本课重点一：
这种情况和盘整背驰中转化成第三类卖点的情况不同，那种情况下，反弹的级别一定比最后一个中枢低，而这种情况，反弹的级别一定等于或大于最后一个中枢的。因此，这两种情况，不难区分
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理解这个才能准确把握是否真正背驰，躲过盘背形成三卖的情况。
5f级别以上，跌出第一个中枢这段大多都是盘背形成三卖，在次级别上也不是趋势背驰，比如笔的类中枢肯定不是趋势背驰，可以双重判断。
一般会在笔中枢两个下跌中枢第二个下面形成趋势背驰，然后反弹，在那里形成第二个5f中枢。然后再从这里次级别跌出，如果是趋势背驰，会先形成一个三卖，再急跌一小段，这个跌出段内也盘背，这样至少是两重的绿面积背驰才能真的形成背驰。而且这最后一段也是两个笔中枢趋势背驰，可以区间套定位。所以至少是三重区间套。
如果再看30分的会是四重区间套
请大家仔细研究下中粮地产这几天的走势，用老师的话说教科书走势
先看30分图，从11月1日开始的下跌段
这段在15日开始，黄白线回拉零轴，形成一个30f中枢，围绕这个中枢两端是明显的盘背。
5f图，从11月21日10点开始的下跌是两个5f中枢的下跌趋势，这段中黄白线两次会拉零轴，形成两个5f中枢很标准。
29课留言里有说回拉零轴是模糊概念，现在有些同学大概还是这么认为的，这还是没理解macd是辅助。因为只有形成中枢的回拉才算回拉，大部分都是次级别的一个向下或者向上走势，且能形成至少本级别的中枢那种回拉才算。只看黄白线当然会判断不出。
对照5f图和1f图的笔中枢，可以仔细分析这两个5f中枢是如何形成的。
从第二个中枢跌出的这部分，先是5f图这段内是明显的盘被，再可以从1f笔来分析这段是趋势背驰导致结束的。
也属于29可讲的，离最后一个中枢dd点跌幅最多的！
因为5f的趋势背驰必然会回到最后一个中枢，这就是重量一个5f次级别上来涨幅这么大的原因。
“实际操作中，怎么才能达到效率最高。一个可被理论保证的方法就是：在第一次抄底时，最好就是买那些当下位置离最后一个中枢的DD=min(dn)幅度最大的，
所谓的超跌，应该以此为标准。因为本章的定理保证了，反弹一定达到DD=min(dn)之上
然后后面几天中粮的走势，也是29课说了的
这个次级别结束后，次级别回抽，这会产生什么？
然后黄白线会拉零轴，在这里先形成一个5f中枢
后面两种走势：一是突破中枢后，回抽形成三买，也就是反转走势，成5f级别上涨，但看大盘这个样子，比较难。
大多会突破5f中枢，盘背回跌回中枢，延伸9段成30f级别的盘整，甚至是日线级别的盘整。
大家可以仔细看看后面几天是不是这么走的。
这些都是29课的内容，这里关键还有两个基础
一，你要能清楚分析出中枢区间
二，能准确判断一个次级别走势的终点。
如果不能就可以第二买点介入，而且第二买点不用背驰来辅助都可以，稍微会高买些。
另外还有个概念还得提提
这里说的5f中枢，是从5f图上看到的形状直接找出，
大概相当于从1f图用笔，和线段得出的1f级别中枢。
但这种找出不是乱找的，也同样是由定义来的，也是由次级别走势定义来的，大略直接在高级别图上用笔的效果。有时候笔不是很准，要参照次级别图来分析。
