北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套
（共9套）
《数与式》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题2分，共24分)
1．下列各数：π
3，sin 30°，－3，4，其中无理数的个数有( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．某种药品说明书上标明保存温度是(20±3) ℃，则该药品最合适保存的温度范围是 ( C )
A ．17℃～20℃
B ．20℃～23℃
C ．17℃～23℃
D ．17℃～24℃
3．下列运算中，正确的是( D ) A ．a 2＋a 2＝2a 4 B ．(a －b )2＝a 2－b 2 C ．(－x 6)·(－x )2＝x 8
D ．(－2a 2b )3÷4a 5＝－2ab 3 4．中国的“天眼”绝对是我们中国人的骄傲，它可以一眼看穿130亿光年以外，换句话来说就是它可以接收到130亿光年之外的电磁信号，几乎已经可以达到我们人类现在所了解到的宇宙的极限边缘．数据130亿(精确到亿位)正确的表示是( B )
A ．1.3×1010
B ．1.30×1010
C ．0.13×1011
D ．130×108
5．设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
6．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a
b
；②a b ·b
a
＝1；③ab ÷a
b
＝－b ，其中正确的是( B )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
7．若最简二次根式3a －1
2a ＋5b 与a －2b ＋8是同类二次根式，则a 、b 的值为( A )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝2，b ＝－1
C ．a ＝－2，b ＝1
D ．a ＝－1，b ＝1
8．整数n 满足n ＜26＜n ＋1，则n 的值为( A ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
9．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( C )
A ．2a ＋b
B ．－2a ＋b
C ．b
D ．2a －b
10．如图1，把一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( C )
A ．2m
B ．(m ＋n )2
C ．(m －n )2
D ．m 2－n 2
11．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2,4；第二组：6,8,10,12；第三组：14,16,18,20,22,24；第四组：26,28,30,32,34,36,38,40……则现有等式A m ＝(i ，j )表示正偶数m 是第i 组第j 个数(从左到右数)，如A 10＝(2,3)，则A 2020＝( B )
A ．(31,63)
B ．(32,18)
C ．(33,16)
D ．(34,2)
12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3、…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，…，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是( D )
A ．????122019
B ．????122020
C ．???
?332020
D ．??
?
?332019
二、填空题(每小题2分，共16分) 13．若分式
x ＋1
x －1
有意义，则x 的取值范围为__x ≥－1且x ≠1__. 14．计算：2(2－3)＋6＝__2__.
15．将多项式m 2n －2mn ＋n 分解因式的结果是__n (m －1)2__. 16．若y ＝
x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y ＝__1
4
__.
17．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a 用代数式表示为13＋12n ，实数b 用代数式表示为12n －13，则a －b 的值为__2
3
__.
18．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为__3__.
19．若x 2
－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1
的值为__1
8__.
20．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋1
2
n ＋….
图1 图2
图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、….假设
AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是＝
2
???
?1＋34＋????342＋????343＋…＋????34n －1＋????34n ＋…__.
三、解答题(共60分) 21．(8分)计算： (1)?
??
?46－4
12＋38÷22； 解：(1)原式＝(46－22＋62)÷22＝(46＋42)÷22＝23＋2. (2)???
?－12－2－|3－2|＋(2－1.414)0－3tan 30°－(－2)2
.
解：原式＝4－(2－3)＋1－3×
3
3
－2＝4－2＋3＋1－3－2＝1. 22．(5分)已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．
解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.
23．(5分)已知实数a 、b 、c 满足|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，求－abc 的值． 解：∵|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，∴a ＋6＝0，b －2＝0，c －3＝0，∴a ＝－6，b ＝2，c ＝3，∴
－abc ＝
－(－6)×2×3＝36＝6.
24．(5 分)化简：?
????x ＋2x 2－2x －x －1x 2
－4x ＋4÷???
?1－4x . 解：原式＝????
