勾股定理及其逆定理
1.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )
A. 5cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 20cm
3.如图：图形A的面积是（）
A.225
B.B. 144
C.C. 81
D.D. 无法确定
4.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连
接BC1，则BC1的长为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5.如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（）
A. 15
B. 17
C. 23
D. 113
6. 如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示
数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
6.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为（）
A.
B. 3
C.
D. 5
8. 直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，则斜边长是（）
A. 3
B. 41
C.
D. 9
7.如图，图中直角三角形共有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是（）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
9.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）
A. 12 cm2
B. 15 cm2
C. 144 cm2
D. 306 cm2
13. 已知直角三角形的两边长分别为2、3，则第三边长可以为（）
A. B. 3 C. D.
14. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则
点C的坐标是（）
A. （5，4）
B. （4，5）
C. （4，4）
D. （5，3）
11.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
12.如图，在边长为1个
单位长度的小正方
形组成的网格中，点
A，B都是格点，则线段AB的长度为（）
A. 5
B.6
C.7
D.25
13.如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）
A. B. C. D.
18. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）
A. 48
B. 60
C. 76
D. 80
14.如图，E为正方形ABCD内部一点，且，，，则阴影部分的面积为（）
A. 25
B. 12
C. 13
D. 19
15.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=10km，BC=24km，则M、C两点
之间的距离为( )
A. 13km
B. 12km
C. 11km
D. 10km
16.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则AB=（）
A. 17
B.
C. 289
D. 181
17.直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是（）
A. 5
B. 6
C. 6.5
D. 13
18.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知，，则AC的长为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
19.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）
A. a=15，b=8，c=17
B. a=9，b=12，c=15
C. a=7，b=24，c=25
D. a=3，b=5，c=7
20.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）
A. 2，3，4
B. 3，4，5
C. 6，8，12
D.
21.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B
的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）
A. 10 m
B. 15 m
C. 18 m
D. 20 m
22.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A. 3，4，5
B. 2，3，4
C. 4，6，7
D. 5，11，12
23.在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）
A. 4、7、9
B. 5、12、13
C. 6、8、10
D. 7、24、25
24.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）
A. 20cm
B. 50cm
C. 40cm
D. 45cm
25.已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）.
A. B.
C. D.
26.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）
A. 3，4，5
B. 9，12，15
C. ，，
D. 0.3，0.4，0.5
27.-64的立方根是（）
A. ±8
B. 4
C. -4
D. 16
28.-8的立方根是（）
A. -2
B. ±2
C. 2
D. -
29.的立方根是（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. ±1
30.下列说法正确的是（）
A. 1的相反数是-1
B. 1的倒数是-1
C. 1的立方根是±1
D. -1是无理数
31.在实数0，-2，，3中，最大的是（）
A. 0
B. -2
C.
D. 3
32.在实数，，，中有理数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
33.8的相反数的立方根是（）
A. 2
B.
C. -2
D.
34.下列说法正确的是（）
A. 是有理数
B. 5的平方根是
C. 2＜＜3
D. 数轴上不存在表示的点
35.-的相反数是（）
A. -
B. -
C. ±
D.
36.|1-|的值为（）
A. 1-
B. 1+
C. -1
D. +1
37.在下列实数中：π，-，0，，最小的数是（）
A. -
B. 0
C.
D. π
38.下列结论正确的是（）
A. 无限不循环小数叫做无理数
B. 有理数包括正数和负数
C. 0是最小的整数
D. 两个有理数的和一定大于每一个加数
39.下列说法正确的是（）
A. 3.14是无理数
B. 是无理数
C. 是有理数
D. 2p是有理数
40.下列各式正确的为（）
A. =±4
B. -=-9
C. =-3
D.
41.下列说法正确的是（）
A. 1的平方根是它本身
B. 是分数
C. 负数没有立方根
D. 如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数
42.下列四个数：-2，-0.6，，中，绝对值最小的是（）
A. -2
B. -0.6
C.
D.
43.与最接近的整数是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
44.下列对实数的说法其中错误的是（）
A. 实数与数轴上的点一一对应
B. 两个无理数的和不一定是无理数
C. 负数没有平方根也没有立方根
D. 算术平方根等于它本身的数只有0或1
45.下列说法：①带根号的数都是无理数；②无理数都可用数轴上的点表示；③的平方根是±4：④a2的算术平方
根是a；⑤负数也有立方根，其中正确的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．
【解答】
解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB===6，
∵M是AD的中点，
∴OM=CD=3．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四
条边都相等列式计算即可得解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，
OB=BD=×8=4cm，
根据勾股定理得，AB===5cm，
所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据勾股定理列式计算即可得解；本题考查了勾股定理，是基础题，主要是对勾股定理的理解与应用．
【解答】
解：由勾股定理得，A边长，故A的面积.
