2010届步步高一轮复习高三数学第二编函数与基本
初等函数Ⅰ函数与方程
基础自测
1.函数
f (x )=3ax -2a +1
在［-1，1］上存在一个零点，则
a
的取值范围是
（ ）
A.a ≥
5
1
B.a ≤1
C.-1≤a ≤5
1
D. a ≥5
1或a ≤-1
答案 D
2.已知函数f (x )为偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 ( )
A.0
B.2
C.1
D.4 答案 A 3.
函
数
f (x )=e x -x
1的零点所在的区间是
（ ）
A.（0，
2
1）
B. （
21，1）
C. （1，2
3） D. （2
3，2）
答案 B
4.如果二次函数y =x 2+mx +（m +3）有两个不同的零点，则m 的取值范围是
（ ）
A.（-∞，-2）∪（6,+∞）
B.（-2，6）
C.
[]6,2-
D.{}6,2-
答案 A
5.若函数f (x )=2x 2-ax +3有一个零点为2
3，则f (1)= .
答案 0
例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f (x )=x 2-3x -18,x ∈［1，8］； （2）f (x )=x 3-x -1,x ∈［-1，2］；
（3）f (x )=log 2(x +2)-x ,x ∈［1，3］.
解（1）方法一 因为f (1)=-20＜0,f (8)=22＞0，
所以f (1)·f (8)＜0，故f (x )=x 2-3x -18，x ∈［1，8］存在零点.
方法二 令x 2
-3x -18=0,解得x =-3或6, 所以函数f (x )=x 2
-3x -18,x ∈［1，8］存在零点.
（2）∵f （-1）=-1＜0,f (2)=5＞0, ∴f （x ）=x 3-x -1，x ∈［-1，2］存在零点.
（3）∵f （1）=log 2（1+2）-1＞log 22-1=0. f (3)=log 2(3+2)-3＜log 28-3=0.∴f （1）·f （3）＜0 故f (x )=log 2(x +2)-x 在x ∈［1，3］上存在零点. 例2 求函数y =ln x +2x -6的零点个数.
解 在同一坐标系画出y =ln x 与y =6-2x 的图像， 由图可知两图像只有一个交点， 故函数y =ln x +2x -6只有一个零点.
例3 （12分）（1）若函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点，求实数a 的值；
（2）若函数f (x )=|4x -x 2|+a 有4个零点，求实数a 的取值范围.
解（1）若a =0，则f (x )=-x -1,
令f (x )=0,即-x -1=0,得x =-1,故符合题意； 2分
若a ≠0，则f (x )=ax 2
-x -1是二次函数， 故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a =0， 解得a =-4
1， 4分
综上所述a =0或a =-4
1. 6分
（2）若f (x )=|4x -x 2|+a 有4个零点，
即|4x -x 2|+a =0有四个根，即|4x -x 2|=-a 有四个根. 8分 令g (x )=|4x -x 2|,h (x )=-a .
作出g (x )的图像，由图像可知如果要使|4x -x 2|=-a 有四个根，
那么g (x )与h （x )的图像应有4个交点. 10分 故需满足0＜-a ＜4,即-4＜a ＜0.
∴a 的取值范围是（-4,0）. 12分 例4 用二分法求函数f (x )=x 3-x -1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）.
解 由于f (1)=1-1-1=-1＜0,f (1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,
∴f (x )在区间［1，1.5］上存在零点， 取区间［1，1.5］作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：
∵|1.375-1.312 5|=0.062 5＜0.1，
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.
1.求下列函数的零点： (1)y =x 3-7x +6;(2)y =x +
x
2-3.
解（1）∵x 3-7x +6=(x 3
-x )-(6x -6)
=x (x 2
-1)-6(x -1)=x (x +1)(x -1)-6(x -1) =(x -1)(x 2+x -6)=(x -1)(x -2)(x +3) 解x 3-7x +6=0,即(x -1)(x -2)(x +3)=0
可得x 1=-3,x 2=1,x 3=2.
