2013参考答案
2012年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试
数学部分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 （1）在锐角ABC ?中，已知A B C >>,则cos B 的取值范围为（ ）
(A) (0,2 (B) 1[,)22 (C) (0,1) (D) (2
解
：
由
于
,,
2
2
A B C A
π
π
π+
+
=?为锐角三角形，因此又
因为是锐角三角形所以,022B π
?<
??
所以在，内取值。选A.
（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种
解：从6个位置中，先给两个車选位置，有2
615C =种方法，由于总是红棋子在前，蓝棋子在后，所以只有一种排法，因此車总共有15种排法；继续排马，有2
46C =种，剩下两个位置自然是炮，因此总共有90种排法，选C 。
（3）正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱
SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则
,,,αβγθ之间的大小关系是（B ）
(A)αβθγ<<< (B) αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<< 解：设正四棱锥的高是,h a 底面边长为
可求cos ,cos =,cos =0,22a h h αβγ
因为0,22a
h h
>>所以2παβγ<<≤，下面求
cos θ，
过B 作BM SC ⊥于M ，连接DM ，由对称性，可知DM SC ⊥， 所以DMB ∠为二面角B SC D --的平面角，可以计算出
22222
21
2()
2cos 1012()
4
a h a a h a θ+=-<+，所以θ为钝角.选B. （4）向量a e ≠，||1e =。若,||||t R a te a e ?∈-≥+，则（ ）
(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e -⊥+
解析：由于,||||t R a te a e ?∈-≥+，那么22||||a te a e -≥+，即22()()a te a e -≥+ ，从而有
2222
2
22e t a et a e a e a -?+≥+?+
即t R ?∈，2
2120t a et a e -?--?≥，因此24()4(12)0a e a e ?++?≤，得到2(1)0a e ?+≤，
即1a e ?=-。因此有
2
()||110e a e e a e ?+=?+=-+=，从而()e a e ⊥+。选C （5）若复数
11ωω+-的实部为0，Z 是复平面上对应1
1ω
+的点，则点(,)Z x y 的轨迹是( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧
解：设
1,1i ωααω-=∈+，解得11i i αωα+=-，1111222i i αα
ω-==-+，
因此(,)Z x y 的轨迹是一条直线。
（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆()2
2
(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离
心率的取值范围是（ ）
(A) 11,84?????? (B) 11,42?????? (C) 11,82?????? (D) 13,24??
??
?? 解：令
yi x yi x yi
x yi x yi
x yi x R y x yi x 212122)12(1-1,1-2-1,11),,(11+-=-+=+-+=++=+=+∈+=+）（所以则ωωωωω
其实部为0，所以2x-1=0(y ∈R),这就是所求轨迹的实方程，是一条平行纵轴的直线。 （7）已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是ABC 的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ） (A)
12
(B) 2
(C) 4
(D) 34
（8）如图，在锐角ABC ?中，AB 边上的高CE 与AC 边上的高BD 交于点H 。以DE 为直径作圆与AC 的另一个交点为G 。已知25BC =，20BD =，7BE =，则AG 的长为（ ）
(A) 8 (B)
42
5
(C)10 (D)
545 解答:连接DF ，则有DF 垂直AC,由已知条件有cosB=53,cosC=257,所以sinB=5
4
,sinC=2524，于
是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB=5
4
=sinB.
因此∠A=∠B,即△ABC 为等腰三角形，于是由CD
垂直可得
AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.
又因为∠CDB=∠CEB= 90，所以B,C,D ，E 四点共圆，∠ABC=∠BAE,因此△ADE 为等腰三角形， 所以，DF 垂直AC 知，AF=FE=
2
AE
=9 （9）已知数列{}n a 的通项公式为22
lg(1)3n a n n
=++，1,2,3,n =。n S 是数列的前n 项
和。则lim n x S →∞
（ ）
(A) 0 (B) 3
lg 2
(C) lg 2 (D) lg 3 解：
（10）已知610(1,2,
,10)i x i -≤≤=10
1
50i i x ==∑，
当10
21
i i x =∑取得最大值时，在1210,,,x x x
这十个数中等于6-的数共有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个
解：首先要求平方和最大，- 6 ≤i x ≤ 10, 我们希望有较多的10，但是10的个数不能太多，如果有7 个10，那么和为70，这样剩余的三个数最多能加到-18，不能满足和为50，但如果有6个10，剩余4个数做和可以等于-10，从而满足做和为50，这样，我们得到应该有6个10，另一方面，剩余4个数字做和为-10，可取3个- 6，1个8，不难验证，这种组合平方和最大。选C.
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）(本小题满分14分)
在ABC ?中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 。已知2
2sin 1cos 22
A B
C +=+ （1）求C 的大小
（2）若22222c b a =-，求cos 2cos 2A B -的值.
解：（1）()2
1
21-cos 1cos 2,1+cos 2cos ,cos ,23
A B C C C C C π+=+=∴=-=
因此 （2）222222
3=2-2,sin 2sin 22sin 2,4
c b a C B A ∴=-=
()()()22223cos 2cos 212sin 12sin 2sin sin 4
A B A B B A -=---=-=
（12）(本小题满分14分)
已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且2
2PA PB PH ?=
①
求动点P 的轨迹C 的方程
② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。
解：设P(x,y),则H(0，y),由22AP BP PH ?=2222,(x-2,y)2x ,-4x y y x +?==得（）即 （1）令CD:)0(2≠+=m my x 代入422=-x y ，整理得084)1(22=---my y m 因为直线在x 轴下方交P 点轨迹于C(11,y x )，D(22,y x )两点所以上式有两个负根，由
???