上次那个级别的帖子，说得主要就是这个意思。
这两种中枢是什么关系呢，用个类比大概解释下，比如直接从三十分图上找出的中枢，相当于你看到一棵树的外貌，树干。
而从1f图，用笔和线段直接递推的三十分中枢，相当和这个树干内的经络，从这两种都可以分析走势，用小缠的话说：有两种方法看一个东西不是更好吗。
这两种中枢是什么关系呢，用个类比大概解释下，比如直接从三十分图上找出的中枢，相当于你看到一棵树的外貌，树干。
而从1f图，用笔和线段直接递推的三十分中枢，相当和这个树干内的经络，从这两种都可以分析走势，用小缠的话说：有两种方法看一个东西不是更好吗。
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这个比喻好，一点即通了。
我刚学缠论，你说我看哪一课能把我上边的问题搞明白那？
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如果刚学，最好还是一课课细看，因为缠论的很多基本概念看着话很简单，但真理解不容易，而且很多概念是一层套一层的，如果最开始的都没彻底理解清楚，后面的就乱套了。
这也是大多数同学到后面越学越觉得混乱的原因吧。如果基本概念不理解后面很难看懂，实盘更很难分析和判断。
如果能判断出盘被形成的三买三卖，老师的学历标注是可以小学毕业，所以不好说只看某几课能搞明白
真实走势总是出乎意料
本来以为中粮会选择5f扩展成30f盘整走势，
没想到走出了最强的一种，走出了一个5f线段的类上涨趋势。二买在5f图上已经产生过了，1129日下午两点那个浅浅的回拉，黄白线也是很浅的回调一点，看盘每个细节都不能忽略啊。
拉开这么多空间，会形成个三买。
但请注意三买后，会在那里形成5f中枢，有盈利空间，但未必会是5f上涨趋势。还要继续看走势的发展。
水平高的就应该是29课说的，全仓在中粮刚出现次级别背驰时出掉，形成三买就回补，否则不补，还是水平不够啊
粮食5分图黄白线回拉零轴要形成5f中枢了
仔细看看啊
（但好像看的人不多，其实这个是提醒要形成5f三买了）
其实学缠论，先不管是否能精准判断中枢，是否能精准分析走势，是否能当下判断出转折点，至少可以学会大概在跌出两三个中枢后买入，这样不会去追高，不会站在高岗上喝风餐露等着解放。两到三个中枢下跌后，即使被套也是浅套
中粮5f黄白线回拉零轴附近，形成5f中枢，同时形成5f三买
我买中粮地产
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现在别再买了啊！！从三买点到现在都涨了一块多了
上午一直说会形成三买，跌的时候你不买，现在别买啊。如果后面在不能冲高23.9就1分线段内盘背，那就是5f二卖
23.9是中粮的十日均线，压力比较大，很难冲过去站稳，日线的黄白线离零轴太远，只有回拉到零轴附近才能站稳，现在只是反弹，没技术请抱紧你的小板凳
我现在就是专心两三只股，研究走势，同时能注意到这个股的每个细节，这才能深入。
权证太快，不太适合学习用
也提醒大家不要太花心，找个差不多的股，慢慢研究
熟悉了赚钱就容易多了
后面有同学提问，又讲了些macd的东西，觉得挺实用，大家可以仔细对图看看。可是从5f图或15f图明显看出5f没有趋势背驰啊?