??x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2÷x －4x ＝x 2－4－(x 2－x )x (x －2)2·x x －4＝x －4x (x －2)2·x x －4＝1
x 2－4x ＋4. 25．(5分)先化简，再求值：
a 4－
b 4a 2－2ab ＋b 2×b －a
a 2
＋b 2
，其中a ＝2019，b ＝2020.[:学科网] 解：原式＝(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )(a －b )2·－(a －b )
a 2＋
b 2＝－(a ＋b )＝－a －b .当a ＝2019，b ＝2020时，
原式＝－2019－2020＝－4039.
26．(5分)先化简，再求值：
a －2a 2
－1÷?
?
???a －1－2a －1a ＋1，其中a 是方程x 2－x ＝6的根． 解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－(2a －1)a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝1
a 2－a .∵a 是方程x 2－x ＝6的根，
∴a 2－a ＝6，∴原式＝1
6
.
27．(6分)先化简，再求值：
a 2－6a
b ＋9b 2a 2－2ab ÷????5b 2a －2b －a －2b －1a ，其中a 、b 满足?
????
a ＋
b ＝4，a －b ＝2. 解：原式＝(a －3b )2
a (a －2
b )÷????
??5b 2a －2b －(a －2b )(a ＋2b )a －2b －1a ＝(a －3b )2a (a －2b )÷9b 2－a 2a －2b －1
a ＝(a －3
b )2
a (a －2
b )·a －2b
(3b －a )(3b ＋a )－1a ＝－(a －3b )a ()
3b ＋a －1a ＝－(a －3b )a (3b ＋a )－3b ＋a a (3b ＋a )＝－2a a (3b ＋a )＝－2
a ＋3
b .解
????? a ＋b ＝4，a －b ＝2，得?????
a ＝3，
b ＝1.
∴当a ＝3，b ＝1时，原式＝－23＋3×1＝－13.
28．(6分)先化简，再求值：
x 2＋x x 2－2x ＋1÷
???
?2x －1－1x ，其中整数x 满足－2＜x ≤2. 解：原式＝x (x ＋1)(x －1)2÷2x －(x －1)x (x －1)＝x (x ＋1)(x －1)2
×x (x －1)x ＋1＝x 2
x －1
.其中?
????
x 2－2x ＋1≠0，
x (x －1)≠0，x ＋1≠0，
即x ≠
－1、0、1.又∵－2＜x ≤2，且x 为整数，∴x ＝2.将x ＝2代入x 2
x －1中，得原式＝22
2－1
＝4. 29．(7分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，因此，8,16,24这三个数都是“和谐数”．
(1)在32,75,80这三个数中，是和谐数的是__32,80__；
(2)若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为__100__；
(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n －1和2n ＋1(其中n 取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．
证明：∵(2n ＋1)2－(2n －1)2＝4n 2＋4n ＋1－(4n 2－4n ＋1)＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＋4n －1＝8n ，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．
30．(8分)观察下列等式：
第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－1
22＋1； 第二个等式：a 2＝221＋3×22＋2×(22)2＝122
＋1－123＋1； 第三个等式：a 3＝231＋3×23＋2×(23)2＝123
＋1－1
24＋1； 第四个等式：a 4＝241＋3×24＋2×(24)2＝124＋1－1
25＋1.
按上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第六个等式：a 6＝__26
1＋3×26＋2×(26)2__＝__126＋1－1
27
＋1
__； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝__2n
1＋3×2＋2×(2)__＝__12＋1－1
2＋＋1
；
(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝__14
43__(得出最简结果)；
(4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n . 解：原式＝12＋1
－
122
＋1
＋
122
＋1
－
123
＋1
＋…＋
12n
＋1
－
12
n ＋1
＋1
＝
12＋1
－
12n ＋1＋1
＝
2n ＋1－2
3(2n ＋1＋1)
.
