2011年华约数学试题解析一、选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且
15
||
2
z
z
+=则|z| = ( )
4321 A B C D 5432
解：由
15
||
2
z
z
+=得2
5
||1||
2
z z
+=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍
去），
1
2 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面
角的正切为2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
1111
A B C D
36812
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，
2)，则
112112
(,,),(,,)
222222
M N
-，
312132
(,,),(,,)
222222
DM AN
=-=-。设所
z
O
N
M D
C
B
A
P
y x
成的角为θ，则1cos 6
DM AN DM AN
θ=
=
。 解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为
2。平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。
而P A = PB = AB = 2，所以QN = AN =
3，而AQ = 5，容易算出等腰ΔAQN 的顶角
1cos 6
ANQ ∠=
。 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )
A 2B1C 1D 2 - -
此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若222cos cos 3
A B A B π
+=
+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 33133312
A1,B ,C1,1D ,122222222
-
-+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：221cos 21cos 21
cos cos 1(cos 2cos 2)222
A B A B A B +++=
+=++ 1
1cos()cos()1cos()2
A B A B A B =++-=--，可见答案是B
N
M
D
C
B
A P
Q
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，
111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，22211
2O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故
1212211()22
O CA O CB OO O OO O πα
-∠+∠=∠+∠=
， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
α
β=。 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212
OO O OO O πα
-∠=∠=
，
1212124
O CA O CB OO O πα
-∠=∠=∠=
， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
α
β=。 (6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )
A 有且只有一个
B 有且只有两个
C 有且只有三个
D 有且只有四个
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量3
131(0,1
),(,),(,),(1,1)
2222
a b c x a y b z c ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )
4
3A1B C D 232
解：由(1,1)xa yb zc ++=得
3331()122211222
y z y z y z y z x x ??-+=--=??????+??--=-=????， 由于222
2
2
2
()()2
y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
+ z ，y - z 三个变量，变形232(1)y z y z x ?
-=-?
??+=-?
，代入
22
2
2
2
2
()()2
y z y z x y z x ++-++=+
22222824
2(1)343()3333
x x x x x =+-+
=-+=-+，答案B (8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( )
424222A 22B C D 533
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x 联立，
解得2222)2222)A B (3+,2+ (3-,2- ，
，于是 222222
222222CA CB k k 2+2-=
=4+4-=，=-，tan 221CA CB CA CB
k k ACB k k -∠==+，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。
2
tan tan 2
DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠=
==。类似的，有 B
G
C
E D
A
F
2
tan tan 2
BEF EBC ∠=∠=
，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠， tan tan 222AEB AEF ∠=∠=，答案A
解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ???=
=，(1)BDE ABE ABE BD
S S x S AB
???==-， ABE ABC ABC AE
S S yS AC
???=
=，于是(1)2(1B D F
A
B C
S x y z S x y z
??=-=-。将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须
12x y z +==
，于是21(1)(1)2BDF S x x ?=-+，解这个一元函数的极值问题，1
3x =时取极大值16
27。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不
相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
F
E
D
B
C
A
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D 。 二、解答题
解：（I ）
tan tan tan tan()tan tan 1A B
C A B A B +=-+=
-，整理得
tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++
（II ）由已知3tan tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知
tan 33B B π
=，=
。
又
11224
2sin 2sin 2sin 23
sin 3
A C
B π+===，
sin 2sin 24
sin 2sin 23
A C A C +=
，
sin()cos()1cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+，而3sin()sin 2A C B +==
， 1
cos 2()cos 22A C B +==-
，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，
2
4cos ()3cos()10A C A C ----=，1
cos()14A C -=-
，，
6cos 124A C -=，
（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
D
B
C
A
（II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1。
（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水
杯底面的距离）为12，水的重心位置为1
4，所以装入半杯水的水杯的重心位置为
112
37242320
+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x 克水。这时，
水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x
b ，水面
位置为x b ，于是122x a x
x b a x b
+=+，解得2x a ab a =+-
（13）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b =
==+2，，3。令111
()2
n n x x f x +==，。 (I)求数列{}n x 的通项公式；
(II)证明12
11
2n x x x e +>
。 解：由12(1)1()1()21
x
f f a b f x x =====
+2，得，3 (I)先求出12341248
2359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+。用数学归纳法
证明。当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即1
1221
k k k x --=+，则
122()121
k
k k k k k x x f x x +===
++，得证。 (II) 我们证明
12
1
12n e x x x +>。事实上，
12
1
1111
2(1)(1)
(1)24
2
n n x x x +=+++
。我们注意到 2212(1)12(1)n
n a a a a +<++<+，，，于是
1221
21212
1
11112(1)2(1)2(1)2222n n n
n
n n
n e x x x -+
++-+<+
=+
<+<
（14）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别为C 的左右焦点。P 为C 右
支上一点，且使21212=
,333
F PF F PF a π
∠?又的面积为。
（I ）求C 的离心率e ；
(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，
21212
=333F P F F P F a π
∠?，的面积为，E 为PF 1上一点，PE = PF 2，E F 1 =2a ，F 1 F 2 = 2c ，求c
a
。
设PE = PF 2 = EF 2 = x ，F F 2 =
3
2
x ， 12212113(2)33222
F PF S PF FF x a x a ?=
=+= ，224120x ax a +-=，2x a =。 ΔE F 1 F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=
，于是223c a =，3c
e a
==。 (II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。 （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；
(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
F
E P
F 1
2a P 2c
F 2
x