5-3平面向量的数量积
【基础巩固强化】
1.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B
[解析] a ·b ＝0?a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2?|a |＝|b |，得不出a ＝〒b ，不要与实数x 、y 满足|x |＝|y |?x ＝〒y 混淆，故C 错；a ·b ＝a ·c ?a ·(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.
2．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →
＝( )
A ．2 3 B.
3
2
C.3
3
D. 3
[答案] D
[解析] ∵AC →
＝AB →＋BC →＝AB →＋3BD →，
∴AC →
·AD →
＝(AB →
＋3BD →)·AD →
＝AB →
·AD →
＋3BD →
·AD →
， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →
·AD →＝0，
∴AC →
·AD →
＝3BD →
·AD →
＝3|BD →
|·|AD →
|·cos ∠ADB
＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →
|＝ 3.
(理)(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →
＋OB →
＝OC →
，则AB →
·OC →
等于( )
A ．0 B.1
2 C.3
2 D ．－32
[答案] A
[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →
|＝|OB →|＝|OC →
|＝r (r >0)， ∵OA →
＋OB →
＝OC →
，∴AB →
·OC →
＝(OB →
－OA →
)·(OB →
＋OA →)＝|OB →
|2－|OA →
|2
＝0，故选A.
3．(文)(2012·山西大同调研)设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b 的夹角为( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
[答案] B
[解析] 设|a |＝m (m >0)，a ，b 的夹角为θ，由题设知(a ＋b )2＝c 2，即2m 2
＋2m 2
cos θ＝m 2
，得cos θ＝－1
2
.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b
的夹角为120°，故选B.
(理)(2011·郑州一测)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝3
2，则向
量a 、b 的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] C
[解析] ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝3
2
，
∴a ·b ＝12，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝1
2，
∴〈a ，b 〉＝60°，故选C.
4．(文)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的射影数量是( )
A.1
2
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] 向量b 在a 上的射影数量为l ＝b ·a
|a|
＝|b|·cos60°＝1.
(理)(2011·天津宝坻质量调查)已知点A 、B 、C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →
＋AB →
＋AC →
＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →
|＝|OA →
|，则向量BA →
在向量BC →
方向上的射影数量为( )
A ．1
B ．－1 C.12 D ．－12
[答案] C
[解析] 由2OA →
＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB
→
＝－OC →
，即O 、B 、C 三点共线．
又|AB →
|＝|OA →
|＝1，故向量BA →
在向量BC →
方向上的射影数量为|BA →
|cos π3
＝12
. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a 、b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( )
A.π4
B.π2
C.3π4 D ．π
[答案] A
[解析] 由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则
cos θ＝
a ·
b |a |·|b |＝22，∴θ＝π
4
，故选A.
6．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则∠A 的大小为( )
A.2π
3 B.π3 C.π2 D.π4
[答案] B
[解析] m ·n ＝b (b －c )＋c 2－a 2 ＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0 3 . (理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α－y sin α＝0与圆(x －cos β)2 ＋(y ＋sin β)2 ＝1 2 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随α，β值的变化而变化 [答案] B [解析] |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)， ∵〈a ，b 〉＝60°， ∴cos60°＝a ·b |a |·|b |，∴cos(α－β)＝1 2 ，圆心(cos β，－sin β)到直线x cos α－y cos α＝0的距离 d ＝ |cos βcos α＋sin βsin α| cos 2α＋sin 2α ＝|cos(α－β)|＝12<2 2 ， ∴直线与圆相交． 7．(2011·新课全国文)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. [答案] 1 [解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2－ab ＋k a ·b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1. 8．(2011·江西文)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π 3 ，若向量b 1＝e 1－2e 2， b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________. [答案] －6 [解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π 3 ，|e 1|＝1，|e 2|＝1， ∴b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2) ＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 1|2 ＝3－2cos π 3 －8＝－6. 