2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3 课下能力提升(十三)事件的独立性Word版 含解析

1．定义一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A,每次试验中P（A）＝p〉0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p（0<p 〈1）,即P（A）＝p，P(A)＝1－p＝q，则事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为P n(k)＝C k，n p k q n－k，k＝0，1，2，…，n.它恰好是（q＋p）n的二项展开式中的第k＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i（i＝1，2，3）表示第i次出现6点这一事件,用B1表示“仅出现一次6点”这一事件．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝（A1错误!2错误!3)＋（错误!1A2错误!3）＋（错误!1错误!2A3)．问题2：试求P（B1）．提示：∵P（A1)＝P（A2)＝P(A3)＝16，且A1错误!2错误!3，错误!1A2错误!3和错误!1错误!2A3互斥，∴P（B1)＝P（A1错误!1错误!2）＋P(错误!1A2错误!3)＋P（错误!1错误!2A3）＝错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＝3×错误!×错误!错误!。

问题3:用B k表示出现k次6点这一事件,试求P(B0）,P(B2)，P（B3）．提示：P（B0)＝P(错误!1错误!2错误!3）＝错误!错误!,P（B2)＝3×错误!错误!×错误!,P(B3）＝错误!错误!.问题4:由以上结果你得出何结论？提示:P（B k)＝C错误!错误!错误!错误!错误!,k＝0，1,2，3.若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝C错误!p k q n－k,其中0<p<1,p ＋q＝1，k＝0，1，2,…，n,则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验：(1）每次试验是在同样条件下进行的；(2）各次试验中的事件是相互独立的;（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生;（4）每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二：其一是对立性，即一次试验中,事件发生与否二者必居其一；其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80％,计算：（结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2）5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种（或准确或不准确）,符合独立重复试验模型．[精解详析］（1）记预报一次准确为事件A,则P（A）＝0。

课下能力提升(六)组合的应用一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．3．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．4. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．5．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？答案1．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最＝4 845个．多有C420＝20×19×18×174×3×2×1答案：4 8454．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：1206．解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)。

2.3.2 事件的独立性 学案学习目标（1）理解两个事件相互独立的概念；（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算． 学习学重难点理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．学习过程 一．问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．二．学生活动设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知()12P A =，()12P B =，()14P AB =，所以()()()12P AB P A B P B ==．即()()P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．三．建构数学1．两个事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足()()P A B P A =，则称事件A ，B 独立． 当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==，即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即()()()P AB P A P B =．（*）若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立.2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A =．3． 立与互斥回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 事实上，当()0P A >，()0P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而()0P AB =，但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，导致矛盾）．4．讨论研究图2-3-2四．数学运用1．例题：课本例2、如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作时，系统N 正常工作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P 。

第1课时 条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取． 问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示:相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P （A )＝23. 问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示:用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P (B ）＝错误!.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下,最后一名同学抽到中奖奖券"．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P （C )＝错误!。

1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率,记为P（A|B)．2．条件概率的计算公式(1）一般地，若P（B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A｜B)＝错误!．(2）利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A｜B）P（B）．1．由条件概率的定义可知，P（A｜B)与P(B｜A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下,事件A发生的可能性大小不一定是P （A），即P（A｜B)与P(A）不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)〉0。

3．P（A｜B）＝错误!可变形为P（AB）＝P(A｜B)P（B）,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1］抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P（A），P（B），P(AB);（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析］(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x,y）|x∈N，y ∈N，1≤x≤6，1≤y≤6｝，如图所示，由古典概型计算公式可知：P（A)＝错误!＝错误!，P（B)＝错误!＝错误!，P（AB)＝错误!.(2)P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!.［一点通] 利用P(A｜B）＝错误!求条件概率的一般步骤：(1）计算P(B）；（2）计算P（AB）(A，B同时发生的概率);（3)利用公式P（A|B）＝错误!计算．其中(1)（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球"，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝错误!，P(AB)＝错误!×错误!＝错误!，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)＝错误!.答案：错误!2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?解:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩}，｛第一个是女孩,第二个是男孩｝,{两个都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,A＝“其中一个女孩"，B＝“其中一个男孩”，则A＝｛（男,女)，(女，男），（女，女）｝,B ＝｛（男，男）,(男,女），（女，男）},AB＝｛（男，女)，（女，男）}．∴P（AB)＝错误!,P(A)＝错误!.∴P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。