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC=AC1，∠CAC1=60°，
∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，
∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，
∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，
故选：C．
根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长是解题的关键．根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
【解答】
解：如图，
∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB=BD=8，DC=7，
∴BC=BD+DC=8+7=15，
根据勾股定理得：AC==17．
故选B.
6.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，OB==，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴该点位置大致在数轴上3和4之间．
故选：C．
利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．
本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴BC2=EC2-EB2=22-12=3，
∴正方形ABCD的面积=BC2=3．
故选：B．
先根据正方形的性质得出∠B=90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了正方形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得：斜边长为，
故选：C．
利用勾股定理即可求出斜边长．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．
【解答】
解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，
故选：C
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．
【解答】
解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，
∴AC==5，
∵∠ACB=90°，AB=13，
∴BC==12．
故选C．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识点是勾股定理和等腰三角形的性质，在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高．
【解答】
解：根据题意画出图形，
，
如图：BC =12，AB=AC=10 ，
在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，
则BD =DC=BC=6 ，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
，
故选C.
12.【答案】C
【解析】解：如图，∵a2+b2=c2，
而a2=81，c2=225，
∴b2=225-81=144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2．
故选：C．
如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=81，c2=225，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．
本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．
13.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论，分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．
【解答】
解：3是直角边时，第三边==，
3是斜边时，第三边==，
所以，第三边长为或．
故选D．
14.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．
【解答】
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=AO+OB=5，
∴AD=AB=CD=5，
∴DO===4，
∴点C的坐标是（5，4）．
故选A．
15.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．
【解答】
解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB===6，
∵M是AD的中点，
∴OM=CD=3．
故选A．
16.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
【解答】
解：如图所示：
AB===5．
故选：A．
17.【答案】C
【解析】【分析】
通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．
【解答】
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，
则AO=1，BO=2，
所以AB=．
周长为4AB=4．
故选C．
18.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查勾股定理以及正方形的性质，解题关键是利用勾股定理求出正方形的边长，然后利用部分之和等于整体求出阴影部分面积.由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE转换求面积.
【解答】
解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.
故选C.
19.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键，根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【解答】
解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，
∴正方形的面积是5×5=25，
∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，
∴阴影部分的面积是25-6=19，
故选D．
20.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=26，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到M、C两点之间的距离．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，
∴AB==26，
∵M点是AB中点，
∴MC=AB=13，
故选A．
21.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,掌握勾股定理是解决问题的关键．由题意可知：斜边为AB，直接由勾股定理求得答案即可．
【解答】
解：根据勾股定理，AB=
=
=17．
故选A
22.【答案】C
【解析】解：由题意得，斜边=，所以斜边上的中线=×13=6.5．
故选：C．
根据勾股定理，先求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出中线长．
此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．
23.【答案】D
【解析】【分析】
考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∵OE=6，
∴BC=2OE=12，
∵AB=5，
∴AC==13，
故选D．
24.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的知识是解决问题的关键.理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方.
解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，
在B组中，92+122=152=225，
在C组中，72+242=252=625，
而在D组中，32+52≠72，
故选：D．
25.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
26.【答案】C
【解析】【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC
的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是
解答此题的关键．
【解答】
解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
∴AC===13（m），
∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．
故选C.
27.【答案】A
【解析】解：A.∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B.∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C.∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D.∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
28.【答案】A
【解析】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
29.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，首先要正确理解题意，明白怎么放桶内所能容下的木棒最长，然
后灵活利用勾股定理，难度一般．
根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内
所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内
所能容下的最长木棒的长度．
【解答】
解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB===40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选C．
30.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】
解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠C=×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B.∵，设a、b、c边长为k、k、k
∴则有k2+k2=2k2，即a2+b2=c2，
∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C.∵∠C=∠A-∠B，
∴∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D.∵b2=a2-c2，
∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．
故选A．
31.【答案】C
【解析】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；
D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
32.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键.依据立方根的定义求解即可.
