2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解
的对应关系
状元随笔一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p p)(x－q)>0，则x>q或x [教材解难] 教材P50思考 能．可以从2个角度来看 ①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． ②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根． [基础自测] 1．下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A．a2x2＋2≥0 B.1 x2 <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合． 答案：C 2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( ) A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－∞，－1] D．[－1,0] 解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D. 答案：D 3．函数y＝ 1 7－6x－x2 的定义域为( ) A．[－7,1] B．(－7,1) C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞) 解析：由7－6x －x 2 >0，得x 2 ＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7 4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________． 解析：不等式1＋2x ＋x 2 ≤0化为(x ＋1)2 ≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1} 题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2 －5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2 －6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集． 【解析】 (1)对于方程x 2 －5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2， x 2＝3. 画出二次函数y ＝x 2 －5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2 －5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}． (2)对于方程9x 2 －6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13. 画出二次函数y ＝9x 2 －6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2 －6x ＋1>0的解集为 ??? x ? ???? ?x ≠13 (3)不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根． 画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)． 结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为?. 因此，原不等式的解集为?. 因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集． 教材反思 我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0； (2)－x 2 －2x ＋3≥0； (3)x 2 －2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0. 解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2 －7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2 －7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2 －7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}． (2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2 ＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x 2 ＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2 ＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2 －2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (3)因为Δ＝0，所以方程x 2 －2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2 －2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2 －2x ＋1＜0的解集为?. (4)原不等式可化为2x 2 －3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2 －3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2 －3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . 状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→ 函数 图象 结果 题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题] 例2 已知关于x 的不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集为{x |2 ＋bx ＋a <0的解集． 【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2 ＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝ －5 6 ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12 ，所以不等式cx 2 ＋bx ＋a <0的解集为? ????－∞，13∪? ?? ??12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集为{x |2 2 ＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2 ＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2 －5ax ＋6a ?b ＝－5a ，c ＝6a ， 故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2 －5ax ＋a <0?6a ? ????x －13? ????x －12<0，故原不等式的解集为 ? ????－∞，13∪? ?? ??12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2 ＋bx ＋a<0的解集 方法归纳 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R 或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围． 跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2 ＋px ＋q <0的解集为?????? ????x ??? －12 13，求不等式qx 2 ＋px ＋1>0的解集． 解析：因为x 2 ＋px ＋q <0的解集为 ?????? ????x ??? －12 1 3，所以x 1＝－12与x 2＝1 3是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得????? 13－1 2＝－p ， 13×? ?? ?? －12＝q ，解得????? p ＝1 6，q ＝－1 6. 所以不等式qx 2 ＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0， 整理得x 2 －x －6<0，解得－2 即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2 观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组 →确定p ，q 的值→求不等式qx 2 ＋px ＋1>0的解集 题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2 ＋ax ＋2>0. 【解析】 对于方程2x 2 ＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2 －16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2 －16)，x 2 ＝14 (－a ＋a 2 －16)． ∴原不等式的解集为 ?????? ????x ??? x <1 4(－a －a 2 －16)或x >1 4 (－a ＋a 2－16) . ②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1， ∴原不等式的解集为{x|x≠－1}． ③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1， ∴原不等式的解集为{x|x≠1}． ④当－4 状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数． 方法归纳 含参数一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小； (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a<0时，有a (2)当0 (3)当a>1时，有a2>a，即x (4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； (5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； 综上可知： 当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x 当0 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}． 状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→ 比较a与a 2的大小→写出不等式的解集 题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题] 例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收 入r (x )满足r (x )＝? ?? ?? －0.5x 2 ＋7x －10.5，0≤x ≤7， 13.5，x ＞7. 假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ 【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则 f (x )＝r (x )－ g (x )，所以f (x )＝??? ? ? －0.5x 2 ＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7， 要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0????? ? 0≤x ≤7，－0.5x 2 ＋6x －13.5＞0或 ????? x ＞7， 10.5－x ＞0 ? ? ???? 0≤x ≤7， x 2 －12x ＋27＜0或? ?? ?? x ＞7， 10.5－x ＞0?? ?? ?? 0≤x ≤7， 3＜x ＜9或? ?? ?? x >7， x <10.5.则3＜x ≤7或7 ＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2 ＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当 x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大. (1)求利润函数f(x)?解不等式f(x)>0?回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值?回答实际问题． 