2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。

课下能力提升(十九)回归分析(本卷共两页)一、填空题1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．2．已知x，y从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y∧＝0.95x＋a∧，则a∧＝________．3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是____________．(填序号)5广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)492639546万元时销售额为________万元．二、解答题6(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？7(t)之间的一组数据为已知∑5,i＝1x i y i＝62，∑5,i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．答案1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C ＝2πR ，是一种确定性的函数关系．答案：③④⑤2．解析：∵x －＝2，y －＝4.5.又回归直线恒过定点(x －，y －)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.63．解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg4．解析：由相关关系定义分析． 答案：①③④解析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.56．解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．7.解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，8．解：(1)∵x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴σ2数学＝9947＝142，σ2物理＝2507， 从而σ2数学>σ2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，因为∑7x i y i ＝70 497，∑7x 2i ＝70 994， 所以根据回归系数公式得到当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.。

章末分层突破［自我校对］①p i≥0,i＝1，2，…，n②错误!i＝1③两点分布④超几何分布⑤P(B｜A)＝错误!⑥0≤P（B｜A）≤1P(（B＋C）|A)＝P（B｜A)＋P(C｜A）(B，C互斥）⑦P(AB)＝P(A）·P（B）⑧A与B相互独立，则错误!与B，A与错误!，错误!与错误!相互独立⑨P(X＝k）＝C错误!p k（1－p)n－k(k＝0，1,2，…,n）⑩E（aX＋b)＝aE(X)＋b⑪E(X）＝p⑫E(X)＝np⑬V（X）＝p（1－p)⑭V(X)＝np（1－p）⑮V(aX＋b）＝a2V（X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有：利用条件概率公式P(B|A)＝错误!计算．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题,求:(1）第1次抽到理科题的概率;（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题"为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.（1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω）＝A25＝20。

根据分步计数原理，n（A)＝A错误!×A错误!＝12。

于是P(A)＝错误!＝错误!＝错误!.(2）因为n（AB）＝A错误!＝6,所以P（AB）＝错误!＝错误!＝错误!。

(3)由(1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!。

［再练一题]1．掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷出6点,问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．【解】设“掷出的点数之和大于或等于10"为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B。

章末分层突破[自我校对］①错误!②3。

841③6.635线性回归直线方程错误!错误!x错误!错误!x每增加一个单位,y平均增加的单位数．一般来说,当回归系数错误!>0时，说明两个变量呈正相关关系,它的意义是：当x每增加一个单位时，y就平均增加错误!个单位；当回归系数错误!<0时，说明两个变量呈负相关关系,它的意义是:当x每增加一个单位时，y就平均减少｜错误!｜个单位．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需求量（万236246257276286吨）(1错误!＝错误!x＋错误!；(2)利用（1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．【精彩点拨】正确利用求回归直线方程的步骤求解,注意数据计算的准确性．【规范解答】(1）由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标,画出散点图草图(图略），通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份—2012－4－2024需求量－21－1101929错误!错误!错误!＝错误!＝错误!＝6。

5，错误!＝错误!－错误!错误!＝3。

2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝错误!(x－2012）＋错误!＝6.5（x－2012)＋3。

2,即错误!＝6.5（x－2012）＋260.2。

（＊)(2）利用直线方程(*),可预测2018年的粮食需求量为6.5×（2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260。

2＝299。

2(万吨）．［再练一题］1．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验，得到的数据如下：（1)图3.1(2）求出y关于x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!，并在坐标系中画出回归直线；(3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!)【解】(1)散点图如图．（2)由表中数据得：错误!i y i＝52.5，错误!＝3。

1．5.1二项式定理错误!问题1：我们在初中学习了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3,（a＋b）4的展开式．提示:(a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3,（a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4。

问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明（a＋b）4是如何展开的吗?提示：因(a＋b）4＝（a＋b）(a＋b)（a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b,则其余三个都选a,其方法有C错误!种,式子为C错误!a3b;若有两个选b，则其余两个选a,其方法有C错误!种,式子为C错误!a2b2。

问题4：能用类比方法写出(a＋b）n（n∈N＊)的展开式吗?提示：能，（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!b n.1．二项式定理公式（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n（n∈N＊)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b）n的二项展开式,它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项），用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r。

3．二项式系数C r，n(r＝0，1，2,…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．（a＋b）n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C错误!,…,C错误!，…，C错误!.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n。