【解答】
解：∵（-4）3=-64，
∴-64的立方根是-4．
故选C．
33.【答案】A
【解析】解：∵-2的立方等于-8，
∴-8的立方根等于-2．
故选：A．
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
34.【答案】C
【解析】解：的立方根是1，
故选：C．
根据开立方运算，可得一个数的立方根．
本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．
35.【答案】A
【解析】解：A、1的相反数是-1，正确；
B、1的倒数是1，故错误；
C、1的立方根是1，故错误；
D、-1是有理数，故错误；
故选：A．
根据相反数、倒数、立方根，即可解答．
本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．
36.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】
解：2＜＜3，
实数0，-2，，3中，最大的是3．
故选D．
37.【答案】B
【解析】解：在实数，，，中=2，有理数有，共2个．
故选：B．
整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
此题考查了有理数和无理数的定义，注意需化简后再判断．
38.【答案】C
【解析】解：8的相反数是-8，
-8的立方根是-2，
则8的相反数的立方根是-2，
故选：C．
根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．
本题考查的是实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．
39.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系，利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．
【解答】
解：A、是无理数，故A错误；
B、5的平方根是，故B错误；
C、＜，∴2＜3，故C正确；
D、数轴上存在表示的点，故D错误；
故选C．
40.【答案】D
【解析】解：根据相反数、绝对值的性质可知：-的相反数是．
故选：D．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．
41.【答案】C
【解析】解：|1-|的值为-1．
故选：C．
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．
考查了实数的性质，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．42.【答案】A
【解析】解：∵-＜＜0＜π，
∴最小的数是-．
故选：A．
根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
43.【答案】A
【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；
B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；
C、0不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；
D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选：A．
根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．
本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．
44.【答案】C
【解析】解：整数和分数统称为有理数．
A.3.14是小数，可写成分数的形式，所以是有理数，错误．
B.是有理数，错误．
D.2p表示p的2倍，要视乎p本身是否为有理数而定，错误．
故选：C．
按照有理数无理数的定义判断即可．
本题考查了有理数的定义，正确理解有理数定义是解题关键．
45.【答案】D
【解析】解：A、=4，故原题计算错误；
B、-=9，故原题计算错误；
C、=3，故原题计算错误；
D、=，故原题计算正确；
故选：D．
根据=|a|进行化简计算即可．
此题主要考查了二次根式和立方根，关键是掌握二次根式的性质．
46.【答案】D
【解析】解：A、1的平方根是±1，错误；
B、是无理数，错误；
C、负数有立方根，错误；
D、如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数，正确；
故选：D．
根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．
此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．
47.【答案】C
【解析】解：∵|-2|=2，|-0.6|=0.6，||=，||=，
∵，
所以绝对值最小的是，
故选：C．
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．
48.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在5和5.5之间，题目比较典型，根据无理数的意义和二次根式的性质，即可求出答案.
【解答】
解：∵，
∴，
∴最接近的整数为，
∴.
故选B.
49.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系是解题关键．根据平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系，可得答案．
【解答】
解：A.实数与数轴上的点一一对应，说法正确，故选项不符合题意；
B.π+（1-π）=1，说法正确，故选项不符合题意；
C.负数的立方根是负数，说法错误，故选项符合题意；
D.算术平方根等于它本身的数只有0或1，说法正确，故选项不符合题意．
故选C．
50.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了实数中无理数的概念，算术平方根，平方根，立方根的概念.
①根据无理数的定义即可判定；
②根据无理数与数轴的关系即可判定；
③根据算术平方根、平方根的定义计算即可判定；
④根据算术平方根的定义即可判定；
⑤根据立方根的定义即可判定.
【解答】
解：①带根号的数不一定是无理数，有的是有理数，故说法错误；
②无理数都可用数轴上的点表示，故说法正确；
③=4，4的平方根是±2，故说法错误：
④a2的算术平方根是|a|，故说法错误；
⑤负数也有立方根，故说法正确．正确的是：②⑤.