《函数的图象与性质》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．函数y ＝x ＋2
x －3
的自变量的取值范围是( C ) A ．x ≠3
B ．x ≥－2
C ．x ≥－2且x ≠3
D ．x ≥3
2．一辆复兴号高铁从青州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，复兴号到达下一个高铁站停下，乘客上、下车后，复兴号又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出这辆复兴号高铁在这段时间内的速度变化情况的是( D )
3．已知二次函数y ＝－(x －h)2＋4(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为0，则h 的值为( A )
A ．－1和6
B ．2和6
C ．－1和3
D ．2和3
4．若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( C ) A ．(2,2)
B ．(－2，－2)
C ．(2,2)或(－2，－2)
D ．(－2,2)或(2，－2)
5．一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k
x
在同一直角坐标系内的图象大致是( C )
6．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4
x
上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S
阴影
＝1，则S 1＋S 2＝( D )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( A )
A ．(4，－1)
B ．(0，－3)
C ．(－2，－3)
D ．(－2，－1)
8．设A (－2，y 1)、B (1，y 2)、C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( A )
A ．y 1>y 2>y 3
B ．y 1>y 3>y 2
C ．y 3>y 2>y 1
D ．y 2>y 1>y 3
9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a ＋b ＋c ＜0；②a －b ＋c ＜0；③b ＋2a ＜0；④abc ＞0.其中所有正确结论的序号是( C )
A ．③④
B ．②③
C ．①④
D ．①②③
10．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)中k 的值的变化情况是( C )
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则k ·b 的值是__2或－7__.
12．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A (m ，n )，B (m ＋6，n )，则n ＝__9__.
13．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是__m ＞1__.
14．如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝－1
x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P
是y 轴上任意一点，则△P AB 的面积是__1.5__
15．如图，点A 在双曲线y ＝6
x 上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交
OC 于点B ，当OA ＝4时，则△ABC 周长为
16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ，则这个门洞的高度为__9.1__m.(精确到0.1 m)
三、解答题(共52分)
17．(6分)已知一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (－2,0)、B (0,3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)过点B 的另外一条直线l 与x 轴交于点C (c,0)，若点A 、B 、C 构成面积不大于6的三角形，求c 的取值范围．
解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－2,0)、B (0,3)代入，得?????
－2k ＋b ＝0，
b ＝3，
解
得?
????
k ＝32，b ＝3，所以一次函数解析式为y ＝3
2
x ＋3.
(2)根据题意得12
·3·|c ＋2|≤6，即|c ＋2|≤4，所以－6≤c ≤2且c ≠－2.
18．(6分)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，点B (0,3)，点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在x 轴上向右平移，点Q 从B 点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y ＝3向右平移，又P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒．
(1)当t 为何值时，四边形OBPQ 的面积为8； (2)连接AQ ，当△APQ 是直角三角形时，求Q 的坐标．
解：(1)设运动时间为t 秒，BQ ＝2t ，OP ＝4＋t ，则S ＝12(3t ＋4)×3＝8，解得t ＝4
9.
(2)当∠QAP ＝90°时，Q (4,3)；当∠QP A ＝90°时，Q (8,3)；当∠AQP ＝90°时，不存在Q 点的坐标，故Q 点坐标为(4,3)、(8,3)．
19．(6分)如图1所示，在A 、B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的距离y 1、y 2(千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系图象．
(1)填空：A 、B 两地相距__420__千米；
(2)求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； (3)客、货两车何时相遇？
解：(2)由图可知货车的速度为60÷2＝30(千米/时)，货车到达A 地一共需要2＋360÷30
＝14(小时)．设y 2＝kx ＋b ，代入点(2,0)、(14,360)，得????? 2k ＋b ＝0，14k ＋b ＝360，解得?????
k ＝30，b ＝－60，
所
以y 2＝30x －60.
(3)设y 1＝mx ＋n ，代入点(6,0)、(0,360)，得????? 6m ＋n ＝0，n ＝360，解得?????
m ＝－60，
n ＝360，
所以y 1＝
－60x ＋360.由y 1＝y 2，得－60x ＋360＝30x －60，解得x ＝143.故客、货两车经过14
3
小时相遇．
20．(6分)已知某市2017年企业用水量x (吨)与该月应缴的水费y (元)之间的函数关系如图．
(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；
(2)若某企业2018年10月份的水费为620元，求该企业2018年10月份的用水量； (3)为贯彻省委发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2019年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2018年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x
20元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费
共600元，求这个企业该月的用水量．
解：(1)设y 关于x 的函数关系式y ＝kx ＋b .∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50,200)，(60,260)，∴
????? 50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得?????
k ＝6，b ＝－100，
∴y 关于x 的函数关系式是y ＝6x －100.
