浙江省宁波市奉化区2018-2019学年八年级上学期数学期中四校联考试卷
一、选择题
1.下列图标中是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确;
故答案为:D.
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。
2.已知三角形的两边长分别为3cm和2cm,则第三边长可以是( ).
A. 1cm
B. 3cm
C. 5cm
D. 7cm
【答案】B
【解析】【解答】解:第三边长的取值范围是:
3-2 即1 故答案为:B. 【分析】已知两边长,则第三边的长度小于两边之和,大于两边之差. 3.已知直角三角形ABC,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( ). A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】B 【解析】【解答】解:另一个锐角的度数为, 故答案为:B. 【分析】由直角三角形的两锐角互余,可得另一个角为. 4.下列句子是命题的是() A. 画∠AOB=45o B. 小于直角的角是锐角吗? C. 连结CD D. 相等的角是对顶角 【答案】 D 【解析】【解答】解:A.是作图语句,不是命题,故A不符合题意; B.是疑问句,而命题是一个陈述句,故B不是命题,故B不符合题意; C.是作图语句,不是命题,故C不符合题意; D.是命题,故D符合题意. 故答案为:D 【分析】一般地,判断某一件事情的句子叫做命题.即对事件作出判断,不论正确与否,且是一句陈述句. 5.一元一次不等式x+1>2的解在数轴上表示为() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【解答】解:不等式x+1>2, 移项得x>2-1, 得x>1. 由不等号为“>”,即在数轴上的“1”处为空心点,线的方向为右, 故不等式的解x>1在数轴上表示为: 故答案为:A. 【分析】先求出不等式的解,依据不等号和解在数轴上表示出即可. 6.如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB 和CD),这样做的依据是( ) A. 三角形的稳定性. B. 垂线段最短. C. 长方形的轴对称性. D. 两点之间线段最短. 【答案】A 【解析】【解答】解:防止变形是为了门框的稳定性, 加上木条后构成了两个三角形, 故依据的是三角形的稳定性. 故答案为:A. 【分析】考查三角形的稳定性的实践. 7.如图,BE=CF,AB∥DE,添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是( ) A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥DF 【答案】C 【解析】【解答】解:∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC, ∴BC=EF, ∵AB//DE, ∴∠B=∠DEF, 其中BC是∠B的边,EF是∠DEF的边, 根据“SAS”可以添加边“AB=DE”,故A可以,故A不符合题意; 根据“AAS”可以添加角“∠A=∠D”,故A可以,故B不符合题意; 根据“ASA”可以添加角“∠ACB=∠DFE”,故D可以,故D不符合题意; 故答案为:C. 【分析】由已知条件得到相应边相等和对应角相等.再根据全等三角形的判定定理“AAS”,“SAS”,“ASA”依次判断. 8.如图,AE⊥BC于E,BF⊥AC于F,CD⊥AB于D,△ABC中AC边上的高是线段() A. BF B. CD C. AE D. AF 【答案】A 【解析】【解答】解:三角形底边AC上的高,为对角点B到边AC的垂线段. ∵BF⊥AC于F, ∴BF是边AC上的高. 故答案为:A. 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 9.已知等腰三角形的一个内角是70°,则它的顶角的度数是( ) A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或30° 【答案】C 【解析】【解答】解:∵一个内角是70°, ∴分两种情况讨论: ①当顶角为70°; ②当底角为70°时,顶角为. 综上所述,顶角的度数为70°或40° 故答案为:C. 【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等,则内角可以是顶角也可以是底角;根据三角形内角和即可求出. 10.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,若BC=10,AC=6,则△ACD 的周长是( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】【解答】解:∵DE是线段AB的垂直平分线, ∴AD=BD. ∴CD+AD=CD+BD=BC=10, ∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+10=16. 