故选B．
17．2 勾股定理的逆定理（2）教案 一、教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（P33例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一 些数学知识和数学方法。 五、例习题分析 例1（P33例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 练习： 1．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． 2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______． 3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）． A ， ．7，24，25 C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5 4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）． A．12.5 B．12 C ． 2 D．9 5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长． 6．已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD． E
学生做题前请先回答以下问题 问题1：勾股定理的内容是什么？ 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：勾股定理的内容是什么？ 答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形． 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数． 0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数．
勾股定理及其逆定理（人教版） 一、单选题(共9道，每道10分) 1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( ) A.可能为锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 3.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④； ⑤（为正整数，且），其中可以构成直角三角形的有
勾股定理及其逆定理（习题） 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC=3，BC=4，∠ACB=90° A 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2 ∴32+42=AB2 ∴AB=5 C B ∴AB+AC=5+3=8 答：这棵树折断之前高 8m． 例 2：如图，在△ABC 中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°． A C B 证明：如图 在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12 ∵52+122=132 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°．
巩固练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC 的长为． B C A 2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了 12km，乙往南 走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为． 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的 面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是（） A．S l+S2>S3 B．S l+S2 5.如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的 长分别为a 和b，斜边长为c．图 2 是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理； （2）假设图 1 中的直角三角形有若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理． b b a a 图1 图2 6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是 A．1.5，2，2.5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，1，2 勾股定理的逆定理及应用 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足a2+b2=c2吗 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗 _______________________________________________________________ __________________ 入门测试 1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB ＝120 m，则AB为( ) A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m 2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm 3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km 4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高m，宽m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长． 5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD 勾股定理及逆定理习题及答案 1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( ) （1）9，12，15; （2）15，36，39; （3）12，35，36 ; （4）12，18，22. 4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 . (A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）. (A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形 6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对 7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航 行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里． 9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ， 则△ABC 是什么特殊三角形？ 1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2) (4) B (5)D 6.A 7.A (8)50海里 9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ， 所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b. 所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形． 勾股定理及其逆定理专题练习 （一）几何法证明勾股定理. 1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理. （二）勾股定理的应用. 一、勾股定理的简单计算： 1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________. 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米. 2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ． 3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ． b c c a a b D C A E B 4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米. 5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________． 三、勾股定理与图形变换： 1、如图，已知ABC ?中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长. 2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ?的面积. 勾股定理及其逆定理的应用常见题型 利用勾股定理求线段长 1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长． (注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 利用勾股定理求面积 2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积． 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状． 利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题 4.(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________． 利用勾股定理解决实际问题 65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？ (第6题) 几种常见的热门考点 勾股定理及其应用 1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为() A．3 B．4 C．5 D．10 (第2题) 2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________． 3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求： (1)AB的长度； (2)△ABD的面积． (第3题) 勾股定理的验证 4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点) 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点) 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图，已知点P 是等边△ABC 内 一点，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数． 解析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，判断△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数． 解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连EP ，∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°.