2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3 课下能力提升(十三)事件的独立性Word版 含解析

1．定义一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A,每次试验中P（A）＝p〉0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p（0<p 〈1）,即P（A）＝p，P(A)＝1－p＝q，则事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为P n(k)＝C k，n p k q n－k，k＝0，1，2，…，n.它恰好是（q＋p）n的二项展开式中的第k＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i（i＝1，2，3）表示第i次出现6点这一事件,用B1表示“仅出现一次6点”这一事件．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝（A1错误!2错误!3)＋（错误!1A2错误!3）＋（错误!1错误!2A3)．问题2：试求P（B1）．提示：∵P（A1)＝P（A2)＝P(A3)＝16，且A1错误!2错误!3，错误!1A2错误!3和错误!1错误!2A3互斥，∴P（B1)＝P（A1错误!1错误!2）＋P(错误!1A2错误!3)＋P（错误!1错误!2A3）＝错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＝3×错误!×错误!错误!。

问题3:用B k表示出现k次6点这一事件,试求P(B0）,P(B2)，P（B3）．提示：P（B0)＝P(错误!1错误!2错误!3）＝错误!错误!,P（B2)＝3×错误!错误!×错误!,P(B3）＝错误!错误!.问题4:由以上结果你得出何结论？提示:P（B k)＝C错误!错误!错误!错误!错误!,k＝0，1,2，3.若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝C错误!p k q n－k,其中0<p<1,p ＋q＝1，k＝0，1，2,…，n,则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验：(1）每次试验是在同样条件下进行的；(2）各次试验中的事件是相互独立的;（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生;（4）每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二：其一是对立性，即一次试验中,事件发生与否二者必居其一；其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80％,计算：（结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2）5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种（或准确或不准确）,符合独立重复试验模型．[精解详析］（1）记预报一次准确为事件A,则P（A）＝0。

课下能力提升(六)组合的应用一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．3．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．4. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．5．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？答案1．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最＝4 845个．多有C420＝20×19×18×174×3×2×1答案：4 8454．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：1206．解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)。

2.3.2 事件的独立性 学案学习目标（1）理解两个事件相互独立的概念；（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算． 学习学重难点理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．学习过程 一．问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．二．学生活动设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知()12P A =，()12P B =，()14P AB =，所以()()()12P AB P A B P B ==．即()()P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．三．建构数学1．两个事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足()()P A B P A =，则称事件A ，B 独立． 当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==，即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即()()()P AB P A P B =．（*）若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立.2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A =．3． 立与互斥回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 事实上，当()0P A >，()0P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而()0P AB =，但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，导致矛盾）．4．讨论研究图2-3-2四．数学运用1．例题：课本例2、如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作时，系统N 正常工作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P 。

第1课时 条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取． 问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示:相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P （A )＝23. 问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示:用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P (B ）＝错误!.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下,最后一名同学抽到中奖奖券"．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P （C )＝错误!。

1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率,记为P（A|B)．2．条件概率的计算公式(1）一般地，若P（B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A｜B)＝错误!．(2）利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A｜B）P（B）．1．由条件概率的定义可知，P（A｜B)与P(B｜A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下,事件A发生的可能性大小不一定是P （A），即P（A｜B)与P(A）不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)〉0。

3．P（A｜B）＝错误!可变形为P（AB）＝P(A｜B)P（B）,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1］抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P（A），P（B），P(AB);（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析］(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x,y）|x∈N，y ∈N，1≤x≤6，1≤y≤6｝，如图所示，由古典概型计算公式可知：P（A)＝错误!＝错误!，P（B)＝错误!＝错误!，P（AB)＝错误!.(2)P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!.［一点通] 利用P(A｜B）＝错误!求条件概率的一般步骤：(1）计算P(B）；（2）计算P（AB）(A，B同时发生的概率);（3)利用公式P（A|B）＝错误!计算．其中(1)（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球"，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝错误!，P(AB)＝错误!×错误!＝错误!，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)＝错误!.答案：错误!2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?解:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩}，｛第一个是女孩,第二个是男孩｝,{两个都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,A＝“其中一个女孩"，B＝“其中一个男孩”，则A＝｛（男,女)，(女，男），（女，女）｝,B ＝｛（男，男）,(男,女），（女，男）},AB＝｛（男，女)，（女，男）}．∴P（AB)＝错误!,P(A)＝错误!.∴P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。

2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。

课下能力提升(十九)回归分析(本卷共两页)一、填空题1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．2．已知x，y从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y∧＝0.95x＋a∧，则a∧＝________．3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是____________．(填序号)5广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)492639546万元时销售额为________万元．二、解答题6(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？7(t)之间的一组数据为已知∑5,i＝1x i y i＝62，∑5,i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．答案1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C ＝2πR ，是一种确定性的函数关系．答案：③④⑤2．解析：∵x －＝2，y －＝4.5.又回归直线恒过定点(x －，y －)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.63．解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg4．解析：由相关关系定义分析． 答案：①③④解析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.56．解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．7.解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，8．解：(1)∵x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴σ2数学＝9947＝142，σ2物理＝2507， 从而σ2数学>σ2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，因为∑7x i y i ＝70 497，∑7x 2i ＝70 994， 所以根据回归系数公式得到当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.。