?
?
?????--=
???-=+?-+=?≠-018
210140)1(3216012212212
22m y y m m m y y m m m
根据韦达定理，得CD 中点M 的坐标为
)12,12()2,2(
222121m
m m y y x x M --=++ 代入直线MQ 的方程y+2=kx,(k 为其斜率)得
2
212212m k m m -=+-
所以，k=)1,12(4
5
)21(122-∈+
--=++-m m m ,(1)2??m .
（13）(本小题满分14分)
系统中每个元件正常工作的概率都是(01)p p ＜＜
，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的
可靠性。
（1） 某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式
= = = = = = （2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能
否提高系统的可靠性。 解答：显然n k n K n n k K p p C
P ---=--=
∑121
1
2)1(,注意到
21211212122-----+++=n k n k n k n k C C C C ，
所以
1+K P =n
k n
k
n n k p
p C -+=+∑-12012)1(
因此，当p ≥
21时，{k p }递增，当P≥2
1
时，{k p }递减。
(14) (本小题满分14分)
记函数2()1,1,22!!
n
n x x f x x n n =+++???+=???证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根n θ，
且2n n θθ+＞。
证明一：
用数学归纳法证明0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，显然
n=1时，此时x x f +=1)(1有唯一解11-=x ，且严格单调递增，而2
1)(2
2x x x f ++=无实
n k k
n n n k n k n
k p p C C C
-+=-----∑-++1202
121121
2)1)(
2(n
k k
n n n k k
n n
k n
n k k
n n
k n n
k p p C p
p C
p
p C
-+=--=-+--=-+-∑∑∑-+-+-1202122121
1
21121
2)1()1(2)1(n
k k
n n n k k n n
k n n k k
n n
k n
n k p p C p
p C
p
p C
--=+--=-+--=-+-∑∑∑-+-+-120
22120
21
1
1
20
121
2)1()
1(2)1())1()1(2()1(21
21212p p p p p
p C
k n n
k n n
k -+-+-∑-=---k
k k k k k k k p p C p p C 1112112)
1()1(+--+----+))
1(()1()1(121
1212p p p p C p p C k
k k k k n n k n n
k ---+---=---∑
)12()1(1
2--+-p p p C P k
K k k K
数解，现在假设0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，于是注意到1),()(2212=='+n n n f x f x f 时，对任意的0≤k≤n 有x+2k+1≤0, 于是
)12()!12()!2(()(20
212++++=∑=+k x k x k x x f k
n
k k n ，所以,0)12(12?--+n f n
又因为,01)0(12?=+n f 所以由)(12x f n +严格递增知0)(12=+x f n 有唯一根01212--??+n x n ， 对于)(22x f n +有)()(122222x f x f f n n n +++='=，所以（—∞，12+n x ）上，递减，在（12-n x ，+∞）上，递增，所以
,0)!
22()!22()()(min 2
21
22212122222?+=++=+++++++∈n x n x x f x f n n n n n n n R x 因此，0)(22=+x f n 无实数解
综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时0)(=x f n 无解，当ｎ为奇数0)(=x f n 有唯一解n x 。 再证1212-+?n n x x ，事实上，由
的严格单调性，只需验证0)(1
212?+-n n x f ，注意到
－＝)!12()!2(1
22+++n x n x n n ，由上述归纳法证明过程中，1212--?+n x n ，所以
0)12()!
12()!12()!2()(1221
212122121212?+++-=+--=++++++-n x n x n x n x x f n n n n n n n n n ，
因此1212-+?n n x x ，综上所述，原命题得证。 证明二
记,!
!3!21)(32n x x x x x f n
n ++++
+= 我们对Ｎ使用数学归纳法证明加强命题，方程0)(=x f n 在Ｎ为偶数的时候实数上恒大于零，在Ｎ为奇数的时候，在实数上严格单调递增
并且可以取遍所有实数。
（１）当Ｎ＝１,２的时候，直接验证，结论显然成立。 （２）当Ｎ=ｋ－１的时候结论成立，那么，Ｎ=Ｋ的时候：
Ｋ是偶数的时候，23
12!3!!
k x x x x k ++
+++1()()k f x f x -'?=，那么由归纳假设，我们知道存在一个0)(010=≠-x f x k 为的根，使得在0x x ?的时候0)()(1?='-x f x f k k ，在0x x ?的时
)(12x f n -)(12x f n +)(12x f n -
候，1()()k k f x f x -'?=>０，所以可以看出)(x f k 在实数上的最小值应该在0x 处取到，
0!
)(!!)()(220
0010?==+
=-k x k x k x x f x f k k k k k ，也就是说)(x f k 在实数上每个取值都大于零，因此结论成立。
Ｋ是奇数时，=)(x f k 23
12!3!