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不能只看绿柱子
11281315这段是急跌，5f绿柱子容易失真
这个时候要看大级别些的图，你看30f图
再请注意，30f的图不要只看绿柱子，要看看黄白线
最后这段虽然和上个5f下跌段比，绿柱子还在增大，但黄白线在股价新低时，已经不再比前下跌段低了
老师讲过：绿柱子变小，和黄白线不新低，只要其中一种情形出现，就是背驰现象，当然最明显的是两者都出现。再结合你的走势分析，这样把握才能更大。
刚看到老师的一个答疑，正好也和这个有关，贴过来：
30分钟在明显的突破前期，1分钟的背驰制造一个盘中的震荡就可以完成，就像今天下午一样。已经反复强调，一定要从大级别往小级别看，用区间套的方法。1级别的背驰发挥大威力，是因为在大级别的背驰段里，如果大级别是第二买点开始的初升、甚至是主升段，看小级别的背驰有多大意义？就算卖了，也要马上找位置买回来。否则都光看1分钟的背驰，那不乱套了？
本ID的理论是在各级别之间系统、综合使用的，不是光看一个级别的，一定要搞清楚。
其实仔细分析，从1f图也能分析些东西
既然在11281442这能反弹，说明什么？说明这两端围绕5f中枢B这里的两个次级别是盘背了的，也就是两段下面那些小绿柱子都加起来，后面是要小于前面的。最后三卖产生后一个急跌，导致1f图上绿柱子急剧增大，所以即使把这最后段加上后整个c段和b段比，也不会改变太多，再从走势的位置：两个趋势下跌后，产生了三卖，c段内明显盘被，大级别黄白线不再低，这些综合判断，八九成的把握该有了吧。
即使你判断错，只是个盘背，至少在三卖产生的这附近也会有个中枢产生，也很容易解套。
上面说过，当在本级别急剧下跌，导致绿柱子异常增大，就看上大些级别的图。呵，说了一个小窍门
所以即使大家都学会了缠论，以后比的就是综合逻辑分析推理，综合思考判断的这些综合能力，尤其是在纷繁的信息中，看出蛛丝马迹，当下就做出结论和决定，就象战场，平时熟读兵书，和当下在复杂的战场做出决定是两码事情，比的是人，不是光看一个绿面积的事情
要看，但要用老师说的不是眼睛的眼睛来看
上面留言中有关29课的体会，和对中粮最近几天走势的分析，个人觉得对大家会有些启发，有时间可以仔细对图看看
熟读兵书虽然不一定能打胜仗，除非是那些天才，其他的战场胜者还都是熟读兵书的，俺读书去了
注：书就是小缠老师所有的帖子和留言，不仅仅是股票那些帖子啊，这也很重要，宝藏是要找的：
呵，看到乐土的一个提问，转贴过来
缠M:
您能帮忙看一下600640吗?在上周五02091345看起来有1分钟背弛,却跌停了.是需要用平均趋势力度来解释吗?谢谢.
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还是光看1分钟的背驰，这个问题和上面的回答是一样的，就是要首先看大级别的背驰段，然后再按区间套的方法看小级别来精确定位。否则，一个1分钟
的背驰，可能就以一个盘中的震荡就化解了。针对该股，如果看大级别的图，用走势必完美，就知道第三段的下跌是必然的。所以，要先看大级别，知道大级别再干什么，再看小级别。要综合、系统地看问题。
MACD的使用能不能总结一下，我脑袋里线条不清晰。
还有，以前的那个大盘同学现改名为“中枢中的中枢”，新开一博客，说是找到一禅论利器，你去看看有道理吗？辛苦学长了。
macd的辅助，散见小缠的帖子和答疑中，有太多的细节，我刚复习到29课，很多地方还有疑问，也没法总结。可以先自己一课课找出相关的内容，自己汇总吧，有困惑的地方可以提出来讨论。
那天在留言看到大盘说他用软件自动分析走势，这和我的思路出发点不同，对我来说，走势是活的，是生命的轨迹，生命只能用生命来感受和思考，也就是人脑来思考和分析走势，用程序来分析，以我的能力我不知道是什么个方法，也许可能做到，但不是我的思路和能力范围。
小缠的东西已经足够我学的，而且我也自认能学会，还是自己脑子更可靠，依赖其他的，我没这个想法，所以就不去看了。
至于是不是有道理，这个很简单，有股市的真实走势可以检验，真的假不了，假的真不了，只要依照这个方法能当下确定买卖点，然后买卖股票盈利，那就是真的。
本ID的理论，并不是一个僵化的操作，都是永远建立在当下之上的。例如，一个日线级别被判断进入背弛段，由于某种当下的绝对突发事件，例如突然有人无意按错键又给日本捎去一千几百颗原子弹，使得小级别产生突发性结构破裂最终影响到大级别的结构，这时候，整个的判断，就建立在一个新的走势基础上了，
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上面是刚看到30课中内容，也就是说走势是随时变化的。
小缠这么牛的人都得每天亲自看盘，何况你我呢。
正好乐土讲了个事，我也正在看30课，也遇到了个事，也贴过来
呵，看到乐土的一个提问，转贴过来
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说说600640吧：８元时得到消息，要到２０，进场．最高点１９出来后，又得到消息，下周停牌，再进；下周没停，消息是：等，随时停牌．这样即使下跌也不敢丢筹码，上午卖下午买，怕第二天停牌买不到了！好在有几天是高开低走，虽然避开了些下跌（那天的跌停也避开了一大半）但市值缩水．当时可累啊，哈
哈．最后的果断离开还得感谢老师：老师在答疑时回答了我，就是石兄找出来的这段话，让我大概知道是在大的下跌趋势中！
说这么多，是想告诉新同学：消息可一时赢利，但往往会还给消息．
日K线图里看到的上下上就一定是日级别的中枢吗?非也,非也.