∴函数y =x 3-7x +6的零点为-3,1,2.
(2)∵x +.)
2)(1(2
3322
x
x x x
x x x
--=
+-=-
解x +
,032=-x
即
x
x x )
2)(1(--=0,可得x =1或x =2.
∴函数y =x +x
2-3的零点为1，2.
2.已知函数f (x )=a
x +1
2+-x x (a ＞1),判断f (x )=0的根的个数.
解 设f 1(x )=a x (a ＞1),f 2(x )=-1
2+-x x ,则f (x )=0的解即为f 1(x )=f 2(x )的解，即为函数f 1(x )与f 2(x )
图像交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f 1(x )=a x (a ＞1)与f 2(x )=-1
31
2+=+-x x x -1的图像
（如图所示）.
两函数图像有且只有一个交点，即方程f (x )=0有且只有一个根.
3.已知函数f (x )=x 2
+(a 2
-1)x +(a -2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围. 解 方法一 设方程x 2+(a 2-1)x +(a -2)=0的两根分别为x 1,x 2 (x 1＜x 2),
则(x 1-1)(x 2-1)＜0,∴x 1·x 2-(x 1+x 2)+1＜0,
由韦达定理得(a -2)+(a 2-1)+1＜0,即a 2+a -2＜0,∴-2＜a ＜1. 方法二 函数的大致图像如图所示,
则有f (1)＜0,即1+(a 2-1)+a -2＜0, a 2+a -2＜0,∴-2＜a ＜1.
4.利用计算器，求方程lg x =3-x 的近似解.（精确到0.1）
解 如图，由函数y =lg x 与y =3-x 的图像可以发现，方程lg x =3-x 有唯一解，记为x 1， 并且这个解在区间（2，3）内.
设f （x ）=lg x +x -3，用计算器计算，得：
f （2）＜0，f (3)＞0?x 1∈(2,3) f (2.5)＜0,f (3)＞0?x 1∈(2.5,3)
f (2.5)＜0,f (2.75)＞0?x 1∈(2.5,2.75)， f (2.5)＜0,f (2.625)＞0?x 1∈(2.5,2.625)， f (2.562 5)＜0,f (2.625)＞0?x 1∈(2.562 5,2.625).
因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为:x 1≈2.6.
一、选择题
1.下列函数中在区间［1，2］上有零点的是
（ ）
A .f （x ）=3x 2-4x +5 B.f （x ）=x 3-5x -5 C.f （x ）=mx -3x +6 D.f （x ）=e x +3x -6 答案 D
2.如图所示的函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是
（ ）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④ 答案 B
3.设函数y =x 3
与y =()
2
1
x -2的图像交点为（x
,y 0），则x 0所在的区间是
( )
A.(0,1)
B. (1,2)
C.(2，3)
D.(3,4) 答案 B 4.f (x )=
3
ln )1(--x x x 的零点个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.0 答案 A
5.若函数f (x )=x 3
-3x +a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A. （-2，2）
B.[]2,2-
C.(-∞,-1)
D.(1,+∞) 答案 A
6.已知f (x )=1-(x -a )(x -b ) (a ＜b ),m ,n 是f (x )的零点，且m ＜n ,则实数a ,b ,m ,n 的大小关系是
（ ）
A. m ＜a ＜b ＜n
B. a ＜m ＜n ＜b
C.a ＜m ＜b ＜n
D.m ＜a ＜n ＜b 答案 A 二、填空题
7.若函数f (x )=x 2-ax -b 的两个零点是2和3,则函数g (x )=bx 2-ax -1的零点是 .
答案 -2
1，-
3
1
8.关于x 的实系数方程x 2-ax +2b =0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a +3b 的最大 值为 . 答案 9 三、解答题
9.已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0，求实数p 的取值范围.
解 二次函数f (x )在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0的否定是对于区间［-1，1］内的
任意一个x 都有f (x )≤0,
∴.0)1(0)1(???≤-≤f f 即?????≤+---+≤+----0
12)2(240
12)2(2422p p p p p p
整理得：,
0120
93222??