故答案为:B. 【分析】由垂直平分线的性质可知AD=BD,从而求出CD+AD的值,即可求出△ACD的周长. 11.小明把一副直角三角板如图摆放,其中,则等于(). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【解答】解:如图, 由三角形的外角可得, ∵, ∴, ∴, 故答案为:B 【分析】求,并不需要分别求出;由三角形的外角性质可得 ,由图易知对顶角相等,即 ;而,则可求得的值. 12.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连结EF.当△BEF是直角三角形时,t的值为( ). A. B. 1 C. 或1或 D. 或1或 【答案】C 【解析】【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠ABC=60°, ∴∠A=30°, ∴AB=2BC=4cm. ∵F是AB的中点, ∴BF=AF= cm. ①当EF⊥BC时,∵∠ABC=60°, ∴∠BEF=30°, ∴BE=2BF=2, ∴AE=AB-BE=4-2=2, ∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍); ②当EF⊥AB时,∵∠ABC=60°, ∴∠BFE=30°, ∴BE= BF= , ∴AE=AB-BE=4- = , ∴t= ÷2= 或t=(4+ )÷2= (舍); 故答案为:C. 【分析】△BEF是直角三角形时,而△BEF中∠ABC=60°,故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况,由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半,求出BE的长,则可求出E所运动的距离,注意点E是运动路线是A→B→A,且t(s)(0≤t<3). 二、填空题 13.写出命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题:________. 【答案】两个内角相等的三角形是等腰三角形 【解析】【解答】解:原命题“等腰三角形两底角相等”中条件为“等腰三角形”,结论为“两个底角相等”, 则逆命题的条件为“两个底角相等”,写成“两个内角相等的三角形”, 结论为“等腰三角形”, 故答案为:两个内角相等的三角形是等腰三角形 【分析】逆命题是将原命题的条件和结论互相调换位置得到的.由原命题“等腰三角形两底角相等”,得出相应的条件和结论,再将它们互换位置,并注意语句通顺达意. 14.若a>b,则________ (填“<”或“>”). 【答案】< 【解析】【解答】解:将a>b两边同乘, 得, 再将上式两边同加上2, 得, 故答案为:<. 【分析】由a与b分别转化到,依据不等式的性质,判别不等号的变化. 15.直角三角形的两直角边分别是6和8,则斜边上的高线等于________. 【答案】4.8 【解析】【解答】解:由勾股定理得,斜边的长为, 则斜边上的高为. 故答案为:4.8. 【分析】在直角三角形中,直角边分别是6和8,则由勾股定理求出斜边的长,由面积法求出斜边上的高即可. 16.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△ACD沿CD折叠,A点恰好落在AB的中点E处,则B等于________度. 【答案】30 【解析】【解答】解:由折叠可得CE=CA, 在Rt△ABC中∵点E是斜边AB的中点, ∴CE=BE=AE, ∴CE=CA=AE, ∴△ACE是等边三角形, ∴∠CAE=60°, ∴∠B=30°, 故答案为:30 【分析】由折叠可得CE=CA,又由斜边上的中线是斜边的一半可得CE= =AE,则可证△ACE是等边三角形,可得∠CAE=60°,即可求得. 17.如图,在4×4方格中,点A、B在格点上,以AB为一边,第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出________个. 【答案】7 【解析】【解答】解:如图, 以B为顶角时,有4个符合题意的点; 以A为顶角时,有3个符合题意的点; 以AB为底时,没有符合题意的点. 故总共有7个点符合题意. 故答案为:7 【分析】为不漏情况,需分类讨论:当点B为顶角,即以点B为圆心AB长为半径画圆,与网格的交点为格点的就符合题意,注意三点不在一线上;当点A为顶角时,即以点B为圆心AB长为半径画圆,与网格的交点为格点的就符合题意,注意三点不在一线上;当AB为底边时,作AB的垂直平分线,该线与网格的交点为格点时就符合题意,注意三点不在一线上. 