下面的内容不是要完全否定我上面说的,上面的内容可以帮助大家理解.而真实的走势不可能都那么标准.
日K线图里看到的上下上,极端的情况也许就是个1分钟级别的中枢.估计有的人看了会头都大了.不急,请听我慢慢道来.
当日K线图里出现上下上,如果这个上下上是属于最极端的那种情况,如先5个开盘的连续涨停为第1个上,接着来5个连续的开盘5个跌停为下,再来5个连续的的开盘涨停为第2个上.哈哈,这时你再看看30分钟,5分钟,1分钟K线图,是不是很相象的形态,级别越小,虚线多点而已.由此,我们就知道了,这个上下上,最多也就是一个1分钟级别的中枢.怎么可以把它叫做日级别的中枢呢.这个例子只是个理论讨论,实际走势是不可能这样的.但是,我们至少可以清楚的知道大级别K线图里出现的上下上,不一定就是那个级别的中枢.
最标准的各个级别的中枢从何而来?当然是从最小级别一步一步推上来.但对实际操作,看大一点的级别会好分析一点.1分钟级别让人头痛,也让很多学友走火入魔了!哈哈,放松点,放开点,说不定放开后就顿悟了.
据老师后来用线段定义中枢后,我上面的内容的名称稍作调整也是成立的,但对实际操作而言,两者并无区别.
1.日K线图的上下上叫30分钟级别的中枢
2.30分钟K线图上的上下上叫5分钟级别的中枢
3.5分钟K线图的上下上叫1分钟级别的中枢
4.1分钟K线图的上下上叫1分钟级别的笔中枢
有点逻辑思维的人都应该明白,不管你怎么叫它们,它们都只是在那软件分析系统里的一种客观存在而已.
图都在上面，分段没问题，因为用缠论可以解释这个走势
从0开始是1f走势类型离开原5f中枢，1234形成1f中枢，01和45盘背，形成6标准三买，而且是高过gg点的三买；
三买后，45和67盘背，形不成趋势，所以形成新1f中枢，但由于8点已经低过3点，
所以中枢级别扩展了，这也就回答了今天悟多问的那个问题。
这个扩张是这么分解的，两个中枢14和58，中间45连接，所以在1f级别是盘走势类型连接一个盘走势类型，且有重叠，也就是5f中枢有两段了，这两段可分解为05，58
所以从8要按5f中枢震荡来操作，
但8刚开始向上时，要参考1f中枢58来看，89这段的结束是个典型的一个笔的走势类型，盘整顶背驰结束，所以当时我做了这个短差，也做成了。而且当时也提防着形成三买，因为89结束时，和前面的各段并无明显盘背迹象，后面
12.5回补回来。
9也果然形成了1f中枢58的三买，也就是中阴段结束，可以正式从点8开始分析，但要注意，从8点开始的这段和15段是5f级别的盘整背驰段。如果1011和89有盘背迹象，得出来，因为那么下面的走势就会一个1f走势类型向下。从10开始走势很强劲，消除了和89的盘背，也消除了811和05的盘背，请注意，05要和8到11间所有的红面积比较，这看5f图很清晰。
11点的产生是由于两个类笔中枢趋势背驰导致的，很明显吧，这是可以当下判断，但这个短差不做，因为中枢在上移，很难把握，可以拿小仓位玩玩。
11结束时，你比较前面提到的几个盘背，都没有。后面的12也形成了点9的三买，是1f级别线段的类上涨趋势。
但下面俺被沙牛撞了。从12开始，昨天是一个笔的类中枢的盘走势类型，今早开盘回跌在9点47形成了笔中枢的三买，关键形成三买后，这段红色好大好大，看得俺眼晕了，以为会是两个笔中枢的上涨趋势，然后背驰形成点13，忘记了还有小转大。
这个问题很严重，从0948到最高点这段，是比笔级别还小的上涨趋势的背驰，当这个背驰发生时，那个当下看看5f，和15f图，比较1011和1213，就知道怎么都该半仓出来。
15点是二卖，但明天要外出开会，没时间回补，就算了，明后天先会是围绕这个1f中枢震荡。
用1f级别来做比较难的是如何当下判断一个点的结束，这需要从笔的走势类型，和1f走势来综合分析判断。
用5f级别操作难点大概是当中枢从1f级别扩展时，走势分解就会乱了。从何
时算5f中枢形成，从哪个点开始算是一个1f走势类型，现在还很晕。
请教一个问题，我最近发现有的一分三买后不创新高，想退出又不能当天卖，真郁闷，如果等五分三买要等老长时间，请问猴哥你的操作级别是几分的呀？===========
1f操作很多时候是不能全仓操作的
如果只是同一个股票反复操作，5f三买很难出现
但不一定非要三买啊，5f中枢震荡足够退出了
如果只用5f三买，那适合两三天换只股。
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扩展，如果不跌破前面的低点，我的理解会出现5f二买，也就8那点
但这只是我的理解，现在还不是完全有把握这么说。
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步）
○1优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 ○2缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素 应用分治法的两个前提是问题的可分性和解的可归并性 以比较为基础的排序算法的最坏倩况时间复杂性下界为0(n·log2n)。 回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。 舍伍德算法设计的基本思想: 设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为 这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。希望获得一个随机化算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有 拉斯维加斯( Las Vegas )算法的基本思想: 设p(x)是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题的一个解的概率。一个正确的拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有p(x)>0。 设t(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有： 解此方程可得：