[对应学生用书P19]二项式的展开[例1］(1)(a＋2b）4;(2)错误!5.［思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析] （1)根据二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，得（a＋2b)4＝C错误!a4＋C错误!a32b＋C错误!a2（2b）2＋C错误!a(2b）3＋C错误!(2b）4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2）法一:错误!5＝C错误!(2x)5＋C错误!(2x）4错误!＋C错误!（2x)3错误!2＋C错误!（2x）2错误!3＋C错误!(2x）·错误!4＋C错误!错误!5＝32x5－120x2＋错误!－错误!＋错误!－错误!.法二：错误!5＝错误!＝错误!［C错误!（4x3)5＋C错误!(4x3)4·(－3）＋…＋C错误!（4x3）·(－3)4＋C错误!·（－3)5］＝132x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243）＝32x5－120x2＋180x－错误!＋错误!－错误!。

课下能力提升(十三)　事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝＝，P (B )＝＝，401002570100710故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.25710725答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝；第二类，需比赛212局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝.12121434答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有3656种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－＝.63656所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝.2536答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.A－B－C－(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少A－B－C－有一台机器需要照顾”为事件D，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，A－B－C－于是P(D)＝1－P()A－B－C－＝1－P()P()P()＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

课下能力提升(三) 排列与排列数公式一、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．3．已知A 2n ＝132，则n ＝________．4．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．5．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________．二、解答题6．计算：(1)2A 47－4A 56；(2)A 316－A 56A 35.7．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .8．用1，2，3，4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．答案1．解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题． 答案：①③2．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确． 答案：③3．解析：A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0，又因为n ∈N *，所以n ＝12.答案：124．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A 35＝5×4×3＝60种不同的排法． 答案：605．解析：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！， 7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5!开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3.答案：36．解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200.(2)原式＝16×15×14－6×5×4×3×25×4×3＝4×14－12＝44. 7．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3. 根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0.解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，故应舍去)． 所以x ＝3.8．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．。

2．3.2事件的独立性错误!有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”,B＝“从乙箱里摸出白球”．问题1:事件A发生会影响事件B发生的概率吗?提示：不影响．问题2：试求P(A)，P（B）．提示:P（A)＝35，P(B）＝错误!.问题3：P(A|B)与P(A)相等吗？提示：相等．问题4:P(AB)为何值?提示：∵P（A｜B）＝错误!＝P(A），∴P（AB)＝P(A）·P(B)＝错误!×错误!＝错误!.事件的独立性概念一般地，若事件A,B满足P(A｜B）＝P(A），则称事件A，B独立性质(1)若A,B独立，且P(A）>0，则B,A也独立,即A 与B相互独立(2）约定任何事件与必然事件独立,任何事件与不可能事件独立，则两个事件A,B相互独立的充要条件是P(AB）＝P(A）P(B）概率计算公式(1)若事件A与B相互独立,则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P（AB)＝P（A）P（B)．（2）推广：若事件A1，A2，…，A n相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…A n)＝P （A1)·P(A2）…P（A n)结论如果事件A与B相互独立，那么A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也都相互独立.1．事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率．2．相互独立事件同时发生的概率:P(AB）＝P(A)P(B)，这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．错误!相互独立事件的概念［例1］(1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球"与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立?为什么?［思路点拨］从相互独立事件的定义入手判断．［精解详析］(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为错误!;若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为错误!.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通］解决此类问题常用的两种方法:(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P（AB）＝P(A)P(B）)可以准确地判定两个事件是否相互独立．（2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子,A＝{第一颗骰子出现奇数点},B ＝{第二颗骰子出现偶数点｝，判断事件A,B是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A＝{第一颗骰子出现1，3，5点｝，共有3种结果．B＝{第二颗骰子出现2,4，6点｝，共有3种结果．AB＝｛第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点｝,共有C错误!·C错误!＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A）＝错误!＝错误!,P(B）＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!＝错误!.∴P(AB)＝P（A）·P（B)，即事件A、事件B相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同",问：A，B,C中哪两个相互独立？解：P(A)＝0。

课下能力提升(八) 二项式定理一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________．2．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．3．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 4．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________．5.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 二、解答题6．求()x －2y37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？7．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．答案1．解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45. 答案：452．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x15－5r ，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ，又∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·26n （n －1）＝3，解得n ＝11.答案：115．解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：76．解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280.7．解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是 T r ＋1＝C r 6x 6－r ()－a rx －2r ＝C r 6x 6－3r ()－a r. 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r n x n －2r 2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列， 则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。

