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高考文科数学练习题概率

专题限时集训(五) 概率

[专题通关练]

(建议用时:30分钟)

1.[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A .0.5

B .0.6

C .0.7

D .0.8

C [法一:设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x ,则x +80-60=90,解得x =70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

=0.7. 故选C.

法二:用Venn 图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图:

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易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70,所以该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100

=0.7.故选C.] 2.已知定义在区间[-3,3]上的函数f (x )=2x +m 满足f (2)=6,在[-3,3]上任取一个实数x ,则使得f (x )的值不小于4的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

B [∵f (2)=6,∴22+m =6,解得m =2.由f (x )≥4,得2x

+2≥4,即x ≥1,而x ∈[-3,3], 故根据几何概型的概率计算公式,得f (x )的值不小于4的概率P =26=13

.故选B.] 3.标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )

A.12

B.15

C.35

D.25

A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,基本事件的总数n =5×4=20,抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10种.故抽取的第1张卡

片上的数大于第2张卡片上的数的概率P =1020=12,故选A.] 4.(2019·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a ,则满足????? 2x -y ≥0,y ≥0,

x -a ≤0的点(x ,

y )构成区域的面积大于1的概率是( )

A.18

B.14

C.12

D.34

C [作出约束条件????? 2x -y ≥0,y ≥0,

x -a ≤0表示的平面区域如图中阴影部分

所示,则阴影部分的面积S =12

×a ×2a =a 2>1,∴1<a <2,根据几何概型的概率计算公式得所求概率为2-12-0=12

,故选C.] 5.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步.”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10

B.3π20

C .1-3π10

D .1-3π20

D [如图,直角三角形的斜边长为82+152

=17,设其内切圆的半径

为r ,则8-r +15-r =17,解得r =3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴

豆子落在内切圆外的概率P =1-9π12

×8×15=1-3π20.] 6.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.

0.98 [x =10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10=0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]

7.已知实数x ,y 满足|x |≤3,|y |≤2,则任取其中的一对实数x ,y ,使得x 2+y 2

≤4的概率为________.

π6 [如图,在平面直角坐标系xOy 中,满足|x |≤3,|y |≤2的点在矩形ABCD 内(包括边界),使得x 2+y 2≤4的点在图中圆O 内(包括边界).由

题意知,S 矩形ABCD =4×6=24,S 圆O =4π,故任取其中的一对实数x ,y ,

使得x 2+y 2≤4的概率P =S 圆O

S 矩形ABCD =4π24=π6

.] 8.从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________.

12

[从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点,基本事件总数为10,即ABC ,ABD ,ABE ,ACD ,ACE ,ADE ,BCD ,BCE ,BDE ,CDE ,以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5,即△ABD ,△ACD ,△ACE ,△BCE ,△BDE ,所以以它们作为顶点的三角形是锐角三

角形的概率P =510=12

.] [能力提升练]

(建议用时:15分钟)

9.某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,依此类推,统计结果如表:

停靠时间

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3

(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.

[解] (1)a =1100

×(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3)=4.

(2)设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,

则????? 0<x ≤240<y ≤24.

若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待,则|y -x |<4,

符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x ,y 轴)所示.

记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A ,

则P (A )=24×24-2×12×20×2024×24=1136

.

所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136

. 10.一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如表:

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(1)求z 的值;

(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:

9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数x i (1≤i ≤8,i ∈N ),设样本平均数为x ,求|x i -x |≤0.5的概率.

[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆,由题意得50n =10100+300

,所以n =2 000,则z =2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.

(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车,由题意得4001 000=a 5

,得a =2, 所以抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.

用A 1,A 2分别表示2辆舒适型轿车,用B 1,B 2,B 3分别表示3辆标准型轿车,用E 表示事件“在该样本中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共10个, 其中事件E 包含的基本事件有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),共7个.

故P (E )=710,即所求的概率为710

. (3)样本平均数x =18

×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D 表示事件“从样本中任取一个数x i (1≤i ≤8,i ∈N ),|x i -x |≤0.5”,则从样本中任取一个数有8个基本事件,事件D 包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个.

所以P (D )=68=34,即所求的概率为34

.

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题号内容押题依据

高考文科数学练习题概率

1几何概型

本题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中,既为几何概

型输送了新鲜的“血液”,又为圆的知识找到了坚定的“着陆点”,

使呆板、平淡的几何概型充满活力,很好地考查了考生的直观想象和

数学运算的核心素养

2

频率分布

直方图、分

层抽样、概

本题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相

交汇的试题,设问角度新颖、典型,有代表性,意在考查考生的逻辑

推理、数学运算、数学建模等核心素养

【押题1】如图,半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.若在该半圆内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是( )

A.

1

7

B.

3

16

C.

3

8

D.

13

16

C[设小圆的半径为r,因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1,所以阴影部分的面积S1=π(2r)2-πr2=3πr2,半圆的面积S=

1

2

π(4r)2=8πr2,根据几何概型的概率计算公式,得该点取自阴影部分的概率P=

S1

S

3πr2

8πr2

3

8

.故选C.]

【押题2】临潼石榴集中国石榴之优,素以色泽艳丽,果大皮薄,汁多味甜,品质优良等特点而著称.临潼石榴名居中国五大名榴之冠,被列为果中珍品.白居易曾写诗赞美:“日照血球将滴地,风翻火焰欲烧人.”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重,其质量分布在区间[200,500]内(单位:克),根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示:

(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)内的石榴中随机抽取5个,再从这5个石榴中随机抽取2个,求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率;

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据,以频率代表概率,已知该村大约还有100 000

个石榴待出售,某电商提出如下两种收购方案:

方案A:所有石榴均以20元/千克的价格收购.

方案B:低于350克的石榴以5元/个的价格收购,高于或等于350克的以9元/个的价格收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

[解](1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2,

所以应分别在质量在[350,400)和[400,450)内的石榴中各抽取3个和2个.

记所抽取的质量在[350,400)内的石榴为A1,A2,A3,质量在[400,450)内的石榴为B1,B2,则从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种:

{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A2,B1},{A3,B1},{A1,B2},{A2,B2},{A3,B2},{B1,B2}.

其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况,故所求概率为7

10

.

(2)方案B好,理由如下:

由频率分布直方图可知,石榴质量在[200,250)内的频率为50×0.001=0.05,

同理,石榴质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.

若按方案B收购:

因为石榴质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000,

石榴质量不低于350克的个数为55 000个,

所以总收益为45 000×5+55 000×9=720 000(元).

若按方案A收购:

根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000,于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000

+475×5 000)×20

1 000

=709 000(元).

因为720 000>709 000,即方案B的收益比方案A的收益高,所以该村应选择方案B.