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法的基本思想: 设p是一个实数，且1/2 因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( ) 因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值 因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 递归算法的实现 【基本信息】 【课标要求】 （三）算法与问题解决例举 1. 内容标准 递归法与问题解决 （1）了解使用递归法设计算法的基本过程。 （2）能够根据具体问题的要求，使用递归法设计算法、编写递归函数、编写程序、求解问题。 【教材分析】 “算法的程序实现”是《算法与程序设计》选修模块第三单元的内容，本节课是“递归算法的程序实现”，前面学习了用解析法解决问题、穷举法解决问题、在数组中查找数据、对数进行排序以及本节的前一小节知识点“什么是自定义函数”的学习，在学习自定义函数的基础上，学习递归算法的程序实现是自定义函数的具体应用，培养学生“自顶向下”、“逐步求精”的意识起着重要的作用。 『递归算法在算法的学习过程中是一个难点，在PASCAL和C语言等程序语言的学习过程中，往往是将其放在“函数与过程”这一章节中来讲解的。递归算法的实现也是用函数或是过程的自我调用来实现的。从这一点上来讲，作者对教材的分析与把握是准确的，思路是清晰的，目标是明确的。』 【学情分析】 教学对象是高中二年级学生，前面学习了程序设计的各种结构，在学习程序设计各种结构的应用过程中培养了用计算机编程解决现实中问题的能力，特别是在学习循环语句的过程中，应用了大量的“递推”算法。前一节课学习了如何自定义函数，在此基础上学习深入学习和体会自定义函数的应用。以递推算法的逆向思维进行求解问题，在学习过程中体会递归算法的思想过程。多维度的思考问题和解决问题是提高学生的学习兴趣关键。 『递归算法的本质是递推，而递推的实现正是通过循环语句来完成的。作者准确把握了学生前面的学习情况，对递归算法的本质与特征也分析的很透彻，可以说作者对教学任务的分析是很成功的，接来就要看，在成功分析的基础上作者是如何通过设计教学来解决教学难点的了。』 【教学目标】 递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N] 递归 冯文科一、递归的基本概念。 一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。 二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。 在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简 a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及 n 系。 要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。 比如阶乘数列 1、2、6、24、120、720…… 如果用上面的方式来描述它，应该是： a的值，那么可以很容易地写成这样： 如果需要写一个函数来求 n 这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。 递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。 以上面求阶乘数列的函数) f为例。如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需 (n 要计算)2( 3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计 * 算)1( f，返回 )1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1 * 上一步，得2 3 * )2( )3(= = f，从而得最终 =f )1( 3 2 * * )2(= =f 2 f，再返回上一步，得6 解。 用图解来说明，就是 因式分解难题经典题 1、若实数满足，则． 2、已知，则的值为 3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________. 4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值． 5、因式分解： 6、已知实数满足，则的平方根等于． 7、若，则的值是_______________． 8、，则___________。 9、如果是一个完全平方式，则= . 10、已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知，则 . 13、－a4÷(－a)＝； 15、把下列各式分解因式： 18、如果，求的值． 19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值． 20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8． 22、 23、（1）已知a m=2，a n=3，求①a m+n的值；②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）。 A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2 27、不论为什么实数，代数式的值（） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（） A．24 B．﹣12 C．±12D．±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是（） A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2 30、.若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或－1 D.－1 31、下列计算中，①x(2x2－x＋1)＝2x3－x2＋1；②(a＋b)2＝a2＋b2；③(x－4)2＝x2－4x＋16；④(5a－1)(－5a－1)＝25a2－1；⑤(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；其中准确的个数有…（） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解：； 33、已知a+b=3，ab=2，试求(1)a2+b2；(2)(a b)2。 