!
k
x x x x k ++
+++，1()()k k f x f x -'?=，那么由归纳假设，我们知道1()()k k f x f x -'?=恒成立，也就是说)(x f k 严格单调递增，而)(x f k 是一个奇数次最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当X 趋近于—∞的时候，)(x f k 也趋于—∞，当X 趋于+∞的时候，)(x f k 也趋于+∞，而)(x f k 连续，因此我们证明了)(x f k 在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用 极限的符号书写法也可以将)(x f k 分段说明，但写起来比较麻烦）
(15) (本小题满分14分)
某乒乓球培训班共有n 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。
解答：
假设比赛了K 场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以2
n C =2k ，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l 或者4l+1,期中l ∈N ，下边证明，对于任意的n=4l ，或者4l+1,其中l ∈N,都可以构造出满足要求的比赛： n=4l+1,的时候，对于L 使用数学归纳法：
（1）当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.
（2）设当L=M 的时候结论成立那么，L=M+1的时候，假设4M+5选手为A,B,C,D,E ，
121212112222,,,,,m m F F F F F F ，由归纳假设，可以安排E,1212
12112222,,,,,m m F F F F F F 之间的比
赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D ，E,相互的比赛和
A,B,C,D
与1212
121122
22,,,,,m m F F F F F F 之间的比赛，A,B,C ，D 与
1212
12112222,,,,,m m F F F F F F 之间的比赛安排如下：
A 1
L F 与B 2
L F ,A 2
L F 与B 1L F ,C 1L F 与D 2L F ,C 2L F 与D 1
L F ,这样即满足要求。
最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。
由数学归纳法，结论得到了证明，N=4L 的候，对L 的使用数学归纳法，与上边几乎类似的
也可以证明结论。
综上所述，N的所有可能取值是N=4L或者4L+1，其中L∈N.
2011年华约数学试题解析一、选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且
15
||
2
z
z
+=则|z| = ( )
4321 A B C D 5432
解：由
15
||
2
z
z
+=得2
5
||1||
2
z z
+=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍
去），
1
2 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面
DM与AN所成角的余弦为( )
1111
A B C D
36812
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，
如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0
，
则1111(,,
(,,)222222M N -
，31213(,,),(,,222222
DM AN =-=-。设所成的角为θ，则1
cos
6
DM AN DM AN
θ=
=
。 解法二：如图，设底面边长为2，平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，
D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。而P
A = P
B = AB = 2，所以QN = AN =
，而AQ = ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角
cos 6
ANQ ∠=
。 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )
A 2B1C 1D 2 - -
此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若222cos cos 3
A B A B π
+=
+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 3131A1,B ,C1D ,122222222
-
-+ +
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式22
cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：
把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：22
1cos 21cos 21
cos cos 1(cos 2cos 2)222
A B A B A B +++=
+=++ 1
1cos()cos()1cos()2
A B A B A B =++-=--，可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OOO OO O πα∠+∠=-，
111212O AC O CA OO O ∠=∠=
∠，22211
2O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故 1212211()22
O CA O CB OO O OO O πα
-∠+∠=∠+∠=，
12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
α
β=。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212
OO O OO O πα
-∠=∠=
，
1212124
O CA O CB OO O πα
-∠=∠=
∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
α
β=。
(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )
A 有且只有一个
B 有且只有两个
C 有且只有三个
D 有且只有四个
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量3
131(0,1),(
,),(,),(1,1)
22
a b c x a y b z c ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )
4
3A1
B C D 232
解：由(1,1)xa yb zc ++=得
1)122211222
y z y z y z y z x x ??-+=--=??????+??--=-=????， 由于222
2
2
2
()()2
y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
+ z ，y - z
三个变量，变形2(1)y z y z x ?
-=?
??+=-?
，代入
22
2
2
2
2
()()2
y z y z x y z x ++-++=+
22222824
2(1)343()3333
x x x x x =+-+
=-+=-+，答案B (8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 (
)
A B C D 533
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x 联立，
解得A B (3+ (3- ，，于是
22CA CB k k =
=
，tan 1CA CB CA CB
k k ACB k k -∠==+，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。
tan tan 2
DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠=
==
tan tan 2
BEF EBC ∠=∠=
，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，
tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A
解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ???=