章末分层突破［自我校对］①p i≥0,i＝1，2，…，n②错误!i＝1③两点分布④超几何分布⑤P(B｜A)＝错误!⑥0≤P（B｜A）≤1P(（B＋C）|A)＝P（B｜A)＋P(C｜A）(B，C互斥）⑦P(AB)＝P(A）·P（B）⑧A与B相互独立，则错误!与B，A与错误!，错误!与错误!相互独立⑨P(X＝k）＝C错误!p k（1－p)n－k(k＝0，1,2，…,n）⑩E（aX＋b)＝aE(X)＋b⑪E(X）＝p⑫E(X)＝np⑬V（X）＝p（1－p)⑭V(X)＝np（1－p）⑮V(aX＋b）＝a2V（X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有：利用条件概率公式P(B|A)＝错误!计算．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题,求:(1）第1次抽到理科题的概率;（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题"为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.（1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω）＝A25＝20。

根据分步计数原理，n（A)＝A错误!×A错误!＝12。

于是P(A)＝错误!＝错误!＝错误!.(2）因为n（AB）＝A错误!＝6,所以P（AB）＝错误!＝错误!＝错误!。

(3)由(1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!。

［再练一题]1．掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷出6点,问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．【解】设“掷出的点数之和大于或等于10"为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B。

章末分层突破[自我校对］①错误!②3。

841③6.635线性回归直线方程错误!错误!x错误!错误!x每增加一个单位,y平均增加的单位数．一般来说,当回归系数错误!>0时，说明两个变量呈正相关关系,它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均增加错误!个单位；当回归系数错误!<0时，说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:当x每增加一个单位时，y就平均减少｜错误!｜个单位．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需求量（万236246257276286吨）(1错误!＝错误!x＋错误!；(2)利用（1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．【精彩点拨】正确利用求回归直线方程的步骤求解,注意数据计算的准确性．【规范解答】(1）由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标,画出散点图草图(图略），通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份—2012－4－2024需求量－21－1101929错误!错误!错误!＝错误!＝错误!＝6。

5，错误!＝错误!－错误!错误!＝3。

2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝错误!(x－2012）＋错误!＝6.5（x－2012)＋3。

2,即错误!＝6.5（x－2012）＋260.2。

（＊)(2）利用直线方程(*),可预测2018年的粮食需求量为6.5×（2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260。

2＝299。

2(万吨）．［再练一题］1．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验，得到的数据如下：（1)图3.1(2）求出y关于x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!，并在坐标系中画出回归直线；(3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!)【解】(1)散点图如图．（2)由表中数据得：错误!i y i＝52.5，错误!＝3。

1．5.1二项式定理错误!问题1：我们在初中学习了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3,（a＋b）4的展开式．提示:(a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3,（a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4。

问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明（a＋b）4是如何展开的吗?提示：因(a＋b）4＝（a＋b）(a＋b)（a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b,则其余三个都选a,其方法有C错误!种,式子为C错误!a3b;若有两个选b，则其余两个选a,其方法有C错误!种,式子为C错误!a2b2。

问题4：能用类比方法写出(a＋b）n（n∈N＊)的展开式吗?提示：能，（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!b n.1．二项式定理公式（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n（n∈N＊)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b）n的二项展开式,它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项），用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r。

3．二项式系数C r，n(r＝0，1，2,…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．（a＋b）n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C错误!,…,C错误!，…，C错误!.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n。

[对应学生用书P19]二项式的展开[例1］(1)(a＋2b）4;(2)错误!5.［思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析] （1)根据二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，得（a＋2b)4＝C错误!a4＋C错误!a32b＋C错误!a2（2b）2＋C错误!a(2b）3＋C错误!(2b）4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2）法一:错误!5＝C错误!(2x)5＋C错误!(2x）4错误!＋C错误!（2x)3错误!2＋C错误!（2x）2错误!3＋C错误!(2x）·错误!4＋C错误!错误!5＝32x5－120x2＋错误!－错误!＋错误!－错误!.法二：错误!5＝错误!＝错误!［C错误!（4x3)5＋C错误!(4x3)4·(－3）＋…＋C错误!（4x3）·(－3)4＋C错误!·（－3)5］＝132x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243）＝32x5－120x2＋180x－错误!＋错误!－错误!。

课下能力提升(十三)　事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝＝，P (B )＝＝，401002570100710故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.25710725答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝；第二类，需比赛212局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝.12121434答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有3656种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－＝.63656所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝.2536答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.A－B－C－(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少A－B－C－有一台机器需要照顾”为事件D，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，A－B－C－于是P(D)＝1－P()A－B－C－＝1－P()P()P()＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。