专题限时集训(五) 概率

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A ．0.5

B ．0.6

C ．0.7

D ．0.8

C [法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x ，则x ＋80－60＝90，解得x ＝70， 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

＝0.7. 故选C.

法二：用Venn 图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：

易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

＝0.7.故选C.] 2．已知定义在区间[－3,3]上的函数f (x )＝2x ＋m 满足f (2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

B [∵f (2)＝6，∴22＋m ＝6，解得m ＝2.由f (x )≥4，得2x

＋2≥4，即x ≥1，而x ∈[－3,3]， 故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝13

.故选B.] 3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )

A.12

B.15

C.35

D.25

A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种．故抽取的第1张卡

片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝12，故选A.] 4．(2019·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足????? 2x －y ≥0，y ≥0，

x －a ≤0的点(x ，

y )构成区域的面积大于1的概率是( )

A.18

B.14

C.12

D.34

C [作出约束条件????? 2x －y ≥0，y ≥0，

x －a ≤0表示的平面区域如图中阴影部分

所示，则阴影部分的面积S ＝12

×a ×2a ＝a 2＞1，∴1＜a ＜2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为2－12－0＝12

，故选C.] 5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10

B.3π20

C ．1－3π10

D ．1－3π20

D [如图，直角三角形的斜边长为82＋152

＝17，设其内切圆的半径

为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴

豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12

×8×15＝1－3π20.] 6．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

0．98 [x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]

7．已知实数x ，y 满足|x |≤3，|y |≤2，则任取其中的一对实数x ，y ，使得x 2＋y 2

≤4的概率为________．

π6 [如图，在平面直角坐标系xOy 中，满足|x |≤3，|y |≤2的点在矩形ABCD 内(包括边界)，使得x 2＋y 2≤4的点在图中圆O 内(包括边界)．由

题意知，S 矩形ABCD ＝4×6＝24，S 圆O ＝4π，故任取其中的一对实数x ，y ，

使得x 2＋y 2≤4的概率P ＝S 圆O

S 矩形ABCD ＝4π24＝π6

.] 8．从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．

12

[从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD ，△ACD ，△ACE ，△BCE ，△BDE ，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三

角形的概率P ＝510＝12

.] [能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：

停靠时间

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3

(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

[解] (1)a ＝1100

×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.

(2)设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，

则????? 0＜x ≤240＜y ≤24.

若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y －x |＜4，

符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x ，y 轴)所示．

记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A ，

则P (A )＝24×24－2×12×20×2024×24＝1136

.

所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136

. 10．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：

(1)求z 的值；

(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求|x i －x |≤0.5的概率．

[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300

，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.

(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a 5

，得a ＝2， 所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．

用A 1，A 2分别表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3分别表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个， 其中事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．

故P (E )＝710，即所求的概率为710

. (3)样本平均数x ＝18

×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，|x i －x |≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个．

所以P (D )＝68＝34，即所求的概率为34

.

题号内容押题依据

1几何概型

本题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中，既为几何概

型输送了新鲜的“血液”，又为圆的知识找到了坚定的“着陆点”，

使呆板、平淡的几何概型充满活力，很好地考查了考生的直观想象和

数学运算的核心素养

2

频率分布

直方图、分

层抽样、概

率

本题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相

交汇的试题，设问角度新颖、典型，有代表性，意在考查考生的逻辑

推理、数学运算、数学建模等核心素养

【押题1】如图，半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.若在该半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是( )

A.

1

7

B.

3

16

C.

3

8

D.

13

16

C[设小圆的半径为r，因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1，所以阴影部分的面积S1＝π(2r)2－πr2＝3πr2，半圆的面积S＝

1

2

π(4r)2＝8πr2，根据几何概型的概率计算公式，得该点取自阴影部分的概率P＝

S1

S

＝

3πr2

8πr2

＝

3

8

.故选C.]

【押题2】临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，品质优良等特点而著称．临潼石榴名居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人．”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示：

(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)内的石榴中随机抽取5个，再从这5个石榴中随机抽取2个，求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据，以频率代表概率，已知该村大约还有100 000

个石榴待出售，某电商提出如下两种收购方案：

方案A：所有石榴均以20元/千克的价格收购．

方案B：低于350克的石榴以5元/个的价格收购，高于或等于350克的以9元/个的价格收购．

请你通过计算为该村选择收益最好的方案．

[解](1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2，

所以应分别在质量在[350,400)和[400,450)内的石榴中各抽取3个和2个．

记所抽取的质量在[350,400)内的石榴为A1，A2，A3，质量在[400,450)内的石榴为B1，B2，则从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{B1，B2}．

其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为7

10

.

(2)方案B好，理由如下：

由频率分布直方图可知，石榴质量在[200,250)内的频率为50×0.001＝0.05，

同理，石榴质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.

若按方案B收购：

因为石榴质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000，

石榴质量不低于350克的个数为55 000个，

所以总收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000(元)．

若按方案A收购：

根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000，于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000

＋475×5 000)×20

1 000

＝709 000(元)．

因为720 000＞709 000，即方案B的收益比方案A的收益高，所以该村应选择方案B.