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浙江省宁波市奉化区2018-2019学年八年级上学期数学期中四校联考试卷

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一、选择题

1.下列图标中是轴对称图形的是()

A. B. C. D.

【答案】 D

【解析】【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;

B、不是轴对称图形,故本选项错误;

C、不是轴对称图形,故本选项错误;

D、是轴对称图形,故本选项正确;

故答案为:D.

【分析】把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。

2.已知三角形的两边长分别为3cm和2cm,则第三边长可以是( ).

A. 1cm

B. 3cm

C. 5cm

D. 7cm

【答案】B

【解析】【解答】解:第三边长的取值范围是:

3-2

即1

故答案为:B.

【分析】已知两边长,则第三边的长度小于两边之和,大于两边之差.

3.已知直角三角形ABC,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( ).

A. 30°

B. 40°

C. 45°

D. 50°

【答案】B

【解析】【解答】解:另一个锐角的度数为,

故答案为:B.

【分析】由直角三角形的两锐角互余,可得另一个角为.

4.下列句子是命题的是()

A. 画∠AOB=45o

B. 小于直角的角是锐角吗?

C. 连结CD

D. 相等的角是对顶角

【答案】 D

【解析】【解答】解:A.是作图语句,不是命题,故A不符合题意;

B.是疑问句,而命题是一个陈述句,故B不是命题,故B不符合题意;

C.是作图语句,不是命题,故C不符合题意;

D.是命题,故D符合题意.

故答案为:D

【分析】一般地,判断某一件事情的句子叫做命题.即对事件作出判断,不论正确与否,且是一句陈述句.

5.一元一次不等式x+1>2的解在数轴上表示为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】【解答】解:不等式x+1>2,

移项得x>2-1,

得x>1.

由不等号为“>”,即在数轴上的“1”处为空心点,线的方向为右,

故不等式的解x>1在数轴上表示为:

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故答案为:A.

【分析】先求出不等式的解,依据不等号和解在数轴上表示出即可.

6.如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB 和CD),这样做的依据是( )

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A. 三角形的稳定性.

B. 垂线段最短.

C. 长方形的轴对称性.

D. 两点之间线段最短.

【答案】A

【解析】【解答】解:防止变形是为了门框的稳定性,

加上木条后构成了两个三角形,

故依据的是三角形的稳定性.

故答案为:A.

【分析】考查三角形的稳定性的实践.

7.如图,BE=CF,AB∥DE,添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是( )

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A. AB=DE

B. ∠A=∠D

C. AC=DF

D. AC∥DF

【答案】C

【解析】【解答】解:∵BE=CF,

∴BE+EC=CF+EC,

∴BC=EF,

∵AB//DE,

∴∠B=∠DEF,

其中BC是∠B的边,EF是∠DEF的边,

根据“SAS”可以添加边“AB=DE”,故A可以,故A不符合题意;

根据“AAS”可以添加角“∠A=∠D”,故A可以,故B不符合题意;

根据“ASA”可以添加角“∠ACB=∠DFE”,故D可以,故D不符合题意;

故答案为:C.

【分析】由已知条件得到相应边相等和对应角相等.再根据全等三角形的判定定理“AAS”,“SAS”,“ASA”依次判断.

8.如图,AE⊥BC于E,BF⊥AC于F,CD⊥AB于D,△ABC中AC边上的高是线段()

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A. BF

B. CD

C. AE

D. AF

【答案】A

【解析】【解答】解:三角形底边AC上的高,为对角点B到边AC的垂线段.

∵BF⊥AC于F,

∴BF是边AC上的高.

故答案为:A.

【分析】从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

9.已知等腰三角形的一个内角是70°,则它的顶角的度数是( )

A. 70°

B. 40°

C. 70°或40°

D. 70°或30°

【答案】C

【解析】【解答】解:∵一个内角是70°,

∴分两种情况讨论:

①当顶角为70°;

②当底角为70°时,顶角为.

综上所述,顶角的度数为70°或40°

故答案为:C.

【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等,则内角可以是顶角也可以是底角;根据三角形内角和即可求出.