???≥--≥-+p p p p 解得：p 2
3≥
或p 3-≤.
∴二次函数在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的实数p 的取值范围是(-3,).2
3
10.若关于x 的方程3x 2
-5x +a =0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a 的取值范围.
解 设f (x )=3x 2
-5x +a ,则f (x )为开口向上的抛物线（如图所示）.
∵f （x ）=0的两根分别在区间（-2，0），（1，3）内，
∴???
????
><<>-，f f f f 0)3(,0)1(,0)0(,
0)2(即??
?
??
??>+?-?<+-<>+-?--?.03593,053,
00)2(5)2(32a a a ，a
解得-12＜a ＜0.所求a 的取值范围是（-12，0）.
11.关于x 的二次方程x 2+(m -1)x +1=0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范围. 解 设f (x )=x 2+(m -1)x +1,x ∈［0，2］， ①若f (x )=0在区间［0，2］上有一解，
∵f （0）=1＞0,则应有f (2)≤0, 又∵f （2）=22
+（m -1）×2+1,∴m ≤-2
3.
②若f (x )=0在区间［0,2］上有两解,则
,
123,231313.012)1(41304)1(0
)2(,221002-≤≤-∴???
????
-≥≤≤--≤≥∴???????≥+?-+≤≤-≥--∴???????≥≤--≤≥?m m m m m m m m f m 或
由①②可知m ≤-1.
12.已知a 、b 是不全为0的实数，求证：方程3ax 2+2bx -（a +b ）=0在（0，1）内一定有实根.
证明 若a =0时，则b ≠0， 此时方程的根为x =
2
1，满足题意.
当a ≠0时，令f （x ）=3ax 2
+2bx -（a +b ）.
（1）若a (a +b )＜0, 则f （0）·f （
2
1）=-（a +b ）·(-4
1a )=
4
1a （a +b ）＜0，
所以f （x ）在区间(0,)2
1
内有一实根.
（2）若a （a +b ）≥0， 则f ()21
f （1）=(-a
41)（2a +b ）
=-
4
1a 2-
4
1a （a +b ）＜0，
所以f （x ）在区间(2
1，1）内有一实根.
综上所述，方程3ax 2
+2bx -(a +b )=0在（0，1）内一定有实根.
高三数学基本初等函数 单元测试题 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
时杨中学2009届高三数学单元检测卷（2） 基本初等函数 时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 若{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==+，则A B ?=_____________ 2. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为_______________ 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x ______________ 4. 函数2 12x x y -+-=的单调递增区间是_________________ 5. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. （至少打开一个水口） 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是____________ 6. 函数12y x =-，[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2 12,1, ()1,1,1x x f x x x ?--≤?=?>?+? 则[](1)f f = . 8. 函数()2 2231m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 . 二、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤． 9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；(3) 求函数()f x 的值域.