(2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50，∴6x －100＝620，解得x ＝120.故该企业2018年10月份的用水量为120吨．
(3)由题意得6x －100＋x
20(x －80)＝600，化简，得x 2＋40x －14 000＝0，解得x 1＝100，
x 2＝－140(不合题意，舍去)．故这个企业2019年3月份的用水量是100吨．
21．(6分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋3
2x ＋c (a ≠0)与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C
两点，点C 坐标为(8,0)，连接AB 、AC .
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋3
2x ＋c 与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C 两点，点C 坐标为
(8,0)，∴?????
c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得?
????
a ＝－14
，c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32
x ＋4.
(2)△ABC 为直角三角形，理由如下：当y ＝0时，即－14x 2＋3
2x ＋4＝0，解得x 1＝8，x 2＝
－2，∴点B 的坐标为(－2,0)．在Rt △ABO 中，AB 2＝BO 2＋AO 2＝22＋42＝20.在Rt △ACO 中，AC 2＝CO 2＋AO 2＝82＋42＝80.∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝20＋80＝102＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．
22．(7分)如图，已知A ????－4，12，B (－1,2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m
x (m ≠0，m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(2)求一次函数解析式及m 的值；
(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC 、PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．
解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故一次函数的值大于反比例函数的值．
(2)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b .∵y ＝kx ＋b 的图象过点????－4，1
2，(－1,2)， ∴?????
－4k ＋b ＝12，
－k ＋b ＝2，解得???
k ＝1
2，b ＝52，故一次函数的解析式为y ＝12x ＋52.反比例函数y ＝m
x
图
象过点(－1,2)，则m ＝－1×2＝－2.
(3)连接PC 、PD ，设P ????x ，12x ＋52.由△PCA 和△PDB 面积相等，得12×12×(x ＋4)＝1
2×|－1|×????2－12x －52，解得x ＝－52，则y ＝12x ＋52＝5
4
，∴点P 的坐标是????－52，54. 23．(7分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系近似满足一次函数：y ＝－10x ＋500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
解：(1)当x ＝20时，y ＝－10x ＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．
(2)依题意，得w ＝(x －10)(－10x ＋500)＝－10x 2＋600x －5000＝－10×(x －30)2＋4000.∵a ＝－10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
(3)由题意，得－10x 2＋600x －5000＝3000，解得x 1＝20，x 2＝40.∵a ＝－10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x ≤40时，w ≥3000.又∵x ≤25，∴当20≤x ≤25时，w ≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝(12－10)×(－10x ＋500)＝－20x ＋1000.∵k ＝－20＜0.∴p 随x 的增大而减小，∴当x ＝25时，p 有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
24．(8分)如图，已知抛物线y ＝－14x 2－1
2x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .
(1)求点A 、B 、C 的坐标；
(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积；
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令y ＝0，得－14x 2－1
2x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或2，∴点A 坐标为
(2,0)，点B 坐标为(－4,0)．令x ＝0，得y ＝2，∴点C 坐标为(0,2)．
(2)①AB 为平行四边形的边时，∵AB ＝EF ＝6，对称轴x ＝－1，∴点E 的横坐标为－7或5，∴点E 坐标为????－7，－274或????5，－274，此时点F ????－1，－27
4，∴以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为6×
274＝81
2
；②当点E 在抛物线顶点时，点E ????－1，94，设对称轴与x 轴交点为M ，令EM 与FM 相等，则四边形AEBF 是菱形，此时以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为12×6×92＝27
2
.