10.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,若BC=10,AC=6,则△ACD 的周长是( )

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A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

【答案】B

【解析】【解答】解:∵DE是线段AB的垂直平分线,

∴AD=BD.

∴CD+AD=CD+BD=BC=10,

∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+10=16.

故答案为:B.

【分析】由垂直平分线的性质可知AD=BD,从而求出CD+AD的值,即可求出△ACD的周长.

11.小明把一副直角三角板如图摆放,其中,则等于().

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A. B. C. D.

【答案】B

【解析】【解答】解:如图,

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由三角形的外角可得,

∵,

∴,

∴,

故答案为:B

【分析】求,并不需要分别求出;由三角形的外角性质可得

,由图易知对顶角相等,即

;而,则可求得的值.

12.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连结EF.当△BEF是直角三角形时,t的值为( ).

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A. B. 1 C. 或1或 D. 或1或

【答案】C

【解析】【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠ABC=60°,

∴∠A=30°,

∴AB=2BC=4cm.

∵F是AB的中点,

∴BF=AF= cm.

①当EF⊥BC时,∵∠ABC=60°,

∴∠BEF=30°,

∴BE=2BF=2,

∴AE=AB-BE=4-2=2,

∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍);

②当EF⊥AB时,∵∠ABC=60°,

∴∠BFE=30°,

∴BE= BF= ,

∴AE=AB-BE=4- = ,

∴t= ÷2= 或t=(4+ )÷2= (舍);

故答案为:C.

【分析】△BEF是直角三角形时,而△BEF中∠ABC=60°,故有EF⊥BC和EF⊥AB这两种情况,由直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半,求出BE的长,则可求出E所运动的距离,注意点E是运动路线是A→B→A,且t(s)(0≤t<3).

二、填空题

13.写出命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题:________.

【答案】两个内角相等的三角形是等腰三角形

【解析】【解答】解:原命题“等腰三角形两底角相等”中条件为“等腰三角形”,结论为“两个底角相等”,

则逆命题的条件为“两个底角相等”,写成“两个内角相等的三角形”,

结论为“等腰三角形”,

故答案为:两个内角相等的三角形是等腰三角形

【分析】逆命题是将原命题的条件和结论互相调换位置得到的.由原命题“等腰三角形两底角相等”,得出相应的条件和结论,再将它们互换位置,并注意语句通顺达意.

14.若a>b,则________ (填“<”或“>”).

【答案】<

【解析】【解答】解:将a>b两边同乘,

得,

再将上式两边同加上2,

得,

故答案为:<.

【分析】由a与b分别转化到,依据不等式的性质,判别不等号的变化.

15.直角三角形的两直角边分别是6和8,则斜边上的高线等于________.

【答案】4.8

【解析】【解答】解:由勾股定理得,斜边的长为,

则斜边上的高为.

故答案为:4.8.

【分析】在直角三角形中,直角边分别是6和8,则由勾股定理求出斜边的长,由面积法求出斜边上的高即可.

16.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△ACD沿CD折叠,A点恰好落在AB的中点E处,则B等于________度.

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【答案】30

【解析】【解答】解:由折叠可得CE=CA,

在Rt△ABC中∵点E是斜边AB的中点,

∴CE=BE=AE,

∴CE=CA=AE,

∴△ACE是等边三角形,

∴∠CAE=60°,

∴∠B=30°,

故答案为:30

【分析】由折叠可得CE=CA,又由斜边上的中线是斜边的一半可得CE= =AE,则可证△ACE是等边三角形,可得∠CAE=60°,即可求得.

17.如图,在4×4方格中,点A、B在格点上,以AB为一边,第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出________个.

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【答案】7

【解析】【解答】解:如图,

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以B为顶角时,有4个符合题意的点;

以A为顶角时,有3个符合题意的点;

以AB为底时,没有符合题意的点.

故总共有7个点符合题意.

故答案为:7

【分析】为不漏情况,需分类讨论:当点B为顶角,即以点B为圆心AB长为半径画圆,与网格的交点为格点的就符合题意,注意三点不在一线上;当点A为顶角时,即以点B为圆心AB长为半径画圆,与网格的交点为格点的就符合题意,注意三点不在一线上;当AB为底边时,作AB的垂直平分线,该线与网格的交点为格点时就符合题意,注意三点不在一线上.