课下能力提升(十三)事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725. 答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536. 答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.－，B的对立事件为B－，C的对立事件为C－，“这个小时内至少有(2)记A的对立事件为A一台机器需要照顾”为事件D，则P(A－)＝0.8，P(B－)＝0.75，P(C－)＝0.5，于是P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

[对应学生用书P45]一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P (AB )P (B ).(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝mn.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k qn －k ，k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p .二、随机变量的分布列1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的分布列 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X 的概率分布为：则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时， E (X )＝nMN ，V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：则E (X )＝________.解析：∵k ＋2k ＋3k ＝1，∴k ＝16，∴E (X )＝1×16＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：732．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝________.解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×35＝15.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为 P ＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫1－232＝3×23×19＝29. 答案：294．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝⎛⎭⎫23k (k ＝1,2,3)，则a ＝________. 解析：依题意得a ⎣⎡⎦⎤23＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12. 答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0,2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， ∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1,2)，(1,3)，…(1,6)，(2,1)，(2,3)，…(2,6)，…(6,1)，…(6,5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13.答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6,1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.答案：2310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________. 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的数学期望为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B (3，25)，所以E (X )＝3×25＝65.答案：6513.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为 P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：1314．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值． 解：(1)X 的可能取值为1,2,3， P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B (5，35)，所以E (X )＝5×35＝3.17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率； (2)求X 的分布列和期望．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122×12＝516. (2)由题意知，X 可能取值为4,5,6,7， P (X ＝4)＝2×C 44×⎝⎛⎭⎫124＝18， P (X ＝5)＝2×C 34×⎝⎛⎭⎫123×12×12＝14， P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫123×12＝516， 故X 的分布列为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的概率分布、数学期望和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的概率分布为：所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.19．(本小题满分16分)(天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝r )＝C r 4·C 3－r 6C 310(r ＝0,1,2,3)．所以，随机变量X 的分布列是随机变量X E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝A B∪A B，A，B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.P(C)＝(A B)＋P(A B)＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E(X)＝x.。

应用创新演练见课时跟踪训练(六)
[一点通] 解答组合应用题的总体思路： (1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于 全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算 结果时使用分类计数原理． (2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要 做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．
1．从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生 的选法共有________种． 解析：法一：选出 3 名志愿者中含有 1 名女生 2 名男生或 2 名女 生 1 名男生，共有 C21C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法； 法二：从 8 名学生中选出 3 名，减去全部是男生的情况，共有 C83－C36＝56－20＝36(种)选法．
(1)只有 1 名女生； (2)两名队长当选； (3)至少有 1 名队长当选． [思路点拨] 特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．
[精解详析] (1)1 名女生，4 名男生，故共有 C15·C84＝350 种． (2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝ 165 种． (3)至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长；2 名队长，故共 有选法 C21·C411＋C22·C311＝825 种，或采用间接法共有 C513－C511＝825 种．
几何问题中的组合问题
[例 2] 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点共 线．
(1)经过这 9 个点，可确定多少条直线？ (2)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个四边形？ [思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．
[精解详析] 法一：(直接法) (1)可确定直线 C44＋C14C15＋C25＝31 条． (2)可确定三角形 C24C15＋C14C25＋C35＝80 个． (3)可确定四边形 C24C25＋C14C35＋C45＝105 个． 法二：(间接法) (1)可确定直线 C29－C24＋1＝31 条． (2)可确定三角形 C39－C34＝80 个． (3)可确定四边形 C49－C44－C34C51＝105 个．

2018年高中数学课下能力提升（十八）独立性检验苏教版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学课下能力提升（十八）独立性检验苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课下能力提升（十八）独立性检验一、填空题1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27。

63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关）2．若两个研究对象X和Y的列联表为:则X与Y之间有关系的概率约为________．3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)①若χ2＝6.635，则我们认为有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．②从独立性检验的计算中求有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病．③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．④以上三种说法都不正确．4．调查者询问了72名男女大学生在购买食品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：从表中数据分析大学生的性别与看不看营养说明之间的关系是________．（填“有关”或“无关”)5．有人发现,多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则由表可知大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．二、解答题6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关,对某年级学生作调查,得到如下数据：学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关?7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.试按照原试验目的作统计推断．8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响,现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．答案1．解析：由χ2值可判断有关．答案：有关2．解析：因为χ2＝错误!≈18.8，查表知P(χ2≥10.828)≈0。