）
若，且(n)(t)连续，则：
.
更一般的，?n∈Z+，有：
更一般的，?n∈Z+，有：
证明
由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得：
性质3.1.4（积分性质）
若，则：
。
证明
令则，，则：
性质3.1.5（延迟性质）
若，t＜0时，则?τ＞0，τ为常数，有：
e-sτ
定理3.1.1（卷积定理）
如果，，那么
或者
证明
由定义有：
由于二重积分绝对可积，可交换积分次序：
令：
故：
3.2应用
3.2.1解线性微分方程（组）
例3.2.1（线性微分方程）
求满足初始条件的特解解对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程
于是
取逆变换，得
例3.2.2（常系数线性微分方程组）
求
满足的解