=，(1)BDE ABE ABE BD
S S x S AB
???==-， ABE ABC ABC AE
S S yS AC
???=
=，于是(1)2(1B D F
A
B C
S x y z S x y z
??=-=-。将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须
12x y z +==
，于是2
1(1)(1)2BDF S x x ?=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值16
27。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不
相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D 。 二、解答题
解：（I ）
tan tan tan tan()tan tan 1A B
C A B A B +=-+=
-，整理得
tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++
（II ）
tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）
比较知
tan 3B B π
==
。
又
11222sin 2sin 2sin 2sin 3
A C
B π+===
，
sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=
，
sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+
sin()sin A C B +==
， 1
cos 2()cos 22A C B +==-
，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，
2
4cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-
，
，cos 12A C -=
（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
（II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1。
（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水
杯底面的距离）为12，水的重心位置为1
4，所以装入半杯水的水杯的重心位置为
112
37242320
+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x 克水。这时，
水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x
b ，水面
位置为x b ，于是122x a x
x b
a x b
+=+，解得x a
（13）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b =
==+2，，3。令111
()2
n n x x f x +==，。 (I)求数列{}n x 的通项公式；
(II)证明12
11
2n x x x e +>
。 解：由12(1)1()1()21
x
f f a b f x x =====+2，得，3
(I)先求出12341248
2359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+。用数学归纳法
证明。当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即1
1221
k k k x --=+，则
122()121
k
k k k k k x x f x x +===
++，得证。 (II) 我们证明
12
1
12n e x x x +>。事实上，
12
1
1111
2(1)(1)
(1)24
2
n n x x x +=+++
。我们注意到 2212(1)12(1)n
n a a a a +<++<+，，，于是
1221
21212
1
11112(1)2(1)2(1)2222n n n
n
n n
n e x x x -+
++-+<+
=+
<+<
（14）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别为C 的左右焦点。P 为C 右
支上一点，且使21212=
,3
F PF F PF π
∠?又的面积为。
（I ）求C 的离心率e ； (II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中
，
21212
=3F P F F P F a π
∠?，的面积为，E 为PF 1上一点，PE = PF 2，E F 1 =2a ，F 1 F 2 = 2c ，求c
a
。
设PE = PF 2 = EF 2 = x ，F F 2
=
x ，
1221211(222F PF S PF FF x a x ?=
=+= ，
224120x ax a +-=，2x a
=。 ΔE F 1 F 2为等腰三角形，12
23EF F π∠=
，于是2c =，c
e a
==。 (II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。 （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；
(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
2012年华约自主招生物理试题解析 答案：C解析：带有等量异种电荷的板状电容器其电场线应该垂直于极板，选项C正确。 【点评】此题以板状电容器切入，意在考查电场线与等势面的关系及其相关知识。2．一铜板暴露在波长λ=200nm 的紫外光中，观测到有电子从铜板表面逸出。当在铜板所在空间加一方向垂直于板面、大小为E=15V/m 的电场时，电子能运动到距板面的最大距离为10 cm。已知光速c与普朗克常数h 的乘积为1.24×10-6eVm，则铜板的截止波长约为（） A．240nm B．260nm C．280nm D．300nm 答案：B 解析：由动能定理，-eEd=0-E k0，解得从铜板表面逸出光电子的最大初动能为E k0=1.5eV。由爱因斯坦光电效应方程，E k0=hc/λ-W，W=hc/λ0。联立解得λ0=264nm，选项B正确。 【点评】此题以暴露在紫外光中的铜板切入，意在考查光电效应、动能定理、爱因斯坦光电效应方程及其相关知识。 3．若实心玻璃管长40cm，宽4cm，玻璃 的折射率为2/错误！未找到引用源。，光 从管的左端正中心射入，则光最多可以在 管中反射几次（） A．5 B．6 C．7 D．8
【点评】此题以光在玻璃管中的传播切入，意在考查折射定律、反射定律及其相关知识。 4．已知两电源的电动势E1>E2，当外电路电阻为R时，外电路消耗功率正好相等。当外电路电阻将为R’时，电源为E1时对应的外电路功率P1，电源为E2时对应的外电路功率为P2 ，电源E1的内阻为r1，电源E2的内阻为r2。则（） A．r1> r2，P1> P2 B．r1< r2，P1< P2 C．r1< r2，P1> P2 D．r1> r2，P1< P2 答案：AC解析：当两个电源分别与阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等，即：错误！未找到引用源。R=错误！未找到引用源。R，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=I0，由E1>E2，可得r1>r2。电源输出电压U与电路中电流I的关系是U=E-Ir。由于两个电路中电流大小相等，两个电源的输出电压随电流变化关系图象应为如图所示的两条相交的直线，交点的电流为I0，电压为U0=RI0，从原点O向该交点连线，即为电阻R的伏安特性曲线U=RI。若将R减小为R’，电路中R’的伏安特性曲线为U’=R’I，分别与两个电源的输出电
2018年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试 物理探究 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本试卷共七大题，满分100分。解 答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。一、<15分）<1）质量约1T的汽车在10s内由静止加速到60km/h。如果不计阻力，发动机的平均输出功率约为多大? <2）汽车速度较高时，空气阻力不能忽略。将汽车简化为横截面积约1m2的长方体，并以此模型估算汽车以60km/h行驶时为克服空气阻力所增加的功率。已知空气密度ρ=1.3kg/m3 。 <3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其它阻力与速度无关，估计其它阻力 总的大小。 二、<10分）核聚变发电有望提供人类需要的丰富清洁能 源。氢核聚变可以简化为4个氢核< ）聚变生成氦核<）并放出2个正电子< ）和2个中微子< ）。 <1）写出氢核聚变反应方程； <2 ）计算氢聚变生成一个氦核所释放的能量； <3）计算1kg氢完全聚变所释放的能量；它相当于多少质量的煤完全燃烧放出的能量? （1kg 煤完全燃烧放出的能量约为3.7 ×107 J> 。 已知：m< ）=1.6726216×10 -27kg ，m< ）=6.646477×10 -27kg ， m< ）=9.109382×10 -31kg ，m< ）≈0，c=2.99792458×108m/s。 4 / 10
