课下能力提升(十三)事件的独立性
一、填空题
1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．
2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．
5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．
二、解答题
6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
(1)甲、乙两地都降雨的概率；
(2)甲、乙两地都不降雨的概率；
(3)其中至少一个地方降雨的概率．
7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为
0.125.
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？
(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，
0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
答案
1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．
答案：相互独立
2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．
据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710
， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725
. 答案：725
3．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12
；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34
. 答案：34
4．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.
答案：0.88
5．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，
通过第一关，所以P (A )＝56
.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．
P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56
. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536
. 答案：2536
6．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为
P 1＝0.2×0.3＝0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为
P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.
(3)至少一个地方降雨的概率为
P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.
7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．
(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，
P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，
P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.
解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有
一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，
于是P (D )＝1－P (A －B －C －)
＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
8．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，
∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1，2)．
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，
∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)
＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)．
由事件的独立性得
P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.