9．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域??? 3x －y －6≤0， x －y ＋2≥0， x ≥0. 内的 两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN → ·a 的最大值是________． [答案] 40 [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域 内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B 点时，MN → ·a 取最大值，求得A (0， －6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN → ·a ＝40. 10．(文)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32 )． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小． [解析] (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(1 4＋ 3 4 )＝0， 故a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， 则(－12)〓cos α＋3 2〓sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°. (理)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值； (2)设α＝π 4 ，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值． [分析] (1)由向量坐标运算定义可求b＋c，由模的定义得到关于α的三角函数关系式，化为一个角的一个三角函数，即可求得最值，或依据向量模的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|求解． (2)∵α＝π 4 ，∴a已知，由a⊥(b＋c)?a·(b＋c)＝0可得到关于cosβ的方 程，解方程即可． [解析](1)解法1：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则 |b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． ∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2. 当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2. 解法2：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2， 当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2. 所以向量b＋c的长度的最大值为2. (2)解法1：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)， a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα ＝cos(α－β)－cosα. ∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0， 即cos(α－β)＝cosα. 由α＝π 4 ，得cos( π 4 －β)＝cos π 4 ， 即β－π 4 ＝2kπ〒 π 4 (k∈Z)，∴β＝2kπ＋ π 2 或β＝2kπ，k∈Z，于是cos β＝0或cosβ＝1. 解法2：若α＝π 4 ，则a＝( 2 2 ， 2 2 )． 又由b ＝(cos β，sin β)， c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋2 2sin β－2 2 . ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求. 【能力拓展提升】 11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐 标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC → ＝－2OA → ＋λOB → ，(λ∈ R )，则λ等于( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－2 [答案] C [解析] 由条件知，OA → ＝(1,0)，OB → ＝(1，3)，OC → ＝(λ－2，3λ)， ∵∠AOC ＝120°， cos ∠AOC ＝ OA → ·OC →|OA → |·|OC → | ＝ λ－2λ－22 ＋3λ 2 ， ∴ λ－2λ－22＋3λ 2＝－12，解之得λ＝1，故选C. 12．(文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→ ＋MA 2→ ＋MA 3→ ＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] B [解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→ ＋MA 2→ ＝2MP → ，MA 3→ ＋MA 4 → ＝2MQ →， ∴2MP → ＋2MQ → ＝0，即MP → ＝－MQ → ，∴M 为PQ 中点， 所以有且只有一个点适合条件． (理)(2011·河北冀州期末)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上 的射影为C ，若AF → ＝FB → ，BA → ·BC → ＝48，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x [答案] B [解析] 如图，△ABC 为直角三角形， 由抛物线定义及条件知，|AC |＝|AF |＝|FB |＝12|AB |，∴∠ABC ＝π 6，设 |AC |＝t ，则|AB |＝2t ，∴|BC |＝3t ， ∴BA → ·BC → ＝|BA → |·|BC → |·cos ∠ABC ＝2t ·3t ·cos π 6 ＝3t 2＝48， ∴t ＝4，∴p ＝|DF |＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x ，故选B. 13．(2011·日照二模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB → ·AC → ＝( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 [答案] D [解析] AB → ·AC → ＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝|AB → |·|AC → |·|AB → |2＋|AC → |2－|BC → |22|AB →|·|AC →| ＝3 2. 14．