解析弹性力学问题的解题思路
弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力
分布规律。解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立
解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和
物理性质都合适的理想模型。常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算
在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。应力是指单位面积上的力，常
用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。计算应
力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加
解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。边界条件是指在模型的
边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析
在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到
物体内部的应力分布和形变情况。应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证
解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。只有在掌握了相关的知识和方法之后，才能够解析地分析和解决弹性力学问题。
总而言之，解析弹性力学问题要有系统的解题思路，包括力学模型的建立、应力和应变的计算、边界条件和力的施加、应力分布和形变分析，以及解析解的求解和验证。通过不断地练习和实践，我们可以更加熟练地解决弹性力学问题，提高自己的解题能力。
解析弹性力学问题的解题思路 弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力 分布规律。解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。 一、力学模型的建立 解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和 物理性质都合适的理想模型。常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。 二、应力和应变的计算 在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。应力是指单位面积上的力，常 用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。计算应 力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。 三、边界条件和力的施加 解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。边界条件是指在模型的 边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。 四、应力分布和形变分析 在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到 物体内部的应力分布和形变情况。应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证 解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。 在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。只有在掌握了相关的知识和方法之后，才能够解析地分析和解决弹性力学问题。 总而言之，解析弹性力学问题要有系统的解题思路，包括力学模型的建立、应力和应变的计算、边界条件和力的施加、应力分布和形变分析，以及解析解的求解和验证。通过不断地练习和实践，我们可以更加熟练地解决弹性力学问题，提高自己的解题能力。
1. 基本概念 (1) 什么是体力、面力和应力？其方向是如何规定的？试画出正、负y 面上正的应力和正的面力，写出平面问题应力分量满足的Cauchy 公式。 ?????=+=+?????????=? ??????????? ) ()(s f l m s f m l f f m l y yx y x xy x s y x s y yx xy x τστσσττσ (2) 弹性力学有哪些基本假定(6个)？ 1) 连续性假设：物体内物理量－用连续函数表示 2) 线弹性假设：物体服从胡克定律－弹性常数不变 3) 均匀性假设：物体由同一材料组成－材料常数不变 4) 各向同性假设：物体内任一点弹性性质各向同性－弹性常数不随方向而变 －－符合以上四个假定的物体称为理想弹性体 5) 小变形假设：微小位移和应变－尺寸不变－可略去高阶小量－方程线性化 6) 无初始应力假设：物体处于自然状态－求解应力仅由外力或温度改变而产生 (3) 已知物体的边界形状、材料性质、体力和边界约束，如何求解应力、形变和位移？ (4) 弹性力学的两类平面问题是什么？ 等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。这类问题即为平面应力问题。 很长的柱形体，其横截面不沿长度变化，在柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，这类问题即为平面应变问题。 平面应力问题的物理方程为： xy xy x y y y x x E E E τμγμσσεμσσε) 1(2,)(1,)(1+=-=-= 平面应变问题的物理方程为： xy xy x y y y x x E E E τμ+=γσμ-μ-σμ-=εσμ-μ-σμ-=ε)1(2,)1(1,)1(122 (5) 圣维南原理的基本内容是什么？写出与主矢和主矩对应的静力等效条件。 圣维南原理指出：作用在物体表面上一个局部区域内的平衡力系(主矢量为0，对于同一点的主矩也为0)，可以用一个与之静力等效的任意力系来代替，由他们产生的应力分布在力系作用区域内有显著不同，在离开力系作用区域相当远的范围内，其应力分布几乎是相同的(可忽略不计)。
第四章 平面问题的极坐标解答 典型例题讲解 例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。 例4-1图 【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角 max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得 max min ,q q σσ==-。 最大正应力 所在截面的方位角为 max 0max 0tan 10 4 y q q τασσπ α=- =- =-→--=- q q x
若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成 方向截取矩形ABCD ，则在其边界 上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。 （2）取极坐标系如图。由 2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫ =--⎪ ⎪ ⎪⎪ =-+⎬ ⎪⎪ =--+⎪ ⎪⎭ 得矩形薄板ABCD 内的应力分量为 ()()() 22 224 422 22cos 2(1)(13) cos 2(13) sin 2(1)(13) ρφρφ a a σq φa ρρa σq φ b ρa a τq φ c ρρ =--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到 4 4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa ϕ=-+=- 当 ， 时，孔边最小正应力为 ， 当 时，孔边最大正应力为 。 分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。 习题全解 4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