n a n a n ? （1）根式的概念 高一必修一函数知识点（12.1） 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数． ②当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ． ?a (a ≥ 0) ③根式的性质： ( n a )n = a ；当 n 为奇数时， = a ；当 n 为偶数时， =| a |= ?-a ． (a < 0) （2） 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是： a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0． a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是： n n = n m + 且 ．0 的负分数指数幂没有意 a a 义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3） 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) （4） 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴． 例：比较 n a n n a m
第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程
（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。
基本初等函数 中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。 一、一次函数 初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下…… 画出以下解析式的图像：要求快 （1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件，设出一次函数的解析式： (1)直线经过(1,2)点 (2)直线的斜率是2 总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。 二、二次函数 二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质． 1、二次函数的三种表示形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))； (3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)) 求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已 Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式． Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1. ∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a. ∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7
《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =
指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 三、指数函数的图象和性质
指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2log =a ，6log 7=b ，8.0log 2=c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<<a 且1≠a ），则()f x 一定过点（ ） A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时，函数()32-=-x a x f 必过定点（ ） 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点（ ） 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点（ ） 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2，则a =（ ） 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点，则b a ,分别为（ ） A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题
第二章函数与基本初等函数I 第1讲函数及其表示 一、选择题 1．下列函数中，与函数y＝ 1 3 x 定义域相同的函数为()． A．y＝ 1 sin x B．y＝ ln x x C．y＝x e x D．y＝sin x x 解析函数y＝ 1 3 x 的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin x x 的定义域相同， 故选D. 答案 D 2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ()． A．1个B．2个C．3个D．4个 解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个． 答案 C 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝???? ? |lg x |，0 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,=０。 注意:（1)n a = （2)当 ｎ是奇数时a = ,当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义:_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ (2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (３）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如122 [(1]11≠- (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地,函数x y a = 叫做指数函数，其中ｘ是自变量，函数的定义域为Ｒ． 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．即 a>０且a ≠１ 2a>1 注意: 指数增长模型:y ＝N(1+p)指数型函数: ｙ＝ｋａ3 考点：(１）ａｂ =Ｎ, 当ｂ＞0时，ａ,N 在1的同侧；当b ＜0时,ａ,N 在１的 异侧。 （2)指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小,同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进１(=a 0)进行传递或者利用(1）的知识。 (3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1＝ａ,用ｘ＝1去截图象得到对应的底数。 （5）指数型函数:y=N(１+ｐ)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一)对数 1.对数的概念：一般地,如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a x N = ( a — 底数, N — 真数，log a N — 对数式） 说明：１. 注意底数的限制,a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数： (1)常用对数：以１0为底的对数， 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:（1）负数和零没有对数 （２)log a a=1， log a １＝0 特别地, l ｇ10＝1, lg1=0 , ｌｎｅ＝1， l ｎ１＝0 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 高三一轮复习效果评测题 《基本初等函数》 1、下列四个命题中正确的命题是 ①当a ＜0时，3232)(a a =； ②函数02 1)73()2(-?-=x x y 的定义域是[)+∞,2； ③已知210,50100==b a ，则22=+b a 。 2、若4 35.0,235==y x ，则x ·y 0（比较大小）。 3、=++-31021)6427()5(lg )972( . 4、40lg )5(lg 250lg )2(lg 22?+?= 5、25log 5+lg 100 1+ln e +3log 122+= 6、已知0)](log [log log ,0)](log [log log 33 132212==b a ，则a ，b 的大小关系是 . 7、若(10)x f x =，则(3)f = 8、已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 9、已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 y x = 10、若13log 2=x ，则x x 93+的值为 11、若m=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有 （ ） A. m ∈ (0 , 1) B . m ∈ (1 , 2 ) C. m ∈ (2 , 3 ) D. m=1 12、下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是 （ ） A. 1 2x y = B. 112x y -??= ??? C. 1y =- D. y 13、若0＜m ＜n ＜1，则( ) A ．3n ＜3m B ．log m 3＜log n 3 C ．log 4m ＜log 4n D ．1144m n ????< ? ????? 14、设函数(]812,,1()log ,(1,)x x f x x x -?∈-∞?=?∈+∞??，则满足1()4f x =的x 值为 。 