在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋P A 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判 定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题 的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形． 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在△ABC 中，D 为BC 边上的点， AB ＝13，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，求BD 的长． 解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD 为直角三角形，即∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中利用勾股定理可得出BD 的长度． 解：∵在△ADC 中，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，∴AC 2＝AD 2＋CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt △ADB 中，∵AD ＝12，AB ＝13，∴BD ＝AB 2－AD 2＝5，∴BD 的长为5. 方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中． 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的 平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是 勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． (2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． (3)分类讨论思想．（易错题） 例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 (5)方程思想． 例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。 练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A 勾股定理的逆定理 (1)教案 图18.2-2 [活动2] 建立模型 1．你能证明以2.5cm 、6cm 、6.5cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？ 2．如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△是直角三角形，请简要地写出证明过程． [活动3]理论释意 任意三角形的三边长a 、b 、c ，只要满足222c b a =+，一定可以得到此三角形为直角三角形。 1．教材75页练习第1题． 学生结合活动1的体验，独立思考问题1，通过小组交流、讨论，完成问题2．在此基础上，说出问题2的证明思路． 教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题2的证明．之后，归纳得出勾股定理的逆定理．在此基础上，类比定理与逆定理的关系，介绍逆命题（定理）的概念，并与学生一起完成问题． 在活动2中教师应关注： （1）学生能否联想到了“‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键； （2）学生在问题2中，所表现出来的构造直角三角形的意识； （3）是否真正地理解了AB =A /B / （如图18.2-2）；数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法； 在活动3中 （1）利用几何画板，从理论上改变三角形三边的大小，度量∠BAC 是否为直角.从实践上去检验命题的正确性,加深学生对勾股逆定理的理解; 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦． 利用几何画板去验证勾股定理的逆定理,让理论上释意形象生动,可强化学生的记忆,使学生对定理的理解更深刻. [活动4] 拓展应用 1．例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． 小试牛刀 1.教材76页习题18.2第1题（1）、（3）． 2. 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）． A.a =5,b =12,c =13 B ．25,5===c b a C.a =9,b =40,c =41 D ．15,12,11===c b a 在活动4中 学生说出问题（1）的判断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成． 教师板书问题1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念． 在活动4中教师应重点关注： （1）学生的解题过程是否规范； （2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较； （3）活动4中的练习可视课堂情形而定，如果时间不允许，可处理部分. 进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重 点． 勾股定理的逆定理 1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( ) A.22 B.23 C. 6 D. 23 6 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作BC 边上的高AD, △ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。 1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.33 答案：C 分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出AC 和BC 。 详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。 C D 在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。 在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2 -BD 2 =AC 2 -AD 2 ，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，则它的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。 答案：D 详细解答：∵ a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，∴左右两边因式分解得))(()(2 222222b a b a b a c -+=- ∴0))((2 2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02 22=--b a c ， 即b a =或2 22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：∵(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，∴c-b =0且a 2 -b 2 -c 2 =0 即b c =且2 22b a c +=， 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 勾股定理逆定理（2）教学设计 上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请说出它的内容及用途；并说明它与勾 组成的三角形是不 、借助三角板画出如下方位角所确定的射 . 位于东西方向的海岸线 “海天”号轮船同时离开港 号每小 12 30 号沿东北方向航行， ， ABCD 学生通过思考举 手回答及总结得 出勾股定理的逆 定理。 独立思考，得出 答案后相互交流 ⑴了解方位角， 及方位名词； ⑵依题意画出图 形； ⑶依题意可得 PR=12×1.5=18， PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为 242+182=302， PQ2+PR2=QR2，根 据勾股定理的 逆定理，知∠ QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR- ∠QPS=45°。 （2）教师提出你 能根据题意画出 相关图形吗？ 读题是学生理 解题意的重要 环节，只有正 确接收有关信 息，才能为下 一步利用这些 信息进行分析 打好基础。 画图对学生来 说，会有一定 的难度 学生能准确的 画出也可利用 学生画的图进 行进一步的分 析（画图也是 本节课的难 点） 让学生明确， 仅仅基于测量 结果得到的结 论未必可靠， 需要进一步通 过说理等方式 使学生确信结 解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13， ∴ AC2+CD2=52+122=169． 又∵ AD2=132=169， 即 AC2+CD2=AD2， ∴ △ACD 是直角三角形． ∴ 四边形ABCD 的面积为 问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？ 追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？ 追问 2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？ 结论：若a ，b ，c 是一组勾股数，那么ak ，bk ，ck （k 为正整数）也是一组勾股数． 【活动三】巩固拓展 练习1：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC 是什么类型的三角形？ （2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多 （在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图） 11 345123622+=???? 勾股定理及其逆定理 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC =3，BC =4，∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， 由勾股定理，得 AC 2+BC 2=AB 2 ∴32+42=AB 2 ∴AB =5 ∴AB +AC =5+3=8 答：这棵树折断之前高8m ． 例2：如图，在△ABC 中，AB =13cm ，AC =5cm ，BC =12cm ． 求证：∠C =90°． C B A 证明：如图 在△ABC 中，AB =13，AC =5，BC =12 ∵52+122=132 ∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C =90°． 巩固练习 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长为________． C B A 2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人之间的 距离为___________． C B A 3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小 到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2 勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°， 勾股定理及逆定理 一、学习导航 1.