(文)(2011·菏泽模拟)已知向量OA → ＝(k,12)，OB → ＝(4,5)，OC → ＝(－k,10)， 且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________. [答案] －2 3 [解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB → 与AC → 共线， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC → ＝OC → －OA → ＝(－2k ，－2)， ∴－2(4－k )－(－7)·(－2k )＝0，∴k ＝－2 3 . (理)若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM → ＝16CB →＋2 3 CA →， 则MA →·MB → ＝________. [答案] －2 [解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设 M 点的坐标为(x ，y )，则CM → ＝(x ，y －3)，CB → ＝(3，－3)，CA → ＝(－3，－3)， 又CM → ＝16CB →＋23CA → ，即(x ，y －3)＝(－32，－52)，可得M (－32，1 2)，所 以MA → ·MB → ＝－2. 15．(2011·宁波十校联考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25 5 . (1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α< π2，－π2<β<0，且sin β＝－5 13 ，求sin α的值． [解析] (1)由|a －b |＝25 5 得， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2a ·b ＝4 5， ∴a ·b ＝3 5 ， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝a ·b ＝3 5 . (2)由0<α< π2，－π 2 <β<0得0<α－β<π， ∴sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝12 13， sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45〓1213＋35〓? ????－513＝33 65 . 16．(文)(2011·山东青岛二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin A )，n ＝(sin A －sin C ，sin B )，且m ⊥n . (1)求角C 的大小； (2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝? ????cos A ，2cos 2B 2，试求|s ＋t |的取值范围． [解析] (1)由题意得m ·n ＝(sin 2A －sin 2C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0，即sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1 2 . 因为0 . (2)因为s ＋t ＝? ????cos A ，2cos 2 B 2－1＝(cos A ，cos B )， 所以|s ＋t |2 ＝cos 2 A ＋cos 2 B ＝cos 2 A ＋cos 2 ? ?? ?? 2π3－A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos ? ??? ? 4π3－2A 2＝14cos2A －34sin2A ＋1 ＝－12sin ? ? ???2A －π6＋1. 因为0 6，则 －12 ? ???2A －π6≤1， 所以－12≤－12sin(2A －π6)<1 4， 所以12≤|s ＋t |2<54，故22≤|s ＋t |<5 2 . (理)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A 2 ，cos(B ＋C ))， A 、 B 、 C 为△ABC 的内角，其所对的边分别为a 、b 、c . (1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小； (2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． [解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－1 2)2 ＋3 2 ， ∵0 2＝1 2， 即A ＝ π 3 时，m ·n 取得最大值． (2)由 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝3 sin π3 ＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∵C ＝π－A －B ＝2π 3 －B ， ∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6 )， ∵0 6， ∴－12 6)≤1，∴3 ∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]． 【巩固提升】 1．已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点：A (－1，1)，B (3,3)， 那么使向量PA → 与PB → 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是( ) A ．－1 B ．0 C ．－22 2 D ．0 [答案] B [解析] 由题意设P (a,2a )，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要 条件为：PA → ·PB → ＝(－1－a,1－2a )·(3－a,3－2a )＝5a 2－10a <0，且除去P ，A ， B 三点共线这种特殊情况，解得0 2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB | ＝3，则OA →·OB → ＝( ) A.1 2 B ．－12 C.14 D ．－14 [答案] B [解析] 设AB 中点为P ， ∵|AB |＝3， ∴|AP |＝3 2 ， 又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π 3， ∴∠AOB ＝2π 3， ∴OA → ·OB → ＝|OA → |·|OB → |· cos 2π3＝－12 . 3．(2011·安徽知名省级示范高中联考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为 θ，则下列命题不正确．．． 的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影数量为cos θ B ．e 21＝e 2 2 C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2) D ．e 1·e 2＝1 [答案] D [解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|·cos θ＝cos θ， ∴A 正确； 又e 21＝e 22＝1，∴B 正确； ∵(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0， ∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确； e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立． 4．