三、(15分>明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= ≈0.58 。试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值? 四、(15分>如图，电阻为R的长直螺线管，其两端通过电阻可忽略的导线相连 接。一个质量为m的小条形磁铁从静止开始落入其中，经过一段距离后以速度 做匀速运动。假设小磁铁在下落过程中始终沿螺线管的轴线运动且无翻转。 (1> 定性分析说明：小磁铁的磁性越强，最后匀速运动的速度就越小； (2> 小磁铁做匀速运动时在回路中产生的感应电动势约为多少 五、(10分＞自行车胎打足气后骑着很轻快。由于慢撒气——缓慢漏气， 车胎内气压下降了四分之一。求漏掉气体占原来气体的比例η。假设漏气 过程是绝热的，一定质量的气体，在绝热过程中其压强p和体 积v满足关 系pvγ=常量，式中参数γ是与胎内气体有关的常数。 六、(15分＞如图所示，在光学用直导轨型支架上，半径为R的球面反射镜放置在焦距为f 的凸透镜右侧，其中心位于凸透镜的光轴上，并可沿凸透镜的光轴左右调节。 (1＞固定凸透镜与反射镜之间的距离l ，将一点光源放置于凸透镜的左侧光轴上，调节光源在光轴上的位置，使该光源的光线经凸透镜——反射镜——凸透镜后，成实像于点光源处。问该点光源与凸透镜之间的距离d可能是多少? (2＞根据(1＞的结果，若固定距离d，调节l 以实现同样的实验目的，则l 的调节范围是多少? 2 / 10
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在锐角ABC ?中，已知A B C ＞＞,则cos B 的取值范围为（ ） (A) ? ?? (B) 12???? (C) ()0,1 (D) ????? 2、红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋 子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 3、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底 面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ） (A) αβθγ＜＜＜ (B) αβγθ＜＜＜ (C) αγβθ＜＜＜ (D) βαγθ＜＜＜ 4、向量a e ≠，1e =。若t R ?∈，a te a e -≥+则（ ） (A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e +⊥- 5、若复数 11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应1 1w +的点，则点(),Z x y 的轨迹是( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧 6、椭圆长轴长为4，左顶点在圆()2 2 (4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取 值范围是（ ） (A) 11,84?????? (B) 11,42?????? (C) 11,82?????? (D) 13,24?? ???? 7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ?的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ）
2010年“华约”自主招生试题解析 一、选择题 1．设复数2 ( )1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）3 2 2．设向量,a b ，满足||||1,==?=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B （C ）1 （D 3。缺 4。缺 5．在ABC ?中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） （A ） 15 （B ）14 （C ）12 （D ）2 3 6．如图，ABC ?的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ?与GAH ?面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:2 7．设()e (0)ax f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线 C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ?的面积的最小值是（ ） （A ）1 （B （C ）e 2 （D ）2e 4 8．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a - =>>，椭圆22 22:14 x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）
（A ） （B ）2 （C ） （D ）4 9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 10．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。则ω可以表示为（ ） （A ） στστσ （B ）στστστ （C ）τστστ （D ）στσστσ 二、解答题 11． 在ABC ?中，已知2 2sin cos 212 A B C ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求ABC ?面积的最大值． 12． 设A B C D 、、、为抛物线2 4x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛 物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d AD +=． （Ⅰ）判断ABC ?是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若ABC ?的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13． （Ⅰ）正四棱锥的体积V = ，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值． 14． 假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例； （Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． 设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ?==+>≠，满足2121 ()t s f t s -+=． （Ⅰ）证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121 ()s t f s t +-= ； （Ⅱ）设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：11 23 n n x --≤．