15、函数y ＝(m 2－m －1)223m m x --是幂函数且在x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为____ 16、已知x x g a x f b x log )(,)(-==，且0lg lg =+b a ，则y =f （x ）与y =g （x ）的图像（ ） A ．关于x 轴对称； B ．关于直线y=x 对称； C ．关于y 轴对称； D ．关于原点对称 高三总复习-指对数函数题型总结归纳 指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2 log =a ，6log 7 =b ，8.0log 2 =c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,67 .06 7.0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.76 0.7 log 660.7<< D.6 0.7 0.7 log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? ，则（ ） A.3 12 y y y >> B.2 13 y y y >> C.1 32 y y y >> D.1 23 y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设1)3 1 () 31 (31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<< 文科第一轮复习 基本初等函数 一、 分数指数幂与根式的转化 母外子内 ________= ________m n a = ________m n a - = 2 =__________ 1. 化简下列各式 (1)=3 28 (2)31()4-= (3) 12100-= (4) 3416 ()81 -= 2．化简［32 )5(-］4 3的结果是（ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 二、 指数运算性质 (1)(,)(2)()(,)(3)()() m n m n m n mn n n n a a a m n Q a a m n Q a b a b n Q +?=∈=∈=?∈ 1．计算：21 03 19)4 1()2(4)21(----+-?- ＝____ ____. 2.1020.5231(2)2(2)(0.01)54 --+?-=_______________ 1．计算：48 373)27102(1.0)972(0 32 25.0+-++--π． 解：原式48373)2764(1 .01)925(32 2 21+-++=-1004837316910035 =+-++=． 2115113366 222.(2)(6)(3);a b a b a b -÷- 2 115113 3 6 6 2 2 2111150326 236 =(2)(6)(3)[2(6)(3)]44a b a b a b a b ab a ++++-÷-=?-÷-==解：原式 3．计算：48 373)27102(1.0)972(0 32 25.0+-++--π． 解：原式48373)2764(1 .01)925(32 2 21+-++=-1004837316910035 =+-++=． 高考数学基本初等函数一专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（） A. B. C. D. 3.若，，，，则（） A. B. C. D. 4.设函数，则函数的零点的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.设集合,则（） A. B. C. D. 6.已知函数，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知函数，则函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 9.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共7分） 11.函数的反函数________. 12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 ________（结果用数值表示） 13.定义，已知函数，, ，则的取值范围是________，若有四个不同的实根，则的取值范围是________． 14.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）?f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a ＝5.其中正确结论的序号是________. 15.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为________． 16.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数. 当时，，，其中.若在区间上，关 于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是________. 三、解答题（共5题；共45分） 17.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元． （1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式； （2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 18.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数 已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。 （1）求函数的解析式； 基本初等函数知识点总结 一、指数函数的概念 （1）、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 （2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a >且1a ≠的前提下，x R ∈。 （3）、指数函数x y a =（0a >且1a ≠）解析式的结构特征 1、底数：大于0且不等于1的常数。 2、指数：自变量x 。 3、系数：1。 二、指数函数的图象与性质 一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象与性质如下表： 三、幂的大小比较方法 比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法： 要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。 四、底数对指数函数图象的影响 （1）、对函数值变化快慢的影响 1、当底数1a >时，指数函数x y a =是R 上的增函数，且当0x >时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。 2、当底数01a <<时，指数函数x y a =是R 上的减函数，且当0x <时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。 （2）、对函数图象变化的影响 指数函数x y a =与x y b =的图象的特点： 1、1a b >>时，当0x <时，总有01x x a b <<<；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有1x x a b >>。 2、01a b <<<时，当0x <时，总有1x x a b >>；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有01x x a b <<<。 五、对数的概念 （1）、对数：一般地，如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数10log N 简记为lg N 。 （3）、自然对数：我们通常把以无理数e （ 2.71828e =）为底的对数称为自然对数， 为了简便，N 的自然对数log e N 简记为ln N 。 六、对数的基本性质 根据对数的定义，对数log a N （0a >，1a ≠）具有如下性质： 1、0和负数没有对数，即0N >； 2、1的对数是0，即log 10a =； 3、底数的对数等于1，即log 1a a =； 4、对数恒等式：如果把b a N =中的b 写成log a N ，则log a N a N =。 七、对数运算性质 如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）、()log log log a a a MN M N =+； （2）、log log log a a a M M N N =-； （3）、log log n a a M n M =（n R ∈）。 八、换底公式 高三数学试卷中函数专题复习策略 一、《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性，了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值； 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象，理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质，理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况，函数命题呈现如下特点： 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，例如，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 （一）关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式，考生必须能够做到以下两点：一是熟知定义域常见要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；三角函数中的正切、余切的定义域等等；二是熟练掌握常见不等式的解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.（2012年江苏卷）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析
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