14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误； ②2244(2)x x x ++=+，故②正确； ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确； ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选：B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a 算法递归典型例题 实验一：递归策略运用练习 三、实验项目 1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： （1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 源程序： （3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？ （4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？ （5）猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？ （6）小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？ （7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？ 四、实验过程 （一）题目一：…… 1.题目分析 由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一 天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。 2.算法构造 设运动会举行了N天， If(i==N)Gold[i]=N; Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i; 初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解 丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提 > 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 、 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．三、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； — 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； : 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； > 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；/ 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 递归论 文章整理编辑：论文文库工作室（QQ1548927986）论文写作发表辅导 递归论或可计算性理论，是一个数理逻辑分支。它起源于可计算函数和图灵度的研究。它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论(effective descriptive set theory)有所重叠。 数理逻辑中的可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。在这两个社区之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限。 概述：计算的概念 递归论所考虑的基本问题是，给定一个从自然数到自然数的函数f，f是否是可以被计算的。“可以被计算”，我们先将其当作一个直观的概念。根据直觉，人们一般会认为，一个函数可以被计算是存在一个给定的过程，接受一个自然数n后，该过程进行一定的操作并给出f(n)作为输出。将计算这一直观的概念上升到数学层面的形式化定义这一工作是递归论的根本，并由哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post等人在1930年代奠定。他们将图灵可计算性作为有效计算的形式化。 在递归论的基本概念被给定之后，一方面人们将该观念应用于数学中，从而证明了一系列自然的问题，如字问题，以及希尔伯特第十问题等问题是不可计算的。另一方面，理论家们进一步拓展，开始了相对可计算性，图灵度等问题的研究。如今，递归论仍是数理逻辑中活跃的领域。 历史 递归论理论起源自哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post在1930 年代的工作。他们获得的基本结果建立了图灵可计算性作为有效计算的非正式想法的正确的形式化。通过能行计算的严格定义带来了在数学中有些问题是不可有效判定的最初证明。邱奇和图灵独立的证明了停机问题不能能行判定，而Post 证明了在Thue系统中确定一个字符串是否有规范形式(类似于在λ演算中一个项是否有规则形式)不能有效的确定。 不可解度结构的研究，包括图灵度、多一度和类似的结构，是这个领域的重要部分。图灵度的研究发起自Kleene 和Post [1954]。大量的可计算性理论中的研究已经投入到图灵度的性质的研究中。开始于1970 年代，图灵度的研究焦点已经从局部结构性质转移到全局性质， 比如图灵度的自同构(automorphism)和的可定义性。 在1930 年代确定了最初的例子之后，很多数学问题已经被证实是不可判定的。Novikov 和Boone 在1950 年代证实，给出在一个有限出现群中的一个字，没有有效的过程来判定这个字所表示的元素是否是这个群的单位元素。