弹性力学 弹性力学简介elasticity 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。 弹性力学的基本内容
第三章应变状态分析知识点 位移与变形 正应变 纯变形位移与刚性转动位移 应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组 体积应变 变形协调方程 变形协调方程证明变形与应变分量 切应变 几何方程与应变张量 位移增量的分解 应变张量 应变状态特征方程 变形协调的物理意义 变形协调方程的数学意义多连域的变形协调 一、内容介绍 本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。 对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。 应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。 二、重点 1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量； 2、几 何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变 状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程 与位移边界条件。 §3.1 位移分量与应变分量几何方程
学习思路: 由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位臵将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。 弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。 由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义，不难得到应变与位移的关系－几何方程，或者称为柯西方程。 几何方程给出的应变通常称为工程应变。几何方程可以表示为张量形式，应该注意的是，正应变与对应应变张量分量相等；而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。 几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。 学习要点： 1、位移函数； 2、变形与应变分量； 3、正应变表达式； 4、切应 变分量；5、几何方程与应变张量。 1、位移函数 由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位臵将发生变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。 第一种位移是位臵的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位臵不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。 第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位臵，而且改变了物体内部各个点的相对位臵，这是物体形状变化引起的位移，称为变形。 一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对于弹性力学，主要是研究变形，因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。 根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图所示。在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，z的单值连续函数。设MM'=S 为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则 u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）， v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）
工程力学考研真题答案解析 近年来，随着考研热潮的兴起，工程力学作为工科专业的核心科目之一，备受考生们的关注。在备考过程中，往往会遇到一些疑难问题，而真题的解析是解决这些问题的有效方法之一。本文将对工程力学考研真题的答案进行解析，希望能够对考生们的备考有所帮助。 一、弹性力学解析 在工程力学考研中，弹性力学是一个重要的考点。其中，最经典的问题之一就是材料的应力应变关系。在2008年的一道真题中，考生需要计算一个等效的应力值。题目描述如下： "一根圆柱形杆件，底面半径为 R，高度为 L，用作一个支撑系统，其顶部的载荷为 P。杆件的材料具有弹性模量 E，泊松比为μ。求载荷作用下，位移δ 的表达式。" 该题的解题思路如下：首先，根据圆柱形杆件的几何形状，可以推导出该杆件的应力分布是均匀的。然后，利用等效应力的概念，可以将该杆件的等效应力表示为 F/A。根据弹性力学中的胡克定律，可以得到应力与应变之间的关系。最后，通过对等效应力进行积分，可以得到位移δ 的表达式。通过这样的解题思路，考生可以轻松解决这类问题。 二、刚体力学解析 刚体力学是另一个重要的考点，其中最典型的问题之一是刚体的平衡条件。在2012年的一道真题中，考生需要求解一个平衡杆的支点位置。题目描述如下：
"一根均匀杆长为 L，质量为 M，分别位于杆两端无质量的支架上。对于该杆，距离左端 a 处的支点处的弯矩为 2Mg(L-2a)，距离右端 b 处的支点处的弯矩为 Mga。求支点位置 a 和 b 的值。" 该题的解题思路如下：首先，根据平衡条件，可以得到对杆的作用力与力矩之间的关系。然后，利用等效力和等效力矩的概念，可以将该杆的左右支点的力和力矩表示为 F1，F2，M1 和 M2。通过对平衡条件进行整理和求解，可以得到支点位置 a 和 b 的值。通过这样的解题思路，考生可以解决这类刚体力学问题。 三、结构力学解析 结构力学是工程力学考研中的另一个重要的考点，其中最常见的问题之一是杆件的内力分析。在2017年的一道真题中，考生需要绘制一个单跨梁的剪力图和弯矩图。题目描述如下： "一根长度为 L，横截面形状为矩形的杆件，受到集中荷载 P 作用在距离杆件左端 a 处。求该梁在距离左端 x 处的剪力 V(x) 和弯矩 M(x) 的表达式，并绘制相应的剪力图和弯矩图。" 该题的解题思路如下：首先，利用平衡条件和等效力的概念，可以得到杆件在不同截面处的剪力和弯矩表达式。然后，通过对剪力和弯矩的方程进行积分和求解，可以得到剪力 V(x) 和弯矩 M(x) 的表达式。最后，通过绘制剪力图和弯矩图，可以直观地了解杆件内力的分布情况。通过这样的解题思路，考生可以成功解决这类结构力学问题。 综上所述，工程力学考研真题的答案解析是备考过程中的重要环节。通过对弹性力学、刚体力学和结构力学的典型问题进行解析，考生可以提高解题的能力和水平。在备考过程中，考生还可以参考相关
弹簧连接体问题解题思路 弹簧连接体问题解题思路 1. 引言 弹簧连接体是一个常见的物理问题，涉及到材料力学和弹性力学的知识。在这篇文章中，我们将探讨弹簧连接体问题的解题思路。通过深入研究和广泛阐述，希望能对读者深刻理解这一主题，为解决类似问题提供指导。 2. 弹簧连接体的定义和基本原理 弹簧连接体是指通过弹簧将两个物体连接起来的装置。在该装置中，弹簧起到了连接、支撑和调节的功能。弹簧连接体的设计和使用都涉及到力的平衡和弹性力学的基本原理。 3. 弹簧连接体问题的解题思路 弹簧连接体问题的解题思路应该从简到繁、由浅入深，以便更好地理解和应用。下面是解题思路的几个关键步骤： 3.1 研究弹簧的材料力学性质 弹簧的材料力学性质是解决弹簧连接体问题的基础。对于不同类型的弹簧，其材料力学性质存在差异，因此需要先研究和了解弹簧的材料