(2011·海南三亚一中月考)已知两点M (－2,0)，N (2， 0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → ＝0，则动点 P (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x [答案] B [解析] |MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → ＝|MN →|·|MP →|＋|MN →|·|NP → |cos θ ＝|MN → |·(|MP →|＋|NP → |·cos θ) ＝0(θ为MN →与NP →的夹角)， ∵|MN →|≠0，∴|MP →|＋|NP → |·cos θ＝0， ∴|MP → |＝|NP → |·cos(π－θ)，∴|MP → |＝|PK → |， 如下图，又∵|MO |＝2，∴方程为y 2＝－8x ，选B. 5．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β) (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， |b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2. (3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b. 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 复习课教案 新 人教版选修2-2 3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。 二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力 三、教学过程： 【创设情境】 一、知识结构： 【探索研究】 我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 【例题评析】 例1：如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n －2个图形中共有________个顶点。 推理与证 明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 数学归纳 变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块。 例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,αβ，则22 cos sin αβ + =1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________; 变题2：数列 } { n a 的前n项和记为Sn，已知 ). 3,2,1 ( 2 ,1 1 1 Λ = + = = + n S n n a a n n 证明： （Ⅰ）数列 } { n S n 是等比数列； （Ⅱ） . 4 1n n a S= + 例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：第1个第2个第3个 高中数学主要知识点 必修1数学知识 第一章、集合与函数概念 §、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成 的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作： A Y B （读作‘A 并 B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 S A 高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 高三数学月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=?B C A U ( ) A ．{}2 B ．{}3,2 C ．{}3 D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( ) A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x y B ．()()3,1log 12∈+-=x x y C ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x y D ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( ) A ．x 2sin B ．x cos C ．x sin D ．x sin 4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( ) A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n m B ．βα、都垂直于平面γ C ．α内不共线三点到β的距离相等 D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且?? 5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n n n a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．或者是等差数列、或者是等比数列 D ．等差、等比数列都不是 6、已知实数a 满足21< 数学必修一复习提纲 第一章 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征： ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法： ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系： 从属关系：对象 ∈、? 集合；包含关系：集合 ?、ü 集合 五．三种运算： 交集：{|}A B x x A x B =∈∈且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈或 补集：U A {|U } x x x A =∈?且e 六．运算性质： ⑴ A ?=A ，A ?=?． ⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ? ，则A B =A ，A B =B ． ⑷ U A A =（）e?，U A A =（）eU ，U U A =（）痧A ． ⑸ U U A B =（）（）痧U A B （）e， U U A B =（）（）痧U A B （）e． ⑹ 集合 123{,,,,}n a a a a ???的所有子集的个数为2n ，所有真子集的个数为21n -，所有非空真子集的个数为22n -，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为 2n C ． 第二章 函数 指数与对数运算 一．分数指数幂与根式： 如果n x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n 次方根有1 个， 当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n 负 的n 次方根记做 1．负数没有偶次方根； 2 ．两个关系式：n a = ；||a n a n ?=??为奇数为偶数 3 、正数的正分数指数幂的意义：m n a = 正数的负分数指数幂的意义： m n a -=． 4、分数指数幂的运算性质： 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧? 