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学 （华约） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足 ()(2)0PB PA PB PA PC -+-= ，则△ABC 一定为( ) A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______ A. B. 2 C. 3 D.32 3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则 所作四面体的体积为______ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 A . B. C. D. 5．已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ +=++与 1cos sin cos cos x y αβαβ +=++的交点在直线y x =-上， 则cos sin c in s s o ααββ+++= 。 A.0 B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 A 1 B 2 C 3 D 4 7． 已知1 cos45 θ=，则44sin cos θθ+= ． A 4/5 B 3/5 C1 D -4/5 8．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1 AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ） A ． π 4 B ． π2 C ． 4 π D 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且 使关于t 的方程
2018年高水平大学<华约）自主选拔学业能力测试 物理探究 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 本试卷共七大题，满分100分。解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。 一、<15分）<1）质量约1T的汽车在10s内由静止加速到60km/h。如果不计阻力，发动机的平均输出功率约为多大?ljbv2RUnJf <2）汽车速度较高时，空气阻力不能忽略。将汽车简化为横截面积约1m2的长方体，并以此模型估算汽车以60km/h行驶时为克服空气阻力所增加的功率。已知空气密度ρ=1.3kg/m3。ljbv2RUnJf <3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其它阻力与速度无关， 估计其它阻力总的大小。 ljbv2RUnJf 二、<10分）核聚变发电有望提供人类需要的丰富清 洁能源。氢核聚变可以简化为4个氢核 <1 H）聚变生 1 成氦核<4 He），并放出2个正电子<01e）和2个中微 2 子<0 v）。ljbv2RUnJf 0e <1）写出氢核聚变反应方程； <2）计算氢聚变生成一个氦核所释放的能量； <3）计算1kg氢完全聚变所释放的能量；它相当于多少质量的煤完全燃烧放出的能量? (1kg煤完全燃烧放出的能量约为3.7×107 J>。 已知：m<1 H）=1.6726216×10-27kg，m<42He）=6.646477×10-27kg， 1 m<0 e）=9.109382×10-31kg，m<00e v）≈0，c=2.99792458×108m/s。 1
同济等8所高校建招考联盟自主招生呈三足鼎立【题图：三足鼎立】 【导语】 昨天，同济大学、北京理工大学、华南理工大学等8所高校宣布全方位合作，将在2011年的自主选拔录取中实行联考。从而形成了国内第三个高校自主招生联盟，与此前分别以北京大学和清华大学牵头形成的“北约”和“华约”一道，共同构成了国内高校自主招生联盟“三足鼎立”的态势。高招联盟，一时成为炙手可热的关注焦点。 【正文】 新近联盟的8所高校均为国内以工科见长的著名大学，包括：同济大学、东南大学、天津大学、哈尔滨工业大学、北京理工大学、大连理工大学、华南理工大学、西北工业大学。8所高校将于2011年自主选拔录取，实行联考。在自主选拔录取中联合命题、统一组织笔试并共享考试成绩。此次达成合作的8所高校，从地域分布上看非常均衡，南、北、东、西都有，有利于今后的合作交流。 华南理工大学副校长邱学青表示：“8所高校实行自主招生联考，只是合作的内容之一。今后还将探索更多的优秀人才选拔模式。例如，交换学生的范围、规模都将进一步扩大，使得学生可以博采多所高校之长。”目前，相关的自主选拔实施办法还在制定中，预计将于下月初发布。 招考联盟：人才选拔，还是圈占生源？【题图：众说纷纭】 【导语】 同时于昨晚发布消息的还有中山大学。中山大学表示，该校已决定参与2011年自主招生联考，加入扩大版的“北约”联盟。至此，“北约”联盟在北大、复旦等7所高校联盟的基础上，又有6所高校加入其中。那么，重点高校频频结盟，究竟是人才选拔的新举措，还是名牌高校提前圈占优秀生源？成立高校自主招生联盟，对于考生来说，带来的是更多的好处、还是弊端？各方观点，一时众说纷纭。 【正文】 所谓自主招考联盟，就是多所高校在自主招生选拔中，联合命题、统一组织笔试、并共享考试成绩，以“联考”成绩作为自主选拔的录取标准。
“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题 （满分150分） 5. 设P 是抛物线2 440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是. 第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ????=-≥-??????，21a B x x a ??=>??-??．若A B ≠?，求实数a 的取值范围 2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个 3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,22b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22 ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥. (I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上. (I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由. 5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222 2θπθθn b a A b a ab b a n n ?+=<<+=>其中求
证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数 参考答案 一、选择题 1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α= ,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-= 有22 22560450 a b a b ab a b ?--+-=?+-=?,解得11a b =??=?或3232a b ?=????=-??,所以1x i =+或3322x i =-. 3.直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n. )2201515(2)22015()22015(22 +??+=-++-n n n n n C 为整数，且个 位数字为零. 因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025 5220155 220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠?得03a <<；
2010年“北约”自主招生数学试题及解答 1．（仅文科做）02 απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<< 时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02 x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02 x π<<上单调增。 ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是 合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是 22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长． I H G F E 1 111x x-1
C 2011华约自主招生试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项前的字母填在答题卡上。 1. 根据玻尔的氢原子理论，当某个氢原子吸收一个光子后（ ） A ．氢原子所处的能级下降 B ．氢原子的电势能增大 C ．电子绕核运动的半径减小 D ．电子绕核运动的动能增大 2. 如图所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在水平杆OC 上的小环M 运动。 运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的加速度将（ ） A ．逐渐增加 B ．先减小后增大 C ．先增加后减小 D ．逐渐减小 3. 在杨氏双缝干涉实验中，如果单色点光源S 从图示所示的中轴位 沿垂直于SO 的方向向上移动一微小的距离，则中心干涉条纹向何动？相邻明条纹间的间距如何变化？（ ） A ．相邻明条纹间的间距不变，中心干涉条纹向上移动 B ．相邻明条纹间的间距变大，中心干涉条纹向下移动 C ．相邻明条纹间的间距不变，中心干涉条纹向下移动 D ．相邻明条纹间的间距变小，中心干涉条纹向上移动 4. 一质点沿直线做简谐振动，相继通过距离为16cm 的两点A 和B ，历时1s ，并且在A 、 B 两点处具有相同的速度；再经过1s ，质点第二次通过B 点。该质点运动的周期和振幅分别为 A ．3s ， B ．3s ， C ．4s ， D ．4s ， 5. 水流以和水平方向成角度α冲入到水平放置的水槽中，则从右端流出的水量与从左面流 出的水量和从右面流出的水量的比值可能为（ ） A ．21+2sin α B ．21+2cos α C ．212tan α+ D ．212cot α+ O