力学特性。 3.2 确定弹簧连接体的力学模型 根据具体问题的要求，确定弹簧连接体的力学模型。可以根据弹簧的形状、材料和受力情况，选择适当的力学模型，以便更好地描述和分析问题。 3.3 列出受力方程 根据弹簧连接体的力学模型，列出受力方程。在列出受力方程时，要考虑弹簧连接体的各个部分之间的相互作用，并考虑到外界的施加力和约束条件。 3.4 解方程求解未知量 根据列出的受力方程，解方程求解未知量。可以使用数值计算、近似方法或解析解等方式进行求解，以获得问题中需要的参数或结果。 4. 解决实际问题的案例分析 在此部分，我们将通过一个实际问题的案例分析来展示弹簧连接体问题解题思路的应用。假设我们需要设计一个承重弹簧连接体，使得在受到外界力的作用下，弹簧连接体能保持稳定并承受最大的力量。 案例分析的具体步骤如下： 4.1 确定弹簧连接体的形状和材料
弹性力学历年真题答案解析 引言：弹性力学是研究物体在外力作用下发生弹性变形的力学分支，广泛应用于工程建筑、航空航天、材料科学等领域。历年弹性力学的考题涉及的内容非常广泛，要求考生具备扎实的理论基础和解决实际问题的能力。本文将对历年真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解弹性力学的核心概念和解题方法。 一、真题题目1 题目：一个长为L、截面为矩形的梁，其宽度为b，高度为h，悬臂端受到均匀分布的受力Q。根据弹性力学理论，求解悬臂端的最大弯矩和最大剪力。 解析：首先，我们需要根据梁的几何形状和受力情况，得出相应的受力分布图。根据弹性力学中的梁弯曲方程，可以得到悬臂端最大弯矩的表达式为Mmax = QL/2。在这个过程中，我们需要使用到弹性力学的基本公式和受力分析方法。 接下来，我们来计算最大剪力。根据弹性力学中的梁剪力方程，可以得到悬臂端最大剪力的表达式为Vmax = Q/2。这个表达式说明了悬臂端的最大剪力与受力的大小直接相关。 综上所述，解决这个问题需要运用弹性力学的基本理论和公式，根据几何形状和受力情况进行受力分析，从而得出最终的答案。这种方法不仅适用于悬臂梁，也可以推广到其他不同形状和受力条件下的梁体。 二、真题题目2
题目：一根长度为L的无限长梁在两端被施加一个力P，求梁体中任意一点A处的变形和应变值。 解析：这个问题涉及到弹性力学中的梁的变形和应变的计算。根据梁的变形理论，可以得到任意一点A处的变形值为δ = Px^2 / (6EI)。其中P为施加在两端的力，x为点A到梁的一端的距离，E为 梁的弹性模量，I为梁的截面转动惯量。 此外，根据弹性力学的定义，应变是描述固体内部分子间距离变化的物理量。对于本题而言，可以得到任意一点A处的应变ε = δ / L。 通过解析这个问题，我们不仅可以得到任意点的变形和应变值，更重要的是理解了弹性力学的基本原理和变形计算方法。这对于解决 实际工程问题具有重要的指导意义。 结论：弹性力学作为一门应用广泛的力学分支，对于工程建筑、航空航天、材料科学等领域有着重要的作用。通过对历年真题的答案 解析，我们深入理解弹性力学的核心概念和解题方法。希望本文能帮 助读者更好地掌握弹性力学的知识，提高解决实际问题的能力。
高中物理的变形题解题技巧 高中物理中，变形题是一个常见的题型，要求学生根据给定的条件，通过运用相关的物理公式和概念，解决与物体形状、结构、运动等相关的问题。本文将从不同角度介绍一些解决变形题的技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。 一、弹性变形题 弹性变形是指物体在受力作用下发生的形状改变，当去除外力后，物体能够恢复原状。在解决弹性变形题时，首先需要明确题目给出的条件和要求，然后根据弹性力学的基本原理进行分析。 例如，有一根弹簧，已知它的弹性系数为k，求当受到外力F时，弹簧的伸长量x。这个问题可以通过胡克定律来解决，即F=kx。通过这个公式，我们可以计算出弹簧的伸长量。 除了胡克定律，还有一些常用的解决弹性变形题的公式，如弹性势能公式 E=1/2kx²，其中E表示弹簧的弹性势能，k表示弹性系数，x表示伸长量。这些公式可以帮助我们计算弹簧在受力下的变形情况。 二、杨氏模量题 杨氏模量是描述物体抗拉性能的物理量，它是指单位面积内的应力与相应的应变之比。在解决杨氏模量题时，我们需要根据题目给出的条件，运用杨氏模量的定义进行计算。 例如，有一根长度为L、截面积为A的铜棒，已知它的杨氏模量为Y，求当受到外力F时，铜棒的伸长量x。这个问题可以通过杨氏模量的定义来解决，即 Y=FL/Ax。通过这个公式，我们可以计算出铜棒的伸长量。
除了杨氏模量的定义，还有一些常用的解决杨氏模量题的公式，如拉伸应变公 式ε=F/(AL)，其中ε表示拉伸应变，F表示外力，A表示截面积，L表示长度。这 些公式可以帮助我们计算物体在受力下的变形情况。 三、应力分析题 应力是物体内部的分子间相互作用力，它是描述物体受力情况的物理量。在解 决应力分析题时，我们需要根据题目给出的条件，运用应力的定义和相关公式进行计算。 例如，有一根长度为L、截面积为A的金属棒，已知它受到的外力为F，求金 属棒上的应力σ。这个问题可以通过应力的定义来解决，即σ=F/A。通过这个公式，我们可以计算出金属棒上的应力。 除了应力的定义，还有一些常用的解决应力分析题的公式，如拉伸应力公式 σ=F/A，压缩应力公式σ=-F/A，剪切应力公式τ=F/A。这些公式可以帮助我们计算 物体在受力下的应力情况。 综上所述，解决高中物理的变形题需要掌握相关的物理公式和概念，同时要注 意题目给出的条件和要求。在解题过程中，可以根据题目的特点选择合适的公式进行计算，通过代入数值和运算，得出最终的答案。同时，我们还可以通过类比和推理，将解决一个问题的方法应用到其他类似的问题中，提高解题的效率和准确性。希望这些解题技巧能够帮助高中学生更好地应对变形题，提升物理学习的成绩和能力。
弹性力学课后习题及答案 弹性力学课后习题及答案 弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重 要环节。本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大 家的学习有所帮助。 一、弹性体的应力与应变 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。 求该弹性体的应变。 答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。 2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。 二、弹性体的应力分布 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布 是否均匀？ 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。由 此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力 越大。因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。 2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形 状有关？ 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。由