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 黄州区一中高三理科数学综合测试题（十二） 命题：杨安胜 审题：高三数学组 考试时间：-11-20 第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，且， ，，设，则（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2．已知函数()f x 是奇函数，当0,()(01)x x f x a a a >=>≠时且，且12 (log 4)3,f =- 则a 的值为（ ） A ．3 B ．3 C ．9 D ． 3 2 3．如右图，在ABC ?中，||||BA BC =，延长CB 到D ，使 ,AC AD AD AB AC λμ⊥=+若，则λμ-的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．-1 D ．2 4．若0a 2≠=b ，，且，则向量与的夹角为( ) A 30° B 60° C 120° D 150° 5．等差数列{}n a 中，386,16,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若12 11 1n n T S S S = +++ ，则952 T 最接近的整数是 （ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 6．已知函数3 2 2 ()23f x x ax ax a =+-+，且在()f x 图象上点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是 （ ） A ．（-1，1） B ．2 (,1)3 C ．2(,1)3 - D ．2(1,)3 - 7．将函数2()1cos 22sin ()6 f x x x π =+--的图象向左平移(0)m m >个单位后所得的图象 关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A ． 6 π B ． 12π C ． 3 π D ． 2 π 8．已知定义域为R 的函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） {}{}{} Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈+==∈==,13,,13,,3M a ∈N b ∈P c ∈c b a d +-=M d ∈N d ∈P d ∈b a c +=a c ⊥a b )(x f 1)1(=f )(x f ()2 1 < 'x f 2 1 2)(+< x x f 新人教版高中数学必修4知识点总结经典 新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 导数专题复习 一、知识要点 1.求导的公式 2.导数的几何意义 3.利用导数求极值与最值 二、填空 1. x e x x f )2()(-=的增区间为____________ 2. x x x f cos 2)(+=在]2,0[π的最大值为___________ 3. x x y ln 232-=单调增区间为__________________ 4. a x x x f --=3)(3在]3,0[最大值为Ｍ，最小值为Ｎ，则=-N M ____________ 5. c bx x y ++-=22在)1,2(-处的切线为3-=x y 求=+c b ___________________ 6. x y ln =上的点到直线22+=x y 距离最小值为______________________________ 7. x ax x x f 3)(23++=在3-=x 取得极值，则=a ___________________________ 8. 1)(23++=ax x x f 无极值，求a 的范围为_________________________________ 三、选择题 9. 方程06932 3=---x x x 有______个实根 Ａ.无 Ｂ.一个 C.二个 Ｄ.三个 10.直线b x y += 21为曲线)0(ln >=x x y 的一条切线则=b _______________ A. 1 B. 2 C. 12+ D.12ln - 11.若函数)(3x x a y -=减区间为)33,33(-则a 的范围为________________ A.0>a B.01<<-a C.1>a D.0'+'x g x f x g x f 且0)3(=-g 则不等式0)(),( 开封高中2014届第一次月考数学试题 命题人：闫霄 审题人：宁宁 注意：（1）本试卷满分150分，时间120分钟； （2）所有试题的答案均须写在答题卷上，写在试题卷上无效。 一．选择题 1.函数1 (01)x y a a a +=>≠且的图像恒过点 （ ） .A (1,1) .B (0,1) .C (1,1)- .D (2,1) 2. 函数y = （ ） .A 13(,)24- .B 13[,]24- .C 1(,]2-∞ .D 1 (,0)(0,)2 -+∞ 3.下列函数的图像与函数3x y =的图像关于y 轴对称的是 （ ） .A 3x y =- .B 3x y -=- .C 13y x = .D 1 ()3 x y = 4.设2,4(),1,4 x x f x x x ? ≥=? + .C 1.86273> .D 1.860.210.21> 7.已知(1)1f x x -=+，则()f x = （ ） .A 2x -+ .B 2x + .C 2x - .D 1x + 8.设集合{|2},{|}A x x B x x a =<=<,若A B ?≠ ，则实数a 的取值范围是 （ ） .A {|2}a a < .B {|2}a a ≤ .C {|2}a a ≥ .D {|2}a a > 9. 若{0,1},{1,0,1},A B f ==-是从A 到B 映射的对应关系，则满足(0)(1)f f >的映射有（ ） .A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 2个 10.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(2)0f -=，则()0x f x <的解集是 （ ） .A {|20,2}x x x -<<>或 .B {|20,2}x x x -<<<<或0 .C {|22}x x -<< .D {|2,02}x x x <-<<或 11. 2 1 2 10328()(0.002)2)27 - --+-+= （ ） .A 39-- .B 0 .C 1 .D 39- 12.若偶函数()f x 在区间(,0)-∞上是单调函数，则满足2 ()( )4 x f x f x +=+的所有x 之和为 （ ） .A 3- .B 3 .C 8- .D 8 二．填空题 13.函数1()=13 x f x -（）的值域是___ ____。 14.已知2 ()(2)(3)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则实数k 的值为____ ___。 15.已知二次函数()y f x =图像的顶点坐标为(1,9)-，与x 轴的两个交点间的距离为6，那么这个二次函数的解析式为 。 16.有下列四个命题： ①函数1 ()f x x x =+ 为奇函数； 人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1．1 任意角 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 1．定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫 做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： π2360=?； π=?180；rad 01745.01801≈=?