2012年华约自主招生考试数学试题 一、选择题 1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ） A 、? ?? B 、12? ?? C 、()0,1 D 、????? 2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前， 蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ） A 、36 B 、60 C 、90 D 、120 3. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方 形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ） A 、α<β<θ<γ B 、α<β<γ<θ C 、α<γ<β<θ D 、β<α<γ<θ 4. 向量e α≠，1e =，若对t R ?∈，te e αα-≥+，则（ ） A 、e α⊥ B 、()e αα⊥+ C 、()e e α⊥+ D 、()()e e αα+⊥- 5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω +在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧 6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ） A 、11,84?????? B 、11,42?????? C 、11,82?????? D 、13,24?????? 7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ） A 、12 B C D 、34 8. 已知锐角ABC ?，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BE CD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 9. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ??=+ ?+?? ，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0 B 、lg 32 C 、lg2 D 、lg3 10. 已知610i x -≤≤（1,2, ,10i =），10150i i x ==∑，当10 21i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共
2013年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试 物理探究 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 本试卷共七大题，满分100分。解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。 一、（15分）（1）质量约1T 的汽车在10s 内由静止加速到60km/h 。如果不计阻力，发动机的平均输出功率约为多大? （2）汽车速度较高时，空气阻力不能忽略。将汽车简化为横截面积约1m 2的长方体，并以此模型估算汽 车以60km/h 行驶时为克服空气阻力所增加的功率。已知空气密度ρ=1.3kg/m 3。 （3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其 它阻力与速度无关，估计其它阻力总的大小。 二、（10分）核聚变发电有望提供人类需要的丰富清洁能源。氢核聚变可以简化为4个氢核 （H 11）聚变 生成氦核（He 42），并放出2个正电子（e 01）和2个中微子（e 00v ） 。 （1）写出氢核聚变反应方程； （2）计算氢聚变生成一个氦核所释放的能量； （3）计算1kg 氢完全聚变所释放的能量；它相当于多少质量的煤完全燃烧放出的能量? (1kg 煤完全燃烧放出的能量约为3.7×107 J)。 已知：m （H 11）=1.6726216×10-27kg ，m （He 42）=6.646477× 10-27kg ， m （e 01）=9.109382×10-31kg ，m （e 00v ）≈0，c =2.99792458×108m/s 。
2013“华约”自主招生试题 2013-03-16 (时间90分钟,满分100分) 1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？ (3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？ 【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成. (1)两位数有个; 三位数有个; (2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数; (3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012. 2.(15分),,求与的值 【解】由……①,……②,平方相加得; 另一方面由①可得……③ 由②式可得……④,由③/④式得, 也所以即求. 3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧. (1)求中点的轨迹; (2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. {|10,}A x x x N *=≥∈B A B B B B 1081B 2221 5242272C A C ??-?=3 3 3 2 2 2 534222432C A C A ??-??=B 4 4 4 3 3 3 5443221728C A C A ??-??=3 3 3 4332576C A ???=1sin sin 3x y += 1 cos cos 5 x y -=sin()x y -cos()x y +1sin sin 3x y +=1 cos cos 5x y -=208cos()225 x y +=1 2sin cos 223x y x y +-=12sin sin 225x y x y +--=3 tan 25 x y -=-2 2tan 152sin()171tan 2 x y x y x y --==--+A y kx =B y kx =-0k >2||||1OA OB k ?=+ A B 、y AB M C C 22(0)x py p =>
2011年华约试题解析一、选择题 (1) 设复数z满足|z|<1且 15 || 2 z z +=则|z| = ( ) 4321 A B C D 5432 解：由 15 || 2 z z +=得2 5 ||1|| 2 z z +=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍 去）， 1 2 。 (2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面 DM与AN所成角的余弦为( ) 1111 A B C D 36812 [分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。 解法一：如图，设底面边长为2 ，则由侧面与底面所成二面角的正切为 A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0 ， ，则 1111 (,,),(,,) 222222 M N - ， 3113 (,,(,, 222222 D M AN =-=- 。设所