此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力 越大。因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。 三、弹性体的弹性模量 1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。 答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。 由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。 2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受 力F作用下的形变。 答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。 四、弹性体的弹性势能 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。 求该弹性体的弹性势能。 答案：根据弹性势能的定义，弹性势能U等于应力σ与应变ε的乘积再乘以截 面积A和形变ΔL的乘积，即U = (σ * ε * A * ΔL) / 2。 2. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，截面积为A，形变为ΔL，求该弹性体的 弹性势能。 答案：根据弹性势能的定义，弹性势能U等于应力σ与应变ε的乘积再乘以截 面积A和形变ΔL的乘积，即U = (σ * ε * A * ΔL) / 2。 总结： 弹性力学是一门重要的力学学科，主要研究物体在受力作用下的形变和应力分 布规律。通过课后习题的练习，可以帮助巩固所学知识，提高解题能力。本文
一、按应力求解平面问题； 1、按应力求解平面问题的基本思路； （1）找到用应力表示的方程组 （2）给出合适的应力边界条件，求解 （3）根据物理方程求出 （4）根据几何方程确定 2、按应力求解平面问题的一般提法： 平衡微分方程 补充方程（平面应力） 补充方程（平面应变） 应力边界条件
3、应力函数 ； ； （记） 按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数 ，它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。 二、按位移求解平面问题； 1、按位移求解平面问题的基本思路； （1）寻求关于位移的方程组 （2）根据 求出位移分量 （3）根据几何方程导出应变分量 （4）根据物理方程导出应力分量
2、按位移求解平面问题的一般提法 基本方程 用位移表示的应力边界条件（平面应力） （平面应变） 位移边界条件 三、逆解法； 1、逆解法的基本思路； （1）设定各种形式的应力函数 ，要求：满足相容方程 （2）求得应力分量
（3）由应力边界条件（2-15）式和弹性体的边界形状找到应力分量对应的面力，从而得知所选取的应力函数 可以解决的问题。 四、半逆解法；￥￥￥ 1、半逆解法的基本思路； （1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式； （2）推出应力函数的形式； （3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式； （4）由应力函数求得应力分量； （5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）； （6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。 五、差分法；￥￥￥ 1、基本思想；
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的基本规律规律假设 弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设： 1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空袭。 2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 因此，物体的弹性性质处处是相同的。 3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。 4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全 弹性材料。 5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设， 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。
弹性力学的平面问题解法 摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、 数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过 其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。弹性 力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件, 它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外 界条件作用下产生的应力、应变和位移。它的研究对象是板、壳、实体以及单根 杆件。 关键词：弹性力学；平面问题；解法 前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。并且随着科学技术手段 的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分 析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通 过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会 弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。 1 问题解法 1.1解析法 解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平 面问题的精确解法。按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求 解的应力法。第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下： 位移边界条件如下 从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三 个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与 混合边界条件。第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微 分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式： 基本方程： 应力边界条件： 值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。对于位移边界条件，虽 然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同 时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。 1.2 数值解法 弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时 的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对 实际工程造成太大影响。从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。数值分析方法有 以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简 化了计算。变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立 弹性力学的求解方程。其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和 最小势能原理。有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单 元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。然后进行单元分析，形成单元刚度矩阵， 进行整体分析，集成整体刚度矩阵，并运用矩阵位移法求解。有限单元法便于编程，因此随