18.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,D为AC中点,过点A作AE∥BC,连结BE,∠EBD=∠CBD,BD=5,则BE的长为________. 【答案】 【解析】【解答】解:如图,连接ED并延长交BC于点F,过点D分别作DP⊥BE,垂足为P;作DQ⊥BC,垂足为Q, 在Rt△ABC中,∵D是斜边AC的中点, ∴AD=CD=BD=5,AC=2BD=10, ∴, ∵AE//BC, ∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD, 又∵AD=CD, ∴△ADE≌△CDF, ∴DE=DF,AE=CF, 又∵∠EBD=∠CBD,DP⊥BE,DQ⊥BC, ∴DP=DQ, 又∵BD=BD,DE=DF, ∴Rt△BDP≌Rt△BDQ(HL),Rt△PDE≌Rt△QDF(HL), ∴BP=BQ,PE=QF, ∴BF=BE, ∴BE+AE=BF+CF=BC=8, 设BE=x,则AE=8-x, 在Rt△ABE中, 由勾股定理得 得, 解得x= , 即BE= . 故答案为: 【分析】连接ED并延长交BC于点F,由AE//BC及点D是AC的中点,可证明△ADE≌△CDF,得 AE=CF,DE=DF,结合∠EBD=∠CBD,可猜想BF=BE,则BE+AE=BC=8,在Rt△ABE中,由勾股定理构造关于BE的方程解答即可. 三、解答题 19.解不等式组,并把它的解表示在数轴上. 【答案】解: 解① , 移项得 合并同类项得x≥-4; 解② 两边同乘20得,4(x+2)-5(x-3) ≥20, 去括号得,4x+8-5x+15≥20, 移项得,4x-5x≥20-8-15, 合并同类项得,-x≥-3, 两边同除以-1,得x≤3; ∴不等式组的解为-4≤x≤3 表示在数轴上,如图所示: 【解析】【分析】按不等式的解法依次解出两个不等式的解,求两个解的公共部分即为不等式组的解. 20.如图,点B、E、C、F在同一直线上,且AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)△ABC≌△DEF; (2)AB∥DE. 【答案】(1)解:证明:∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF 又∵AB=DE,AC=DF, ∴. (2)解:证明:∵△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠DEF, ∴AB∥DE. 【解析】【分析】(1)在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,AC=DF,由BE=CF可得BE+EC=CF+EC,从而BC=EF;依据“SSS”全等三角形的判定定理即可.(2)由三角形全等的性质,可得对应角相等,从而可得AB∥DE. 21.如图,由长度为1个单位的若干小正方形组成的网格图中,点A、B、C在小正方形的顶点上. ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′; ②写出三角形ABC的面积; ③以AC为边作与△ABC全等的三角形(只要作出一个符合条件的三角形即可); ④在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短. 【答案】解:如图,△AB′C′、P点即为所画. ②三角形ABC的面积为3。 ③△AB1C,△AB2C,△AB3C都可以。 【解析】【解答】解② ; 故答案为:3. 【分析】(1)对称轴为直线l,点A在直线l上,则点A位置不变;点B与直线l相距1格,在直线l的右侧找到一点离它为1格,且与B的连续垂直直线l的点即为点B′,同理作C′;(2)由点A,B,C所在最小 的格点长方形中,由长方形的面积减去除△ABC外的部分三角形的面积即可;(3)以AC为公共边,就有以下两种情况:AB3=AB,CB2=AB,依此作出相关三角形即可;(4)作点B关于直线l的对称点即为点B′,连接B′C与直线l的交点,即为点P. 22.已知,如图,四边形,. (1)尺规作图,在线段上找一点,使得,连接,(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)在图形中,若,且,,求的长. 【答案】(1)解:作CD的中垂线交AB于点E. (2)解:由(1)知EC=ED, 又∵∠A=∠B=90°,∠ADE=∠BEC ∴△ADE≌△BEC (AAS), ∴AD=BE, 在Rt△BEC中, ∴AD=BE=2. 【解析】【分析】(1)在线段AB上的一点E到C,D的距离相等,即EC=ED,由垂直平分线的性质可知,点E在线段CD的垂直平分线上.(2)由勾股定理可求得BE的长;由三角形全等可得AD=BE. 23.某校艺术节时欲购40盆花卉布置舞台.