2009年第5期 牡丹江教育学院学报 No15,2009
(总第117期) JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION Serial No1117
[收稿日期]2009-03-16
[作者简介]牛华伟(1981-),女,河南周口人,平顶山教育学院教师;张厚超(1980-),男,河南信阳人,平顶山学院教师。
数学建模在经济管理中的应用
牛华伟1 张厚超2
(1平顶山教育学院,河南 平顶山 467000;
2平顶山学院,河南 平顶山 467000)
[摘 要] 数学建模在经济管理中起着重要作用,它有利于解决资源有效配置以期达到节省资源使利润最
大化。本文讨论了数学建模的方法和步骤,并将数学建模应用于排队中,最后分析了三个窗口下M/M/3模型
优于三个M/M/1模型,为解决日常排队提供了参考方案。
[关键词] 数学建模;节省资源;排队论
[中图分类号] F224 [文献标识码] A [文章编号] 1009-2323(2009)05-0062-02
一、引言
一般来说,数学不能直接处理经济管理领域的客观情
况。为了能用数学解决经济管理领域中的问题,就必须建
立数学模型。数学模型是为了解决经济管理领域中的问题
而作的一个抽象的、简化结构的数学刻画。或者说,经济管
理中的数学模型就是为了管理的经济目的,用字母、数字及
其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框
图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻
画。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学建模有
密切关系。在经济管理决策科学化、定量化呼声日渐高涨
的今天,数学建模更是无处不在。如排队是日常生活中经
常遇到的现象(如顾客到移动公司办理业务,病人到医院看
病常常要排队),此时要求服务的数量超过了服务机构的容
量。如果增添服务设备,就要增加投资或发生空闲浪费,如
果服务设备太少排队就会严重,因此管理人员必须考虑今
后如何改进对策,以期提高服务质量降低成本。本文就数
学建模在排队问题中的应用来说明数学建模在经济管理中
的应用,并给出数学模型。
二、经济管理中数学建模的方法和步骤
经济管理数学建模大致可以分为三个阶段:一是从现
实经济管理世界进入数学世界,二是对现实经济管理问题
的数学模型进行研究,三是从数学世界回到现实经济管理
世界。数学经济管理建模还可以用流程的形式来表示,流
程是由下面一些步骤组成:
(1)对现实管理问题的原始背景有深刻的了解和深入
细致的观察,并从中抽出最本质特征的东西,即抓住主要因
素,暂不考虑次要因素,从而得到原始问题的一个简化了的
理想化的自然模型。
(2)根据已经掌握的管理信息直接翻译为数学术语,把
理想化的自然模型表示成一个数学研究的题材)))数学经
济
模型。
(3)运用数学知识得到关于这个模型的一个解。这一
步要求对某些数学技巧具有一定的基础知识,为管理类的
学生所学习的数学知识提供了用武之地。
(4)用理想化自然模型的术语对所得的解进行解释和
说明。
(5)根据问题的原始背景对所得的解进行解释和说明。
(6)对所得结果的有效性要加以验证。如果由模型算
出的理论值与实际值比较吻合,则模型是成功的;如果理论
值与实际值差别很大,则模型是失败的;如果理论值与实际
值部分吻合,则应找原因,发现问题后修改模型。
三、模型的分类
经济管理数学模型可以按变量的性质分成两类,即概
率型和确定型。概率型的模型处理是具有随机性情况的模
型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一
种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相
互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题
有时能用几种数学方法去对它进行描述和解释。具体建立
什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自
己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。
四、数学经济管理建模举例
在一般情况下,提高服务水平(数量,质量)自然会降低
顾客的等待费用(损失),但却增加了服务机构的成本,在这
两种费用一多一少的矛盾情况下,我们的问题是如何合理
安排使两项费用之和为最小。下面介绍排队系统模型,如
某售票所有三个窗口,顾客的到达服从泊松分布,平均到达
率每分钟K=0.9(人),服务(售票)时间服从负指数分布,
平均服务率L=0.4(人)。现设顾客到达后排成一队,依次
向空闲的窗口购票A:3个M/M/1型,B: M/M/3型
对比两种方案:3个M/M/1型子系统, M/M/3计算
个状态的运行指标代入公式,
A:此时K1=K2=K3=0.3
1整个售票所空闲概率
p0=1-K/u =1-0.3/0.4=0.25
o平均队长
Ls=K/(u-K) =0.3/(0.4-0.3) =9.00
#62#Lq= Ls-K/u =9.00-0.3/0.4=2.25
?平均等待时间和逗留时间
ws=1/(u-K) =1/(0.4-0.3) =10分钟
wq= ws-1/u =10-1/0.4=7.5分钟
顾客到达后必须等待的概率
p0=6
]
n=1
(1-K/u)(K/u)n=6
]
n=1
(1-0.3/0.4)(0.3/0.