A 第五章弹性力学的求解方法和一般性原理 弹性力学基本方程 边界条件 位移表示的平衡微分方程 应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性 质 逆解法和半逆解法 解的迭加原理，弹性力学基本求解方法 一、内容介绍 通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。 弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有 平衡微分方程、儿何方程和本构方程，也是15个。面对这样一个庞大的方程组, 直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。根据这一要求，本章的主要 任务有三个： 一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类； 二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程, 得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法 等。应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。 三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原 理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。 如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保 证今后课程的学习。 二、重点 1、弹性力学的基本方程与边界条件分类； 2、位移解法与位移表示 的平衡微分方程； 3、应力解法与应力表示的变形协调方程； 4、混合 解法； 5、逆解法和半逆解法； 6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维 南原理 知识点 位移解法 位移边界条件 变形协调方程 混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理
第九章柱体的扭转 9.1扭转问题的位移解法 学习思路： 本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数（x,y）0 基本未知量翘曲函数（x,y）0确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。 学习要点： .扭转位移假设； .扭转翘曲函数满足的基本方程； .扭转边界条件； .扭转端面边界条件； 当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制， 就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两 个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T,侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形，设坐标为z的横截面的扭转角为，则柱体单位长的相对扭转角为。 而横截面的扭转角Z。 对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横 向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不 变。根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设： .刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变, 当扭转角很小时，设OP=, 横截面作为整体绕z轴转动，如图所示 n=pcos (ct+J 3y =-psinef sit ig一一y cc=_^ V z v=+f 1]- 『s in，=〃写incrc写#==中xz ・横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比，而且各个截面的翘曲相同，即W=(x, V) (X, y)称为圣维南(SaintVenant) ff 1转函数，或者称为翘曲函数
一、内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。 二、重点 1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调 和方程的极坐标形式；3、轴对称应力及厚壁圆筒应 力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题 1 平面问题极坐标解的基本方程 学习思路: 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。 由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取及问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点： 1、极坐标下的应力分量； 2、极坐标平衡微分方程； 3、极坐标下的应变分量； 4、几何方程的极坐标表 达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的算 符；7、应力函数。 1、极坐标下的应力分量 为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体，其由两个相距d的圆柱面和互成 d的两个径向面构成，如图所示 在极坐标系中，用表示径向正应力，用表示环向正应力,和分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，＝。 首先推导平衡微分方程的极坐标形式。 考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设面上的应力分量为和,则面上的应力分量为
静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭 转问题最小余能近似解 有 限元原理与变分原理 有限 元原理的基本概念 有限元 整体分析 第十一章 弹性力学的变分原理 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(『anQpKUH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。 一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。 变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。 知识点
、重点 1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。 §11.1弹性变形体的功能原理 学习思路： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力 和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为S 0如图所示