有一个角是900的三角形是直角三角形； 2.两锐角互余的三角形是直角三角形； 3.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形； 4.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 5.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c 为斜边)，则 6.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足：两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识梳理与例题精讲 知识点一勾股定理 例1.在Rt△ABC中，∠C=900 如果a=10, b=24,那么c= . 如果a=15, c=25,那么b= . 如果c=10, b=8,那么a= . 例2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 例3.一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑2米，那么它的底端是否也滑动2米？ 知识点二勾股定理的逆定理 例4.有六根木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12,（单位：cm）,从中取出三根，首尾顺次连接成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（） A.2,4,8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 例5.已知：△ABC的三条边长分别为a、b,、c,且a=n2-1,b=2n,c= n2+1(n＞1). △ABC是直角三角形吗？为什么？ 例6. 在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一 点,且BC=4EC.小明经过测量发现∠EA=900,你认为对 吗？ 19.9（4）勾股定理（勾股定理的逆定理及其应用）要点归纳 应用勾股定理时要注意：在直角三角形的三边中，首先弄清那条边是斜边。 应用勾股定理逆定理时要注意：最大边的平方等于较小两边的平方和。 疑难分析 例1 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6.求重叠部分四边形的面积。 例2 如图，P是四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，HD=4，DG=1，CG=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长。 A B 基础训练 1. 在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36、64，则以斜边为边长 的正方形的面积为＿＿＿＿； 2. 在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=＿＿＿＿； 3. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有 ＿＿＿＿米； 4. 如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是＿＿＿＿米； 5. 若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的等边三角形的面积是＿＿＿＿； 6. 在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则△ABC的周长为＿＿＿＿； 7. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（）. A.24 B.36 C.48 D.60 8. 等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）. A.56 B.48 C.40 D.32 9. 若直角三角形一直角边长为9，另两边为连续自然数，则此三角形的周长为（）. A.121 B.120 C.90 D.不能确定 10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家。若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）. A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定 11. 观察下列几组数据：①m2+n2、2mn、m2-n2（m﹥n﹥0）②三边之比为1：2：3；③△ABC 的三边长为a、b、c，满足a2-b2=c2。其中能作为直角三角形三边长的有（）. A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 12. 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E。 （1）若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？ （2）若使得C、D两村到E站的距离和最短，E站建在离A站多 13. 如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则EF的 长是多少？ D' A E 勾股定理和勾股定理逆 定理例题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 勾股定理和勾股定理逆定理经典例题 题型一：直接考查勾股定理 例1 在△ABC 中，∠C=90° （1）已知AC=6，BC=8，求AB 的长； （2）已知AB=17，AC=15，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 1、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 2、如图，水池中离岸边D 点米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是米，把芦苇拉倒岸边，它的顶端B 恰好落在D 点，求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用 1、如图，正方形ABCD 中，E 是 BC 边的中点，F 是AB 上一点，且FB=4 1 AB ，那么△DEF 是直角三角形吗如果是，请说明理由. 题型四：勾股定理在折叠问题中的应用 1、如图，已知在长方形 ABCD 中，CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 拓展延伸：求折痕的长及重叠部分的面积. 经典例题训练： A B C D B C D E D E 1、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米； 212cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，问吸管要做 cm ； 3、已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且 BC=8cm ，CA=6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm ； 20米D 米； 5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 ； 1、如图，△ABC 中，∠BAC=45的面积. 2、 如图，△ABC 中，AD 是BC 第3题 A B 第4题 第5 C 《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系． 2．内容解析 把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题．本节内容证明了这个逆命题是个真命题．勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解勾股定理的逆定理． （2）了解互逆命题、互逆定理． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是学生经历“实验测量－猜想－论证”的定理探究过程后，能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形； 目标（2）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题． 三、教学问题诊断分析 勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导．本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理． 四、教学过程设计 1．创设问题情境 问题1 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论． 师生活动：学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系． 追问1：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？ 师生活动：师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题． 追问2：“如果三角形三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．【设计意图】通过对前面所学知识的归纳总结，自然合理地引出勾股定理的逆定理．问题2 实验观察：用一根打上13个等距离结的细绳子，让学生操作，以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用钉子钉成一个三角形，请学生用角尺量出最大角的度数（900）． 师生活动：学生动手操作，教师适时指导，并介绍这是古埃及人画直角的方法． 追问：你能计算出三边长的关系吗？ 师生活动：师生共同得出． 【设计意图】介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活． 实验操作：（1）画一画，下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形： ①2．5，6，6．5；②4，7．5，8．5． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想． 师生活动：教师引导学生画三角形，并计算三边的数量关系：，．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为900，并猜想：如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．把勾股定理记着命题1，猜想的结论作为命题2． 【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程．问题3 命题1和命题2的题设和结论分别是什么？勾股定理的逆定理及应用
(完整word版)勾股定理及逆定理习题及答案
勾股定理及其逆定理专题练习
勾股定理及其逆定理的应用常见题型
17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
勾股定理的逆定理的应用 公开课获奖教案
勾股定理及其逆定理 一
《勾股定理的逆定理》教案
勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)
勾股定理逆定理实际应用
勾股定理及其逆定理+(习题及答案)
勾股定理逆定理八种证明方法
人教版八年级下册数学勾股定理及逆定理
19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其应用)
勾股定理和勾股定理逆定理例题
人教版-数学-八年级下册-《勾股定理的逆定理》教学设计(第1课时)
相关主题
文本预览