成的角为θ，则1 cos 6D M A N D M A N θ== 。 解法二：如图，设底面边长为2 ，则由侧面与底面所成二面角的正切为 DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。 而PA = PB = AB = 2，所以 QN = AN = AQ = ΔAQN 的顶角 1cos 6 A N Q ∠= 。 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下 略。 (3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 - - 此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若22 2cos cos 3 A B A B π+= +，则的最小值和最大值分别为 ( ) 3131A 1B ,C 1D ,122222222 - -+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式2 2 cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：2 2 1cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)2 2 2 A B A B A B +++= + =+ + 11cos()cos()1cos()2 A B A B A B =++-=- -，可见答案是B
?考生须知 特别提醒 ?本网站具体负责高水平大学自主选拔（简称AAA）学业能力测试报名事务，考生如需了解高校招生、专业设置、面试时间、认定结果等情况，需登录高校招生网站查询。 一、考试说明 ?1、AAA测试的性质 ?2011年上海交通大学、中国人民大学、中国科学技术大学、西安交通大学、南京大学、浙江大学和清华大学校的自主选拔采用GSI模式，包括七校通用科目笔试（General Exam，简称G考）、各校特色测试（Special Exam，简称S考）、各校面试（Interview，简称I考）。 ?七校通用科目测试，中文名称为“高水平大学自主选拔学业能力测试”，英文名称为Advanced Assessment for Admission，简称“AAA测试”。AAA测试是由七校共同发起、共同委托专业化考试机构组织的高中毕业生学业能力测试。 ?2、AAA测试的指导思想 ?AAA测试的命题以现行中学教学大纲为参照，重点在于考察学生对于知识的综合应用能力和学习能力，不以超出中学大纲的知识为主要考察目标。 ?3、AAA测试的科目 ?阅读与写作（Reading and Writing）。测试时间3小时，满分为200分。考察重点为考生运用中英文进行阅读与写作的能力。其中中文阅读与写作占100分，英文阅读与写作及中英文综合应用占100分。 ?数学（Mathemetics）。测试时间1.5小时，满分为100分。测试内容以高中文科数学教学内容为主。考查重点为逻辑思维能力、运算变形能力、空间想象能力、综合创新能力。 ?自然科学（Natural Science）。测试时间为1.5小时，满分为100分。测试内容包括物理学和化学，不排除涉及生物学相关知识的可能。考查重点为理解推理能力、分析综合能力、实验与探究能力。 ?人文与社会（Humanities and Social Sciences）。测试时间为1.5小时，满分为100分。测试内容包括但不限于高中政治、历史、地理的教学内容。考查重点为学生的阅读量与知识面，对人文与社会问题思考的深度，审美能力，并对学生的情感、态度、价值观进行一定的描述。 ?考生应当参加阅读与写作、数学的考试，并在自然科学、人文与社会中选择参加其一。 ?4、AAA测试的时间安排 ?考试当天，上午进行阅读与写作的测试。全部试卷一并下发，开考1.5小时后由监考人员收中文阅读与写作部分的试卷，开考3小时后收英文阅读与写作、中英文综合部分的试卷。 ?下午进行数学、自然科学/人文与社会的测试。两科试卷在开考时一并下发，开考1.5小时后由监考人员收数学试卷；开考3小时后收自然科学/人文与社会试卷。 ?5、AAA测试的相关资料 ?2011年AAA测试前1-2周，参加测试的考生可以通过报名网站查询2011年AAA测试样题，用以熟悉考试题型。 ?除本说明、2011年测试样题以及相关高校招生办公室网站提供的情况介绍外，AAA测试组织者不提供任何关于测试的大纲、辅导材料。上述资料均可通过AAA测试报名网站或者相关高校网站免费获得。 ?AAA测试组织者不承诺2010年AAA测试题目与2011年测试题目之间存在任何相似性。 ?除相关高校招生负责人免费提供的关于测试的咨询和说明外，任何其他机构提供的讲座、辅导、补习
2017-2018学年 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是正确的，把正确选项前的字母填在答题卡上。 1．在光滑的水平面上有一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，其上有一质量为m 的物块，如图所示。物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为 （ C ） A ． θcos θsin m M θcos Mmg + B ． θcos θsin m M θcos Mmg - C ． θsin m M θcos Mm g 2 + D ． θsin m M θcos Mmg 2 - 【答案】 C 【解析】设物块对斜面的压力为N ，物块m 相对斜面的加速度为a 1，斜面的加速度为a 2，方向向左； 2．如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A 和B ，两线上端固定于O 点，B 球固定在O 点正下方。当A 球静止时，两悬线夹角为θ．能保持夹角θ不变的方法是 （ BD ） A ．同时使两悬线长度减半 B ．同时使A 球的质量和电量都减半 C ．同时使两球的质量和电量都减半 D ．同时使两悬线长度和两球的电量都减半 【答案】BD 【解析】设两球距离为d ，分析A 球的受力如图示，图中, d q q k F B A 2 ?=
3．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转，用I a 、I b 、I c 、I d 表示四种情况下线框中电流的有效值，则 （ AD ） A ．I a =I d B ．I a > I b C ．I b > I c D ．I c =I d 【答案】AD 【解析】由 E m =NBS ω、 E m =2E 、 I=E/R 、联立求解可得I=R 2NBS 、故选A 、D 正确。 4．如图，在xOy 平面内有一列沿x 轴传播的简谐横波，频率为2.5 Hz 。在t =0时，P 点位于平衡位置，且速度方向向下，Q 点位于平衡位置下方的最大位移处。则在t = 0.35 s 时，P 、Q 两质点的 （ ABD ） A ．位移大小相等、方向相反 B ．速度大小相等、方向相同 C ．速度大小相等、方向相反 D ．加速度大小相等、方向相反 【答案】ABD 【解析】T =0.4s ，在t =0时的波形如图示。#网 由波的周期性，t = 0.35 s=7T /8时的波形与t = -T /8时的波形相同，如图虚线示，可见选项ABD 正确。 5．在光电效应实验中，先后用频率相同但光强不同的两束光照射同一个光电管。若实验
2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约） 数学部分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （ 1）在锐角 ABC 中，已知 A ＞ B ＞ C ,则 cos B 的取值范围为（ ） (A) 0, 2 (B) 1 , 2 (C) 0,1 (D) 2 ,1 2 2 2 2 （ 2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红 棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种 （ 3）正四棱锥 S ABCD 中，侧棱与底面所成角为 ，侧面与底面所成二面角为 ，侧棱 SB 与 底面正方形 ABCD 的对角线 AC 所成角为 ，相邻两侧面所成二面角为 ， 则 , , , 之 间的大小关系是（ ） (A) ＜ ＜ ＜ (B) ＜ ＜ ＜ (C) ＜ ＜ ＜ (D) ＜ ＜ ＜ （ 4）向量 a e ， e 1。若 t R ， a te a e 则（ ） (A) a e (B) a (a e) (C) e ( a e) (D) (a e) (a e) （ 5）若复数 w 1 的实部为 0， Z 是复平面上对应 1 1 的点，则点 Z x, y 的轨迹是 ( ) w 1 w (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧 （ 6）椭圆长轴长为 4，左顶点在圆 (x 4) 2 y 1 2 4 上，左准线为 y 轴，则此椭圆离心率的 取值范围是（ ） (A) 1 , 1 (B) 1 , 1 (C) 1 , 1 (D) 1 , 3 8 4 4 2 8 2 2 4 （ 7）已知三棱锥 S ABC 的底面 ABC 为正三角形，点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂 心，二面角 H AB C 为 30°，且 SA 2 ，则此三棱锥的体积为（ ） (A) 1 (B) 3 (C) 3 (D) 3 2 2 4 4