18.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,D为AC中点,过点A作AE∥BC,连结BE,∠EBD=∠CBD,BD=5,则BE的长为________.

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【答案】

【解析】【解答】解:如图,连接ED并延长交BC于点F,过点D分别作DP⊥BE,垂足为P;作DQ⊥BC,垂足为Q,

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在Rt△ABC中,∵D是斜边AC的中点,

∴AD=CD=BD=5,AC=2BD=10,

∴,

∵AE//BC,

∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD,

又∵AD=CD,

∴△ADE≌△CDF,

∴DE=DF,AE=CF,

又∵∠EBD=∠CBD,DP⊥BE,DQ⊥BC,

∴DP=DQ,

又∵BD=BD,DE=DF,

∴Rt△BDP≌Rt△BDQ(HL),Rt△PDE≌Rt△QDF(HL),

∴BP=BQ,PE=QF,

∴BF=BE,

∴BE+AE=BF+CF=BC=8,

设BE=x,则AE=8-x,

在Rt△ABE中,

由勾股定理得

得,

解得x= ,

即BE= .

故答案为:

【分析】连接ED并延长交BC于点F,由AE//BC及点D是AC的中点,可证明△ADE≌△CDF,得

AE=CF,DE=DF,结合∠EBD=∠CBD,可猜想BF=BE,则BE+AE=BC=8,在Rt△ABE中,由勾股定理构造关于BE的方程解答即可.

三、解答题

19.解不等式组,并把它的解表示在数轴上.

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【答案】解:

解① ,

移项得

合并同类项得x≥-4;

解②

两边同乘20得,4(x+2)-5(x-3) ≥20,

去括号得,4x+8-5x+15≥20,

移项得,4x-5x≥20-8-15,

合并同类项得,-x≥-3,

两边同除以-1,得x≤3;

∴不等式组的解为-4≤x≤3

表示在数轴上,如图所示:

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【解析】【分析】按不等式的解法依次解出两个不等式的解,求两个解的公共部分即为不等式组的解. 20.如图,点B、E、C、F在同一直线上,且AB=DE,AC=DF,BE=CF.

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(1)△ABC≌△DEF;

(2)AB∥DE.

【答案】(1)解:证明:∵BE=CF,

∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF

又∵AB=DE,AC=DF,

∴.

(2)解:证明:∵△ABC≌△DEF,

∴∠B=∠DEF,

∴AB∥DE.

【解析】【分析】(1)在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,AC=DF,由BE=CF可得BE+EC=CF+EC,从而BC=EF;依据“SSS”全等三角形的判定定理即可.(2)由三角形全等的性质,可得对应角相等,从而可得AB∥DE.

21.如图,由长度为1个单位的若干小正方形组成的网格图中,点A、B、C在小正方形的顶点上.

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①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′;

②写出三角形ABC的面积;

③以AC为边作与△ABC全等的三角形(只要作出一个符合条件的三角形即可);

④在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短.

【答案】解:如图,△AB′C′、P点即为所画.

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②三角形ABC的面积为3。

③△AB1C,△AB2C,△AB3C都可以。

【解析】【解答】解② ;

故答案为:3.

【分析】(1)对称轴为直线l,点A在直线l上,则点A位置不变;点B与直线l相距1格,在直线l的右侧找到一点离它为1格,且与B的连续垂直直线l的点即为点B′,同理作C′;(2)由点A,B,C所在最小

的格点长方形中,由长方形的面积减去除△ABC外的部分三角形的面积即可;(3)以AC为公共边,就有以下两种情况:AB3=AB,CB2=AB,依此作出相关三角形即可;(4)作点B关于直线l的对称点即为点B′,连接B′C与直线l的交点,即为点P.

22.已知,如图,四边形,.

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(1)尺规作图,在线段上找一点,使得,连接,(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)在图形中,若,且,,求的长.

【答案】(1)解:作CD的中垂线交AB于点E.