4)n=0.75
B Q=K/cu =2.253
p0=1(2.25)0
0!+(2.25)11!+(2.25)22!+(2.25)33!=0.0748
1整个售票所空闲窗口
Lq=
(2.25)334
3! (1/4)2g0.0748=1.70
o平均队长
Ls= Lq+K/u =3.95
?平均等待时间和逗留时间
wq=1.70/0.9=1.89分钟
ws=1.89+1/0.4=4.39分钟
顾客到达后必须等待的概率
p(n\3) =(2.25)33! (1/4)g0.0748=0.57
列表比较3个M/M/1型子系统, M/M/3计算个状
态的运行指数
模型
指标M/M/1型M/M/3
整个售票所空闲概率P0
顾客到达后必须等待的概率
平均队长Lq
平均队列长Ls
平均等待时间wq
平均逗留时间ws
0.25(每个子系统)
0.75
2.25(每个子系统)
9.00(整个系统)
10(分
钟)
7.5(分钟)
0.0748
0.57
1.70
3.95
4.39(分钟)
1.89(分钟)
从表中各项指标的对比可以看出M/M/3比M/M/1
型节省资源。
[参 考 文 献]
[1]胡运权.运筹学[M].北京:清华大学出版社,2002.
[2]韩中庚.实用运筹学[M].北京:清华大学出版社,2007.
Application of Mathematical Models in Management of the Economy
NIU Hua-wei1ZHANG Hou-chao2
(1Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan, Henan467000;
2Pingdingshan University, Pingdingshan, Henan467000)
Abstract:Mathematical models play a particularly important role in management of the economy.
Most optimum distribution of resources is favorable to reduce costs. This paper elaborates on systematic
procedure of mathematical models and appliance of mathematical models in queuing theory. Last, we an-
alyze by M/M/3 model and three M/M/1 models in three windows and draw a conclusion that M/M/3
model is superior to three M/M/1 models. The paper makes a reference to everyday equation.
Key words:mathematical models; reducing costs; queuing theory[责任编辑:丛爱玲]
(上接第18页)吾告之至诚,今而害之,人将谓我何!0[34]灭
前凉后,朝臣进谏应征服羌族时,苻坚说:/彼种落杂居,不
相统一,不能为中国大患,宜先抚谕,征其租税,若不从命,
然后讨之。0[33]苻坚以仁义之师伐不臣之众,其身上儒家思
想的影响可谓深远。相对开明的民族政策和强大的经济基
础,使得苻坚时代取得前秦自开国以来的可喜成果,史载:
/坚自平诸国之后,,鄯善王、车师前部王来朝,大宛献汗
血马,肃慎贡楛矢,天竺献火浣布,康居、于阗及海东诸国,
凡六十有二王,皆谴使贡其方物。0[34]
对于苻坚的民族政策,我们在肯定其成果的同时,也应
该看到其失误之处,那就是对谋反和叛乱的人轻易赦免。
这使得王猛对氐族豪强施行的法治政策遭到抵制。苻坚将
大量的鲜卑、羯、羌等少数民族人口迁入到关中地区,安置
于京师各地,并且为了控制边疆豪族的反抗,将氐族贵族分
派到边疆各处以控制边疆豪族。苻融劝告苻坚:/陛下宠
育,鲜卑、羌、羯,布诸畿甸,旧人族类,斥徙遐方。今倾国而
去,如有风尘之变者,其如宗庙何!监国以弱卒数万留守京
师,鲜卑、羌、羯攒聚如林,此皆国之贼也,我之仇也。0[35]但
苻坚并没有引以为戒,最终因淝水一战败北而为属臣姚苌
所杀。他没有看到各民族间的本位情感,片面强调和睦,从
而在紧要关头各少数民族并不能为其所用。另外,由于各
民族都有自己独立的心理特征,在政治手段、经济基础不够
强大的条件下,虽然民族融合得到加强,但很难对少数民族
完成同化。
苻坚虽是西北少数民族,但他能够与时俱进,在民族融
合的大背景下,合理有效地利用汉族文人为其进行维护统
治的服务,拉拢世家大族并得到他
们的支持,一方面搞好氐
族与其他少数民族的关系,另一方面,体恤普通民众,发展
本国经济,为完成全国的统一做准备。最为重要的是,他对
儒家统治思想及伦理道德加以吸收和运用,以法家严刑峻
法为辅助,综合性地运用各种思想为其所用。从苻坚的治
国方略可以看出,在民族融合的大背景下,他的统治思想是
基于对儒家思想的合理吸收和运用,从政治、经济、文化、外
交等方面进行全方位改革,并能够灵活处理民族关系,发挥
其他少数民族的最大作用。正是这样的治国方略使前秦的
国力日益强大,并最终促成了我国北方的局部统一。
[参 考 文 献]
[1][唐]房玄龄.晋书#苻生载记上(卷112)[M].北京:中华书局,
1974.
[2][3] [10] [11] [12] [14] [15] [16][17][18] [20] [21] [22]
[23][24][25][26][27] [29][32][34][唐]房玄龄.晋书#苻坚载
记上(卷113)[M].北京:中华书局,1974.
[4][5][6][7][8][9][13][35][唐]房玄龄.晋书#苻坚载记下(卷
114)[M].北京:中华书局,1974.
[19][31][33][宋]司马光.资治通鉴(卷104)[M].北京:中华书
局,1974.
[28][宋]司马光.资治通鉴(卷103)[M].北京:中华书局,1974.
[30]蒋福亚.前秦史[M].北京:北京师范大学出版社,1998.
[责任编辑:毕橹欣]
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