(3)如图所示，①当C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作M 1N ⊥OC 于点N .在Rt △CM 1N 中，CN ＝
CM 21－M 1N 2
＝7，∴点M 1坐标为(－1,2＋7)，点M 2坐标为(－1,2－7)；②当
M 3为顶点时，∵直线AC 解析式为y ＝－x ＋2，线段AC 的垂直平分线为y ＝x ，∴点M 3坐标为(－1，－1)；③以点A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述，点M 坐标为(－1，－1)或(－
1,2＋7)或(－1,2－7)．
《方程(组)与不等式(组)》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论错误的是( D ) A ．a －7＞b －7 B ．6＋a ＞b ＋6 C ．a 5>b 5
D ．－3a ＞－3b
2．已知x ＝2是方程2x ＋m －4＝0的解，则m 的值为( C ) A ．8 B ．－8 C ．0
D ．2
3．不等式组????
?
x ＋1>0，1－13
x >0的解集在数轴上表示正确的是( A )
4．已知????? x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组?
???
?
3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m －n 的值是( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．一元一次不等式组?
????
2x ＋1>0，
x －5≤0的解集中，整数解的个数是( C )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．关于x 的方程m 2x 2－8mx ＋12＝0至少有一个正整数解，且m 是整数，则满足条件的m 的值的个数是( B )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
7．为加快环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为( A )
A ．400x ＝300
x －30
B ．400x －30
＝300x
C ．400x ＋30＝300x
D ．400x ＝300x ＋30
8．大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如下协议：做满30天，图书馆将支付给他一套名著和生活费600元，但他在做到20天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和300元，设这套名著的价格为x 元，则下面所列方程正确的是( B )
A ．x ＋60020＝x ＋30030
B ．x ＋60030＝x ＋300
20
C ．x －60030＝x －30020
D ．x －60020＝x －30030
9．若解分式方程x －1x ＋4＝m
x ＋4时产生增根，则m ＝( D )
A ．1
B ．0
C ．－4
D ．－5
10．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( B )
A ．29人
B ．30人
C ．31人
D ．32人
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜b
a －3，那么a 的取值范围是__a >3__.
12．方程x x －2 ＝ 1
2－x
的根x ＝__－1__.
13．对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝?
???
?
a 2－a
b (a ≥b )，ab －b 2
(a
15．若方程x 2＋2x －13＝0的两根分别为m 、n ，则mn (m ＋n )＝__26__.
16．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为__80__元．
三、解答题(共52分) 17．(6分)解方程(组)：
(1)?
????
x －y ＝4， ①
3x ＋y ＝16； ②
解：(1)①＋②，得4x ＝20，即x ＝5.将x ＝5代入①，得y ＝1，故?
????
x ＝5，
y ＝1.
(2)(x －5)(x ＋4)＝10；
解：去括号、移项、整理，得x 2－x －30＝0，解得x 1＝－5，x 2＝6. (3)1
x －2－3＝x －12－x
. 解：去分母，得1－3(x －2)＝－(x －1)，整理，得－2x ＋6＝0，解得x ＝3.经检验，x ＝3是原分式方程的根．
18．(4分)解不等式组：????
?
3x >x －6，x －12≤x ＋16，
并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．
解：???
3x >x －6，①
x －12≤x ＋1
6，②
由①，得x ＞－3.由②，得x ≤2.∴原不等式组的解集为－3＜x ≤2.
19．(6分)已知关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根是－1，求另外一个根及k 的值．
(1)证明：b 2－4ac ＝k 2＋8>0，即方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．
(2)解：把x ＝－1代入原方程，得2－k －1＝0，所以k ＝1，即原方程为2x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝12，即另外一根为1
2
.
20．(6分)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接五一劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？
解：设每件童装应降价x 元．由题意，得(100－60－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2
＝20.∵尽量减少库存，∴x ＝20，∴100－20＝80(元)，故每件童装应定价为80元．
21．(7分)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5
4
，购进数量比第一次少了30支．
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元；
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问：每支售价至少是多少元？
解：(1)设第一次每支铅笔进价为x 元．根据题意，得
600x －600
5
4
x ＝30，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的解，故第一次每支铅笔的进价是4元．
(2)设售价为y 元．根据题意，列不等式为6004×(y －4)＋600
4×5
4×(y －5)≥420，解得y ≥6.