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(2)解:由(1)知EC=ED,

又∵∠A=∠B=90°,∠ADE=∠BEC

∴△ADE≌△BEC (AAS),

∴AD=BE,

在Rt△BEC中,

∴AD=BE=2.

【解析】【分析】(1)在线段AB上的一点E到C,D的距离相等,即EC=ED,由垂直平分线的性质可知,点E在线段CD的垂直平分线上.(2)由勾股定理可求得BE的长;由三角形全等可得AD=BE.

23.某校艺术节时欲购40盆花卉布置舞台.现有甲、乙两种花卉可供选择,已知甲种花卉的单价为18元/盆,乙种花卉的单价为25元/盆.若学校计划用于购买花卉的费用最多为860元,且购买乙花卉不少于18盆.请你为该校设计购买方案,并求出最小的费用是多少元?

【答案】解:设购买乙种花卉x盆,则甲种花卉为(40-x)盆,

由题意得18(40-x)+25x≤860

解得x≤20

又∵乙花卉不少于18盆

∴18≤x≤20

∵x为整数

∴x=18或19或20,40-x=22或21或20,

∴一共有三种购买方案,分别是

①购买甲种花卉22盆,乙种花卉18盆,

②购买甲种花卉21盆,乙种花卉19盆,

③购买甲种花卉20盆,乙种花卉20盆,.

其中第①种购买方案的费用最少,最少费用为846元.

【解析】【分析】依题意设乙种花卉x盆,由最多费用为860元,可得关系式“买甲种花卉的费用+买乙种花卉的费用≤860”,依此列出不等式求解;注意条件“乙花卉不少于18盆”,求出不同的方案再比较花费.

24.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”,

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(1)如图△ABC中,AB=AC= ,BC=2,求证:△ABC是“美丽三角形”;

(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长.

【答案】(1)解:证明:如图,作BC的中线AD,如图,

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∵AB=AC= ,AD是BC的中线,

∴AD⊥BC, BD=CD= ,

在Rt△ABD中,由勾股定理得AD= ,

∴AD=BC,

∴△ABC是美丽三角形.

(2)解:①如图1,作AC的中线BD,△ABC是“美丽三角形”,

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当BD=AC= 时,

则CD= ,

由勾股定理得.

②如图2,作BC的中线AD,△ABC是“美丽三角形”,

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当BC=AD时,

则CD= ,

在Rt△ACD中,由勾股定理得,

则,解得CD=2,

∴BC=2CD=4.

故BC=3或BC=4.

【解析】【分析】(1)由“美丽三角形”的定义知,要求出△ABC的中线长,再作比较,由AB=AC= ,可知△ABC是等腰三角形,由“三线合一”,可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线,由勾股定理求AD的长即可证明;(2)Rt△ABC中有三条中线,由斜边上的中线是斜边的一半,排除斜边的中线;则有两种可能:AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答.

25.如图

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(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请猜想BE与CD的数量关系:________ ;你是通过证明________ 得到的.

(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?并说明理由;

(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.

【答案】(1)BE=CD;△ACD≌△AEB

(2)解:BE=CD.理由如下:

∵四边形ABFD和ACGE均为正方形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠CAD=∠EAB,

∵在△CAD和△EAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

∴BE=CD;

(3)解:由(1)、(2)的解题经验可知,过A作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°,

则AD=AB=100米,∠ABD=45°,

∴BD=100 米,

连接CD,则由(2)可得BE=CD,

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∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°,

在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100 米,(写√20000米不扣分)

根据勾股定理得:CD= =100 米,

则BE=CD=100 米.

【解析】【解答】(1)∵等边△ABD和等边△ACE,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,

∵在△ACD和△AEB中,

∴△ACD≌△AEB(SAS).

∴BE=CE.

【分析】(1)BE与CD的数量关系可猜测为BE=CD,可判定△ACD≌△AEB得到;(2)由正方形的性质可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,与(1)同理可证明;(3)由(1)(2)的经验,提示可以通过以AB为一边构造与△CAE类别相同的图形,得到BE=CD.由△CAE是等腰直角三角形,则以AB为腰作等腰三角形,即可得BE=CD,从而根据勾股定理求出CD的长即可.

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