现有甲、乙两种花卉可供选择,已知甲种花卉的单价为18元/盆,乙种花卉的单价为25元/盆.若学校计划用于购买花卉的费用最多为860元,且购买乙花卉不少于18盆.请你为该校设计购买方案,并求出最小的费用是多少元? 【答案】解:设购买乙种花卉x盆,则甲种花卉为(40-x)盆, 由题意得18(40-x)+25x≤860 解得x≤20 又∵乙花卉不少于18盆 ∴18≤x≤20 ∵x为整数 ∴x=18或19或20,40-x=22或21或20, ∴一共有三种购买方案,分别是 ①购买甲种花卉22盆,乙种花卉18盆, ②购买甲种花卉21盆,乙种花卉19盆, ③购买甲种花卉20盆,乙种花卉20盆,. 其中第①种购买方案的费用最少,最少费用为846元. 【解析】【分析】依题意设乙种花卉x盆,由最多费用为860元,可得关系式“买甲种花卉的费用+买乙种花卉的费用≤860”,依此列出不等式求解;注意条件“乙花卉不少于18盆”,求出不同的方案再比较花费. 24.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”, (1)如图△ABC中,AB=AC= ,BC=2,求证:△ABC是“美丽三角形”; (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长. 【答案】(1)解:证明:如图,作BC的中线AD,如图, ∵AB=AC= ,AD是BC的中线, ∴AD⊥BC, BD=CD= , 在Rt△ABD中,由勾股定理得AD= , ∴AD=BC, ∴△ABC是美丽三角形. (2)解:①如图1,作AC的中线BD,△ABC是“美丽三角形”, 当BD=AC= 时, 则CD= , 由勾股定理得. ②如图2,作BC的中线AD,△ABC是“美丽三角形”, 当BC=AD时, 则CD= , 在Rt△ACD中,由勾股定理得, 则,解得CD=2, ∴BC=2CD=4. 故BC=3或BC=4. 【解析】【分析】(1)由“美丽三角形”的定义知,要求出△ABC的中线长,再作比较,由AB=AC= ,可知△ABC是等腰三角形,由“三线合一”,可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线,由勾股定理求AD的长即可证明;(2)Rt△ABC中有三条中线,由斜边上的中线是斜边的一半,排除斜边的中线;则有两种可能:AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答. 25.如图 (1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请猜想BE与CD的数量关系:________ ;你是通过证明________ 得到的. (2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?并说明理由; (3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长. 【答案】(1)BE=CD;△ACD≌△AEB (2)解:BE=CD.理由如下: ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中, , ∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD; (3)解:由(1)、(2)的解题经验可知,过A作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°, 则AD=AB=100米,∠ABD=45°, ∴BD=100 米, 连接CD,则由(2)可得BE=CD, ∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°, 在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100 米,(写√20000米不扣分) 根据勾股定理得:CD= =100 米, 则BE=CD=100 米. 【解析】【解答】(1)∵等边△ABD和等边△ACE, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60° ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, ∵在△ACD和△AEB中, , ∴△ACD≌△AEB(SAS). ∴BE=CE. 【分析】(1)BE与CD的数量关系可猜测为BE=CD,可判定△ACD≌△AEB得到;(2)由正方形的性质可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,与(1)同理可证明;(3)由(1)(2)的经验,提示可以通过以AB为一边构造与△CAE类别相同的图形,得到BE=CD.由△CAE是等腰直角三角形,则以AB为腰作等腰三角形,即可得BE=CD,从而根据勾股定理求出CD的长即可.