π；rad n n 180 π=?． ②将弧度化为角度： ?=3602π；?=180π；815730.57)180(1'?=?≈?=πrad ；?=) 180 (π n n ． 5．常规写法： ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360 ° 弧度 0 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 山西省太原五中—高三第二学期月考试题（2月） 数学试题（文） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1．设全集为R，集合则集合等于（）A．M N B．M∪N C．M C R N D．C R M N 2．点（1，-1）到直线的距离为（）A．B．C．D． 3．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）A．B． C．D． 4．已知点P（2，1）在圆C： 称点也在圆C上，则实数a，b的值为（）A．a=-3，b=3B．a=0，b=-3C．a=-1，b=-1D．a=-2，b=1 e k 5．若双曲线的离心率∈（1，2），则的取值范围是（） A．（-∞，0）B．（-3，0）C．（-12，0）D．（-60，-12） 6．在正项等比数列{a n}中，已知a1a9=9，则a2a3a10=（）A．27B．18C．9D．8 7．已知a、b都是实数，那么a2>b2是a>b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．不充分不必要条件 8．已知S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n-1，则a5的值为（）A．-16B．16C．32D．-32 9．已知sin（）A．B．C．D． 0PM AM PM ?=，则||10．已知定点A （-2，0），B （2，0），动点P 于A 、B 连线的斜率之积满足k AP ·k BP =m ，当 m ＜-1时，△ABP 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 11．自圆外一点P （0，4）向圆引两条切线，切点分别为A ，B ， 则 （ ） A ． B ． C ． D ． 12．已知x 、y 满足约束条件的最小值是 （ ） A ． B ．1 C ． D ． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量 则 = 。 14．在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （-3，4），若点C 在∠AOB 平分线上且 则向量 的坐标为 。 15．当x ∈（1，2）时，不等式x 2+mx +4<0恒成立，则m 的取值范围是 。 16．已知动点P （x ，y ）在椭圆 上，若点A 坐标为（3，0），|AM |=1，且 的最小值是 。 三、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分） 17．（本小题满分10分） 设 函数 且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中画出在区间[0，π]上的图像； （Ⅲ）根据画出的图象写出函数在[0，π]上的单调区间和最值。 18．（本小题满分12分） ? 2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； 2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I) 函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。现举例如下：1．比较大小 例1．比较与的大小： 解：， 由于及0 证：（反证法）。 令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1, ∴ f(x1)=f(x2)=0 (1) ∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数， 又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2) 由(1),(2)知，两者矛盾， 故方程x3+x+1=0至多有一个实根。 4．解不等式 例4．解不等式(2x-1)5+2x-1 高三数学一轮复习月考试题（理科） 一．选择题（共10个小题，每题5分，共50分） 1.若集合A={x ?R},B={y ∈1,x ≦x ?y=2x ,x ∈R},则A B=( ) .A{X 1-?≤x ≤1} B. {x ?x ≥0) C. {x 0?≤x ≤1} D. Φ 2..命题“存在0x ∈R ，0 x 2≤0”的否定是 （ ） A.不存在0x ∈R,0 x 2>0, B.存在0x ∈R,0 x 2≥0 C.对任意的x ∈R,0 x 2≤0, D..对任意的x ∈R,0 x 2>0 3.设集合 A={（x,y)?},B={(X,Y)116 42 2=+y x ?Y=x 3},则 A B 的子集 的个数是（ ） . A.4 B. 3 C. 2 D 1 4.函数y= 4 3)1(ln 2 +--+x x x 的定义域为 （ ）. A. (-4,-1) B .(-4,1) C. (-1,1) D. (-1,1] 5.函数y=x 4-16的值域是 ( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D. (0,4) 6.给定函数①y=2 1x ,②y=)1(log 2 1+x ,③y=1-x ,④y=12+x ,其中在区间 （0,1）上单 调递减的函数序号是 （ ）. A.①② B. ②③ C. ⑶④ D. ①④ 7设a>0.且a ≠1,则“函数f(x)=a x 在R 上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数”的 （ ）. A.充分不必要条件 . B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件。 8.函数 f(x)=?????<-≥+0 ,)1(0,122x e a x ax ax 在（-∞+∞，）上单调 ，则a 的取值范 围是( ) A.(-∞,-2] (1,2] B . [-2,-1) [2,+∞) C.(1,2]D. [ 2,+∞) 9.已知函数y= x -1+3x +的最大值为M,最小值为m,则 M m 的值 为 （ ） A.4 1 B.2 1 C.22 D. 2 3 10.设函数f(x0=c bx ax ++2（a<0)的定义域为D,若所有点（s,f(t)),(s,t ∈D,构成一个正方形区域，则a 的值为 （ ） A.-2 B,-4 C.-8 D,不能确定 二填空题 （共5 个小题，每题5分，共25分） 11.若全集为实数集R,集合A={x>0})12(log 2 1-x ?则 A C U =________________ 12.若函数y=f(x)的定义域为[2 1 ,2], 则f(x 2log )的定义域为______________ 13.函数f(x)=ln(-2x +5x+6)的单调递增区是______________ 14.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x -x,则当x ∈[-2,-1]时，f(x)的最小值为______________ 15.下列结论正确的有_____________（所有真命题的序号都写【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版
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