故每支售价至少是6元．
22．(7分)阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数必同时为零． 例如：①若(a －1)2＋(b ＋5)2＝0，则(a －1)2＝0，(b ＋5)2＝0，∴a ＝1，b ＝－5. ②若m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝0，求m 、n 的值．
解：∵m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝(m 2－4m ＋4)＋(n 2＋6n ＋9)＝0(将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式)，
∴(m －2)2＋(n ＋3)2＝0， ∴(m －2)2＝0，(n ＋3)2＝0， ∴m ＝2，n ＝－3.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝0，求x y 的值；
(2)已知a 、b (a ≠b )是等腰三角形的边长，且满足2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝0，求三角形的周长．
解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝x 2＋2xy ＋y 2＋y 2－6y ＋9＝(x ＋y )2＋(y －3)2＝0，∴x ＋y ＝0，y －3＝0，∴y ＝3，x ＝－y ＝－3，∴x y ＝(－3)3＝－27.
(2)∵2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝2a 2－8a ＋8＋b 2－6b ＋9＝2(a 2－4a ＋4)＋(b 2－6b ＋9)＝2(a －2)2＋(b －3)2＝0，∴a －2＝0，b －3＝0，∴a ＝2，b ＝3.∴当a 为腰时，周长为7；当b 为腰时，周长为8.∴三角形的周长为7或8.
23．(8分)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是
已知方程两根的倒数；
(2)已知a 、b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b
a
的值；
(3)已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．
解：(1)设x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)的两根为x 1、x 2.∴x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n .∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2
＝
－m n ，1x 1·1x 2＝1n .∴所求一元二次方程为x 2＋m n x ＋1
n
＝0，即nx 2＋mx ＋1＝0. (2)①当a ≠b 时，由题意知a 、b 是一元二次方程x 2－15x －5＝0的两根，∴a ＋b ＝15，
ab ＝－5.∴a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152
－2×(－5)－5
＝－47.②当a ＝b 时，a b ＋b
a ＝1＋1＝2.
综上，a b ＋b
a
＝－47或2.
(3)∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，∴a ＋b ＝－c ，ab ＝16c .∴a 、b 是方程x 2＋cx ＋16
c ＝0的两根，
∴Δ＝c 2－4×16
c
≥0.∵c ＞0，∴c 3≥64，∴c ≥4，∴c 的最小值为4.
24．(8分)某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．
(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？ (3)对(2)中的几种建造方案，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．
解：(1)设新建一个地上停车位需x 万元，新建一个地下停车位需y 万元．由题意，得
????? 2x ＋3y ＝1.7，4x ＋2y ＝1.4，解得?????
x ＝0.1，y ＝0.5.
故新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元．
(2)
设新建m 个地上停车位，由题意，得14＜0.1m
＋0.5(60－m )≤15，解得37.5≤m ＜40，因为m 为整数，所以m ＝38或39，对应的60－m ＝22或21，故一共有2种建造方案．
(3)当m ＝38时，投资0.1×38＋0.5×22＝14.8(万元)，当m ＝39时，投资0.1×39＋0.5×21＝14.4(万元)，故当地上建39个车位，地下建21个车位时，投资最少，金额为14.4万元．
《图形及其变化》综合检测卷
(时间：90分钟满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是(B)
A．圆锥B．圆柱
C．棱柱D．正方体
3．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图，在该正方体中，和“超”相对的字是(C)
A．沉B．信
C．自D．着
4．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是(C)
5．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为(C)
A．16 cm B．18 cm
C．20 cm D．22 cm
6．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (5,3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是( C )
A ．(2,10)
B ．(－2,0)
C ．(2,10)或(－2,0)
D ．(10,2)或(－2,0)
7．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (2,2)、B (3,1)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( C )
A ．(3,1)
B ．(3,3)
C ．(4,4)
D ．(4,1)
8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝70°，以B 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心、以大于1
2EF 长为半径画弧，两弧交于点P ，
作射线BP 交AC 于点D ，则∠BDC 为( B )
A ．65°
B ．75°
C ．80°
D ．85°
9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( B )
A ．35
B ．45
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b 北师大版初中数学九年级章节知识点总结