这个结果被用来证实很多其他问题是不可判定的，比如两个有限单形(simplicial complex)是否表现同胚空间的问题。在1970 年，尤里·马季亚谢维奇对希尔伯特第十问题给出了否定答案，它提问是否有有效的过程来判定有有限多个有理数上的变量的丢番图方程是否有在有理数上的解。这个否定解答是对Martin Davis、Hilary Putnam 和Julia Robinson 在1961 年给出的部分解答的巩固。 递归论包括可计算性的一般概念的研究，比如超算术可归越性(hyperarithmetic degrees)、α- 学习好资料 欢迎下载 典型例题一 选择题：对2m +mp +np +2n 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（） 2 2 2 7x -3y + xy-21x ； (2)1 -x + 4xy-4y . 本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组 后运 解 ⑴ 7x 2 -3y +xy -21x = (7x 2 -21x)+(—3y+xy)(合理分组) = 7x(x-3) +y(x-3)(组内提公因式) = (x-3)(7x + y)(组间提公因式) ⑵ 1 -X 2 +4xy -4y 2 =1 -(x 2 -4xy +4y 2 )(注意符号) = 1-（x —2y ）2 （组内运用公式） =1 +（x —2y ） ]1 -（X —2y ）】（组间运用公式） =(1 + X -2y)(1 -X +2y) 说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”一一有公因式或可运用 公式的原则来合理分组，达到分解的目的 . 另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分 组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归 . ②分组时要添加带“―”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步 . 例01 (C ) (2m +2n +np) +mp (B ) (2m + np) + (2n + mp) (2m +2n) +(mp +nm) (D ) (2m +2n + mp) +np 分析 的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（ 确. 本组题目用来判断分组是否适当 .（A ）的两组之间没有公因式可以提取， 因而（A ）不正确；（B ） B ）不正确；（D ）中两组也无公因式可提，故（ D ）不正 （C ）中第一组可提取公因式 2,剩下因式（m+n ）；第二组可提取 P ，剩下因式（m + n ），这样组间 可提公因式（m + n ），故（C ）正确. 典型例题二 例02 用分组分解法分解因式: (1) 分析 用公式可以达到分解的目的 精心整理 第一讲：因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3 （1（345.,这种 6.(1)(2)【1.(1)2x x +(3)(n m +(5)32x -2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+ 例2．利用分解因式计算 （1）5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+?（2）9910098 992 222-- 例3．已知2,3 2==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。 例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。 【随堂练习】 1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（） A 、1(2-a 1121 C 、y x -2A 、,3=b 3A 、+ax 4．将(3a A 、a -35A 、2(a -)1+ 678．已知：1000,133==+ab b a 。22ab b a +的值为。 9．把下列各式分解因式 （1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++- （3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y --- 【课后强化】 1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为。 2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（）=---+-)()()(a x c x a b a x a 。因式分解易错题和经典题型精选
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由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
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x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
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取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
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方法一
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64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3经典因式分解练习题(附答案)
递归论理论
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