方法归纳 解不等式应用题的四步骤 (1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题． 特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %) 依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝1 50a (100＋2x )(10－x )(0 50a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2 ＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2. 又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}． 状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下： 一、选择题 1．不等式3x 2 －2x ＋1>0的解集为( ) A.??????????x ? ?? －1 13 B.?????? ??? ?x ??? 1 3 解析：因为Δ＝(－2)2 －4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2 －2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2 －2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2 －2x ＋1>0的解集为R . 答案：D 2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m 解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为 x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n 选B. 答案：B 3．不等式ax 2 ＋5x ＋c >0的解集为?????? ??? ?x ??? 13 1 2，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 解析：由题意知，方程ax 2 ＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1 ＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝c a .解得a ＝－6，c ＝－1. 答案：B 4．若不等式x 2 ＋mx ＋m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2) 解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2 －4×1×m 2<0，即m 2 －2m <0，解得0 故答案为D. 答案：D 二、填空题 5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________． 解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝5 2 ，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图 象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和? ?? ??52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为? ????? ??? ?x ??? －3 52. 答案：?????? ??? ?x ? ?? －3 5 2 6．不等式2x －1 2x ＋1<0的解集为________． 解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0， 即? ????x －12???? ??x －? ????－12<0， 故原不等式的解集为?????? ??? ?x ??? －12 1 2. 答案：?????? ??? ?x ??? －12 1 2 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2 的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大． 解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0 x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20 时，能围成一个面积大于600 m 2 的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25) 2 ＋625(0 答案：25 25 三、解答题 8．解下列不等式： (1)x 2 ＋2x －15>0； (2)x 2－3x ＋5>0； (3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． 解析：(1)x 2＋2x －15>0?(x ＋5)(x －3)>0?x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}． (2)因为Δ＝(－3)2 －4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2 －3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R . (3)由原不等式得8x 2 －8x ＋4>4x －x 2 . ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2 －12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23 . 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为?????? ????x ? ?? x ≠ 2 3. 9．若关于x 的一元二次不等式ax 2 ＋bx ＋c <0的解集为? ????? ????x ??? x <13或x > 1 2，求关于x 的不等式cx 2 －bx ＋a >0的解集． 解析：由题意知????? a <0， 13＋12 ＝－b a ， 13×12＝c a ， 所以????? a <0， b ＝－56a >0， c ＝16a <0， 代入不等式cx 2 －bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2 ＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3 [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2 －ax －2a 2 <0. 解析：方程x 2 －ax －2a 2 ＝0的判断式Δ＝a 2 ＋8a 2 ＝9a 2 ≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－ a . (1)若a >0，则－a <0，此时解集为?. 综上所述，原不等式的解集为： 当a >0时，{x |－a 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3 中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式 ◆知识讲解 （1）最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）． （3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）． （4）抛物线与x 轴的交点． 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交． ②有一个交点（顶点在x 轴上）?△=0?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离． （5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点． 同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，?两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根． （6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点；③方程组无解时?L 与G 没有交点． （7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，?再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分． 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个 数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图 象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与 x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不 等式ax2＋bx＋c＜0的解集 是 . 例5. 已知P（3,m -)和Q（1，m）是抛物线2 21 y x bx =++上的两点． （1）求b的值； 22 y mx x m =+-m x （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有 一个交点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ， . （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++，. （3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0?时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合 高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为() A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-, 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 一元二次函数、方程与不等式 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知a ，b ，c ，d 为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ．ac bd > B ．a c b d ->- C ．a d b c ->- D ．1 1 a b < 2．若x ≠－2且y ≠1，则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5 D ．M ≤－5 3．不等式13 ()()022≥x x +-的解集是（ ） A ．1{|2x x <-或3 }2x > B ．1 {|2x x ≤-或3 }2x ≥ C ．13{|}22x x -≤≤ D ．1 3 {|}22x x -<< 4．设11b a -<<<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11 b a > B ．11 b a < C ．22b a < D ．2b a < 5．若()0,2x ∈，则()2x x -的最大值是（ ） A ．2 B ．3 2 C ．1 D ．1 2 6．若21y x ax =-+有负值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或2a <- B ．22a -<< C ．2a ≠± D ．13a << 7、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1 |23x x ??-<?? C ．1|23x x ?? -<?? 8．已知关于x 的不等式24x x m -≥，对任意(0,1]x ∈恒成立，则有（ ） A ．3m ≤- B ．3m ≥- C ．30m -≤< D ．4m ≥- 9.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） 二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧 密关系，提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）双根式： 求二次函数解析式的方法： ○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便 2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。 （1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当a b x 2- =时，函数有最 值为 （2）当0x f ， 当 时，恒有 ()0.二次函数与方程、不等式综合问题
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